协同对的投资组合优化：SDEs与机器学习

（78）双方的差异我们得到了dt=κE[Xt]-κE【Yt】=κXt-teut型- κE【Yt】。（79）表示E[Yt]=y（t），我们得到一个普通微分方程（ODE）：y=-κy+κXt-teut、 （80）溶液由y（t）=E[Yt]=aeu给出t+（Yt-t型- a） e类-κt、 （81）式中=κXt-tu+κ。为了推导E【Yt】，我们首先计算E【XtYt】。将分部积分（IBP）应用于（8），我们得到d（XtYt）=XtdYt+YtdXt+dXtdYt=κXtdt-κXtYtdt+ηXtYtdWt+uXtYtdt+σXtYtdZt+σηρXtYtdt。（82）ThusXtYt=Xt-tYt公司-t+κZtt-TXSD+ηZtt-tXsYsdWs+（u-κ+σηρ）Ztt-tXsYsds+σZtt-tXsYsdZs。从两个方面进行期望和差异de【XtYt】dt=κE【Xt】+（u- κ+σηρ）E[XtYt]。（83）表示E[XtYt]=x（t），我们得到ODEx=κE[Xt]+（u+σηρ- κ） y.（84）由于Xtis GBM，其二阶矩由byE[Xt]=E[Xt]给出-te（2u-σ)t+2σWt]=Xt-te（2u+σ）t、 （85）因此（84）变成x=κXt-te（2u+σ）t+（u- κ+σηρ）y.（86）利用参数变化法，我们得到了解x（t）=E[XtYt]=be（2u+σ）t+（Xt-tYt公司-t型- b） e（u-κ+σηρ)t、 （87）其中b=κXt-tu+σ+κ- σηρ.现在我们已经准备好计算E【Yt】。根据It^o引理，YtisdYt=2YtdYt+（dYt）=（η）的动力学- 2κ）Ytdt+2κXtYtdt+2ηYtdZt。（88）两侧积分t=Y+2（η- κ） ZtYsds+2κZtXsYsds+2ηZtYsds。（89）对双方都抱有期望，并对其进行区分，dt=2（η- κ） E[Yt]+2κE[XtYt]。（90）定义E【Yt】=z（t），并将E【XtYt】的值替换为方程（87），我们得到anODEz=（η- κ） z+2κbe（2u+σ）t+2κ（Xt-tYt公司-t型- b） e（u-κ+σηρ)t、 再次使用参数变化，我们得到以下解z（t）=E[Yt]=ce（2u+σ）t+de（u-κ+σηρ)t+（Yt-t型- c- d） e2（η-κ)t、 （91）c=2κb2u+σ-2η+2κ，d=2κ（Xt-tYt公司-t型-b） u-2η+κ+σηρ.现在我们准备好近似E[ln（Yt）]。

从（74）开始，我们有【ln（Yt）】≈ ln[年[月]]-E【Yt】2E【Yt】+=lnaeut+（Yt-t型- a） e类-κt型+-ce（2u+σ）t+de（u-κ+σηρ)t2（aeut+（Yt-t型- a） e类-κt）-（年初至今）-t型- c- d） e2（η-κ)t2（aeut+（Yt-t型- a） e类-κt） （92）andE[r（Yt）]=E[ln（Yt）]-ln（年初至今）-t）≈ 自然对数aeut+（Yt-t型- a） e类-κt型+- （93）ce（2u+σ）t+de（u-κ+σηρ)t2（aeut+（Yt-t型- a） e类-κt）-（年初至今）-t型- c- d） e2（η-κ)t2（aeut+（Yt-t型- a） e类-κt）- ln（年初至今）-t） 从（75）我们得到V ar[r（Yt）]=V ar[ln（Yt）]≈E【Yt】E【Yt】- 1=ce（2u+σ）t+de（u+σηρ）-κ)t（aeut+（Yt-t型- a） e类-κt） +（Yt-t型- c- d） e2（η-κ)t（aeut+（Yt-t型- a） e类-κt）- 1（94）和V ar[r（Xt）]=V ar[ln（Xt）]=σt、 （95）从（76）我们得到协方差：Cov[r（Xt）r（Yt）]=Cov[ln（Xt）ln（Yt）]≈ 自然对数E【XtYt】E【Xt】E【Yt】≈ 自然对数be（2u+σ）t+（Xt-tYt公司-t型-b） e（u-κ+σηρ)税款2ut+（Yt-tXt文件-t型-aXt公司-t） e（u-κ)t型. （96）3维HJB（49）的B降维，便于记法，让￠σ=σ- 2σηρ+η并重写（49）：Gt+supπ{（πИσvGvv+～σzGzz+2πИσvzGvz）+（π[u-κ（z-1） ]）vGv+（u+η- σηρ - κ（z- 1） ）zGz}=0。（97）最大化的一阶条件是π*σvGvv+￠σzGvz+[u- κ（z-1） ]Gv=0。（98）现在假设Gvv<0，一阶条件是有效的，产生π*= -σzGvz+[u- κ（z-1） ]Gv￠σvGvv。（99）将（99）替换回（97）产量：Gt+{（∑zGvz+[u- κ（z-1） ]Gv）▄σvGvv▄σvGvv+▄σzGzz-2∑zGvz+[u- κ（z-1） ]Gv▄σvGvv▄σvzGvz}+u + η- σηρ - κ（z- 1)zGz公司-σzGvz+[u- κ（z-1） ]Gv∑vGvv[u-κ（z-1） ]vGv=0。将方程两边乘以|||ΜGvvwe get：||ΜGtGvv+（||ΜzGvz+[u- κ（z-1） ]Gv）- （∑zGvz+[u- κ（z-1） ]Gv）▄σzGvz+▄σZGZGVV- （∑zGvz+[u- κ（z-1） ]Gv）[u-κ（z-1） ]Gv+￠σ[u+η- σηρ - κ（z- 1） ]zGzGvz=0。膨胀得到▄σGtGvv+▄σzGvz+【u-κ（z-1） ]Gv+￠σz[u- κ（z- 1） ]GvGvz-σzGvz- σz[u- κ（z- 1） ]GvGvz+￠σZGZGVV- σz[u- κ（z- 1） ]GvGvz-[u -κ（z-1） ]Gv+￠σ[u+η- σηρ - κ（z- 1） ]zGzGvz=0。（100）进一步简化为∑GtGvv-[u -κ（z-1） ]Gv+￠σZGZGVV- σz[u- κ（z- 1） ]GvGvz-σzGvz+￠σ[u+η- σηρ - κ（z- 1） ]zGzGvz=0。

（101）在这个阶段，我们能够将四变量PDE转换为三变量，但我们可以得到更多的消除。为此，我们考虑以下分离ansatz：G（t，v，z）=f（t，z）vγ，（102），终端条件f（t，z）=1z、 （103）我们计算（102）的导数：Gt=ftvγ，Gv=fvγ-1γ，Gz=fzvγ，Gvv=fvγ-2γ(γ -1） ，Gvz=fzvγ-1γ，Gzz=vγfzz。将导数替换回（101）并除以v2（γ-1） γ得到∑（γ-1） 快速傅里叶变换-∑γzfz-γ[u - κ（z-1） ]f+￠σ（γ-1） zffzz-~σγ[u - κ（z-1） ]zffz+￠σ（γ-1)[u + η- σηρ - κ（z- 1） ]ffz=0。（104）我们现在有一个只有两个变量而不是四个变量的偏微分方程。参考文献【1】Al Aradi，A.、Correia，A.、Naiff，D.、Jardim，G.和Sapito，Y.通过深度学习求解非线性和高维偏微分方程。（2018）arXiv:1811.08782[2]Alexander，C.使用协整的最优套期保值。《theRoyal Society哲学学报a Mathematic Physical and Engineering Sciences 357》（1999），20392058。[3] Alexander，C.《市场模型：财务数据分析指南》。John Wiley Sons，Inc.，西苏塞克斯州奇切斯特（2001年）。[4] Benaroya，H.、Han，S.M.和Nagurka，M.《工程和科学中的概率模型》。CRC出版社（2005年）。[5] Bodie，Z.、Kane，A.和Marcus，A.投资。第四版，欧文/麦格劳-希尔，芝加哥，（1999年）。[6] Cox，J.C.、Ingersoll，J.E.和Ross，美国。利率期限结构理论。《计量经济学》53（1985），385-407。[7] 恩格尔，R.和格兰杰，C.《长期经济关系：协整解读》。牛津大学出版社，牛津，纽约，（1991年）。[8] Garcia，R.、Gonzalez，V.、Contreras，J.和Custodio，J.将现代投资组合理论应用于电力市场中的动态能源投资组合分配。电力系统研究150（2017），1122。[9] Harrison，J.和Kreps，D。

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