鲁棒超级复制问题：一种动态方法

（欧洲）未定权益由n个FUT可测随机变量ξ表示，ξi s的超边缘策略集由A（ξ）表示：=（x、H、C）∈ R×H（FU）×CVx、H、CT≥ ξP-q.s。. （2） 定义2.2未来可测ran dom变量ξ的超级复制价格π（ξ）是保值ξ所需的最小初始资本，即π（ξ）：=infx个∈ R |（H、C）∈ H（FU）×C，使得（x，H，C）∈ A（ξ）, （3） π（h）=+∞ 如果A（ξ）=. 超边缘策略（^x、^H、^C）∈ 对于所有（x，H，C），A（ξ）称为最小if∈ A（ξ）Vx，H，Ct≥ V^x、^H、^CtP-q.s.所有0≤ t型≤ T很容易看出，对于任何最小超边缘策略（^x，^H，^C），^x=π（ξ）∈ A（ξ）。2.3无套利条件和定价措施我们回顾了Bouchard和Nutz【2015】中引入的无套利条件。假设2.3市场中不存在P-拟套利（NA（P）），如果所有∈ H（FU），带V0，HT≥ 0 P-q.s。我们有V0，HT=0 P-q.s。上述定义直观地扩展了经典的无仲裁条件，在固定概率测度P下规定，对于概率测度族P的多重先验情况，直觉由[Bouchard and Nutz，2015，定理4.5]证明的FTAP概化来证明：在假设2.1（回顾S isBorel改编时的情况）下，NA（P）等于所有P∈ P、 存在一些问题∈ Q使得P<< Q其中Q：={Q∈ P(OhmT） | P∈ P、 Q<< P和S是Q}下的鞅。（4） 备注2.4出于同样的原因，进一步的结果，例如关于超边缘定理或最坏情况预期效用最大化的结果（参见Nutz【2016】、Blanchard a and Carassus【2017】、Bartl【2019】和Neufeld and Sikic【2018】）提供了更多的证据支持以下观点：NA（P）是经典无套利假设的精心选择的扩展。

然而，使用NA（P）时支付的价格与考虑NA（P）的一步版本时产生的技术可测量性问题有关（见下文（5））。Bartl【2019年】引入了假设2.3的一个更强版本，该版本指出，以下（5）满足所有ω∈ Ohmt、 在Blanchard和C arassus【2017年】中，提出了一种无套利的假设（sNA（P）），该假设指出，在所有测度P的经典意义上都没有套利∈ P、 在这两种情况下，一些可测量性问题都很简单。最后，模型不确定性的不同方法可能会导致根本不同的套利概念。在路径方法中，人们通常认为一些路径集支持一个可行的模型，这与本文中的多重先验设置相反，其中基本上所有路径集都支持一个可行的模型∈ P被假定为可行模型。因此，pathwise a方法中的无套利条件，例如Davis和Hobson【2007】、Cox和Obloj【201 1】、Acciaio等人【20 13】或la classe S套利（见Bu rzoni等人【2016b】）中的模型独立套利，比NA（P）弱得多，即他们的套利概念比P-q.S套利强得多。也就是说，上述sNA（P）的否定给出了至少一个P存在经典套利∈ P while Davis和Hobson[2007]认为，如果在所有P∈ P、 NA（P）的一步版本如下：对于ω∈ Ohm修正了我们所说的na（Pt（ω））条件对于所有H都成立∈ RdH公司St+1（ω，·）≥ 0 Pt（ω）-q.s。=> HSt+1（ω，·）=0 Pt（ω）-q.s.（5）[Bouchard and Nutz，2015，定理4.5]中证明，在s是Borel可测且（APS）为P的假设下，条件NA（P）与所有0≤ t型≤ T- 1，存在一些P-全测度集OhmtNA公司∈ FUt，所有ω∈ OhmtNA，NA（Pt（ω））成立。

我们还介绍了集合Q的一步版本：Qt（ω）={Q∈ P(Ohm) |  P∈ Pt（ω），使得Q<< P和IEQ[St+1（ω，·）]=0}。如【Bouchard和Nutz，2015，L emma 4.8】所示，QT有一个解析图。Jankov-vonneumann定理和Fubini定理的应用表明，我们有Q={Q · · ·  QT-1 | QT是所有0的QT的可测量选择器≤ t型≤ T- 1}. （6） 3最小超边缘策略的存在性和特征超边缘定理，也称为定价对冲对偶，是经典P={P}设置的基本结果之一，参见F¨ollmer和Schied【2002】、F¨ollmer和Kramkov【1997】及其参考文献。Bouchard和Nutz【2015】的主要结果之一是对多先验情况的扩展：π（ξ）=supQ∈QIEQ[ξ]。（7） 虽然这种对偶性很重要，理论上也很令人满意，但它在计算中的应用可能会受到集Q缺乏易于处理的特征的阻碍。我们的目标之一是为上述对偶性提供一种更具算法性的方法。为此，我们根据F¨ollmer和Kramkov【1997】的精神，建立了适用于超边缘价格的动态规划原理（DPP），并证明了最小超边缘策略的存在性。这导致了Carassus等人[2006]中算法的稳健推广，并提供了一种处理超边际价格计算的方法，更重要的是，还提供了策略。3.1主要结果为了说明我们的主要结果，我们需要引入一些进一步的旋转。对于上半解析函数ξ：OhmT→ R let{πt（ξ）}0≤t型≤t取消一步超边缘价格πt（ξ）：Ohmt型→R由πT（ξ）（ω）=ξ（ω）给出，对于0≤ t型≤ T- 1πt（ξ）（ω）=inf{x |H∈ Rd使x+HSt+1（ω，·）≥ πt+1（ξ）（ω，·）Pt（ω）-q.s.}。（8） 注：上述超边缘价格可解释为凹面封套。

事实上，通过稍微滥用符号，我们表示一步拟凹包络bf：Ohmt×Rd+→ R bybf（ω，s）=inf{u（s）| u:Rd+→ R闭凹，u（St+1（ω，·））≥ t的f（ω，·）Pt（ω）-q.s.}∈ {1，…，T}和上半解析函数f：Ohmt×Ohm → R、 这里我们重新定义了凹函数是闭合的，如果它的超能级集是闭合的。每个凹函数都可以写成线性函数的逐点形式，等式πt（ξ）（ω）=\\πt+1（ξ）（ω，St（ω）），ω∈ Ohmt、 0个≤ t型≤ T- 1（9）成立，一步超边缘价格可通过在以下坐标中迭代取凹面包络来获得：Ohm.现在，让我们为一步案例定义相应的对偶表达式。对于ω∈ OhmT和f：Ohmt×Ohm →R、 我们定义Et（f）：Ohmt型→ R byEt（f）（ω）=supQ∈Qt（ω）IEQ[f（ω，·）]。此外，对于可测量ξ：OhmT→ R、 我们定义了运算符set（ξ）=ξ和Et（ξ）=Et的序列o Et+1（ξ），0≤ t型≤ T- 1.（10）使用手边的符号，我们可以说明我们的第一个主要结果，其中给出了最小超边缘策略的存在性，并建立了πt（ξ）和Et（ξ）的动态规划原则。定理3.1Let假设2.1和NA（P）成立。设ξ：OhmT→ Rbe一个上半解析函数，如SUPQ∈QIEQ[ξ-] < ∞.然后：（i）存在最小超边缘策略inA（ξ）；（ii）对于任何最小超边缘策略（^x、^H、^C）∈ A（ξ），其值满足v^x，^H，^Ct=πt（ξ）=Et（ξ）P-q.s.，0≤ t型≤ T、 （11）特别是，^x=π（ξ）=π（ξ）=E（ξ）。也许令人惊讶的是，上述结果的证明在技术上是复杂的，因此被列为附录B。然而，在规范设置的特殊情况下Ohm = Rd+，St（ω）=ωand P={P∈ P（X）| supp（P）是有限的}对于解析集X Ohm下面的论点非常直观和简单。

我们将在下一节中概述它们。3.2正则空间：凹包络和超边缘价格的计算在本小节中，我们研究正则空间，即Ohm = Rd+和St（ω）=（ωt，…，ωdt）。特别是ξ（S（ω），ST（ω））=ξ（ω）保持不变。我们首先更详细地研究了通过指定对股票价格可行变动的支持来获得P的特例。这抓住了路径方法，但在准静态框架中也是很自然的，因为NA（P）和π（ξ）仅依赖于P的极化集。更准确地说，我们给出了以下定义：定义3.2假设≤ t型≤ T- 1我们收到了以下信函：OhmtRd.我们说集合序列（Pt）0≤t型≤T-1如此Pt P(Ohm) 对于所有0≤ t型≤ T- 1由{ft}0生成≤t型≤T-1ifPt（ω）={P∈ P(Ohm) | 供应商（P） 0的ft（ω）}≤ t型≤ T- 1，其中supp（P）表示对度量值P的支持。回想一下，通信f：OhmtRdis称为可测if{ω∈ Ohmt | f（ω）∩ O 6=} ∈ B类(Ohmt） 对于所有开放集O Rd.我方参考【Rockafellar和Wets，1998年，14.A，第643ff页】对于可测量的对应理论。引理3.3Let（Pt）0≤t型≤T-1be由可测量的闭值对应{ft}生成0≤t型≤T-1、所有0的PTHAS Borel可测图≤ t型≤ T- 1、根据引理3.3的假设，我们可以定义P P(OhmT） 满足假设2.1中的（APS）。证据假设ftis B图(Ohmt） B（Rd）=B（（Rd）t+1）-可测量所有t∈ {0，…T- 1} （见【Rockafellar和Wets，1998，定理14.8，第648页】）。因此，【Bertsekas和Shreve，2004，Cor.7.25.1，p.134】p（图（ft））也是Borel。定义mapD：Ohmt×P（Rd+）→ P(Ohmt+1），（ω，P）7→ δω Pand注意到D是Ohmt×P（Rd+）到{ΔωP |ω∈ Ohmt、 P∈ P（Rd+）}。实际上，取一个序列（ωn，Pn）∈ Ohmt×P（Rd+）使得（ωn，Pn）在乘积拓扑中收敛到（ω，P）。

用磅表示(Ohmt+1）上的有界1-Lipschitz函数Ohmt+1。Thenlimn公司→∞supf公司∈磅(Ohmt+1）ZOhmt+1fd（Δωn Pn）-ZOhmt+1fd（Δω P）≤ 画→∞|ωn- ω|+supf∈磅(Ohmt+1）ZOhmt+1f（ω，·）dPn-ZOhmt+1f（ω，·）dP!= 0，soδωn pn弱收敛于Δω P相反ma p的连续性直接源于测度弱收敛的定义。还请注意，同胚映射Borel集到Borel集。AsP（图形（ft））∩ {δω P |ω∈ Ohmt、 P∈ P（Rd）}是Borel可测的，应用逆映射D-1我们得出结论，图（Pt）=D-1（P（图形（ft））∩ {δω P |ω∈ Ohmt、 P∈ P（Rd）}）是Borel。事实上，对于这样的集合P，条件NA（Pt（ω））等于0∈ ri（ft（ω）- St（ω）），其中ri（A）表示A的凸包的相对内部。要在更一般的设置中证明这一结果，请参见【Obl\'oj和Wiesel，2018年，Thm.3.3，第6页】。这种确定性条件在Burzoni等人中被称为无点套利，可以通过不使用概率度量来检查。作为定理3.1证明的直观概述，现在让我们假设P={P∈ P（X）| supp（P）是有限的}，NA（P）保持不变，其中X Ohm这是一些分析集。现在，我们可以直接使用凹面包络特征（9）证明关键等式πt（ξ）=Et（πt+1（ξ）），另请参见Beiglb¨ock和Nutz【2014】及其参考文献。事实上，根据【Obl'oj和Wiesel，2018年，第6.1号提案，第14页】可知，在这种情况下，Psatis假设为2.1，Q={Q∈ P（X）| supp（Q）是有限的，S是Q}下的鞅，X=（Rd）参见[Bouchard and Nutz，2015，示例1.2，P.827]，局部紧X参见[Lange，1973，Cor.4.6，P.151]∈ Ohmt、 使用Jensen\'sinequal ityEt（f）（ω）=supQ∈Qt（ω）IEQ[f（ω，·）]≤ supQ公司∈Qt（ω）IEQ[^f（ω，·）]≤ supQ公司∈Qt（ω）^f（ω，IEQ[·]）=^f（ω，ωt），（12），其中IEQ[·]=RRd+yQ（dy）。

建立“≥ ”-不平等，有必要观察到这一点7→ supQ公司<<P代表一些P∈Pt（ω），IEQ[·]=sIEQ[f（ω，·）]是凹的，并且在St+1（∑ωt）上支配f（ω，·），其中∑ωt：={ω∈ X |（|ω，…，|ωt）=ω}。虽然凹度通常很明显（见[Beiglb¨ock and Nutz，2014，引理2.2]），但支配性质主要取决于集合{Q<< P代表一些P∈Pt（ω），IEQ[·]=s}包含s点的狄拉克测度∈ St+1（∑ωt）。对于泛型集P，这是不正确的：例如，对于某些P，在P={P}的情况下∈ P(Ohm) 通常只有集合{Q<< P、 IEQ[·]=s}对于支撑P的凸包的相对内部中的s是非空的（参见[F¨ollmer and Schied，20 02，定理1.48，P.29]）。以下定义进一步描述了闭值对应{ft}0≤t型≤T-1需要AND来识别集合{Pt}的一个重要子类0≤t型≤T-1由{ft}生成0≤t型≤T-1： 定义3.4闭值对应ft：Ohmt型→ 如果对于所有>0，存在δ>0，那么对于所有ω，ω′，则称为一致连续∈ OhmTsch表示ω′- ω| ≤ δ我们有dH（ft（ω），ft（ω′）≤ 式中，dh（A，B）：=最大值supv公司∈Ainfv∈B | v- v |，sup▄v∈Binfv公司∈A | v- v|表示的闭子集A，B上的Hausdorff度量Ohm.一致连续的对应关系尤其是连续的（见【Rockafellar and Wets，1998，定义5.4，第152页】），因此可以测量（【Rockafellar and Wets，1998，Theorem5.7，第154页】）。结果表明，当对应关系满足此连续性条件且为紧值时，对于支持向量等于对应关系{ft}0生成的路径g的每一个P w，连续支付ξ的P-q.s.超边际价格与P-a.s.超边际价格ξ一致≤t型≤T-1： 提议n 3.5假设（Pt）0≤t型≤T-1由闭值一致连续对应{ft}0生成≤t型≤T-1和NA（P）保持不变。

此外，假设函数ξ：OhmT→ Ris连续且{ft}0≤t型≤T-1具有紧凑的价值。Ta k eany measureP=P · · ·  PT公司-1such thatsupp（Pt（ω））=英尺（ω），0≤ t型≤ T- 1, ω ∈ Ohmt、 那么，对于所有0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 πt（ξ）（ω）=inf{x∈ R |H∈ RDX+HSt+1（ω，·）≥ πt+1（ξ）（ω，·）P-a.s}。（13） 和ω7→ πt（ξ）（ω）是连续的。上述结果的证明被归入附录A。我们现在将此结果应用于一个特殊感兴趣的一维案例，如Infaassus和Vargiolu【2018】，其中很容易明确计算最小超边际价格：建议n 3.6假设所有0≤ t型≤ T- 1，dt+1<1<ut+1，且（随机）设置值由pt（ω）={P给出∈ P（R）| supp（P） [ωtdt+1，ωtut+1]}，其中ω=（ω，…，ωt）∈ Ohmt、 那么NA（P）成立。Letξ：RT→ Rbe凸面。然后πT（ξ）=ξπT（ξ）（ω）=αT+1πT+1（ξ）（ω，ωtut+1）+（1- αt+1）πt+1（ξ）（ω，ωtdt+1），（14），其中αt：=1-dtut-dt，1≤ t型≤ T、 证明。注意到ft（ω）=[ωtdt+1，ωtut+1]是一个一致连续的紧致值相关，PTI图显然是非空的，凸的和Borel可测的0≤ t型≤ T-引理3.3。作为0∈ ri（ft（ω）-St（ω））=ri([-ωt（1-dt+1），ωt（ut+1-1） ），NA（P）持有。我们通过归纳证明了πt（ξ）满足（14）且是凸的：这对于t=t是清楚的。现在我们假设≤ t型≤ T- 1，πt+1（ξ）是凸的。AsPt（ω）包含[ωtdt+1，ωtut+1]上的Dirac测度。我们得出结论，πt（ξ）（ω）=inf{x∈ R |H s.t.x+HSt+1（ω，·）≥ πt+1（ξ）（ω，·）【ωtdt+1，ωtut+1】}。由于πt（ξ）（ω）i是凸函数πt+1（ξ）（ω，·）的点态凹包络，它可以写成区间〔ωtdt+1，ωtut+1〕上πt+1（ξ）（ω，·）的极值点的唯一凸组合，从而守恒了重心ωt。因此，我们得到了t的（14）。显然πt（ξ）：Rt→ R是凸函数（具有非负系数）的线性组合，因此也是凸函数。

观察到上述超级复制价格与Cox等人的Cox-Ross-Rubinstein模型中的实际复制价格相对应，这是很有见地的。Cox等人[1979]的模型中，股票价格在一棵二叉树上随St+1演化∈ {dt+1，ut+1}。4消费预期效用最大化在A（ξ）中4.1主要结果在上述定理3.1中，我们描述了超边缘价格πt（ξ）的特征，并介绍了计算最小超边缘策略的方法。然而，这些都是典型的非唯一的。实际上，正如我们从（9）中看到的，如果函数f的凹包络f（ω，·）：Ohmt+1→ R在ωt处不可微，每个点H∈ Rdin其超微分构成了最小的超边缘策略，另请参见下面的示例4.6。为了在最小超边缘策略中选择“最佳”，我们提出了一个二次优化问题，即具有中间消耗的预期效用的鲁棒最大化，由UP（H，C）给出∈AxinfP∈PuIEP“TXs=1U，Cs）#，（15）其中Axis是一组投资消费策略，其具有超边缘ξ：OhmT→R、 即Ax：={（H，C）∈ H（FU）×C | Vx，H，CT≥ ξP-q.s}和集Pu P(OhmT） ful满足以下条件：假设4.1 Pusaties（APS）和Pu P、 这套节目纯粹展现了投资者的主观观点。相对于P而言，超边缘反映了满足某些监管和风险要求的必要性，Pu用于表示优化问题（15）的个人偏好，不需要满足假设4.1中的任何进一步要求，例如NA（Pu）可能会失败。在定理4中。3和定理4.5 b下面，我们证明了（15）是适定的，并且在适当的假设下，允许一个优化器是唯一的。对效用函数U（t，·，·，·）的假设与inNutz【2016】：假设4.2，t=1，T效用函数U（T，·，·）：Ohmt×[0，∞) → R是下半解析的，从上面有界。

此外，1。ω 7→ 对于每个x>0.2，U（t，ω，x）从下方有界。x 7→ U（t，ω，x）对于每个ω都是非递减的、凹的和连续的∈ Ohmt、 我们认为，与Blanchard和Carassus【2017】类似，我们在此提出的效用函数的有界假设可能会被削弱。然而，由于证明的总长度和技术特征，我们决定将此扩展留给进一步的研究。我们以2表示。在假设4.2中，充分考虑对冲ξ的投资消费策略，即对于wh ich Vx，H，CT=ξ，因为超边际盈余可以在终端时间消耗。请注意，根据假设4.2和Carath'eodory函数的标准结果（见【Aliprantis and Border，2006，Lemma 4.51，第153页】），我们得出结论，U（t，·，·，·）是fut B（R+）-可测量。我们设置U（t，x，ω）=-∞ 对于x<0，通常写U（t，x），而不是U（t，x，ω）。定理4.3LetU（t，·，·）可用于1≤ t型≤ 让NA（P）、假设2.1、假设4.1和假设4.2保持不变。对于任何Borelξ：OhmT→ Rsuch tha tsupQ公司∈QIEQ[ξ-] < ∞存在（^H，^C）∈ Aπ，即infp∈PuIEP“TXs=1U，^Cs）#=sup（H，C）∈AπinfP∈PuIEP“TXs=1U，Cs）#，其中π=π（ξ）是ξ的P-q.s.超边际价格。为了获得上述最大imiser（^H，^C）的唯一性，我们再次切换到常规设置OhmT=（Rd+）T，St（ω）=ωT。符合Denis和Kervarec【2013】westrengthen对效用函数U（T，·，·，·）的假设，并假设集Pu的弱紧性。这使我们能够显示“最坏情况”度量^P的存在∈ 与Schied和Wu【2005】中的论证类似。事实上，下面的示例4.7表明，一般情况下，如果pu不是弱闭的，则不能期望极大值的唯一性。假设4.4对于t=1，T非随机效用函数U（T，·）满足假设4.2，并成立。