自适应多维资本的优化方法

Ci公司~N（ui，σi）。对于具有高斯分布索赔的风险过程，不存在明确的时间破产概率表达式，因此我们使用Arfwedson近似来估计这些概率，见附录a。公式（7）中概述的环境状态分布的贝叶斯校准方法如下所示：^pmj=^pm-1jQni=1e-λij'tmλymiijf（Zmi=Zmi | Ymi=Ymi，P=j）PJk=1^pm-1kQni=1e-λik'tmλymiikf（Zmi=Zmi | Ymi=Ymi，P=k）=^pm-1jQni=1e-λij'tmλymiijσije-2σijPymil=1（zmil-uij）PJk=1^pm-1kQni=1e-λik'tmλymiikσike-2σikPymil=1（zmil-uik）。我们的目标是在五种不同的环境状态下，在一家公司内的五种不同业务线上分配资本储备。考虑所有业务线i的ri=1、ui=1、σi=1，并通过设置λ引入对索赔强度的环境状态依赖性=0.709 0.544 0.609 0.536 0.5800.611 0.537 0.588 0.541 0.7250.730 0.601 0.636 0.620 0.6910.639 0.605 0.638 0.713 0.5910.637 0.615 0.600 0.623 0.740.图7显示了估算值^pm的结果。本例中使用的真实环境状态为P=1，观察周期长度为1，先验分布为^P=,,,,. 图中显示了向真实环境状态的快速收敛。

一般来说，当有更多的业务线时，我们观察到贝叶斯校准方法的收敛速度更快，这是因为我们在每个观察期（每个业务线一个）有更多的观察。图7：估计环境因素概率的绝对误差^pm=（^pm，^pm，^pm，^pm，^pm）相对于真实环境状态P=1的收敛性。通过解决两个不同的最小化问题来分配资本储备：最小化问题（4）约束子集中所有业务线的破产概率，方程（2）中的πmas，以及问题（4）约束子集中至少一条业务线的破产概率，方程（3）中的πmas。结果分别如图8（a）和8（b）所示。（与前面的示例一致，我们使用了约束δm=0.001 | Sm |。）约束子集中所有业务线的破产概率，最佳分配初始资本储备u（在环境状态已知的情况下）由（20.620、14.553、22.507、15.985、15.869）给出。对子集中至少一条业务线的破产概率进行约束，可以得到最优配置的初始资本储备u（116.173150.040、119.690、83.281108.053）。图8：使用估计的环境状态分布（environmentalstate distribution）相对于使用真实环境状态因子（P=1）的已分配资本储备，已分配的^u相对误差的收敛性。备注1。在数值研究过程中，我们对环境状态因子的标定和初始资本储备的优化进行了一些一般性的观察。这些观察结果包括定义更多业务线时的快速收敛。当环境状态对索赔强度和索赔规模有更显著的影响时，该属性也适用。

如示例1所示，假设索赔呈指数分布，贝叶斯校准程序只需要每个观察期内每条业务线的索赔总数和索赔规模（所有索赔规模的总和）。我们不需要每个独立索赔的确切规模或时间。此外，图9显示，使用命题1计算的每个环境状态下的业务线破产概率是凸inu。通过定义，我们有一个凸优化问题（4），u中的全局最小值必须满足Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件。图9：破产概率作为初始准备金u的函数，u=（1，1，1，1，1），λ=（0.5，0.6，0.7，0.6，0.92，0.6）。结论与展望引入了多维保险风险模型，目的是在企业内不同业务线之间分配资本准备金。每个业务线的个人风险过程由Cram'erLundberg模型给出。为了模拟不同业务线之间的依赖关系，我们引入了一个常见的环境因素。由于该因素的不可观测性，我们提出了一种新的贝叶斯方法，用于根据索赔过程校准潜在环境状态分布，并对该方法进行了调整，以适应每个观测期重新采样的环境状态因素。从已知结果可以推断出这些校准方法对真实环境状态分布的收敛性。通过求解约束优化问题，找到合适的初始资本公积。资本公积在业务条线上的分配是优化本身的结果。举例说明了资本配置技术和环境状态因子的贝叶斯校准。

我们不仅详细阐述了衍生资本更新程序的适用性，还讨论了扩展该程序的可能方法。这包括可能使用加权函数来改进更新过程。我们通过对每个观察期的因子重新取样，考虑了随时间变化的环境因子。虽然很难预测环境何时可能发生变化，但环境状态因素不太可能在每个观察期（独立）重新采样。这将有利于马尔可夫环境因素，即在环境状态下的时间呈指数分布。在这种假设下，当前的设置变得越来越复杂，人们很可能不得不求助于数值方法来对多变量风险过程进行采样，类似于Loisel等人所做的工作【9、10、11】。这一感兴趣的领域是未来研究的重点。参考文献参考文献[1]G.Arfwedson。集体风险理论研究。二、斯坎德。Aktuarietidskr。，38:37–100, 1955.[2] S.Asmussen和H.Albrecher。破产概率，统计科学与应用概率高级系列第14卷。《世界科学》，第二版，2010年。[3] O.Barndor Off-Nielsen和H.Schmidli。有限时间内破产概率的鞍点近似。斯堪的纳维亚。精算师。J、 ，1995（2）：169–1861995年。[4] 蔡俊杰和李浩。多元复合风险模型破产概率的相关性质和界。J、 多变量分析。，98(4):757–773, 2007.[5] S.Ghosal、J Ghosh和A.van der Vaart。后验分布的收敛速度。安。统计员。，28(2):500–531, 2000.[6] R.Laeven和M.Goovaerts。经济资本动态配置的优化方法。保险数学。经济体。，35(2):299–319,2004.[7] D.Landriault、C.Lemieux和G.Willmot。

经典风险模型中具有贝叶斯动机的自适应保费政策。保险数学。经济体。，51(2):370–378, 2012.[8] S.Loisel。风险过程某些函数的差异化，以及最优储备分配。J、 应用程序。概率。，42(2):379–392, 2005.[9] S.Loisel。具有共同冲击的马尔可夫调制多元复合泊松模型中的有限时间破产概率，以及依赖性的影响。工作文件WP2027，科学精算师金融实验室，2005年。[10] S.Loisel。k类业务的破产理论。打印后hal-00397270，hal，2007年。[11] S.Loisel。具有共同冲击的马尔可夫调制多风险模型中的破产时间、破产罚款和股息。《法国精算师公告》，7（14）：2007年4月24日。[12] F.伦德伯格。桑诺利赫茨·芬克顿（sannolikhetsfunktionen）的弗拉姆斯特（Approximerad framst）–allning af sannolikhetsfunktionen：Aterf–ors–akering af kollektivrisker。Almqvist&Wiksell，1903年。[13] P.Picard、C.Lef\'evre和I.Coulibaly。多风险模型和有限时间破产概率。Methodol。计算机。应用程序。概率。，5(3):337–353, 2003.[14] A.范德法特。渐近统计。剑桥统计与概率数学系列。剑桥大学出版社，1998年。附录A建议2。（Arfwedson近似）对于ui>0，定义αi和βias的解：κi（αi）=uiT，βi=αi-Tuiκi（αi）并让▄αi<αi注意κi（▄α）=κi（αi）的解。然后，1。如果ri>λiE[Ci]，则φi（ui，T）~Kie-βiui，对于T<ui/κi（γi）Kie-γiui，对于T=ui/κi（γi）Kie-γiui+~Kie-βiui，对于T>ui/κi（γi），ui→ ∞2、如果ri<λiE[Ci]，则φi（ui，T）~Kie-βiui，对于T<ui/κi（0）αi2▄αi，对于T=ui/κi（0）αi▄αi+▄Kie-βiui，对于T>ui/κi（0），ui→ ∞3、如果ri=λiE【Ci】，则φi（ui，T）~Kie-βiui，其中ki：=ri- λiE【Ci】λi^Bi【γi】- ri，~Ki：=-αi- αiαiαiq2πTλi^Bi[αi]。证据

Arfwedson的论文[1]（第78页的方案一）和有限时间破产概率的Cram'er-Lundberg表达式立即给出了证明。在图10中，我们展示了Arfwedson近似的指数声明相对于命题1中给出的各种参数集的数值计算积分表达式的性能。可以观察到，如预期的那样，只要初始资本或时间范围较大，Arfwedson近似的精度就会提高。图10：使用Arfwedson近似和命题1的数值积分计算的破产概率（针对各种参数集）