自适应多维资本的优化方法

环境状态的检测本节提供了一种易于实施的校准方法，以根据观察到的声明对不可观察的环境状态进行路径跟踪。假设索赔强度和索赔规模分布已知。Lett=0<t<…<t并表示“tm”：=tm- tm公司-1、索赔数量SYMI：=Ni（tm）- 镍（tm-1） 以及在时间间隔（tm）内索赔额Zmi=（Ci，…，CiYmi）的顺序-1，tm]表示每个业务线i。我们引入符号Ym：={Y，…，Ym}和Zm：={Z，…，Zm}，其中Ym：=（Ym，…，Ymn）和Zm：=（Zm，…，Zmn）表示包含时间间隔内所有业务线的索赔数量和索赔规模的向量（tm-分别为1，tm]。由于符号的轻微滥用，我们使用通用符号f来表示任意随机量的（联合）密度。例如，f（Zm，Ym）表示截至时间tm观察到的索赔和索赔数量的联合密度。在第3.1节中，我们假设环境状态因子P随时间变化而变化；随后，在第3.2节中，我们介绍了一种在每个观察期随机选择的环境状态校准方法。3.1. 与时间无关的环境状态的贝叶斯校准在本节中，环境状态随机变量P视为与时间相关，因此不会随时间变化。环境状态概率Pjar根据一段时间后观察到的索赔估计为后验分布tm（比如）：^pmj：=P（P=j | Ym，Zm）=^pjf（Ym，Zm | P=j）PJk=1^pkf（Ym，Zm | P=k），（6）其中^pj∈ （0，1）表示可任意选择的先验概率，如Pjj=1^pj=1。

如果我们进一步假设每个时间段的观测值是独立的，则可以使用（6）：^pmj：=^pjf（Ym）迭代估计环境状态概率-1，Zm-1 | P=j）f（Ym，Zm | P=j）PJk=1^pkf（Ym-1，Zm-1 | P=k）f（Ym，Zm | P=k）=μpm-1jf（Ym，Zm | P=j）PJl=1^plf（Ym-1，Zm-1 | P=l）PJk=1^pkf（Ym-1，Zm-1 | P=k）f（Ym，Zm | P=k）=μpm-1jf（Ym，Zm | P=j）PJk=1^pm-1kf（Ym，Zm | P=k）。（7） 示例1。考虑这样一种情况，即只有Claim过程的到达强度取决于环境的状态。以环境状态为条件，到达强度是固定的，即P（λi=λij | P=j）=1。请注意，以环境状态为条件，索赔过程是独立的。使用（7）我们发现在这种情况下：^pmj：=P（P=j | Ym）=^pjP（Ym | P=j）PJk=1^pkP（Ym | P=k）=^pm-1jP（Ym=Ym | P=j）P（Ym=Ym）=^pm-1jQni=1e-λij'tmλymiijPJk=1^pm-1kQni=1e-λik'tmλymiik。接下来，我们将环境状态对索赔规模分布的影响包括在内，假设索赔呈指数分布，比率为θi。在环境状态下，比率是固定的，即P（θi=θij | P=j）=1。由此得出：^pmj=^pm-1jQni=1e-λij'tmλymiijf（Zmi=Zmi | Ymi=Ymi，P=j）PJk=1^pm-1kQni=1e-λik'tmλymiikf（Zmi=Zmi | Ymi=Ymi，P=k）=^pm-1jQni=1e-λij'tm（λijθij）ymie-θijPymil=1zmilPJk=1^pm-1kQni=1e-λik'tm（λikθik）ymie-θikPymil=1zmil。请注意，此过程仅要求每个业务线在一段时间内的总索赔额，即Pymil=1zmil。以概率^Pm表示的概率^pmjis为特征的环境因素的估计概率分布。每次时间间隔后（tm-1，tm]公式（7）描述的贝叶斯程序允许根据时间间隔内观察到的索赔更新P的估计概率分布。

因此，可以根据此新估计重新计算资本公积。通过贝叶斯更新程序获得的分布估计，^pm在概率上收敛到P asm的真实分布。这一结果源自Ghosal等人【5】，定理5.1。为了获取真实的环境状态因子，模型必须是可识别的，即不同的参数值对应不同的过程分布Xi。第4节中的示例3显示了在不满足该条件的情况下发生的情况。3.2。重新采样条件下环境状态相关性的最大似然校准方法上一小节提供了一种假设不随时间变化的环境状态的校准方法。实际上，环境影响和依赖性很少被视为固定加班。本小节的目的是概述一个校准程序，以便在每个观察期内随机对环境状态因素重新采样的情况下，根据观察到的索赔估计环境状态概率Pjj：在观察期（t，t）内，环境状态为P∈ A、 在整个（t，t）中，环境状态因子为P∈ A、 在这种情况下，观察到的索赔和索赔规模Ym、Zm在不同的观察期内具有（潜在）不同的基本环境状态因子，因此必须调整上一节中概述的贝叶斯校准方法（必须调整公式（6）和（7）），以检索环境状态因子的分布。采用最大似然方法来检索分布概率pj的估计值。

确定观察期内的最大似然环境状态'tmas：^Jm：=arg maxj∈{1，…，J}f（Ym=Ym，Zm=Zm | P=J）=arg maxj∈JnYi=1f（Ymi=Ymi，Zmi=Zmi | P=j）。概率p。。，Pjc可在tmby^pmi之后进行估计：=mmXk=1^Jk=i.最大似然估计的一致性，即当m→ ∞, 已证明在特定条件下有效。其中一个条件涉及模型的识别，以确保不同的参数值必然对应不同的分布。其余条件是关于概率计划和似然函数f（Ym=Ym，Zm=Zm | P=j）的更多技术条件，在实践中普遍得到满足。我们参考【14】中的第5.5节，了解一致性条件的详细技术分析。可迭代估计环境因素分布：^pmi=m- 1m^pm-1i+m^Jm=i，我∈ {1，…，J}。我们已对各种示例实施了上述校准程序，并获得了初始资本储备u，通过解决第2.3节中提出的优化问题来实现。下一节将介绍结果。4、数值结果在本节中，我们不仅阐述了第3.1节和第3.2节中得出的资本更新程序的适用性，还讨论了可能的范围。本节中的示例受Loisel使用的数值设置的启发【8】。我们给出了四个例子，重点介绍了资本更新程序的不同特征，以及对环境状态因子校准和优化分配初始资本储备的影响。

复杂性增加的例子包括：（i）校准（和优化）方法相对于模拟设置的波动性和范围；（ii）不同的参数集；（iii）不断变化的环境状态因素；（iv）不同的索赔规模分布。所有计算都是在R中进行的，使用了用于优化程序的theNelder-Mead算法的实现（nmkb）。Nelder Mead仅使用函数值，其鲁棒性强，已知可很好地适用于不可区分的函数。数值积分使用Simpsons自适应求积方法进行计算。示例2。（校准和优化方法的波动性）该示例说明了估计环境状态因素的波动性和范围以及分配的初始资本储备。我们通过模拟过程来进行soby（在每次运行中使用不同的模拟种子）。每次运行都会生成一条路径，用于估计随时间变化的环境状态因子。比较不同运行的输出，我们观察到校准方法的收敛性不依赖于模拟种子。我们注意到，此示例是本文中唯一包含多次模拟运行的示例。与Loisel[8]介绍的设置类似，我们考虑了由两条业务线（n=2）组成的业务模型，并确定了三种不同的经济状态（J=3）。我们假设索赔是指数分布的CI~ exp（θi），类似于示例1，取保费率r=r=1。在本节的第一个示例中，环境状态不会随时间变化。最初，我们还假设θi=1，与环境状态无关。在环境状态因素对第二条业务线的影响范围内，通过索赔过程的强度，使用λ=λ=λ=0.6保持不变。

因此，最佳分配在很大程度上取决于第一条业务线的索赔强度参数。在第一种环境状态下，λ=0.5<λ，通过比较索赔内容，业务线1比业务线2更安全，因此应为第二业务线带来更大的资本储备。在第二和第三种环境状态下，业务线1的风险更大，强度分别为λ=0.7和λ=0.92。我们用λ=（0.5、0.6、0.7、0.6、0.92、0.6）表示索赔强度的参数化。使用第3.1节中介绍的贝叶斯校准方法估计环境状态因子。^pm相对于实际环境因子P=1（即（P，P，P）=（1，0，0））的误差的平均值和抽样置信区间如图1（a）所示，用于(R)tm=1和先验分布^P=,,.图1：100次试验中，估计环境状态因子概率的绝对误差的平均值和95%置信区间^pm=（^pm，^pm，^pm）相对于真实环境状态P=1，分配的^u的相对误差u=（1，1，1，1，1）和λ=（0.5，0.6，0.7，0.6，0.92，0.6）。通过使用δm=0.001 | Sm |和固定T=1解决最小化问题（4）来分配储量。我们选择δm=0.001，其数量级与保险和银行资本监管阈值相同，分别使用0.5%和0.1%的置信水平。在图1（b）中，使用估计的环境状态概率（^p，^p，^p）的平均误差已绘制为使用真实环境状态因子p=1分配的资本储备的一部分。我们将此称为u的“错误”。该图还显示了已分配储量的95%置信范围（100次优化运行）。

由于环境因素对2号线的维修流程没有影响，我们观察到此业务线的资本分配没有影响。该示例显示了贝叶斯校准方法对真实环境状态的收敛性，以及分配的初始资本储备对两条业务线的最佳资本储备的收敛性。这种收敛适用于每个随机样本。示例3。（不同的参数集）此示例通过改变索赔到达强度和索赔规模参数来确定这些参数的影响，从而扩展了前面的示例。环境状态因素对索赔到达强度和规模的影响增加，导致更快的收敛。图2和图3显示了各种强度和开采规模参数集的估算值和分配的初始储量。（相同的

这违反了校准程序收敛的识别条件。图2：估计环境过程概率的绝对误差^pm=（^pm，^pm，^pm）相对于各种参数集的真实环境状态因子P=1。图3：对于各种参数集，使用估计的环境状态分布（environmentalstate Distribution）相对于使用真实环境状态因子（P=1）的分配资本储备（allocated capital reserve）的相对误差。示例4。（改变环境状态因子）在实际情况中，环境状态因子不一定是常数。因此，在本例中，我们考虑一个超时更改的实例。首先，我们通过在第10个时间间隔后将环境状态从1切换到2来引入环境状态因子的单个变化。我们表明，随着时间的推移，贝叶斯校准方法仍然会收敛到真实的环境状态因子。接下来，我们引入了一个环境状态因子，通过在每个观察期随机重新采样环境状态，该因子随时间变化更频繁。在这种情况下，我们采用第3.2节中概述的校准方法来确定真实的环境状态因子分布。本例中的模型设置与例2中的相同。图4显示了在长度为1的10个时间间隔后，环境状态因子从状态1切换到2的情况下，估计的^pmand分配的初始储量的结果。

随着时间的推移，贝叶斯校准方法会收敛到新的环境状态（P=2），见图4（a）。图4：估计环境过程概率的绝对误差^pm=（^pm，^pm，^pm）相对于真实环境状态，前提是在tm=10后从P=1切换到P=2，分配的^u的相对误差u=（1，1，1，1，1）和λ=（0.5，0.6，0.92，0.6）。您的目标可能需要快速收敛到真正的环境状态，或更早地检测到不断变化的环境状态。在某些情况下，更新过程可能已收敛到环境状态，无法检测到环境因素的变化。简介GA加权函数hw（·）：（0，1）→ 之前概率估计值的R^pm-公式（7）中的1可改进更新程序。根据您自己的目标，它可能会增加或减少向真实环境状态因子的收敛。一个简单的例子是幂函数：hw（^pm-1j）=（^pm-1j）wf对于某些固定常数w。在图5中，我们显示了在10个时间间隔后切换的情况下，该加权函数对估计环境状态概率^pmi收敛的影响，如前所示。当选择w>1时，高概率比没有权重的情况下具有更大的权重。对于与时间无关的环境状态，这将导致更快地收敛到真实状态P=1，并随后减慢对环境中潜在开关的适应。当w<1时，环境状态概率^pm向真实状态P=1的收敛速度比没有加权的情况下要慢。然而，由于收敛速度较慢，新闻状态P=2的识别速度更快。

根据识别新环境状态的速度，可以选择特定的权重函数。图5：加权函数hw（^pmj）=（^pmj）的影响赢得了估计环境因素概率的绝对误差和分配资本准备金的相对误差，作为在tm=10时，环境状态从P=1切换到P=2的函数w。参数与图4一致。接下来，我们从真实分布p=（1/3，1/3，1/3）中重新采样每个观察期（长度1）的环境状态因子。在这种情况下，贝叶斯校准方法无法应用，我们使用第3.2节中概述的校准方法。图6显示校准收敛于真实的环境状态分布。此外，通过求解优化（4）得到的初始资本储备与使用真实环境状态因子分布分配的资本储备相差很小。示例中使用的参数由u给出=1 0.65 0.41 0.65 0.4和λ=0.50 0.70 0.920.92 0.70 0.50,其中，矩阵中的（i，j）-th元素分别对应于uij和λij。图6：使用第3.2节中的校准方法，估计的环境因素概率^pm=（^pm，^pm，^pm）随时间的变化，以及初始资本储备的相对误差^u。示例5。（非指数索赔规模分布）该示例通过考虑其他索赔规模分布，放宽了指数分布索赔的假设，从而赋予模型更大的灵活性。在保险业背景下，资本水平出现负跳跃（索赔）。通过允许负索赔额，该模型可用于收入现金流不确定的企业（例如，由于衍生品投资）。在本例中，我们假设这些索赔额的高斯分布，即。