传染病在不同地点之间的传播

[...] 在西非（从未经历过埃博拉爆发），由于社区普遍死亡或感染了许多居民，恐惧导致其他人感染，整个村庄都被遗弃。[...] 西非的特点是人口跨越极易渗透的边界高度流动。最近的研究估计，这些国家的人口流动性是世界其他地方的七倍。[...] 人口流动造成了两大控制障碍。[...] [C] ross border联系人追踪很困难。人口很容易跨越有漏洞的边界，但疫情应对者不会。埃博拉病毒于2014年7月20日和9月30日分别输入尼日利亚拉各斯和德克萨斯州达拉斯，标志着该病毒首次通过空中旅行者进入一个新的国家。从理论上讲，这些事件使一个拥有国际机场的城市面临进口病例的风险。这些输入性病例引起了媒体的广泛报道和公众的焦虑，使人们认识到，只要病毒在世界任何地方传播，所有国家都有一定程度的风险，特别是考虑到本世纪相互依存和相互联系的急剧增加。”图2：西非国家与世界其他地区的空中交通连接。资料来源Gomes等人（2014年）。另见Halloran等人（2014）。http://www.who.int/csr/disease/ebola/one-year-report/factors/en/Ibidem.3单位置模型：构建块作为热身练习，在本节中，我们开发模型的构建块。我们定义了一个由单个位置构成的系统，并描述了随着时间的推移，感染如何在其中传播。

动力学保持明确的抽象和简单，这有一个主要原因：所谓的单位置系统能够从小冲击中恢复，但在大冲击的情况下无法恢复（很快就会确定）。反过来，这将使我们在下一节4中考虑两个这样的系统相互作用，然后评估在抗冲击方面对整个2位置系统的影响。考虑一个居住在同一地点的病原体群体，该群体易受可传播疾病的感染，该疾病可通过与其他病原体的个人接触传播。根据第2节的动机，直觉的想法是代理之间进行交易并结对会面。然而，这些会议也是疾病传播的手段。设x（t）表示t时受感染个体的比例。该比例的演变由以下微分方程决定，例如，非生态经济学是从经典的Bass模型发展而来的（Bass，1969；D\'Alessandro，2007）：ddtx（t）=νx（t）（1- x（t））（x（t）- q） ，（2）其中ν∈ （0，1）是表示疾病传染性的参数，Q∈ （0，1）是衡量系统控制疾病能力的参数，我们可以称之为隔离。更具体地说，我们认为q是分配给住院感染者的资源数量以及更有效的疾病控制措施。我们认为这些资源是固定的和外源的，这意味着它们可以在疾病进化的更长时间尺度上发生变化。评论方程（2）可被视为修改的易感感染模型：我们计算受感染个体遇到易感个体的概率，即x（1-x） 这次会议导致了一种新的感染概率ν。

然后将其乘以一个因子（x- q） 根据感染率是否超过检疫保留q.PROPOSITION 3.1，修改了感染流的标志。动力系统（2）有3个临界点：o渐近稳定、无病平衡x=0；o不稳定平衡x=q；o渐近稳定的地方病平衡x=1。因此，区间[0，q） R是x=0的吸引盆地，而（q，1）是x=1的吸引盆地。证明。见附录B。备注。在生态学中，这种动力学有时描述物种随时间的演化（D\'Alessandro，2007）。在这方面，我们的类比是，我们正在考虑的物种是一种引起感染性疾病的细菌。阈值QR表示该物种为了生存必须达到和超过的临界感染量：当没有足够的感染个体时，该物种就不能再增殖和繁殖，最终流行病死亡。最后，值得注意的是，易感感染模型的基本假设是所谓的同质混合：根据个体在整个人口中的相对比例，个体之间的会面是随机的。这是我们在这里坚持的一个假设。抗冲击性和政策我们将冲击定义如下：假设在时间t=0时，感染率存在突然的外源性变化，例如x（0）=x∈ [0, 1]. 我们称之为休克。如果冲击为x<q，即。

低于阈值时，系统将（渐近）恢复到无病平衡，而如果冲击大于q，则动态将收敛到0，此时整个人群都受到感染。如果假设冲击在[0，1]上均匀分布，则q量化系统从冲击中恢复的能力。因此，这里的政策含义很简单：可以分配更多的资源来控制疾病（即q值越大），系统从感染率的更大冲击中恢复的能力就越强（即0的吸引盆地越大）。图3：由方程式（2）定义的单位置动力学0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x0.020.040.060.08dxdtDynamics，其中参数设置为q=0.2，ν=0.8。曲线代表方程式（2）的右侧，点是临界点0、q和1。不稳定平衡x=q作为阈值，将两个渐近稳定平衡x=0（绿色）和x=1（红色）的吸引盆地分开。较小的外部冲击，即低于q的冲击被吸收，而大于q的冲击导致系统完全感染。4双地点模型从上一节的结论开始，我们现在扩展我们的分析：贸易和会议将在两个地理位置不同的地方（以下也称为岛屿或国家）内和跨两个地理位置不同的地方进行，因此，疾病的传播也会发生同样的情况。为了表达经济代理人的动机，他们可以选择是在自己的地方还是在其他地方与其他代理人互动，我们坚持对交易的解释，因此，也谈到价格。

我们认为，在其他价格不太明确的情况下（如第2节中的埃博拉案例），经济直觉也是一样的，因为事情仍然可以按照与遥远地点互动的更高和异质成本进行建模。具体而言，我们考虑了两个由互动代理人居住的地点，例如交易牲畜的农民。代理通过相互作用获益，但由于可能存在（潜在）疾病传播，这种潜在益处随着感染率的增加而减少。这说明了感染的风险和患病牛的性能下降（例如生长缓慢、死亡）。为了避免传染和风险，一个地点的代理商可能愿意与另一个地点的其他代理商进行互动，即使这样做他们必须支付与这种长期互动相关的更高成本（例如出口成本、贸易壁垒）。我们将注意力限制在两个完全相同和对称的位置，在这两个位置，代理商除了出口成本外，在所有方面都是同质和相同的。特别是，同一地点的不同代理商被分配了不同的成本以出口到其他地点，直观地说，这可能反映了不同的地理位置、与外国的联系设施等。

一个关键方面是，使用相同的位置和相同的代理是一种规范化，这有助于确保耦合系统脆弱性的任何变化都是由于跨国连接结构，而不是其他特征的差异。4.1特定集A和B表示两个在特定时间范围内生存的代理群体，A和B分别表示其一个通用代理。互动收益和成本代理商从与其他代理商，尤其是任何代理商的交易/互动中受益∈ 当A在母国A进行交易时，其总效用为PA，而当出口到另一个国家B时，其总效用可能更高。假定收益是相等的交叉因子，是当前感染流行因子xA（t）、xB（t）的递减函数∈ [0, 1].最后一个假设反映了这样一个事实，即随着危机蔓延，交易变得更具风险。形式上：pA=pA（xA（t），xB（t）），pB=pB（xA（t），xB（t）），对于任何时间t∈ R、 任何通用代理a∈ A在两个（相互排斥的）行动中进行选择，分别标记为A和B，这两个行动要么是“在母国进行贸易”，要么是“向另一个国家出口”。然而，要出口到其他国家∈ A必须支付出口成本ca>0，这被假定为根据累积分布函数FA在代理之间随机分布。相反，母国的交易成本标准化为0。根据所选择的动作A或B，代理A在时间t的效用由：ua（t）给出=pA（t），如果以A交易，pB（t）- ca，如果导出到B，则代理a∈ 当且仅当ifpA<pB时，A决定在时间t导出到B- ca.对称地，类似的定义和符号适用于所有代理b∈ B、 这一节的其余部分也是如此。评论

请注意，在我们的配方中，代理商仅根据他们能够在这两个市场中观察到的价格Pa和Pb做出决定。尤其是，他们既不能观察到自己的状态（易感或感染），也不能观察到其他人的状态。在动机部分提到的牲畜贸易的情况下，这一假设在经济上的合理性如下。牛的运动是有压力的，这会导致疾病的发展和动物的生长减少（甚至死亡）。这也意味着潜在的疾病可以被掩盖为压力而不被发现。

由于这些原因，农民必须向当地卫生机构报告任何可能与疾病有关的情况，否则他们将在高收入人群中发生。这些可以解释为交易发生的价格。根据我们的符号，那么，代理a∈ A可以导出到B，反之，可以导出到代理B∈ Bto A.自ca起~ FA，上面的表达式意味着A的代理在t时愿意导出到B的部分由p{A给出∈ A:pA（t）<pB（t）- ca}=P{a∈ A:ca<pB（t）- pA（t）}=FA{pB（t）- pA（t）}，（3）或者，相当于，A的代理在A中交易但不出口的部分为1- FA{pB（t）- pA（t）}。跨国会议和受感染者的流动让我们继续分析：在从A出口到B的药物中，有一小部分是由xA·FA{pB提供的- pA}是当前感染的病原体之一。因此，当这些出口和受感染的代理满足B中可接受的、留在B中用于贸易的部分，即（1-xB）（1-FB{pA-这将为B国带来一个额外的感染源：xA·FA |{z}A的受感染出口到B·（1- xB）·（1）- FB）{z}B的易感者仍留在B中。B的另一个感染源来自B的受感染者与A的易感者之间的会面：xB·（1- FB）{z}B感染剩余·（1- xA）·FA |{z}A容易出口到B。然而，由于跨国互动而产生的这种额外感染活动在母国减少后得到了一定程度的补偿。

特别是，nowB的国内传播不能遵循第3节中给出的单一位置方程式（2）：不仅因为这些会面只发生在B的易感代理和未出口的受感染代理之间，还因为我们必须减去B的受感染代理的出口份额。νBxB（1）- FB）（1- xB）（1- FB）（xB- q） |{z}B的剩余代理人之间的会面导致感染- xBFB |{z}受感染的流出量，其中νB∈ （0，1）是B的传染性参数。A的类似推理是对称的。通过将所有这些元素放在一起，我们可以建立一个耦合微分方程系统，控制两国感染率随时间的演变。每个方程的第一行说明了可能减少的国内流行病传播，而第二行说明了上述跨国互动导致的额外感染流量：ddtxA=νAhxA（1- FA）（1- xA）（1- FA）（xA- qA）++xA（1- FA）（1- xB）FB+（1- xA）（1- FA）XBFI- xAFAddtxB=νBhxB（1- FB）（1- xB）（1- FB）（xB- qB）++xB（1- FB）（1- xA）FA+（1- xB）（1- FB）xAFAi- xBFB，（4）其中νA，νB∈ （0，1）和qA，qB∈ （0，1）分别是位置A和B的传染度和检疫参数。系统可以是代数的，以便于记法，自始至终，我们将编写FA{pB- pA}=Fa和FB{pA- pB}=FB。为了便于记法，我们省略了时间t。然而，值得记住的是，fa和fb依赖于pAand pB，而pAand pB又依赖于xA（t）和xB（t）。重新排列如下：ddtxA=νA（1- FA）hxA（1- xA）（xA- qA）（1- FA）+（xA+xB- 2xAxB）FBi- xAFAddtxB=νB（1- FB）hxB（1- xB）（xB- qB）（1- FB）+（xA+xB- 2xAxB）FAi- XBF。（5） 备注。如果不允许跨国出口，即。

当FA=FB=0时，系统（4）被简化为两个非耦合方程，对应于方程（2）形式的两个单位置模型，这两个模型分别演化。评论在这个模型中，任何时刻的导出都只在一个方向上发生，从A到B，反之亦然。实际上，假设pA（t）<pB（t）在某个时间t∈ R、 由于Fa和FB是仅对正成本为正的累积分布，因此在这种情况下，FB（pA（t）- pB（t））=0 whileFA（pA（t）- pB（t））>0。因此，XA的第一个方程中存在感染流出，xB的第二个方程中存在感染流入。然而，正如下面的分析所示，感染率xA（t）和xB（t）（以及pA（t）、pB（t））不一定是时间的单调函数。在下面，我们将假设当xA=1时FA=1。这很直观：在A中，只要感染率最大，即xA=1，那么所有A的代理都将面临最低的家庭福利，因此愿意出口，因此FA=1。提案4.1。系统（3）在描述任何（xA，xB）的单位平方中定义良好∈ [0, 1].证据