协同对的投资组合优化：SDEs与机器学习

在没有该偏微分方程的封闭形式解的情况下，我们使用上述DGM算法近似该解。图8显示了（52）中不同参数值的PDE近似解。回想一下，一旦我们得到了上述偏微分方程的数值解f，我们就可以得到如下最优权重：π*= -σzGvz+[u- κ（z-1） ]Gv￠σvGvv=-σz（fzvγ-1γ) - [u - κ（z- 1） [（fvγ-1γ）～σv（fvγ-2γ(γ -1))= -σzfz- [u - κ（z-1） ]f￠σf（γ-1)= -zfz（γ-1） f级-[u -κ（z-1)]~σ(γ -1） ，（60）带π*= -π*.3.4均值-方差和功率-效用的最优策略之间的动态切换虽然在前两种情况下，我们假设投资者具有某种由效用函数（MVC和功率-效用）建模的风险偏好，但考虑一种情况很有意思，即投资者总是可以被说服去购买更多的资金（一致性函数U（x）=x，在决定MVC还是power utility时，本质上是具有风险规避参数γ=1）的power utility函数。假设投资者的偏好被建模为方程（29）或不等式（46），为了进一步提高投资组合回报，我们在两个最优策略ψ之间进行动态切换*（t）=π*（t） ，如果Vπ*（t）≥ Vh公司*（t） ，h*（t） ，否则，（61），其中π*（t） 和h*（t） 方程（60）和（35）以及Vπ中给出*（t） 和Vh*（t） 给出了不等式（36）和（26）。动态转换背后的动机是，投资者希望从均值回归和协整模型的相关元素中获益（8）。更具体地说，由于两项资产之间的利差增加了投资工具对交易和盈利，否则将使用MVC方法。T=1000天isR（rp）=V（0）时，投资期限内的投资组合回报率[0，T]- V（T）V（0）。

（62）我们使用相同的模型进行了500次模拟，平均结果如表1所示。采用动态切换最优策略得到的终端时间T的平均收益高于采用MVC或功率效用最大化最优策略计算的平均收益。4投资组合优化问题的机器学习公式4.1投资组合优化问题我们假设在时间t=0时初始财富w>0。投资行为由投资策略w=（w，w）建模。这里，w（t），w（t）分别表示t时投资于资产X和Y的财富百分比。让V（t）表示t时的投资组合价值，VP nL（t）：=V（t）- V（0）表示[0，t]以上的利润损失（损益）。每次t，我们允许任意一对交易：w（t）=-w（t）或无杠杆的纯长期策略：w（t）+w（t）=1，w（t），w（t）>0。一般的优化问题是找到一个最优策略w（t），使最终损益最大化：w*（t） =argmaxw（t）∈AVP nL（w，T），（63），其中VP nL（w，T）是对应于时间终端时间T的策略w的收益和损失。我们使用聚类分析来设置频带，并在每个频带中解决以下优化问题*i（t）=argmaxwi（t）∈AVP nL（wi，t），（64），其中i=1。。。，n是频带数，VP nL（wi，t）是对应于时间t的策略wi的性能和损耗。然后，整体解w*通过每个频带w的最佳权重的线性插值获得*该方法的优点是，我们不会对资产价格强加特定的模型。计算最佳权重只需要数据观测，这意味着避免了复杂的SDE校准。4.2波段高斯混合模型回顾我们回顾波段高斯混合模型，因为它启发了我们选择波段的方法。

考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）和let（Pt）t≥0表示资产价格。Mahdavi Damghani和Roberts【13】最近为资产Pt的价格动态引入了一种广义的bumping SDE。SDE包含一些次要参数，其目的是经验手动拟合。广义SDE由dpt=θt，τ（ut，τ）给出- Pt）dt+σPαt（1-Pt）βdWt。（65）这里θ是平均值逆转的速度，u是长期平均值，α是正性因子，β是[-1，+1]边界流执行器和{SdWi}ti=t-τ是假设模型分布的历史偏差集（例如：正常差异背景下的所有历史绝对回报）。这种广义SDE给出了一种特殊情况下的协同模型：取θ=-对于X in（8）的动态，u、u=0、α=1和β=0；取θt，τ=κ，ut，τ=Xt，α=1，β=0表示（8）中Y的动力学。（65）中的SDE也可以建模：oθ=0、α=1、β=0时的比例回报（对数正态分布）。oθ=0、α=0、β=0时的绝对回报（正常差异），o我们强制回报为正的均值回复回报（例如，当α=1/2和β=0时，CIR[6]差异），o我们不强制回报为正的均值回复回报（例如，当α=0和β=0时，OU[18]差异）。通常，将（65）中SDE的参数校准到实际数据是复杂的。使用（65）模拟的数据，其经验分布被近似，以便通过带式高斯混合模型进行预测。这是针对使用机器学习聚类方法创建的一系列频带进行的（参见[13]）。设P={P，…，pn}是一组经验随机变量，使用具有累积分布函数F（P）和密度F（P）的方程（65）进行采样。表示O={p（1），…，p（n）}p的有序集，使得p（1）<p（2）<…<p（n）andOih={p（dn（（i-1） +1）/他）。

，p（bn（i）/hc）}。然后，使用方程（65）中的SDE模拟的数据的经验分布函数的带式高斯混合模型如下所示：^Fn（pi | Ft）=nhXj=1ζXi=ηpi∈Ojh（66），η=dn（（i- 1） +1）/he和ζ=bn（i）/hc。例如，在频带h=3的情况下，使用高斯混合，使得^Fn（pi | Ft）=N(-3、1）1pt∈O+N（0，1）1pt∈O+N（3，1）1pt∈O、 （67）我们获得了图9中的近似分层。分层是为了使每个Ojhregion中的心度保持大致相同，而不是p（1）和p（n）的几何分离函数的结果。【13】中的定理1确保了高斯混合模型（66）对广义SDE（65）的良好逼近。算法2给出了带向高斯混合的标定。对于我们的优化问题，我们采用类似的方法，通过聚类算法将观测范围划分为多个波段，然后通过权重扰动在每个波段进行优化。算法2逐带高斯混合（P，h）要求：数组P1：与非带数hEnsure：Ohm（1:h），[B+（1:h），B-（1:h）]返回。排序状态：1:X（1:h）← 快速排序（X1:n）2：[B+（1:h），B-（1:h）]← FindPercentileBands（X（1:n），h）3：Ohm（1：dn/he）← []分配状态：4：对于j=1到h do5：对于i=1到n do6：如果B-（1:h）≤ P（i）<B+（1:h），然后7：修改(Ohm（j） ，P（i））8：结束if9：结束for10：结束forChecking近似状态：11：^u1：h← 平均值(Ohm（1:h））12:^σ1:h← stdev公司(Ohm（1:h））13：打印(∪hi=1N（ui，σi））返回状态：14：Ohm（1:h），[B+（1:h），B-（1：h）]4.3最优机器学习策略基于带式高斯混合模型的思想，我们使用聚类分析来创建带，但不是针对观察到的资产价格数据，而是针对（8）中两个资产价格之间的价差，即Xt- 年初至今。

在每个波段内，我们测试一组使相应损益最大化的策略，而不是将分布指定为带内高斯混合。我们记录每个波段内的最佳策略，并且在实时交易中，每当资产价格的分布在某个波段内时，我们会对此特定波段采用最佳策略。我们现在展示了在机器学习方法中转化为投资策略的交易信号。贝叶斯设置：我们从方程（8）Bt=Xt设置- Ytand haveBt={B+n，t，B+n-1，t，B+1，t，B1，t，B-n-1，t，B-n、 t}，这样B+n，t>B+n-1，t>…>B+1，t>0>B-1，t>…>B-n-1，t>B-n、 t.我们知道，根据分布情况，样本的近似分布会有所不同【13】。然后，校准算法将包括创建尽可能多的区域，同时在这些范围内尝试尽可能多的策略，并测试每个策略在损益最大化方面在每个范围内的表现。我们采用直接方法（见备注3），包括3种策略及其累计损益。用I=1，2，…，固定带[ai，bi]。。。，n我们考虑以下策略：o策略S+，其中我们在时间t在频带[ai，bi]之间长X和Y，并且P&L V++[ai，bi]，t.o策略S+-其中，我们在时间t处于带[ai，bi]之间的长X和短Y，并具有P&L V+-【ai，bi】，t.o战略-+其中，在时间t，在频带【ai，bi】之间，我们是短X长Y，并带有损益V-+【ai，bi】，t。与这些策略对应的损益定义如下：V++【ai，bi】，t=TXt=0【w++【ai，bi】，tXt+（1- w++[ai，bi]，t）Yt]1ai<t型≤bi，V+-[ai，bi]，T=TXt=0[w+-[ai，bi]，tXt公司- (1 - w+-【ai，bi】，t）Yt]1ai<t型≤bi，V-+[ai，bi]，T=TXt=0[-w-+[ai，bi]，tXt+（1- w-+【ai，bi】，t）Yt]1ai<t型≤bi。备注3。我们称这种方法为直接方法，因为理想情况下，策略的数量应该符合更细粒度的权重分布。

然而，为了与财务数学方法进行比较，我们考虑了相同的策略集：仅多头策略、多头/空头策略。我们用V表示每种策略实现的最大损益,*【ai，bi】，T，如givenby方程（68）和定义**[人工智能，人工智能]，Tof损益确认**[ai，bi]，T（方程（69）），使用带内高斯学习的最优策略[ai，bi]。五、,*[ai，bi]，T=argmaxw[ai，bi]，t∈[0，T]V[ai，bi]，T，w[ai，bi]，t∈ [0，1]（68）V**[ai，bi]，T=最大值（V++，*[ai，bi]，T，V+-,*[ai，bi]，T，V-+,*[ai，bi]，T）。（69）在实时交易中，我们通过线性插值将每个波段的最佳权重重新组合为整体最优解：w*（t） =nXi=1w*i{（Xt-Yt）∈[人工智能，人工智能]}。（70）虽然我们没有证据证明（70）中的插值策略是最优的，但我们将其作为一个基准，仍然比金融数学方法（Financial Mathematicsapproach）的结果有所改进。我们的目标是将机器学习方法应用于表现出某种依赖性的一对资产，但这种方法可以用于任何模型，即。

它是模型不可知论的。算法3用于共Telation（P，h）的带式ML要求：数组P1：与非带数hEnsure：Ohm（1:h），[B+（1:h），B-（1:h）]返回排序状态：1:P（1:h）← 快速排序（P1:h）2：[B+（1:h），B-（1:h）]← FindPercentileBands（P（1:n），h）3:B（1:h）← [B+（1:h），B-（1:h）]4：Ohm（1：dn/he）← []分配状态：5：对于j=1到h do6：对于i=1到n do7：如果P（i）∈ Bithen8：修订(Ohm（j） ，P（i））9：结束if10：结束for11：结束for优化每个频带的3种类型的损益：12：对于i=1到h do13：V++，*Bi，T← argmaxw++Bi，t∈[0，T]V++Bi，T14:V+-,*Bi，T← argmaxw+-Bi，t∈[0，T]V+-Bi，T15:V-+,*Bi，T← argmaxw-+Bi，t∈[0，T]V-+Bi，T16：结束forRank并返回每个波段的最佳策略：17：对于i=1到h do18:V**Bi，T← 最大值（V++，*Bi、T、V+-,*Bi、T、V-+,*Bi，T）19:S*T← （S++，*Bi、T、S+-,*Bi、T、S-+,*Bi，T）20:S**Bi，T← 返回对应策略（V**Bi、T、S*T） ，21：预测结束：22：信号，信号L← 预测**Bi、T、St、Sl、T）返回买卖信号：23：信号，信号我们进一步提供算法3作为校准过程的伪代码。注意，在算法2和3中，我们都使用了快速排序，它可以被其他排序算法替代。请注意，在算法3的第20行中使用了自解释函数，如returnCorrespondingStrat（x，y），如其名称所示，该函数给出了策略集和P&Lreturns，输出使损益最大化的相应策略。算法3第22行中的函数预测（x、y、z）将经过训练的策略集和当前水平的XT和YT作为输入，并返回后两者的信号应该在哪里的预测。最后，第13-16行中argmax函数的使用可以替换为一个简单的for循环，但为了避免伪代码过于拥挤，我们采用了这种方式。备注4。

在[13]中，作者表明，一个合理的风险管理者或交易者可以假设β=0和α=1的广义SDE（65），以便对我们的风险因素的模拟情景实施积极性。如果在实际市场中不再令人满意，这一非常合理的假设将使整个风险引擎崩溃。然而，我们提倡的方法能够毫无问题地继续其动态学习场景，因为它是模型不可知的。5数值结果图10显示了一条模拟路径上的ML和DS方法。请注意，当在1000天的期限内实施ML方法时，我们将此数据加倍用于培训，即使用2000历史每日价格。我们已经进行了两组500次模拟，并在以下两个示例中收集了它们的结果。示例1。我们基于共尾模型（8）模拟了500条X和Y路径，参数u=0.05，σ=0.17，η=0.16，κ=0.1，ρ=-0.6. 图11说明了具有长/短策略（MLL）的机器学习方法在损益方面的平均表现略好于随机控制方法（SC）。然而，根据直方图，在任何时候，没有一种方法的表现比另一种好或差。示例2。我们基于共尾模型（8）模拟了500条X和Y路径，参数u=0.05，σ=0.17，η=0.16，κ=0.1，ρ=-0.6. 图12说明了在大约55%的时间里，MLA法在损益方面的表现似乎略好于FM法，而在其他45%的时间里表现优于FM法。

然而，根据历史图，我们注意到，有时ML方法的表现明显优于FM方法。根据图11和图12中的性能直方图，我们得出结论，对于参数u=0.05，σ=0.17，η=0.16，κ=0.1，ρ=-共同命名模型（8）的0.6，我们对这些方法的排名如下：SC<MLLS<F M<ML。全套策略（仅长策略和长/短策略）的ML在大多数情况下优于DS的原因可能是，在仅长策略的ML方法中，我们的权重更多样，而FM中的封闭式公式（35）给了我们几乎恒定的权重（具有较小的摩擦力）。未来工作的可能方向多维案例未来工作的一个方向是考虑n维关联模型的投资组合优化问题。例如，当n=3时，我们可以有以下形式：dSat=σSatdWatdSbt=θ（Sat- Sbt）dt+σSatdWbt（71）dSct=θ（Sat- dt+σSctdWctOne自然的问题首先是关于如何建模这个三元组？例如，Sband Screturning about Sabe的方程式（72）会与方程式（8）中的一对更加一致吗？或者Sbreverting about Saand Screturning about sb会更好吗？它们是等价的还是更有用的？当n增加时会发生什么？我们计划在将来研究这些问题。加密货币的应用未来工作的另一个方向是使用cointelationmodel建模加密货币价格，并使用本文提出的投资组合优化方法构建加密货币指数。加密货币是替代阿尔法的一个来源，因此最近出现了加密货币指数，其构建方法从风险平价到随机投资组合理论（SPT）。

考虑到加密货币市场的巨大波动性，尽管指数的作用在于降低整体波动性，但指数的头寸基本上仍然很长。然而，将贝塔中性方法（多头/空头策略）与偶尔的多头选择相结合，可能是该资产类别的成功组合。因此，关联模型是用于此应用程序的有趣模型。结论我们使用金融数学和机器学习两种方法研究了两种遵循共同命名模型的资产组合优化问题。我们对FM方法进行了估算，使用了经典的金融数学标准：均值方差和电力效用最大化。在没有PDE（52）的解析解的情况下，我们求助于DGM方法（一种深度学习算法）进行数值求解。我们实现的第二种方法是使用聚类的ML。后一种方法更容易实现，它与模型无关，因此避免了复杂的SDE校准。在我们的案例中，机器学习方法略优于金融数学方法。引理1的证明由于Xt是几何布朗运动，我们有e[r（Xt）]=（u-σ)t（72），其中Xt-这是时间t的已知常数-t、 资产对数收益预期Y isE[r（Yt）]=E[ln（Yt）]-ln（年初至今）-t） ，（73）其中Yt-这是时间t的已知常数- t、 我们使用泰勒展开来近似ln（Yt）的预期值和方差以及ln（Yt）和ln（Xt）的协方差（见[4]，p.165-167）：E[ln（Yt）]≈ ln（E【Yt】）-σ【Yt】2E【Yt】，（74）σ【ln（Yt）】≈σ【Yt】E【Yt】，（75）σ【ln（Yt）ln（Xt）】≈ 自然对数1+σ【XtYt】E【Xt】E【Yt】. （76）首先，我们需要导出E[Yt]。从方程（8）中，我们得到Yt=Yt-t+κZtt-t（Xs- Ys）ds+ηZtt-tYsdZs。（77）对双方都抱有期望，我们有-t+κZtt-tE[Xs- Ys]ds。