鲁棒超级复制问题：一种动态方法

我们现在用反向归纳法证明，对于所有n∈ N函数（ω，x）7→~U1/nt（ω，x+1/n）在集合{（ω，x）的每个点上都是连续的∈ Ohmt×R | x≥ πt（ξ）（ω）}：假设t+1和fix n的假设为真∈ N、 x个≥ πt（ξ）（ω）。对于y（|ω，|x）∈ Ohmt×R wehave公司~U1/nt（ω，x+1/n）-~U1/nt（~ω，~x+1/n）≤~U1/nt（ω，x+1/n）-~U1/nt（ω，~x+1/n）+~U1/nt（ω，~x+1/n）-~U1/nt（~ω，~x+1/n）.同于x 7→~U1/nt（ω，x+1/n）在πt（ξ）（ω）上是连续的- 1/n，∞), 存在δ>0，因此第一个和可以以/2 i f | x为界- x |≤ δ. 因此，有足够的证据表明存在|δ>0，这样对于所有|ω- ω| ≤δ我们有~U1/nt（ω，~x+1/n）-~U1/nt（~ω，~x+1/n）≤ /2.事实上，首先请注意，通过备注A.1和与命题3.5相同的矛盾论点，选择|Δ>0足够小，我们可以假设对于任何超边缘策略（H，c）∈ 在，πt（ξ）（|ω）（|ω），我们有|（H，c）|≤对于一些▄C>0的▄C，与▄ω无关。此外，我们可以选择|δ>0，这样|πt（ξ）（ω）- πt（ξ）（￠ω）|≤接下来我们观察到：假设Put（ω）是弱紧的，存在一个紧集[0，K]d Ohm, 求P（（[0，K]d）c）≤ /（48C）对于所有P∈Put（ω）。根据归纳假设（v，y）7→~U1/nt+1（v，y+1/n）在集合{（v，y）的每个点上都是连续的∈ Ohmt+1×R | y≥ πt+1（ξ）（v）}，从而在紧子集上一致连续。存在1/n>δ>0，因此对于v，~v∈ B（ω）×{u∈Ohm | inf▄u∈[0，K]d | u- u |≤ δ} ，y∈ [πt+1（ξ）（v），2CK]和|（v，y）- （￠v，￠y）|≤ δ我们有U1/nt+1（v，y+1/n）-U1/nt+1（▄v，▄y+1/n）≤ /24. （29）假设4。4.（1）并通过相应地调整δ，对于al lω∈ OhmTsch表示|ω- 对于所有P∈ Put（ω），存在▄P∈ 将（￠ω）放置为dL（P，￠P）≤ ：=δ/（2C）∧/（48C）。

根据Strassen定理，存在一个测度π∈ P（Rd×Rd）和两个随机变量X~ Po （St+1）-1（|ω，·）和|X~Po （St+1）-1（￠ω，·）如tπ（| X-X |≥ ~) ≤ ~. 因此，我们得出y的结论，~y：Ohm → R带| y（x）- y（x）|≤ δ每当πt+1（|ω）≤ y（▄x）≤ 2CK和| x- x |≤ ~IEPh▄U1/nt+1（▄ω，·），1/n+y（·））i- 即Ph值U1/nt+1（℃ω，·），1/n+y（·））i(30)=IEπhU1/nt+1（|ω，X），1/n+y（X））-U1/nt+1（|ω，|X），1/n+y（|X））i≤ IEπU1/nt+1（ω，X），1/n+y（X））-U1/nt+1（|ω，|X），1/n+y（|X））{X∈[0，K]d，| X-X|≤~}+C12C≤ /12 + /12 = /6.现在我们修改|δ>0，使得|πt（ξ）（ω）- πt（ξ）（￠ω）|≤ δif |ω- ~ω| ≤~δ.

进一步将命题C.1应用于函数（ω，x+1/n）7→~U1/nt（ω，x+1/n）存在极大值（H′，c′）∈ 在SUP（H，c）的▄x+1/n（▄ω）∈在，￠x+1/n（￠ω）infP∈输入（|ω）IEP[|U1/nt+1（|ω，·），|x+1/n+HSt+1（￠ω，·）- c） ]+U（t，c）和a策略（H，c′）- β) ∈ 在，~x+1/n（ω），其中β：=c′∧ |πt（ξ）（ω）- πt（ξ）（￠ω）|≤ δ/2.此外，存在P∈ 将（ω）放置为▄U1/nt（ω，▄x+1/n）≥ IEPh▄U1/nt+1（（ω，·），▄x+2/n+HSt+1（ω，·）- c′+β）i+U（t，c′）-β)-/6.注意，我们可以修改|δ>0，使|（ω，HSt（ω））- （|ω，HSt（|ω））|≤ （▄C+2）▄δ≤ δ/2.现在由（29）加上y（·）=~x+1/n+HSt+1（ω，·）-c′＋β和▄y（·）=▄x＋1/n＋HSt+1（￠ω，·）-c′IEP[U1/nt+1（（ω，·），x+2/n+HSt+1（ω，·）- c′＋β）]+U（t，c′）- β) - /6≥ IEP[￠U1/nt+1（（￠ω，·），￠x+2/n+HSt+1（￠ω，·）- c′）+U（t，c′）- /3后接（30），y（·）=x+1/n+HSt+1（￠ω，·）-c′，~y（·）=~x+1/n+H′St+1（￠ω，·）-c′，并注意到| H- H′|≤ 2▄CIEPh▄U1/nt+1（▄ω，·），▄x+2/n+HSt+1（￠ω，·）- c′）i+U（t，c′）- /3≥ 即Ph值U1/nt+1[（￠ω，·），~x+2/n+H′St+1（￠ω，·）- c′）i+U（t，c′）- /2≥~U1/nt（~ω，~x）- /2.交换ω和ω的角色，得出归纳步骤的证明。这特别显示了ω′7的连续性→~U1/nt+1（（ω，ω′），x+1/n+HSt+1（ω，ω′）-c）为ω′7→ x+~HSt+1（ω，ω′）- c是连续的。因为这个函数i s也放（ω）-q.s。

由引理C.7限定（回想一下（▄H，▄C）∈ 在，x（ω）），我们通过使用Portmanteau定理得出结论，Ut（ω，x）=infn∈NU1/nt（ω，x）=infn∈Nlim信息→∞IEPnk（ω）t（ω）[U1/nt+1（（ω，·），x+1/n+HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，~c）≥ infn公司∈NIE^Pt（ω）[U1/nt+1（（ω，·），x+1/n+HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，c）=IE^Pt（ω）[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，~c）≥ infP公司∈Put（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+~HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，~c），其产生x≥ πt（ω）~Ut（ω，x）=IE^Pt（ω）[~Ut+1（（ω，·），x+~HSt+1（ω，·）- c）]+U（t，~c）。特别是对于i=1，2IE^Ptω）h▄Ut+1（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- ci+U（t，c）=IE^Pt（ω）hUt+1（ω，·），x+HiSt+1（ω，·）- ci公司i+U（t，ci）。现在自（H，c）7→ IE^Pt（ω）[Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，c）是凹的，在c中是严格凹的，我们需要c=candHSt+1（ω，·）=HSt+1（ω，·）^Pt（ω）- a、 用Ξt表示对应关系Ξt（ω）=（P∈ Put（ω）~Ut（x，ω）=sup（H，c）∈At，x（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，c））表示x≥ πt（ω），并注意到通过Bouchard和Nutz【2015】【引理证明4.10，p.848】中的可测选择参数，集合（（ω，p）∈ 图表（Put）sup（H、c）∈At，x（ω）IEP[~Ut+1（（ω，·），x+HSt+1（ω，·）- c） ]+U（t，c）-Ut（x，ω）≤ 0）是（FUt）的一个元素 B（P(Ohm))), 其中A（未来 B（P(Ohm))) 是FUt上所有Nucleof Suslin方案的集合 B（P(Ohm)). 因此，存在一个未来可测量函数^Pt：Ohmt型→ P(Ohm) 绘制该图（^Pt） 图表（Ξt）。这就是证明的结论。如果我们假设H- H∈ span^Pt（ω）(St+1（ω，·）），然后H=H.ReferencesB。Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学《金融》，26（2）：233–2512013年。A、 Aksamit、S.Deng、J.Obl'oj和X.Tan。稳健定价——离散金融市场中美国期权的对冲双重性。数学《金融》，第1-372018页。

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