鲁棒超级复制问题：一种动态方法

映射x 7→ U（t，x）是严格凹的，不衰减且连续的。此外，对于t=0。T- 1和Pu-q.eω∈ Ohmt集合Put（ω）是弱紧的，集合P和Puful满足以下连续性条件：1。如果ω，￠ω∈ Ohmtand>0，则存在δ>0，因此对于ω- ~ω| ≤ δ和前向P∈ Put（ω）存在▄P∈ 将（￠ω）放置为dL（P，￠P）≤ 式中，dL（P，P）=inf{≥ 0 | P（A）≤P（A）+所有A∈ B类(Ohm)}表示P上的Levy度量(Ohm) 和A={ω∈ Ohm | ~ω ∈ A使得|ω-~ω| < }.2、映射ft（ω）：=supp（Pt（ω））在定义3.4的意义上是一致连续的，其中supp（Pt（ω））=\\{A Ohm 关闭P（A）=1表示所有P∈ Pt（ω）}是Pt（ω）对ω的拟支持∈ Ohmt、 定理4.5在定理4.3的设置中，进一步假设假设4.4成立，函数πt（ξ）：Ohmt型→ {（ω，v）上的稀有连续∈ Ohmt | v∈ 英尺-所有1的1（ω）}≤ t型≤ T、 然后存在概率测度^P∈ Pusuch thatsup（H，C）∈AπinfP∈PuIEP“TXs=1U，Cs）#=sup（H，C）∈AπIE^P“TXs=1U（s，Cs）#。此外，最大化策略（^H，^C）∈ π在以下意义上是唯一的：对于任何两个最大化策略（H，C），（H，C）∈ Aπ和for1≤ t型≤ Twe haveCt=CtandHtSt=HtSt^P-a.s.定理4.3和定理4.5的证明在C节中给出。我们首先在一个周期的情况下（T=1）建立定理4.3，然后将其扩展到一般的多步设置，并考虑其唯一性。4.2示例和注释为了说明上述结果，我们讨论了几个示例。我们从最小超边缘策略的非唯一性的简单示例开始。示例4.6（最小超边缘策略和ma ximizers的非唯一性）我们采用Ohm = R+，其中d=1，T=2以及s=2。此外，对于t=1、2和pt（ω）={P，St（ω）=ωtf∈ P（R+）}，t=0，1。我们想要在时间2处超边缘最小值，即ξ（ω）=S（ω）。

ClearlyQt（ω）={Q∈ P（R+）| IEQ[对于所有ω，St+1（ω，·）]=0}∈ Ohmtand t=0，1。此外，我很容易看到这一点∈QIEQ[ξ]=s=2，因此我们有一定的自由度来选择我们的超边缘策略H∈ H（FU）。事实证明，我们可以选择任何H∈ [0，1]，给出了2+H（S）的财富- 2） 在时间1。对于时间2，我们有h（ω）∈（[0，H]如果S（ω）≥ 2，h0，S（ω）+HS（ω）（S（ω）- 2） iif S（ω）<2。还请注意，TIME 1的超边缘成本由π（ξ）（ω）=s upQ给出∈Q（ω）IEQ[ξ（ω，·）]=2如果S（ω）≥ 如果S（ω）<2，则S（ω）。所以根据（1）和（8），我们可以消耗C（ω）∈[0，H（S（ω））- 2） ]如果S（ω）≥ 2，[0，（H（ω））- 1） （S（ω）- 2） ]如果S（ω）<2at time 1。我们现在表明，如果假设4.4不满足（即Pudoes not-ful假设4.4.1.），那么定理4.5在一般情况下是不正确的。为此，我们指定集合并迭代求解优化问题（15）：我们为一些有界凹、非递减和连续函数U:R设置U（2，ω，x）=U（1，ω，x）=U（x+→ 对于S>2，R+和Pu（S）={δS}，对于S，Pu（S）={δS+1}≤ 2、请注意，Pu显然违反了假设4.4.1。我们获得了以下最佳一步价格，其中我们使用第C.2节中的符号：对于S>2和x≥ 2我们发现（S，x）=sup（H，c）∈A1，x（S）IEδS[U（x+H（S- S）- S- c） ]+U（c）= sup（H、c）∈A1，x（S）（U（x- 2.- c） +U（c））=2Ux个- 2.c=（x- 2） /2和一些0≤ H≤ 最小值（x/2+1S，x/2-1秒-2). 对于S≤ 2和x≥ SwehaveU（S，x）=sup（H，c）∈A1，x（S）IEδS+1[U（x+H（S- S）- S- c） ]+U（c）= sup（H、c）∈A1，x（S）（U（x+H- S- c） +U（c））≥ U（0）+U（1），H=x/砂c=0。

设置Pu={δx | x∈ R+}我们得到u（2）=supH∈A0,2infP∈PuIEP[单位（S），2+小时（S- 2） ）]=supH∈A0,2infP∈PuIEP公司{S>2}2U2小时以上- 2) - 2.+ 1{S≤2} U（2+H（S- 2))= 2U（0）。注意，根据定理4.5的证明，在假设4.4下，将存在^P∈ Pusuch thatU（2）=supH∈A0,2IE^P[U（S，x+HS） 】。相反，在我们的情况下，不存在^P∈ Pusuch thatU（2）=2U（0）=IE^P{S>2}2US- 2.+ 1{S<2}U（S，2）因为所有^P的RHS严格大于2U（0）∈ Pu：因此定理4.5不起作用。下一个例子表明，如果不假设Pu的某些闭性，我们就不能期望有极大值的唯一性。示例4.7（非闭合Pu的最大化器的非唯一性）设T=1，d=2，Ohm = R、 P=P（R+），St（ω）=ω，S=（1，1）。考虑ξ=min（S，S）。那么π（ξ）=1和形式h的His=λ1 - λ,式中λ∈ [0, 1]. TakePu={Pn}∞n=1，其中Pn=δ{S=n-n、 S=n+n}+δ{S=0，S=0}。那么很明显Pu没有关闭。我们注意到，对于H∈ AIEPn[U（1+HS- ξ） ]=Uλn-n+ (1 - λ)n+n-n-n+U（0）=U(1 - λ） n个+U（0）↓ U（0），n→ ∞.因此，我们得出结论∈AinfP公司∈PuIEP[U（1+HS- ξ） ]=U（0），尤其是RH 7→ infP公司∈PuIEP[U（1+HS- ξ） ]=U（0）是常数，因此最大值不是唯一的。最后，我们说明，即使使用紧凑的PUS，我们也无法增强定理4.5中优化器的唯一性。例4.8（关于最大化器的唯一性）我们考虑例4.6的一步版本：T=1，d=1，Ohm = R+，St（ω）=ωt，s=2，ξ（s）=s，P=P（R+）。我们得到π（ξ）=2。我们还设置Pu={δ}，其中δ由δ定义（对于所有t=0，1）=1，St=2）。此外，设U（·）=U（1，·，·），以满足定理4.5的条件。在（15）等于U（0）的意义上，最优化者是非唯一的，并且每H∈ [0，1]但在定理4.5的意义上是唯一的，因为HS=0δ-a.S。

对于所有H∈ R、 附录我们现在提供命题3.5、定理3.1、定理4.3和定理4.5的证明。这些证明需要在主要证明之外建立一些技术引理。附录A命题3.5证明。固定ω∈ OhmT-1和>0。回想一下，tξ是连续的且{ft}0≤t型≤T-1重新约定价值。请注意，setB：={（￠ω，￠v）∈ OhmT-1×Rd |距离（（ω，fT-1（ω）），（|ω，|v））≤ 1} 是紧的，因此ξ在B上是一致连续的，即存在δ∈ （0，1）使得|ξ（ω，v）- ξ（|ω，|v）|≤ /3表示|（ω，v）- （￠ω，￠v）|≤ v的δ∈ 英尺-1（ω），（|ω，|v）∈ B、 这就意味着sup{ω| |ω-~ω|≤1} πT-1(ξ)(~ω) < ∞ 和th，对于所有|ω∈ OhmT-1带|ω- ~ω| ≤ 1存在（￠ω）∈ Rd使得/3+πT-1（ξ）（|ω）+HT（|ω）ST（￠ω，·）≥ ξ（￠ω，·）在fT上-1（￠ω）（16）或等价的不等式（16）h olds PT-1（￠ω）-q.s.注意，通过对应关系的一致连续性，fT-1对于任何接近ω的￠ω和任何v∈ 英尺-1（ω）存在▄v∈ 英尺-1（￠ω）接近v，因此|（ω，v）-（￠ω，￠v）|很小。此外，我们在下文中还表明，对于所有接近ω的ω，可以选择HT（|ω）作为有界的uniformlyin|ω。因此，对于以下确定的一些δ，|ω- ~ω| ≤ δ表示+πT-1（ξ）（|ω）+HT（|ω）ST（ω，v）≥ +πT-1（ξ）（|ω）+HT（|ω）ST（|ω，|v）- /3 (17)≥ /3+ξ（|ω，|v）≥ ξ（ω，v），因此πT-1(ξ)(ω) ≤ πT-1(ξ)(~ω) + . 交换ω和ω的角色，得出ω7连续性的结论→ πT-1(ω).我们现在认为，存在δ>0和C>0，使得所有￠ω的￠HT（￠ω）|<C∈OhmT-1带|ω- ~ω| ≤ δ和HT（￠ω）∈ lin（英尺-1(~ω)- 装货单-1(~ω)). 假设存在一个矛盾，情况并非如此，即存在一个序列（|ωN）N∈N带|ω- ωN |≤ 1/N，HT（￠ωN）∈ lin（英尺-1（￠ωN）- 装货单-所有N均为1（￠ωN））∈ N和limN→∞|HT（￠ωN）|=∞. 传递到子序列后（无重新标记）~HN：=HT（~ωN）/| HT（~ωN）|→H，其中|  H |=1。

请注意，作为fT-1（￠ωN）在Hausdorff距离内收敛到fT-1（ω）和asfT-1（ω）是紧的，它后面的参数与上面的supfT相同-1（|ωN）ξ（|ωN，·）和πT-1（ξ）（|ωN）在N中均匀分布∈ N、 因此，将（16）除以| HT（|ωN）|，取极限，我们得到| HST（ω，·）≥ 0英尺-1(ω).由NA（PT）提供-1（ω））这就产生了HST（ω，·）=0英尺-1(ω). As▄H∈ 跨度（fT-1(ω) -装货单-1（ω）），H=0，这是一个矛盾。现在我们选择δ≤ δ使得|ω- ~ω| ≤ δwe havedH（（ω，fT-1（ω）），（￠ω，fT-1(~ω)) ≤ min（δ，/（3C）），并确保（17）保持不变。ω7连续性的证明→ 1的πt（ξ）（ω）≤ t型≤ T- 2利用动态规划原理和上述相同原理，通过反向归纳法进行后续操作。最后，对于任何P∈ P（Rd），使得su pp（P）=ft-1（ω）πt-1（ξ）（ω）+Ht（ω）St（ω，·）≥ πt（ξ）（ω，·）P-a.s.表示πt-1（ξ）（ω）+Ht（ω）St（ω，·）≥ ft上的πt（ξ）（ω，·）-1（ω），权利要求如下。备注A.1请注意，上述HT（|ω）有界性证明不需要thatfT-1（￠ω）是紧值。附录B定理3.1Lemma B.1Let NA（P）保持的证明。假设ξ是上半解析的。此外，letsupQ∈QIEQ[ξ-] < ∞.ThenEt（ξ）是上半解析安第斯山脉（ξ-)是all0的下半解析≤ t型≤ T- 1、进一步了解∈QIEQ[Et（ξ-)] < ∞和分析集Ohmtξ：={Et（ξ-) < ∞}是全尺寸的。Let^Ohmtξ：={ω∈ Ohmt | Et+1（ξ）（ω，·）>-∞, Pt（ω）-q.s.}。（18） 那么Ohmtξ^Ohmtξ，尤其是^Ohmtξ是aP全度量集。证据递归使用【Bouchard和Nutz，2015，引理4.10】，Et（ξ）是上半解析的，Et（ξ-) 是所有0的下半解析≤ t型≤ T像Ohmtξ={Et（ξ-) < ∞} =序号≥1{Et（ξ-) ≤ n} ，则，Ohmtξ是一个解析集。我们现在证实Ohmtξ是一个P-满测度集，它是一个t-supQ∈QIEQ[Et（ξ-)] < ∞. Fort=T，supQ∈QIEQ[ξ-] < ∞ 根据假设。

如果存在一些P∈ P这样P(OhmTξ）<1然后supQ∈QIEQ[ET（ξ-)] = ∞, 因为P和Q具有相同的极集（参见【Bouchard和Nutz，2015，第一基本定理，第828页】）。假设某个t≤ T- 1该Ohmt+1ξ是一个P-完全测度集∈QIEQ[Et+1（ξ-)] < ∞. 修正>0。根据【Bertsekas和Shreve，2004，命题7.50 p184】（回想一下QT有一个解析图），存在一个未来可测函数Q：Ohmt型→ P(Ohm), 使得Q（ω）∈ Qt（ω）表示所有ω∈ OhmtandIEQ[Et+1（ξ-(ω, ·)] ≥（Et（ξ-)(ω) - εifω∈ Ohmtξ，ε，否则。（19） 假设Ohmtξ不是P-完全测度集。然后存在一些P∈ P这样P(Ohmtξ）<1。因为P和Q有相同的极集，所以我们有Q(Ohm对于someQ，tξ）<1∈ Q、 我们用Q | fut表示Q对FUtand集Q的限制*:= Q |未来 Qε。然后*∈ Q | FUt+1（见（6）），我们有∈QIEQ[Et+1（ξ）-)] ≥ IEQ*[Et+1（ξ-)] ≥(1 - Q*(Ohmtξ））- Q*(Ohmtξ）。由于前面的i nequality适用于所有>0，让转到0，我们将获得thatsupQ∈QIEQ[Et+1（ξ-)] = ∞,矛盾。因此Ohmtξ是P-完全测度集。现在，对于所有Q∈ Q、 我们设置Q*= Q |未来 Q∈ Q | FUt+1（见（6））。然后，使用（19），我们可以看到ieq[Et（ξ-)] - ε=IEQ[1OhmtξEt（ξ-)] -  ≤ IEQ*[Et+1（ξ-)] ≤ supQ公司∈QIEQ[Et+1（ξ-)].同样，对于所有>0和所有Q都是如此∈ Q我们获得supQ∈QIEQ[Et（ξ-)] ≤supQ公司∈QIEQ[Et+1（ξ-)] < ∞.让0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmtξ。那么对于所有Q∈ Qt（ω），IEQ[Et+1（ξ-)(ω, ·)] < ∞, 其中Et+1（ξ-)(ω, ·) < ∞ Q-a.s.和d因此Et+1（ξ-)(ω, ·) < ∞ Pt（ω）-q.s.假设我们已经证明了Et+1（ξ）≥ -Et+1（ξ-). 然后-Et+1（ξ）（ω，·）<∞Pt（ω）-q.s.和ω∈^Ohmtξ。因此Ohmtξ^Ohmtξ和^Ohmtξ是P-完全测度集。让0≤ t型≤ T- 我们现在证明了Et+1（ξ）≥ -Et+1（ξ-) 通过反向归纳法。对于t=t，这种说法显然是正确的- 1.

假设对某些人来说是真的≤ t+1≤ T那么对于ω∈ Ohmtwefindet（ξ）（ω）=supQ∈Qt（ω）IEQ[Et+1（ξ）（ω，·）]≥ supQ公司∈Qt（ω）IEQ[-Et+1（ξ-)(ω, ·)]≥ infQ公司∈Qt（ω）IEQ[-Et+1（ξ-)(ω, ·)] = -Et（ξ-)(ω).证据到此结束。备注B.2收回集合OhmtNA={ω∈ Ohmt | NA（Pt（ω））保持}，它是普遍可测的，并且是P-完全测度（见[Bouchard and Nutz，2015，Lemma 4.6，P.842]）。Letω∈ OhmtNA。根据【Bouchard和Nutz，2015，引理4.1】，我们知道thatEt（ξ）（ω）=-∞ 意味着{Et+1（ξ）（ω，·）=-∞} 不是Pt（ω）-极性，即ω/∈^Ohmtξ。因此Ohmtξ∩ OhmtNA公司^Ohmtξ∩ OhmtNA公司 {ω ∈ OhmtNA | Et（ξ）（ω）>-∞}.引理B.3Ifξ：OhmT→ Ris上半解析，则πt（ξ）是ALL0的上半解析≤ t型≤ T- 1.证明。我们采用归纳法。当πT（ξ）=ξ时，对于T=T，这一说法是正确的。假设πt+1（ξ）对于某些t是上半解析的∈ {0，…，T- 1}. 我们证明了这个结论对t是正确的∈ R{ω∈ Ohmt |πt（ξ）<a}={ω∈ Ohmt |H∈ Rd，>0 s.t。P∈ Pt（ω）P（a- +小时St+1（ω，·）≥ πt+1（ξ）（ω，·））=1}={ω∈ Ohmt | sup∈Q+supH∈QdinfP∈Pt（ω）P（a- +小时St+1（ω，·）≥ πt+1（ξ）（ω，·））≥ 1} 作为函数（ω，P，H，）7→ IEP公司{a-+小时St+1（ω，·）≥πt+1（ξ）（ω，·）}是下半解析的，ω7也是如此→ sup∈Q+supH∈QdinfP∈Pt（ω）IEP{a-+小时St+1（ω，·）≥πt+1（ξ）（ω，·）}（见【Bertsekas和Shreve，2004，引理7.30，p.177，第7.47，p.180页】），因此上述集合是共同分析的。为了完成证明，我们讨论了为什么{ω∈ Ohmt |H∈ Rd，>0，使得- +小时St+1（ω，·）≥ πt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s.} {ω ∈ Ohmt |H∈ Qd，∈ Q+这样- +小时St+1（ω，·）≥ πt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s.}：固定ω∈ Ohmt、 小时∈ Rd，>0，使得- +HSt+1（ω，·）≥ πt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s.取∈ Q+使得0<</2和H∈ [0, ∞)dsuch thatH+···+Hd≤/2max1≤我≤dSit（ω）。因此，对于Pt（ω）-q.e。

ω′∈ Ohm一- +（H+~H）St+1（ω，ω′）≥ 一- /2+~HSt+1（ω，ω′）+HSt+1（ω，ω′）≥ πt+1（ξ）（ω，ω′）+/2- HSt（ω）≥ πt+1（ξ）（ω，ω′）。特别地，上述不等式对于某些H有效，因此▄H+H∈ Qd。定理3.1的证明。允许OhmNA，ξ：={ω∈ OhmT |ω∈ OhmtNA公司∩ Ohm所有0的tξ≤ t型≤ T- 1} ，其中定义Ohmtξ在引理B.1中给出，定义为Ohmt主要备注B.2。然后由lemma B.1和【Bouchard和Nutz，2015，L emma 4.6，第842页】OhmNA，ξ是普遍可测的，并且是P-完全测量值。Letω∈ OhmNA，ξ。根据[Bouchard and Nutz，2015，引理4.10]，存在一个不可测函数^Ht+1，如thaet（ξ）（ω）+^Ht+1（ω）St+1（ω，·）≥ Et+1（ξ）（ω，·）Pt（ω）-q.s.（20），以查看πt（ξ）=Et（ξ）P-q.s.（21）对于0≤ t型≤ 我们用反向归纳法来论证。事实上，通过对t=t的定义，这种说法是正确的。现在我们假设t+1的说法是正确的∈ {1，…，T}。根据【Bouchard和Nutz，2015，引理4.8中的等式（4.8），p.843】对应ht（ω）={（Q，p）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) | IEQ[St+1（ω，·）]=0，P∈ Pt（ω），Q<< P}有解析图。根据【Bertsekas和Shreve，2004年，第7.47号提案，第179页，第7.48号提案，第180页，第7.50号提案，第184页】（ω，Q，p）7→ IEQ[Et+1（ξ）（ω，·）]和（ω，Q，P）7→ IEQ[πt+1（ξ）（ω，·）]是上半解析函数，存在序列（^Pn，^Qn）n∈Nand（\'Pn，\'Qn）n∈HTL的Nof FUt可测量选择器→∞IE^Qn（ω）[Et+1（ξ）（ω，·）]=sup（Q，P）∈Ht（ω）IEQ[Et+1（ξ）（ω，·）]=Et（ξ）（ω），limn→∞IE'Qn（ω）[πt+1（ξ）（ω，·）]=sup（Q，P）∈Ht（ω）IEQ[πt+1（ξ）（ω，·）]=Et（πt+1（ξ））（ω）。定义Pn（ω）=（^Pn（ω）+Pn（ω））/2∈ Pt（ω）和▄Pt（ω）=P∞n=1-nPn（ω）。然后Pt（ω）∈P(Ohm) 对于al lω∈ Ohmt、 ω7→^Pt（ω）是可测的，且^Pn（ω），^Pn（ω），Pn（ω）相对于^Pt（ω）是绝对连续的。

此外，对于ω∈ OhmtNAIE^Qn（ω）[Et+1（ξ）（ω，·）]≤ supQ公司<<Pt（ω），IEQ[St+1（ω，·）]=0IEQ[Et+1（ξ）（ω，·）]≤ inf{x∈ R |H∈ Rd使x+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（ξ）（ω，·）~Pt（ω）-a.s.}≤ πt（Et+1（ξ））（ω）=Et（Et+1（ξ））（ω）=Et（ξ）（ω），其中第三个不等式来自Pn（ω）∈ n的Pt（ω）∈ N第一个等式来自【Bouchard和Nutz，2015，定理3.4】，为ω∈ OhmtNA。出租n→ ∞ 我们得出结论<<Pt（ω），IEQ[St+1（ω，·）]=0IEQ[Et+1（ξ）（ω，·）]=Et（ξ）（ω），supQ<<Pt（ω），IEQ[St+1（ω，·）]=0IEQ[πt+1（ξ）（ω，·）]=Et（πt+1（ξ）（ω，·）），现在固定P∈ P和定义▄P=P▄FUt§Pt。然后作为Pn（ω）∈ Pt（ω）归纳假设意味着Et+1（ξ）=πt+1（ξ）保持P-a.s.，因此对于P-a.e.ω∈ OhmtwehaveEt（ξ）（ω）=supQ<<Pt（ω），IEQ[St+1（ω，·）]=0IEQ[Et+1（ξ）（ω，·）]=supQ<<Pt（ω），IEQ[St+1（ω，·）]=0IEQ[πt+1（ξ）（ω，·）]=Et（πt+1（ξ））（ω）=πt（ξ）（ω），其中最后一个等式再次来自于[Bouchard and Nu tz，2015，Th eorem 3.4]，如果ω∈ OhmtNA。这就是（21）的证明。Let（x，H，C）∈ A（ξ）。现在我们显示vx，H，Ct≥ πt（ξ）P-q.s.（22）这显然是真的a t t=t。修复一些1≤ t型≤ 假设（22）是真正的堡垒。然后Vx、H、Ct-1+HtSt公司≥ Vx、H、Ct≥ πt（ξ）P-q。s、 注意到Vx、H、Ct-1未来-1-可测和πt（ξ）是上半解析的，使用与[Bouchard和Nutz，2015，L emma 4.10的证明，第846-848页]中相同的推理，我们得出结论，对于ω∈ Ohmt型-1在P全尺寸设定Vx、H、Ct中-1（ω）+Ht（ω）St（ω，·）≥ πt（ξ）（ω，·）Pt-1（ω）-q.s.（23）因此Vx，H，Ct-1(ω) ≥ πt-证明了t的1（ξ）（ω）乘（8）和d（22）- 1、接下来我们定义消费过程^C。设P=P P · · ·  PT公司-1.∈ P、 其中Pt∈ 所有0的Pt（ω）≤t型≤ T- 1、然后利用g方程（20）和Fubini定理（回想一下[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.45 p175]），我们得到-1（ξ）+^HtSt公司≥ Et（ξ）P-q.s.（24）对于普遍可测函数^Ht：Ohmt型→ Rd.递归使用（24），E（ξ）+tXu=1^Hu苏≥ Et（ξ）P-q。s、 （25）如下。

现在我们设置^Ct=E（ξ）+Ptu=1^Hu苏- Et（ξ）。然后^Ct（ω，·）-^Ct-1（ω）=Et-1(ξ)(ω)-Et（ξ）（ω，·）+^Ht（ω）St（ω，·）≥ 0磅-1（ω）-q.s.再利用Fubini定理^Ct-^Ct-1.≥ 0 P-q.s.因此^C=（^Ct）0≤t型≤这是一个累积消费过程。现在我们证明π（ξ）=π（ξ）。Let（x，H）∈ A（ξ）。然后作为Vx，HT-1+HT装货单≥ξPT-1-q.s.如下（23）Vx，HT所示-1（ω）+HT（ω）ST（ω，·）≥ ξ（ω，·）PT-1（ω）-q.s∈ OhmT-1在未来-1-可测量和P-全测量集。从（8）中，我们得出结论，πT-1(ξ)(ω) ≤ Vx，HT-1(ω). 通过归纳，我们看到π（ξ）≤ x和π（ξ）≤ π(ξ). 相反，使用（25）和（21）Vπ，^HT=π（ξ）+TXt=1^HTSt公司≥ ET（ξ）=ξP-q.s，因此π（ξ）≥ π(ξ). 因此，E（ξ）=π（ξ）=π（ξ）乘以（21），我们得到（回忆（25）和^C的定义）vπ（ξ），^H，^Ct=Et（ξ）=πt（ξ）P-q。s、 由于Vπ（ξ），^H，^CT=ET（ξ）=ξP-q.s.，（π（ξ），^H，^C）是一种超边缘策略，它也是最小的。确实让（x，H，C）∈ A（ξ）然后Vx，H，CT≥ ξP-q.s.来自（22），Vx，H，Ct≥πt（ξ）=Vπ（ξ），^H，^CtP-q.s。证明到此结束。附录C定理4.3和定理4.5C的证明。1定理4.3的证明：单周期情况我们现在在ca se T=1中证明定理4.3，其中我们遵循inNutz【2016】给出的参数。L etξ：OhmT→ 博雷尔。为准备多周期情况，我们确定setA0，x={（H，c）∈ Rd×R+| x- c+HS≥ π（ξ）P-q.s.}。回顾（8）中给出的t=0，1的定义πt（ξ），并注意如果（H，c）∈ A0，xthenalso（H，0）∈ A0，x。因此我们经常写H∈ A0，xin代替（H，c）∈ A0，x.乐图（1，·，·）：Ohm × [0, ∞) → R从上方有界，FU可测。除此之外，我和我们假设x 7→ U（1，ω，x）对于每个ω都是非递减的、凹的和连续的∈ Ohm.进一步假设确定性函数U（0，·）：[0，∞) → R应为非递减且连续的。通常我们设置U（t，ω，x）=-∞ 对于x<0且t=0，1。