瞬时价格影响下的最优VWAP执行

大致考虑这一点的方法之一是将战术成本纳入冲击核[6]命题证明A。1命题证明1Since XT- xV W aptti是一个高斯分布变量，经纪人最大化u[x]=EZT（˙xt- xηt）Stdt- γVZT（˙xt- xηt）Stdt（31）预期值isEZT（˙xt- xηt）Stdt= （32）EZT（˙xt- xηt）Sdt+ EZT（˙xt- xηt）Ztf（˙xs）G（t- s） dsdt+EZT（˙xt- xηt）ZtσsdWsdt=EZT（˙xt- xηt）Ztf（˙xs）G（t- s） dsdt因为第一项由于˙xtandηtand的归一化而完全消失，所以第三项是随机积分的期望值。在线性碰撞的情况下-kZT（˙xt- xηt）Zt˙xsG（t- s） dsdt=-kZTZT˙xt˙xsG（| t- s |）ds dt- xZTηtdtZtG（t- s） ˙xsds（33）对于方差termV，情况类似ZT（˙xt- xηt）Stdt= （34）VZT（˙xt- xηt）Sdt+ 五、ZT（˙xt- xηt）Ztf（˙xs）G（t- s） dsdt+五、ZT（˙xt- xηt）ZtσsdWsdt=五、ZT（˙xt- xηt）ZtσsdWsdt= E“ZT（˙xt- xηt）ZtσsdWsdt#最后一个期望可以写为“ZTZTdtdt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）ZtZtσsσsdWsdWs#=ztztddtt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）ZtZtσsσsE【dWsdWs】=ztztddtt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）ZtZtσsσsδ（s- s） =ZTZTdtdt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）Zt∧tσsds（35）最后，假设k>0且γ>0，效用U[x]的最大化等价于等式（8）的泛函C[x]的最小化。A、 2命题证明2 VWAP执行中要最小化的数量isC[x]=ztztdxsg（| t- s |）-xTZTdtZtG（t- s） dxs（36），我们重写为C[x]=Q[x]+K[x]。在[10，21]之后，我们考虑一个策略dys=δt（ds）- δt（ds）0≤ t型≤ t型≤ T（37）并用x表示*最优策略。因此，设置z=x*+ αy，isC[z]=Q[x*] + αQ[y]+2αQ[x*, y] +K[x*] + αK[y]（38），其中Q[x，y]=2-1RRG（| t- s |）dxsdyt=Q[y，x]。

数量k[y]=-xT公司ZTdtG（t- t） θ（t- t）-ZTdtG（t- t） θ（t- t）（39）其中θ（x）是阶跃函数，而q[x，y]=ZTG（| t- t |）dxt-ZTG（| t- t |）dxt（40）如果策略x*是最优的E[C[z]]αα=0=2E[Q[x*, y] ]+E[K[y]]=0（41），即ifZTG（| t- s |）dx*s-xTZTdsG（s- t） θ（s- t） =λ（42）或等效的yztg（| t- s |）dx*s-xTZTtdsG（s- t） =λ（43），其中λ是通过总体积tradedZTdx的归一化设置的常数*s=x（44）通常，我们对dx中定义的交易速度感兴趣*s=VSD，因此wesolveZTG（| t- s |）VSD-xTZTtG（s- t） ds=λs.t.ZTvsds=x（45）A.3命题3的证明效用函数为U[（x-xη）S]。由于一切都是高斯分布，并且假设在连续时间情况下，风险规避为2γ的CARA效用函数，预期效用isU[x]=E[（x- xη）S]- γV[（x- xη）S]平均值项isE[（x- xη）S]=（x- xη）1S- k（x- xη）Gx+τ1/2（x- xη）Lu=-k（x- xη）Gx+τ1/2（x- xη）Lu，其中第一项消失，因为x1=x，η1=1。方差项isV[x- xη）S]=V[k（x- xη）Gx+τ1/2（x- xη）L] = τV[（x- xη）L] == τ（x- xη）L∑L（x- 因此，期望效用的最大化等于k（x）的最小化- xη）Gx- τ1/2（x- xη）Lu+γτ（x- xη）L∑L（x- xη），可以用矩阵形式asxAx重写- 式（29）和（30）中给出了A和b，c=τ1/2xηLu+γτxηL∑Lη是一个常数，不影响最优解（但当然影响最佳预期效用的值）。为了证明A是正定义（PD），让我们首先注意到G是PD，因为它是下三角形，对角线元素Gii=G（0）>0。另一项，L∑Lcanbe重写为BB，其中B=LS，S是从∑的Cholesky分解得到的下三角矩阵（存在是因为∑是PD）。显然，B岛下三角形与S的对角线入口相同。

这些条目是正的，因为∑是PD，因此B是可逆的。可逆矩阵与其转置（如L∑L）的乘积为PD。最后，A是两个PD矩阵的和，因此它是PD。参考文献[1]Bertsimas，D.&Lo，A.（1998），《执行成本的最优控制》，金融市场杂志1 1-50。[2] Almgren，R.，&Chriss，N.（2000），《投资组合交易的最佳执行》，J.风险3 5–39。[3] Bouchaud，J.-P.，Farmer，J.D.和Lillo，F.（2009），市场如何慢慢消化供求变化。《金融市场手册：动态与演化》，T.Hens和K.Schenk Hoppe编辑，学术出版社：纽约。[4] Alfonsi，A.、Schied，A.、Slynko，A.（2012），《订单弹性、价格操纵和正投资组合问题》。暹罗金融数学杂志，3（1），511-533。[5] Bouchaud，J.-P.、Gefen，Y.、Potters，M.&Wyart，M.（2004），《金融市场的波动与响应：“随机”价格变化的微妙性质》，数量金融4 176–190。[6] Busseti，E.和Lillo，F.（2012），《存在暂时市场影响时金融交易最佳执行的校准》，J.Stat.Mech。P09010【7】Cartea，A.，Jaimungal，S.，和Penalva，J.（2015）。算法和高频交易。剑桥大学出版社。[8] Curato，G.、J.Gatherel和F.Lillo（2017），《具有非线性瞬态市场影响的最优执行》，定量金融17，41-54[9]Donier，J.、Bonart，J.、Mastromatteo，I.、Bouchaud，J.-P.（2105），一个完全一致的非线性市场影响最小模型，定量金融15 1109–1121。[10] Gathereal，J.、Schied，A.&Slynko，A.（2012），《瞬时线性价格影响与Fredholm积分方程》，数学金融22 445–474。[11] Frei，C.&Westray，N.（2018）《VWAP订单的最佳执行：随机控制方法》，数学。

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