随机考虑是否解释了难以做出选择时的行为？根据

两种不同的考虑因素集规则只允许注意指数表示，它们如何使用注意指数在给定的选择集中形成考虑因素集。定义3。logit注意（LA）、选择集独立（MM）、随机考虑（RCG）和充分考虑（FC）模型允许通过链接函数ψL，L表示注意指数∈ {LA，MM，RCG，FC}这样om∈ MLAif且仅当存在η时∈ （2X）使得ma（D）=ψLAA，D（η）=η（D）PCAη（C）>0，对于所有A∈ A和D∈ 2A；om级∈ MMMif且仅当m∈ MLAwithη（A）=Ya∈X\\A（1- γ（a））Yb∈Aγ（b），对于给定的γ：X→ （0，1）和∈ 2X；om级∈ MRCGif且仅当存在η时∈ （2X）使得ma（D）=ψRCGA，D（η）=XC:C∩A=Dη（C），对于所有A∈ A和D∈ 2A；om级∈ MFCif且仅当m∈ mrcg，η（A）=1（A=X）。这个注意力指数考虑规则的列表不是详尽的，但是我们使用这些模型，因为它们将允许我们以系统的方式了解支配我们的实验应用程序的真实数据生成过程。特别是，众所周知的NMM规则正是LaandRCGModels的交叉点（Suleymanov（2018））。因此，LAandRCGare完全具有信息性。（Tversky（1972））。我们的一般结果涵盖了这种情况，到目前为止，文献中尚未完全描述这种情况。该规则规定了各项目之间的独立性。

这一限制使得拉氏消耗（Lackgassumption）成为可能，以允许不同的特拉达ηDRCG之间注意力的替代和互补，考虑到一个子集给定的选择集的概率正好是选择集的交集。在我们的框架中，由于考虑有限而产生的随机性可能有两个原因：（i）考虑在个体层面上是确定的，但在群体层面上是异质的；（ii）个人层面的考虑是随机的，独立且分布相同的人权委员会规则。示例1。遵循一条经验法则：他们完全关注选项B如果它存在于给定的选择集中，否则考虑集为空。DMs根据（异构）π选择最佳替代方案∈RXRCGη（X）=和η（{b}）=。然后RCG HRC规则可以描述这种群体行为。存在代表性DM时的代表性。示例2。A注意力，由MA测量∈（2A），在所有可能的考虑因素集inA（包括排空）。我们假设DM具有注意指数η∈（2倍）。选择难度由认知成本函数k：[0,1]→ R∪ {+∞}它独立于菜单。固定的 A、 K（mA（D））使用considerationmAK·mA度量分配注意D的成本∈A处理它的认知成本。从形式上讲，MAI是XM的解决方案∈（2A）XDA[米（D）η（D）- K（m（D））]。K优化问题意味着最优对价规则允许注意指数MηLAI解释（详见附录C.5）。鉴于注意力指数表示的定义，我们可以定义HRC规则的限制版本（L-HRC-rule）。定义4。L-HRCψLPL HRC规则，如果P是带m的HRC规则∈ ML.application我们专注于四种不同的模型（L∈ {LA，MM，RCG，FC}）。然而，我们的方法扩展到任何允许注意指数表示的考虑模型。2.3.

L-HRC模型的表征和识别在本节中，我们回答了以下问题：（i）何时可以从数据中恢复不同的考虑规则？（ii）其可观察到的影响是什么？我们回答了偏好π的PMD分布。换句话说，我们从数据集P中恢复生成它的HRCRule的原语，并提供必要和有效的条件，以保证adataset P可以由L-HRC规则生成。我们的出发点是利用这样一个事实：如果对价规则限制了注意力指数表示，那么选择默认替代方案的概率完全由注意力指数η决定。特别地，考虑了选择外部选项的概率与选择集中的任何其他选项无关。如果我们表示po=（p（o，A））A∈Aandψ（η） =（ψA，（η） ）A∈Awe可以写出方程：po=ψ(η).ψ从所有不同的菜单中选择外部选项。由于我们的目标是确定对价规则，我们对注意力指数规则进行了自然限制，以保证ψ的可逆性。

本文中感兴趣的模型（但不限于它们）满足了这一限制。定义5。Amnotone如果我们可以写∈ A： 文学硕士() = ^1（XCAη（C），η()),式中：Д：[0，1]×[0，1]→ [0，1]是每个条目或坐标中的严格单调链接函数。假设在给定选择集的条件下，不考虑任何对象的概率是关注菜单中至少一些可选对象的累积概率（根据η）和不考虑任何对象的概率（无条件）的单调函数。此后，我们对已知的连接函数施加全单调性限制，并且是可变的。完全单调的注意力指数规则使得随机考虑是单调的，asin Cattaneo et al.（2017），namelymA()≤ mB() 国际单项体育联合会 A、 在第十年，当И严格增加时。然而，在这种情况下，它们意味着更多。自，映射（·）() :A.→[0,1]是functionPC例如，对于CGIT而言，ηC将满足一种边际递减选择倾向（Aguiar（2017））。非正式地说，当一组新的备选方案添加到菜单中时，选择外部选项的边际概率呈弱递减（例如。，Cp（o，A）=p（o，A∪ C）- p（o，A）≤0，DCpo，A≤在这种情况下，它提供了与RAM相反的行为。从这个意义上讲，这种注意力限制既不弱也不强于Cattaneo等人（2017）中的单调性限制。ψψ在这项工作中所有感兴趣的例子中都适用。重要的是，这是一个可测试的限制。注意，由于ψ的倒数在相关模型下是已知的，因此我们可以从数据P计算候选η。

如果计算的η不是单纯形的元素（2X）则ψ不可逆。代表性。引理2。∈ {LA，MM，RCG，FC}单调注意指数表示法：oДLA（t，ηo）=ηot；oνRCG（t，ηo）=1- t+ηo；oДMM（t，ηo）=ДLA（t，ηo）和ДMM（t，ηo）=ДRCG（t，ηo）；oДFC（t，ηo）=ДRCG（t，ηo）。由于该证明对于LA、RCGandFC的情况很简单，因此省略了该证明。对于MM的情况，以下是Brady和Rehbeck（2016）和Aguiar（2017）的声明。然而，请注意，这一限制并不意味着考虑集规则限制了与空集不同的其他菜单的单调性属性。v·PC·ηC（1989））。请注意，因为cemmandfcs分别是laandrcg的特例，所以它们共享相同的链接函数。然而，根据经验，我们将能够区分它们，因为它们对η构成了额外的限制。2.4. L-HRC模型的表征作为表征L-HRC模型的一个初步步骤，我们构建了一个候选校准ηLPД，并证明了累积注意指数xv（·）=PC的唯一Mobius逆的存在·η（C）（Chateauneuf和Ja ff ray（1989））。我们递归地这样做。对于给定的νL，让-1、土地和-1，Lbe分别是与第一个和第二个参数有关的νl的倒数。设| A |表示有限集A的基数。定义6。（校准注意力指数）对于givenP，让ηL：2X→ Ris使得（i）ηL() =φ-1，L（1，p（o，X）），和（ii）表示所有A∈ 2X\\XηL（A）=XBD(-1） | D\\B |Д-1，L（p（o，D），ηL()).PP正确的对价规则。换句话说，特定链接功能的可测试含义会对任何集合产生负面关注∈十、

这个可测试的含义类似于Block和Marschak（1960）不等式。M模型规格。定义7。PmLmLADA公司∈A、 D∈2AmLAA公司→ RA公司∈ A和D∈ 2A，mLA（D）=ψLA，D（ηL）。感兴趣的模型。定义8。∈ {LA，MM，RCG，FC}PmLmLADA∈A、 D∈2AmLA：2A→ R是这样的，对于所有A∈ A和D∈ 2A，omLAA（D）=ηLA（D）PCAηLA（C），其中ηLA（D）=PBD(-1） | D\\B | p（o，X）p（o，B）；omMMADηMM（D）PCAηMM（C）ηMMDQa∈X\\D1.- γMM（a）Qb级∈DγMMbγMMX→ R使得γMM（a）=1-p（o，A）p（o，A \\{A}）对于某些A∈ A包含；omRCGA（D）=PC:C∩A=DηRCG（C），其中ηRCG（D）=PAD： D∈A(-1） | D\\A |（p（o，X\\A））；omFCA（D）=1（A=D）。当模型规格错误时，校准指数ηl将不是一个定义良好的分布。通常情况下，Ml可能不是一个分布（某些成分可能为负或大于1）MlMlammMLPDAmLADA公司∈ AmLmL≥mL1，我们需要以下定义。定义9。（定义良好的ML）mLA（D）是指在考虑集上定义良好的分布集合∈ （2A）对于所有A∈ A和所有D∈ 2A。如果所有D的mLAA（D）>0，则设置mLsets∈ 2A；oγMM（a）∈ （0，1）对于所有a∈ 十、 omRCGA（D）≥ 0表示所有A∈ 2A；omFCA（D）=1（A=D）。通过明确MLI的要求进行总结。我们现在准备陈述我们的主要结果。定理1。对于每个连接函数L，以下是等效的：（i）P是L-HRC规则；（ii）由（m，π）描述的mLPHRC规则，m=mL。定理1提供了模型的可测试含义。如果PIS是人权委员会规则，则必须明确MLI。定理1暗示，为了测试给定模型，不需要考虑考虑考虑集上所有可能的分布。有必要根据定义7检查根据观察到的P校准的唯一分布。πover consideration setsm）使数据与模型一致。现在我们只需要找到π。换句话说，我们实现了降维。

不幸的是，测试问题仍然无法处理，因为所有可能的分布都是基于偏好的（R（X））很大。为了解决这个问题，我们引入了另一个活动对象。定义10。对于给定的连接函数L和p，letPLπ=（pLπ（a，a））a∈A、 A∈十、 式中，plπ：X×A→ 因此，对于所有∈ A和A∈ A、 pLπ（A，A）=p（A，A）-个人计算机AmLA（C）pLπ（a，C）mLA（a）。我们称PLπ为校准的充分考虑规则。PHRCPLπ考虑随机效用规则。事实上，我们可以将LHRC模型等效为：p（a，a）=XDAmA（D）pπ（a，D），pπa，AP∈R（X）π1（a bb∈ A）FCfault）由随机考虑规则加权的选择，以产生观察到的行为。当P由该LHRC规则生成时，则pLπ=Pπ。mLPLπL-HRCtheorem提供了测试前我们所缺少的最后一个特征。定理2。PML定义，（ii）所有A的mLA（A）>0∈ A、 那么以下是等价的：（i）P是L-HRC规则；（ii）PLπ是FC HRC规则。毫升≥PLπPmLand是否校准PLπ是一个充分考虑的规则。我们没有观察到，但可以一致地用^PL HRC规则解释^P中的抽样可变性。Manzini和Mariotti（2014），Brady和Rehbeck（2016），Aguiar（2017）。此外，它为所有接受（完全单调）注意力指数表示的模型提供了唯一的结果。2.5. 识别规则，我们从PIF中唯一识别出考虑因素集规则，对于所有充分考虑的模型，它是aL HRC规则。定理3。对于ALA，PL-HRC（ii）mLA（A）>0∈ A、 因此，ifpi由（m，π）和（m，π）描述，然后m=和pπ=pπ。模式和偏好组件以独特的方式。附录C.3表明，行为识别仅来自一个渠道（例如有限的考虑），该模型只允许考虑/注意，无需额外假设（例如。

RAM）可能无法识别潜在的偏好可恢复性，与RAM形成鲜明对比的是，在RAM中，无法识别常规随机选择的偏好。我们可以在线性序集sr（X）上添加限制，以唯一地标识引用的分布。特别是，我们可以遵循Apesteguia et al.（2017）和replaceR（X）的定义1，即满足单交叉条件的线性顺序集。在我们的实验中，我们考虑彩票，因此对预期效用合理化施加限制是很自然的。如果我们限制偏好由风险参数完全异质性的常数绝对风险厌恶（CARA）或常数相对风险厌恶（CRRA）预期效用模型控制，那么我们将在第5.2.6节中研究一个重要的特例。不同注意指数模型与随机效用选择集的关系∪ {o} 。Rum将默认备选方案视为没有特殊状态的另一个项目。接收∪ {o} 扩展选择集上的线性序∪ {o} 。同样，让πo∈（R（X∪ {o} ）是R（X）上的概率度量∪ {o} ）。定义11。（随机效用模型，RUM）如果存在πo，则完全随机选择规则P与随机效用一致∈ （R（X∪ {o} ）这样p（a，a）=X∈R（X∪{o} ）πo()1（a bb∈ A），对于所有A∈ A和A∈ A、 RUMLAis不由nor nestsRUM嵌套。例如，正如Manzini和Mariotti（2014）以及Bradyand Rehbeck（2016）分别讨论的那样，La允许violatesRUMMMis与Rumandla一致的吸引力效应。此外，RCGis嵌套在非人类的nestsMM中，因此其lammlarcGordered，使得任何成对比较只切换一次（Apesteguia et al。

(2017)).偏好分布。RUMMRCGLA图2–考虑因素集规则之间的关系：RUM、LA、MM和RCGTTable 1–LA、RCG、MM和RUMG无法合理化的行为：RUM MM LA RCGAttraction effect 7 X 7 choice overload 7 7他们。2.7. 测试程序有必要且有效地测试是否定义良好（满足一组线性不等式），PLπ是否与充分考虑模型一致。请注意，充分考虑模型等同于没有外部选项的随机实用模型。Rum测试是一个众所周知的问题，相当于解决了一个带有锥约束的二次优化问题（参见McFadden和Richter^pin，而不是未知P）。为了介绍测试程序，我们需要确定几个对象。请注意，标定的PLπdpP | X | k=1k|X | kkPLπ对应于某对（a，a），使得∈ A.∪ {o} 。文献及其经验含义见附录C。nk公司=nk（n）-k） 哦！和n！=1·2·······n.设B为大小dp××X |的矩阵！使得它的（k，l）元素等于toBk，l=1（a∈ A）1（A信用证， c∈ A）、ka、Aa∈ A.llXGas大小为（dp+dm）×d的矩阵，其中d=| X |+dmanddm=PAX | A |是mL的尺寸，因此g=B 0dp×dmdm×| X |！Idm公司,其中0dp×dma表示sizedp×dm的零矩阵，而dma表示sizedm×dm的单位矩阵。下一个结果建立了L-HRC规则viamLandPLπ的等效特征。LetRd+表示D维欧氏间隔的分量方向的非负元素。定理4。以下是等效的。（i） PLπ是FC HRC规则，MLI定义良好；（二）infv∈研发部+德国劳埃德船级社- Gv公司 = 0，其中gL=（PL0π，mL0）。证据参见McFadden和Richter（1990）以及Kitamura和Stoye（2018）。定理4意味着我们可以检验∈研发部+德国劳埃德船级社- Gv公司= 0

幸运的是，这个测试问题可以直接转化为北村和斯托耶（2018）的测试问题。P^PA∈ Ana表示样本中面临选择集A的个体数量，letai，A，i=1，nAiA公司∪ {o} 观察每个选择集的横截面观察值。然后，我们将估计的随机选择规则定义为^P=（^P（a，a））a∈A、 A∈A.∪{o} 。^p（a，a）=n-1APnAi=11（ai=a）对于任何a∈ A.∪ {o} 。给定感兴趣的L模型和P的估计量，我们可以计算LPLπ^mL^PLπ统计量的估计量isTn=n min[v-τnι/天]∈Rd+（^gL- Gv）^Ohm-（德国劳埃德船级社- Gv），nPAnA^gL^PLπ，^mL0^Ohm-矩阵^Ohm使第i对角线元素^Ohmi、 iis^gL第i分量渐近方差的一致估计；τnis是一个调谐参数；ι是维度d的向量。在我们的实证应用中，我们对τn的不同值进行了测试（例如，τn=rlog（minAnA）、minAnAfollowingKitamura和Stoye（2018），以及τn=0）。结果在质量上是相同的。^gL，*ll，L^gln遵循Kitamura和Stoye（2018）提出的引导程序：（i）计算^ητn=Gvτn，其中vτnsolvesn min[v-τnι/天]∈Rd+（^gL- Gv）^Ohm-（德国劳埃德船级社- Gv）；（ii）计算^gL，*l=^gL，*l- ^gL+^ητn，对于每l=1，L和Ohm*;（iii）计算bootstrap测试统计量*n、 l=n最小值[v-τnι/天]∈Rd+（^gL，*l- Gv）^Ohm*-（德国），*l- Gv），l=1，L（iv）使用bootstrap统计量的经验分布来计算给定置信水平α的Tn临界值∈（0，/2），测试的决策规则是“拒绝无效假设HRCn>^c1-α^c1-α- α——自举统计。请注意，如果赫尔假设是错误的，且^gLis的渐近方差从上方有界且远离零，则检验统计量偏离到整体，概率接近1。离散化）协变量只需对人口的一个子组进行测试。3.