协同对的投资组合优化：SDEs与机器学习

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英文标题：
《Portfolio Optimization for Cointelated Pairs: SDEs vs. Machine Learning》
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作者：
Babak Mahdavi-Damghani, Konul Mustafayeva, Stephen Roberts, Cristin
  Buescu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  With the recent rise of Machine Learning as a candidate to partially replace classic Financial Mathematics methodologies, we investigate the performances of both in solving the problem of dynamic portfolio optimization in continuous-time, finite-horizon setting for a portfolio of two assets that are intertwined.   In Financial Mathematics approach we model the asset prices not via the common approaches used in pairs trading such as a high correlation or cointegration, but with the cointelation model that aims to reconcile both short-term risk and long-term equilibrium. We maximize the overall P&L with Financial Mathematics approach that dynamically switches between a mean-variance optimal strategy and a power utility maximizing strategy. We use a stochastic control formulation of the problem of power utility maximization and solve numerically the resulting HJB equation with the Deep Galerkin method.   We turn to Machine Learning for the same P&L maximization problem and use clustering analysis to devise bands, combined with in-band optimization. Although this approach is model agnostic, results obtained with data simulated from the same cointelation model as FM give an edge to ML.
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中文摘要：
随着机器学习作为部分取代经典金融数学方法的候选者的兴起，我们研究了这两种方法在解决连续时间、有限时间内的动态投资组合优化问题方面的性能，这两种方法都适用于两种资产相互交织的投资组合。在金融数学方法中，我们不是通过配对交易中使用的常见方法（如高度相关性或协整）来建模资产价格，而是通过旨在协调短期风险和长期均衡的协整模型。我们使用金融数学方法最大化总体损益，该方法在均值-方差最优策略和电力效用最大化策略之间动态切换。我们使用电力效用最大化问题的随机控制公式，并用深伽辽金方法数值求解得到的HJB方程。我们转向机器学习来解决相同的损益最大化问题，并使用聚类分析来设计带，并结合带内优化。虽然这种方法是模型不可知的，但使用与FM相同的共同命名模型模拟的数据获得的结果为ML提供了优势。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_for_Cointelated_Pairs:_SDEs_vs._Machine_Learning.pdf (1.62 MB)

2022-6-11 08:05:32 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 机器学习 SDE Optimization

共有对的投资组合优化：SDEs vs MachineLearningBabak Mahdavi Damghani、Konul Mustafayeva、Cristin Buescu和StephenRobertsOxford Man定量金融研究所，牛津，英国伦敦国王学院数学系，英国伦敦，我们研究了这两种方法在解决由两种相互交织的资产组成的投资组合在连续时间、有限期限内的动态投资组合优化问题方面的性能。在金融数学方法中，我们不是通过配对交易中使用的常用方法（如高相关性或协整）来建模资产价格，而是通过[12]中的协整模型来建模，该模型旨在协调短期风险和长期均衡。我们使用金融数学方法实现总体损益最大化，该方法在均值-方差优化策略和电力利用率最大化策略之间动态切换。我们使用了电力效用最大化问题的随机控制公式，并使用[16]中介绍的DeepGalerkin方法数值求解得到的HJB方程。我们转向机器学习来解决相同的损益最大化问题，并使用聚类分析来设计带，并结合带内优化。

虽然这种方法是模型不可知的，但从与FM相同的协同模型模拟的数据中获得的结果为ML提供了优势。关键词：配对交易、协同、投资组合优化、随机控制、分段高斯混合、深度学习。通信地址：Konul Mustafayeva，伦敦国王学院数学系，Strand，London，WC2R 2LS。电子邮件：konul。mustafayeva@kcl.ac.uk811简介在两种资产具有明显相关性的金融市场中，我们超越了成对交易中使用的高度相关性，并使用[12]中介绍的混合关联模型对资产价格进行建模。我们使用比配对交易中使用的多头/空头策略更通用的可接受策略集来解决投资组合优化问题。配对交易策略涉及在两种相关性较高的资产中匹配多头头寸和空头头寸。配对交易于20世纪80年代中期由摩根士丹利（MorganStanley）的一组定量研究人员首创（有关配对交易的介绍，请参见[19]）。配对交易中的证券必须具有高度的正相关性，这是策略优势背后的主要驱动因素。配对交易基于两种资产的高度历史相关性以及交易员的观点，即两种证券将保持特定的相关性。当交易者识别出相关性差异时，将采用配对交易策略。更具体地说，两种历史相关证券的tradermonitors表现。当两种证券之间的相关性暂时减弱，即利差扩大时，交易者采用做空高资产并购买低资产的交易策略。

当价差再次缩小到某个平衡值时，就会产生一个利润。然而，许多作者认为，相关性是衡量金融市场依赖性的一个不恰当的指标，因为回报往往表现出非线性的协相关（例如[3]、[20]）。Mahdavi Damghani等人【14】表明，均值回复过程收益的测量相关性具有误导性：强正相关性并不一定意味着两个随机过程朝着同一方向移动，反之亦然。另一方面，协整检验资产之间的长期均衡关系，并在成对交易中得到广泛应用（见[19]）。协整检验并不衡量两个变量在一起移动的程度，而是衡量它们的均值之间的差异是否保持不变。有时，具有高相关性的序列也会被协整，反之亦然，但情况并非总是如此。[12]中引入的协整模型是一种混合模型，通过捕获短期风险和长期均衡来协调相关性和协整。长期风险的理由是，在罕见的市场崩溃期间，所有资产价格都会下跌。然而，在更乐观的时期，短期风险增加，长期风险变得不那么明显，宏观驱动因素不那么明显。这些影响伴随着从一种资产到另一种资产的平均逆转力。在这种情况下，我们考虑一对资产的连续时间、有限期投资组合优化问题，这些资产的价格遵循[12]中的协整模型。

一般来说，优化问题是找到最优控制*= argmax▄w∈AU（Xwt，Ywt）（1）其中U（X）是一个效用函数，~w=（~w，~w）是每个资产中投资的财富比例的向量，a是一组可接受的策略：要么w=-~w（长/短）或▄w，▄w>0，其中▄w+▄w=1（仅长）。我们用金融数学和机器学习方法解决了（1）中的投资组合优化问题，并比较了它们的性能。在金融数学Proach中，我们使用资产价格的SDE演化，而机器学习方法不假设基础模型，通常适用于任何一对资产。在第2节中，我们回顾了共同命名模型。在第3节中，我们使用了经典的金融数学标准：均值-方差优化和电力效用最大化。第4节我们使用机器学习中的聚类分析来解决损益最大化问题。我们在第5节中介绍了每种方法的结果，并对其进行了比较讨论。2资产对的共同命名模型回顾首先介绍了金融行业计算相关性的常用方法（参见第274页[20]、[3]）。假设我们有两个资产的价格由随机过程（Xt）t建模≥0和（Yt）t≥概率空间上的0(Ohm, F、 P）。我们有N个间隔的X和Y观测值t、 即i=1，…，X（ti）和Y（ti）。。。，N和t=ti- ti公司-1、这里t型∈ {1、5、22、252}对应于每日、每周、每月和每年的数据。这个t—返回资产X和Y的第i个数据点isRX（ti，t） =X（ti+t）- X（ti）X（ti）（2）RY（ti，t） =Y（ti+t）- Y（ti）Y（ti）。

（3） 资产价格时间序列X和Y的样本波动率为σX(t） =VuTt（N- 1） NXi=1（RX（ti，t）-(R)RX）（4）σY(t） =VuTt（N- 1） NXi=1（RY（ti，t）-其中，RX和RY分别是X和Y系列中所有收益的样本平均值。资产收益率X和Y之间的样本协方差由σXY给出(t）=t（N）- 1） NXi=1（RX（ti，t）-？RX）（RY（ti，t）-(R)RY）。（6） 在本文中，我们考虑测量的相关性，即由ρXY给出的样本互相关(t） =σXY(t） σX(t） σY(t） 。（7） 为了使相关性成为衡量相关性的适当选择，需要满足序列之间线性相关性的假设（见第1.4章[3]）。通常在收益率之间存在非线性依赖关系的金融市场中，相关性是对相互依赖性的一种不恰当的衡量，并且具有误导性，尤其是当用于捕捉资产之间的长期关系时（见【14】和【12】）。相关性的另一种统计度量是协整。如果两个时间序列Xt和YT的阶数为d，并且存在β，使得Xt+βYT的线性组合的阶数小于d，则Xt和YT是协整的（参见[7]）。由于协整资产价格的分布是均值回复的，它们有一个共同的随机趋势，即资产价格在长期内是联系在一起的，尽管它们在短期内可能会漂移（见[2]）。因为协整需要复杂的统计分析，所以它在金融行业的应用不如相关性广泛。虽然相关性和协整是相关的，但它们是不同的概念。高相关性并不一定意味着高协整，高协整也不意味着高相关性（例如，参见[14]中的图4]）。

两种资产可能在短时间内完全相关，但从长期来看却存在分歧，一种资产在增长，另一种资产在衰退。相反，两项资产可能会相互跟随，具有一定的利差，但具有任何正、负或变化的相关性。Mahdavi Damghani[12]提出了一种混合模型，旨在调解相关性和协整之间的关系。它捕获了资产之间的短期和长期关系。定义1。考虑过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）（t≥0），P），使用历史概率度量，P。价格为Xt和YT的资产对的协整模型在[12]中定义为DXT=uXtdt+σXtdWt，dYt=κ（Xt- Yt）dt+ηYtd▄Wt，dhW，▄W it=ρdt，（8），其中u∈ R、 σ>0，X（t）=X是资产价格X的漂移、扩散系数和初始值；0 < κ ≤ 1，η>0，Y（t）=Y>0是资产价格Y的均值回复率、波动率和初始值；（W（t））t≥0和（W（t））t≥0是具有常数相关系数的两个相关布朗运动-1.≤ ρ ≤ 1产生过滤（Ft）（t≥0).过程（X）t≥0和（Y）t≥0分别称为超前过程和滞后过程。这是由于滞后过程在领先过程周围逆转。我们在这里提出了[12]中引入的推断相关函数和交叉数公式的概念，以测试两对是否重合。Letρ*XY型(t） 为共同时间序列的两个时间序列之间的推断相关函数d阶Xtis积分if（1- 五十） DXT是一个平稳的过程。这里L是一个滞后运算符。资产价格定义如下ρ*XY型(t） =sup0<~t型≤tρXY（℃t） 。（9） 有时可能没有足够的数据进行计算t-关联资产的推断（测量）相关性。

在【12】中，通过检查各种数据集，提出了以下推断相关性（9）的近似公式：ρ*XY型(t）≈ ρ + (1 - ρ) [1 - 经验值(-λκ(t型- 1） ）]，（10）其中κ∈ [0, 1], λ > 0, ρ ∈ [-1, 1]. 参数λ≈ 1.75表示“定期财务数据”，尽管它本身是一种功能。因此，如果没有足够的经验数据来计算，例如，每年（252天）推断的相关性，则等式（10）中的公式允许仅使用（8）和设置中的共同命名模型的κ和ρ参数来近似它t=252，λ≈ 1.75.推导相关近似公式（10）的动机是，在方程（8）中过程的离散版本中，测量的相关性随着时间的增加而增加，t、 增加（例如，使用每日、每周、每月回报计算的相关性）。此外，随着均值回复参数κ的速度增加，共尾配对的测量相关性将更快地收敛到1。如果我们设置ρ=-1在（8）中，关联资产价格的推断相关性可能涵盖整个相关谱[-1，1]（见图1）。测试两个时间序列是否重合的另一种方法是研究归一化序列交叉路径的次数。如果将方程（8）离散化，则可以近似于两个随机过程x=Xi的次数期望值∈安迪=易∈[1,2，…N]，交叉路径如下[Γx，y（κ，N）]≈ Nγ(1 - κ) +√κ（11） N是数据的长度，γ是一个正常数，κ是方程（8）中平均值反转的速度。与纯相关SDE的次数相比（例如：无平均逆转成分，即。

当κ=0时，共有SDEscross路径的离散版本的次数大于随机路径的次数，且κ越大，离散SDE路径在单位时间内相互交叉的频率越高。如果方程式（10）中推断的相关公式得到验证，则将两个随机过程合并（见【12】）验证方程式（11）中的交叉数公式；o标的资产具有合理的物理联系，这意味着它们的扩张应该意味着恢复（例如石油和英国石油的股价）。可以使用推断的相关公式（10）和交叉数公式（11）（参见[12]）来估计共尾模型（8）中的参数。与【14】、【12】中所述的variancereduction方法类似，我们可以定义+=最大值（Xt- Yt，t∈ [0，T]）, （12） B类-=inf（Xt- Yt，t∈ [0，T]）.我们注意到，当ρ=B+>| Xt时，κ的估计具有更高的方差- Yt |>B-, （13） 其中ρ，另一方面是质量样品。当κ=| Xt时，则相反- Yt |>B+[| Xt- Yt |<B-. （14） 因此，我们可以在Zκ中取样κ，在Zρ中取样ρ。图2说明了这一点。3投资组合优化问题的金融数学方法我们考虑两种资产的投资组合，并用（8）中的协整关系对其价格进行建模。我们用经典的金融数学理论：均值方差和幂效用最大化来研究这个投资组合的优化问题。由于共有资产同时具有相关性和均值回归成分，因此我们制定了仅长期策略的均值-方差优化问题，并计算了最佳策略以实现相关性。为了证明共同资产的均值回归特性，我们使用长/短策略的电力效用最大化问题的随机控制公式，并计算最优权重。

然后，我们通过在这两种最优策略之间动态切换来最大化投资组合损益。3.1均值-方差优化我们首先回顾均值-方差优化的基本概念和概念。回报：投资组合考虑n个潜在资产的组合，初始资本值（0）和权重w，w。。。，wn，因此Pniwi=1，wiV（0）是i=1，2，…，的不安全投资金额i。。。，时间t=0时为n。在t=0时投资证券的股份数量isni=wiV（0）Si（0）。（15） 时间t的投资组合价值isV（t）=NXi=1niSi（t）。（16） 给定i=1的股份数。。。，n、 时间t时投资于集合i的投资组合百分比iswi（t）=niSi（t）PNi=1niSi（t），（17）其中PNi=1wi（t）=1。时间t时资产i的回报率（即超过[t- t、 t）由i（t）=Si（t）给出-Si（t-t） Si（t-t） =Si（t）Si（t-t）- 1.（18）投资组合的回报率Rp（t）为Rp（t）=V（t）- V（t- t） V（t- t） 。（19） 我们可以证明，投资组合的收益率是单个资产收益率的线性组合，如下所示：rp（t）=V（t）V（t- t）- 1=NXi=1niSi（t）PNj=1niSi（t-t）- 1=NXi=1niSi（t-t） Si（t）PNj=1niSi（t-t） Si（t-t）- 1=NXi=1wi（t）（Ri（t）+1）- 1=NXi=1wi（t）Ri（t）。（20） 有时，使用日志返回更方便，它是根据资产i byri（t）=ln定义的Si（t）Si（t-t）. （21）应该指出，在短时间内，对数回归与回归率ri（t）=ln近似相等Si（t）Si（t-t）= ln（Ri（t）+1）≈ Ri（t）。（22）因此，只要时间增量，t、 是短的。接下来，我们将使用每日对数回报。因此，在这种情况下，时间t的投资组合回报率rp变为Srp=NXi=1wiri。