世界石油与其他石油之间的多重分形互相关

λ（q）的q依赖性表明了所研究的互相关的多重分形特征。FZZ表征单个时间序列的标度特性：FqZZ（s）1/q=FZZ（q，s）~ sh（q）、（8）和h（q）代表广义赫斯特指数。对于单分形时间序列h（q）=常数，而对于多重分形信号h（q）是q的递减函数。相应的奇异谱f（α）可以根据以下关系计算（Kantelhardt et al.，2002）：τ（q）=qh（q）- 1，（9）α=τ′（q）和f（α）=qα- τ（q），（10），其中α称为奇点指数或H¨older指数，f（α）是相应的奇点谱，通常称为多重分形谱。这种单时间序列的特例对应于Kantelhardt等人（2002）的著名多重分形去趋势波动分析（MFDFA）。对于由模型数学级联生成的时间序列，奇点谱f（α）对应于阶数之间的矩（等式6-q和+q的形式是一条倒置抛物线的对称最上面部分。如Dro˙zd˙z&Oswi,ecimka（2015）所示，与纯粹统一的数学级联组织相比，现实时间序列在其层级组织中经常被扭曲。这种影响表现为f（α）的不对称性，并且对于确定时间序列的组成也可能具有至关重要的信息。通过不对称参数（Dro˙zd˙z&Oswi,ecimka，2015），可以全面描述f（α）的这种不对称性：Aα=(αL- αR）/(αL+αR），（11）式中αL=α- α米南德αR=αmax- α和αmin，αmax，α分别表示f（α）支撑的开始和结束，以及最大off时的α值（α）（对应于q=0）。Aα的正值反映了f（α）的左侧不对称性，即其左臂相对于右臂伸展。

这表明在时间序列的大波动水平上，多重分形更加发达。另一方面，负Aα反映了光谱的右侧不对称性，因此表明较小的折射率是主要的多重分形源。方程（7）定义的一系列函数也可用于定义q依赖的去趋势互相关（qDCCA）（Kwapie\'n等人，2015）系数：ρq（s）=FqXY（s）pFqXX（s）FqY Y Y（s），（12），这允许量化两个时间序列x（i）之间的互相关程度，y（i）在去趋势后，在不同的时间尺度s下。通过改变参数q，可以确定两个信号x（i）和y（i）相关性最大的去趋势振幅范围。与传统方法相比，ρq（s）的这种过滤能力构成了一个重要优势，因为现实时间序列之间的互相关通常不会均匀分布在其不同幅度的波动上（Kwapie\'n et al.，2017）。当然，ρq（s）系数也可用于量化未形成良好多重分形特征的序列之间的互相关。4、单个系列的多重分形不同金融资产的价格变化之间发生多重分形互相关的必要条件（被认为不充分）是每个金融资产的多重分形。这种多重分形分析的第一步是根据公式（8）计算每个时间序列的函数。

为了消除估计函数时可能存在的偏差，参数q值取自区间q∈ [-4，4]由于逆三次幂律（Gopikrishnan et al.，1998；Dro˙zd˙z et al.，2002）控制了大回流的渐近分布，因此，如第2节所示，在当前情况下，阻止进入q>4的发散矩区域。最小和最大尺度取决于所研究时间序列的长度N。在本研究中，它们分别被设定为s=10（50分钟）和s=3750（14个交易日）。Onethus获得图3所示的F（q，s）函数族。它们似乎遵循一种非常令人信服的幂律行为，这种行为可以用一组非均匀标度指数h（q）来表征，其q依赖性显示在相应的插入中。这种多尺度行为反映在图4所示的多重分形谱f（α）的形状上。因此，每个consid-4-3-2量表-4-3-2-4-3-2qFq，s-4-2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 0 2 0 2 4q0.50.6hq-4-2 0 2 0 2 0 2 4q0.50.6hq-4 0.50.6hq-4-2 0 2 4q0.50.6hqZARS&P500（ES）石油（CL）黄金（GC）GBPEURRUBJPYNOKAUDCADPLN图3：不同q值的qth阶次函数f（q，s）族∈ [-4，4]步骤0.5（最上面的一个代表q=4），计算WTI原油期货（CL）、澳元/美元、加元/美元、欧元/美元、英镑/美元、日元/美元、挪威克朗/美元、印尼国家石油公司/美元、卢布/美元、南非兰特/美元、标准普尔500期货（ES）和黄金期货（GC）。插图说明了相应的广义赫斯特指数nts h（q）。ERD时间序列可以被视为具有多重分形组织，具有充分发展的多重分形谱，其特征为左侧（aα>0）。

多重分形谱f（α）的这种不对称效应，无论是左侧还是右侧，都表明时间序列的层次结构不均匀（Dro˙zd˙z&Oswi,ecimka，2015）。f（α）的左侧由正q值投影出来，因此它反映了大挠度的组织，而负q值决定了f（α）的右侧。因此，f（α）的左侧不对称性表明，在大波动水平上，多重分形更加明显，而右侧则相反。如图4所示，左侧不对称在此处所考虑的资产中更为常见，这表明它们在大的波动水平上发展出更为明显的多重分形，并且其较小的波动更为嘈杂。0.3 0.40.5 0.60.7H"older指数α0.50.60.70.80.9fAUDCADEURGBPJPYMXNNOKPLNRUBZAR#######################SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS35##S&P500（ES）S SGold（GC）X X0.3 0.40.5 0.60.7α0.50.60.70.80.9fq∈[-3,3]图4：（彩色在线）使用q计算所有考虑的时间序列的奇异谱f（α）∈ [-4, 4]. 插图显示了俄罗斯卢布对q的f（α）∈ [-3, 3].对于卢布/美元，观察到最广泛的多重分形谱，同时具有相当大的左侧不对称性(α ≈ 0.37和Aα≈ 0.24）和日元/美元汇率(α ≈ 0.39和Aα≈ 0.17）而挪威克朗/美元的频谱最窄，且α ≈ 0.17，但具有更大的相对不对称性，如α所示≈ 0.34. 事实上，正是卢布在f（α）中形成了最长的左翼，但其评估需要谨慎。如图3所示，仅在这种情况下，q参数较大正值的函数F（q，s）沿幂律趋势受到一些扰动。

这可能在一定程度上与卢布回报率分布形成厚尾的事实有关。2比此处显示的所有其他仪器都要大，因此q阶动量≥ 3在有限系列的极限范围内发散。在这种特殊情况下，将程序限制为q的“法定”间隔∈ [-3，3]的结果显示在图4的插图中。很自然，在这样一个q值区间内，卢布的多重分形谱f（α）变窄了，但同时其不对称性降低到α≈ 0.10. 然而，总的来说，如图4所示，这里研究的所有工具，货币以及石油、黄金和标准普尔500指数，都发展出明显的多重分形谱，左侧不对称基本上很常见。就后期特征而言，标准普尔500指数构成例外。它的f（α）接近对称形状，甚至有一些向右的倾向（aα≈ -0.09).第6.2节显示了中国货币CNH/USD的相关多重分形特征，这是由于其在此期间的交易规则有所不同，且数据可用时间间隔较短，因此其与石油相关的其他量化特征一起显示。5、cr-oss相关性的多重分形方面为了将此分析扩展到本研究的主要问题，即：。，WTI原油期货（CL）和其他金融工具之间相互关系的量化此处考虑了根据式（7）计算的相应QTH阶次波动函数FXY（q，s），然后搜索一些可能的缩放表现。实际上，图5所示的此类计算结果表明，在所考虑的所有情况下，都可以观察到FXY（q，s）的显著标度行为。

这表明，即使在多重分形组织的层面上，相应资产的演变也存在一定的同步性。然而，FXY（q，s）的幂律行为仅适用于正eq值，因此图5中显示了这些值，并明确列出了q的下限值。低于这些值的互相关函数FXY（q，s）开始不规则地波动，偶尔假设为负值，与之前研究的某些其他金融案例类似（Rak等人，2015）。FXY（q，s）行为中的这种定性转换-标度与非标度事实上与图4中单个时间序列多重分形谱的左侧一致。多重分形互相关在更大的波动水平上具有更优先的条件，因为它们发展出更丰富的多重分形，并且这些主要是通过正参数q实现的。

在这里考虑的所有资产中，日元与石油的多重分形相关性最小，因为相应的FXY（q，s）的标度质量都不稳定，此外，它已经在q=0.8左右终止-5-4-31 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.61 2 3 4q0.50.6-5-4-3Scales-5-4-3qFXYqsAUDCADRUBS&P500（ES）EURiJPYPLNGold（GC）MXNNOKGBPZARq=0.6q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=4q=0.8q=1q=0.8q=0.4q=0.4q=0.4q=0.4q=0.6q=0.8q=0.8λλλλλλλλλλ离子互协方差函数FXY（q，s）用于计算WTI C原油期货（CL）与澳元/美元、加元/美元、欧元/美元、英镑/美元、美元/日元、墨西哥比索/美元的不同q值，步长为0.2，挪威克朗/美元、兹罗提/美元、卢布/美元、南非兰特/美元、标普500期货和黄金期货。最上面的线对应于q=4，最下面的线对应于那些FXY（q，s），这些FXY（q，s）仍然形成相对规则的形状，并明确列出相应的限制q值。插图说明了λ（q）对所研究的两个系列x（i）和y（i）的广义Hurs-texponents hxy（q）=（hx（q）+hy（q））/2的平均值的结果q依赖性。尽管如图5所示，量化油价变化和几种世界货币汇率之间相互关系的多重分形方面的函数FXY（q，s）看起来基本相似，通过比较相应的标度指数λ（q）和广义赫斯特指数的平均值，可以发现一些更细微的影响：hxy（q）=（hx（q）+hy（q））/2。（13） 虽然hxy（q）在所有考虑的情况下表现相似，但可以观察到λ（q）的各种qdependence。如图所示。

6这导致：dxy（q）=λ（q）的相应不同q依赖性- hxy（q），（14）和反映了等式（5）中协方差累积的不同速度，且标度s在增加。在大多数情况下，这种增加速度快于两个序列中的一个对应方差，因此λ（q）通常大于hxy（q）。然而，在一些罕见的情况下，如CL对日元或CL对欧元，则相反的情况适用于较小的q值。这表明，仅这两种货币的某些特定动态要素是不同的。事实上，由于可以通过明确的计算进行验证，它们与其他货币的多重分形交叉相关性似乎弱于货币之间的典型相关性。例如，JPY和MXN之间基本上没有这种互相关，即，无法绘制类似于图5所示的图形。对相关影响进行更系统的研究可能会很有启发性，但它超出了目前石油专用贡献的范围。6、使用ρqcoe系数量化的互相关互相关的互补度量基于q依赖的四向互相关系数ρq，根据式（12）计算得出。图7显示了Q=1、2、3和4时，TI原油期货和其他金融工具之间的此类系数的时间尺度s依赖性。除了日元（日元/美元），为了将其转换为本图中的正值，日元用其倒数（iJPY=美元/日元）表示，所有货币（以美元表示）、标准普尔500指数期货（ES）和黄金期货（GC）被视为与石油正相关。俄罗斯卢布（卢布/美元）和加拿大元（加元/美元）的相关性最强。

当比较ρ和ρ时，这些相关性以及其余货币的相关性会随着qvalue的增加而系统性地降低，平均约为3倍。这表明它们主要发生在较小和中等规模的水平上。在ρqsome的q依赖性中，还观察到了震级扫描的重新排序。在与石油相关的货币最多的两种货币中，q=1时，俄罗斯卢布占主导地位，加拿大元位居第二，而q=4时，后者超过。类似的重新排序单canssssssssssxxxxxxxxxxxxxxx1.52.53.5q0.1dxyqhxyqaudcadeurgbpijpymxnnokplnrubzares SGCX xsssssssssssssxxxxxxxxxxxxx1.52.53.5q-0.04-0.020.040.060.080.1dxyqhxyqqaudcadeurgbpijpymxnnokplrubzaress SGCX XFigure 6：（彩色在线）多重分形互相关标度指数λ（q）与平均广义赫斯特指数之间的差异S hxy（q）q估计值∈ [1, 4].观察其他与石油相关的货币。有趣的是，欧元和英镑属于与石油相关性较弱的货币。就所有q值而言，系统而言，相关性最小的仍是日元，如上所述，这种相关性为负符号。日元兑美元的负相关性可能源于以下事实：日本是世界领先的石油净进口国之一（Lizardo&Mollick，2010），并且其通常具有负利率，这有利于激活其与石油的利差交易效应（Lu et al.，2017）。所有这些结果的统计意义都在随机序列的零假设下得到验证。图7中的虚线显示了每个原始时间序列的此类代理的100多个平均实现的结果。

显然，所有原始结果都非常令人信服地保持在这条线以上。此处研究的所有仪器检测到的最强互相关与q=1时的CL相比，因此对于较小的振幅波动，andSSSS SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSH 12小时24小时2d1w 2w0.10.20.30.40.50.6q=1q=2q=3q=4Q图7：（彩色在线）WTI原油期货（CL）和图5中其他金融工具之间的依赖于q的去趋势互相关系数ρQQ，作为q=1、q=2、q=3和q=4的时间尺度s的函数，以及标准偏差σρ（q，s），从100个独立实现的shu’ed替代数据（点灰色线）中获得。与所考虑的最大波动（q=4）相关的最弱互相关与Kwapie\'n等人（2015）和Zhao等人（2018）针对成熟股票市场和外汇得出的结果平行。这些目前的结果表明，通常情况下，出售石油或其他自然资源的国家的货币，如澳元（澳元/美元）（alsocoal生产者）、加元（加元/美元）、墨西哥比索（墨西哥比索/美元）、挪威克朗（挪威克朗/美元））、俄罗斯卢布（卢布/美元）和南非兰特（南非兰特/美元）——即所谓的商品货币——与油价变化的相关性更强。较弱的相关性揭示了与石油市场或石油进口国联系更为松散的国家的货币。其中包括欧元（欧元/美元）、英镑（英镑/美元）、日元（日元/美元）或波兰兹罗提（兹罗提/美元）。