鲁棒超级复制问题：一种动态方法

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英文标题：
《The robust superreplication problem: a dynamic approach》
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作者：
Laurence Carassus, Jan Obloj and Johannes Wiesel
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In the frictionless discrete time financial market of Bouchard et al.(2015) we consider a trader who, due to regulatory requirements or internal risk management reasons, is required to hedge a claim $\\xi$ in a risk-conservative way relative to a family of probability measures $\\mathcal{P}$. We first describe the evolution of $\\pi_t(\\xi)$ - the superhedging price at time $t$ of the liability $\\xi$ at maturity $T$ - via a dynamic programming principle and show that $\\pi_t(\\xi)$ can be seen as a concave envelope of $\\pi_{t+1}(\\xi)$ evaluated at today\'s prices. Then we consider an optimal investment problem for a trader who is rolling over her robust superhedge and phrase this as a robust maximisation problem, where the expected utility of inter-temporal consumption is optimised subject to a robust superhedging constraint. This utility maximisation is carrried out under a new family of measures $\\mathcal{P}^u$, which no longer have to capture regulatory or institutional risk views but rather represent trader\'s subjective views on market dynamics. Under suitable assumptions on the trader\'s utility functions, we show that optimal investment and consumption strategies exist and further specify when, and in what sense, these may be unique.
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中文摘要：
在Bouchard et al.（2015）的无摩擦离散时间金融市场中，我们考虑了一个交易员，由于监管要求或内部风险管理原因，他被要求以相对于一系列概率测度$\\数学{P}的风险保守方式对冲索赔$\\ xi$。我们首先通过动态规划原理描述了$\\ pi\\t（\\ xi）$-负债$\\ xi$到期$\\ t$的超边际价格$\\ pi\\t（\\ xi）$的演变，并表明$\\ pi\\t（\\ xi）$可以被视为$\\ pi\\t+1}（\\ xi）$的凹包络，以今天的价格进行评估。然后，我们考虑一个交易员的最优投资问题，该交易员正在滚动其稳健的超边际，并将其表述为稳健的最大化问题，其中跨期消费的预期效用在稳健的超边际约束下得到优化。这种效用最大化是在一系列新的衡量指标下实现的，这些指标不再需要捕捉监管或机构风险观点，而是代表交易者对市场动态的主观观点。在对交易者效用函数的适当假设下，我们证明了最优投资和消费策略的存在，并进一步说明了这些策略何时以及在何种意义上可能是唯一的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：Mathematical maximisation Quantitative Conservative Requirements

健壮的超级复制问题：一个dynamicapproachLaurence Carassus，Jan Obl'oj*, 还有Johannes Wiesel*莱昂纳德·德·芬奇·波尔大学，研究中心和LMR，兰斯香槟阿登大学。电子邮件：laurence。carassus@devinci.frMathematical牛津大学研究所和圣约翰学院，牛津大学，2019年2月19日Bouchard et al.（2015）对无摩擦离散时间金融市场进行了分析。我们认为，由于监管要求或内部风险管理原因，需要以风险保守的方式对索赔ξ进行对冲，相对于一系列概率测度P。我们首先描述了πt（ξ）的演变，即到期时负债ξ在时间t的超边际价格，通过动态编程原理，并表明πt（ξ）可以被视为πt+1（ξ）的凹包络，以今天的价格进行评估。然后，我们考虑了一个最优投资问题，该问题针对的是在稳健超边际上滚动的交易者，并将其表述为稳健最大化问题，其中，在稳健超边际约束下优化了跨时间消费的预期效用。这种效用最大化是在一系列新的衡量标准下进行的，这些标准不再需要捕捉监管或机构风险观点，而是代表当前交易者对市场动态的主观观点。在对交易者效用函数进行适当假设的情况下，我们证明了最优投资和消费策略的存在，并进一步说明了这些策略何时以及在何种意义上可能是唯一的。1简介我们考虑一个离散时间金融市场和一个需要以稳健和风险保守的方式对冲未来T日到期的负债ξ的代理人。我们的重点是用于评估风险的信念、用于代理人投资决策的信念和代理人行动的动态之间的相互作用。

简单地说，我们排除了其他因素，考虑一个代理人，他可以在市场上以外生价格进行动态交易，而不受限制或摩擦。更准确地说，按照Samuelson【1969】和Black and Scholes【1973】的方法，风险资产被建模为随机过程，其行为由概率度量指定。然而，与经典的单先验方法不同，它确定了一个这样的度量P，我们考虑了一个多先验框架*感谢欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/第335421号ERC赠款协议提供的支持。JO和JW还感谢牛津圣约翰学院的财政支持。JW进一步感谢德国学术奖学金基金会的支持。同时在一系列措施P下工作∈ P、 这提供了Arobast方法，该方法解释了模型的模糊性，在Knight【1921】之后也称为Knightian不确定性。稳健建模视图的代价来自于产出的特殊性：虽然单一先验设置可能会为衍生合约产生唯一的公平价格，但多重先验设置通常会产生相对较宽的无套利价格区间，这是默顿的开创性论文【19 73】中首次确定的权衡。我们考虑一个投资者，由于监管要求或内部风险管理原因，我需要以相对于P的风险保守方式对冲ξ。这意味着，在初始阶段，他必须分配等于π（ξ）的资本，ξ的超边际价格，即保证涵盖allP下的责任ξ的有害生物交易策略的价格∈ P、 可能有许多这样最便宜的超级边缘策略，商人可以选择其中任何一种，直到时间T。

这是一种保守的非线性风险评估：交易员在ξ中的多头头寸中所欠的全部借款资本为-π(-ξ） 通常显著低于π（ξ）。超边缘价格π（ξ）可以从理论上加以描述，并已在许多论文中加以考虑，参见Bouchard和Nutz【2015】以及下面的讨论。据我们所知，这些作品中的大多数都集中在静态问题上：今天的地平线T问题。相比之下，在本文中，我们将重点关注鲁棒定价的动力学和hedgin g问题随时间的变化。我们问π（ξ）如何随时间变化，交易者应该如何在最短时间内进行ct。Cl早些时候，明天她将在市场上看到新的价格，并将能够重新计算超高的价格。如果新价格较低，她将能够解除旧仓位，购买新仓位，并留下盈余。然后，如果她认为市场提供了合适的机会，她可以使用这些资金（例如，如果初始资本被借贷，则支付到她的信贷额度中），或进一步投资。我们的第一个主要贡献是描述πt（ξ）的演变，πt（ξ）是到期日t时负债ξ的超高价格。我们在Bouchard和Nutz【2015】的背景下工作，考虑一组抽象的先验P，可能很大，尤其是r不受单一概率测度的支配。措施P∈ P表示为一步核的组合，为了建立π（ξ）的对偶特征，Bouchard和Nutz【2015】基本上证明了对偶对象的动态规划原理。证明了（πt（ξ））0≤t型≤t根据动态规划原理，认为πt（ξ）可以看作是πt+1（ξ）的凹包络，它反映了当今的精神。据我们所知，这是杜皮尔（Dupire）[2010]在稳健的环境中首次提出的。

我们还将πt（ξ）描述为F¨ollmer和Kramkov[1997]意义上的最小超边缘策略的存在。这些结果提供了经典u ni先验结果的自然可靠扩展，参见F¨ollmer和Schied[2 002]，包括Carassus等人[2006]中算法的可靠版本。此外，考虑到与Burzoni等人的逐点鲁棒设置相对应的P，我们表明πt（ξ）对应于极端P的uniprior超边缘价格∈ P、 Provin gour的机器人设置结果需要相当长的时间和技术论证。这主要是由于微妙的可测量性问题。我们的第二个主要贡献是考虑atrader的最优投资问题，atrader正在滚动其强健的SuperEdge。这被表述为一个受arobust超边缘约束的跨时间消费预期效用的最大化问题。在这里，稳健约束意味着对于所有P∈ P、 稳健效用最大化意味着我们考虑一个最大-最小问题，其中最小值大于P∈ 聚氨基甲酸酯。我们认为后一个问题应该考虑不同的先验Pu集 p前一个问题。措施P∈ 普诺不再需要捕捉监管机构或机构的风险观点，而是代表交易员对市场动态的主观观点。在对交易者效用函数进行适当假设的情况下，我们证明了最优投资和消费策略的存在，并进一步说明了何时以及在何种意义上，这些策略可能是无效的。

我们提供了一些例子来说明当我们的假设不满足时会出现的各种陷阱。自始至终，我们在Bouchard和Nutz【2015】的框架下工作，他们将离散时间定价和套期保值的经典统一先验理论扩展到了robu st m Utriprior案例，引入了无套利的适当概念，证明定价和套期保值基本定理的鲁棒性，并建立鲁棒定价对偶。此后，许多作者采用了他们的设置，并对定量金融中的经典问题进行了有力的扩展，如美式期权的定价和对冲、效用最大化或交易成本理论，仅举几个例子，见Nutz【2016】、Blanchard和Carassus【2017】、Aksamit et al【2018】、Bayraktar和Zhou【2017】、Bouchard et al.以及其中的参考文献。我们注意到，解决模型不确定性的替代方法是可能的，包括Davis和H obson【2007】、Acciaio等人【2013】、Burzoni等人【20 16b，a】、Burzoni等人等开发的路径或点方式。虽然由此产生的定价和套期保值稳健框架配备了不同的套利动机和不同的基本定理，但最近OBL'oj和Wiesel【201 8】证明其与多先验方法相当。因此，在抽象层面上，我们选择采用Bouchard和Nutz【2015】的多优先级方法时，没有普遍性。然而，重要的是，我们在具体的时间内工作。在经典的设置中，无套利理论，包括对超边际价格的动态理解，在连续的时间内得到了很好的发展，seeF¨ollmer和Kramkov【1997年】，D elbaen和Schachermayer【20 06年】，在稳健的设置中，是抽象无套利理论的扩展，如Bouchard和Nutz【2015年】或Burzoni等人所发展。，到了连续的时间还是开着的。

尽管有一系列作品已经朝着这样一个目标实现了特定或通用的步骤，但这些作品足够大，以至于我们无法在本文的介绍中做到公正，而是参考了Avellaneda等人【1996】、Lyons【1995】、Denis和Martini【2006】、Cox和Obl'oj【2011】、Denis和Kervarec【2013】、Epstein和Ji【2014】、Bi agini等人【2017】、Hou和Obl'oj【2018】、Beiglb¨ock等人【2017】，Bartl等人【2017】及其参考文献。我们注意到，d可能很大，我们的资产可能包括主要和衍生产品集。事实上，使稳健产出更加具体的一种方法是在分析中纳入更多交易资产。这是持续时间内稳健定价和套期保值工作背后的原始动机，可追溯到Hobson【1998年】，通常假设与我们的负债ξ同时到期的标的资产的欧洲期权的市场价格是已知的。在这里，我们考虑一个抽象的一般设置，并允许交易资产的任何d元组，对于一个有限的d。我们可以预期，不同资产的不确定性水平可能不同，这将反映在P中。然而，所有资产都是动态交易的，这一点至关重要。从理论角度来看，这对于获得超边际价格的动态编程原则是必要的，并且在不丧失通用性的情况下，可以将纽约Bouchard和Nutz【2015】的设置（其中一些资产仅在时间0时可用于交易）提升为以所有资产进行动态交易的设置，其方式不会引入套利，也不会影响时间0的su perhedging价格，见Aksamit等人【2018年】。从实际角度来看，这不是一个重要的假设，因为我们可能只考虑流动交易资产。论文的其余部分组织如下。下一节将介绍并讨论我们的建模框架。

第3节给出了表征超边际价格动态的结果。然后，我们在第3.2节中专门讨论了当P包含所有具有特定支持的度量时的路径设置。这样可以对结果进行更直观的解释，更容易的证明和明确的示例。第4节考虑了动态重新平衡超边际策略的商人的二次效用最大化问题，并说明了最优投资和消费策略的存在唯一性结果。最后，在三个附录中给出了证明。2金融市场模型在本节中，我们建立了多优先级建模框架和动态定义。金融资产的未来动态是使用概率度量进行建模的，但与固定一个此类度量的经典情况不同，我们通常在一大系列度量的所有P下同时工作。我们的市场有d个交易资产，这些可以是股票或期权，但重要的是所有都是动态交易的。我们不考虑静态交易资产，即仅可用于买入和持有交易的资产，因为在这种情况下，超高的价格通常不能在任何时候都接受动态编程原则，见Aksamit et a l【2018】。2.1不确定性建模我们在Bouchard和Nutz【2015】的背景下工作，我们参考了详细的数据运动。我们在此仅回顾主要关注对象，并参考Bertsekas和Shreve【2004年】【第7章】了解技术细节。允许Ohm 是一个抛光空间，表示为Ohmtits tfold笛卡尔积。我们将d贸易股票的折扣价格的价格过程定义为Borel可测图St（ω）=（St（ω），Sdt（ω））：OhmT→ Rd+对于每个ω=（ω。

，ωT），约定S（ω）=S∈ Rd+和T∈ N是时间范围。价格以折扣单位表示，我们有一项无风险资产，所有0的价格均等于1≤ t型≤ T此外，设P(Ohmt） 是B上所有概率度量的集合(Ohmt） ，上的Borel-σ-代数Ohmt、 我们用fut表示B的普遍完成(Ohmt） 。我们经常考虑(Ohmt、 FUt）作为的子空间(OhmT、 FUT）并写出FU=（FUT）T=0，。。。，T、 在本文的其余部分，我们将对P使用相同的旋转∈ P(OhmT） 以及对FUT的（独特）扩展。对于给定的P P(OhmT） ，a集合N Ohm对于allP，这称为P极if∈ P、 存在一些AP∈ B类(OhmT） 使得P（AP）=0和N 美联社。我们说，如果一个属性在P-极集合外成立，它就成立P-准肯定（q.s.）。最后，如果一个集的补码是P极集，那么它就是P-满测度集。为了给出市场的概率描述，我们考虑了一系列随机设置点：OhmtP(Ohm), 对于所有0≤ t型≤ T- 1、集合Pt（ω）可以看作是给定路径ω的t+1周期的所有可能模型的集合∈ Ohmt时间t。为了以一种可测量的方式汇总不同路径上的交易策略，我们在此假设集合P具有以下性质：假设2.1集合P具有分析产品结构（APS），这意味着P={P · · ·  PT公司-1 | Pti是Pt}的一个未来可测量选择器，其中设置Pt（ω） P(Ohm) 是非空、凸和图（Pt）={（ω，P）|ω∈ Ohmt、 P∈ Pt（ω）}是解析的。g ra ph（Pt）是分析型的，这允许应用扬科夫·冯·诺伊曼定理（【Bertsekas and Shreve，2004，Prop.7.49，p.182]），这保证了普遍可测量选择器Pt的存在：Ohmt型→ P(Ohm).

此处P · · ·  PT公司-1演示Fubini定理的T倍应用，该定理定义了P(OhmT） 。事实上，PTI图的分析性对于保持可测量性至关重要。例如，拟序超复制定理的证明（参见[Bouchard and Nutz，2015，引理4.10]）使用了ifXt+1：Ohmt+1→ R是上半分析，然后是s upP∈Pt（ω）IEP[Xt+1（ω，·）]保持上半解析。除假设2.1外，我们对先验P的集合没有作出具体假设。既不假设它受给定参考概率测度的支配，也不假设它是弱紧的。第3.2.2.2节讨论了一些具体例子，包括Pt（ω）为非紧随机集时，交易策略由FU可预测的d维过程H：={Ht}1表示≤t型≤t所有1的位置≤ t型≤ T，Ht代表投资者在T时持有的每项d资产。交易策略集用H（FU）表示。允许投资者消费，他们的累计消费量由R值FU适应过程C={Ct}1表示≤t型≤T、 C=0，这是一个假定为不递减的值：Ct≤ Ct+1P-q.s.C表示的累积消耗过程集。我们将使用符号St=St- St公司-1和Ct=Ct- 计算机断层扫描-1对于1≤ t型≤ T、 给定初始weal th x∈ R、 交易组合H和累积消费过程C，财富过程Vx，H，由Vx，H，C=xVx，H，Ct=Vx，H，Ct管理-1+HtSt公司- Ctfor 1≤ t型≤ T、 （1）条件C=0意味着投资组合H是自我融资的，在这种情况下，我们写的是Vx，hin而不是Vx，H，0。我们感兴趣的是（欧洲）未定权益的超边缘化，因此将F¨ollmer和Kramkov[1997]的陈述改编为稳健的框架。