瞬时价格影响下的最优VWAP执行

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英文标题：
《Optimal VWAP execution under transient price impact》
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作者：
Alexander Barzykin and Fabrizio Lillo
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We solve the problem of optimal liquidation with volume weighted average price (VWAP) benchmark when the market impact is linear and transient. Our setting is indeed more general as it considers the case when the trading interval is not necessarily coincident with the benchmark interval: Implementation Shortfall and Target Close execution are shown to be particular cases of our setting. We find explicit solutions in continuous and discrete time considering risk averse investors having a CARA utility function. Finally, we show that, contrary to what is observed for Implementation Shortfall, the optimal VWAP solution contains both buy and sell trades also when the decay kernel is convex.
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中文摘要：
在市场影响为线性和瞬态的情况下，我们利用成交量加权平均价格（VWAP）基准来解决最优清算问题。我们的设置确实更为一般，因为它考虑了交易区间不一定与基准区间一致的情况：执行差额和目标收盘执行被证明是我们设置的特殊情况。考虑到风险厌恶投资者具有CARA效用函数，我们在连续和离散时间内找到了显式解。最后，我们表明，与观察到的实现不足相反，当衰减核是凸的时，最优VWAP解决方案也包含买卖交易。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_VWAP_execution_under_transient_price_impact.pdf (433.92 KB)

2022-6-11 09:13:59 上传

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关键词：VWAP WAP Quantitative QUANTITATIV agent-based

瞬时价格影响下的最优VWAP执行Alexander Barzykin和Fabrizio Lillo*2019年1月16日摘要在市场影响为线性和瞬态的情况下，我们利用成交量加权平均价格（VWAP）基准来解决最优清算问题。由于考虑到交易区间不一定与基准区间一致的情况，我们的设定更为一般：执行差额和目标成交执行显示为我们设定的特殊情况。考虑到风险规避投资者具有CARA效用函数，我们在连续和离散时间内找到显式解。最后，我们证明，与实现短缺的观察结果相反，当decay核是凸的时，最优VWAP解也包含买卖交易。关键词：最优执行；成交量加权平均价格（VWAP）；暂时性价格影响；交易费用；市场微观结构。1简介最优执行正在成为市场微观结构和数学金融领域的一个热门领域。原因是，随着金融市场的电子化和碎片化，交易的执行需要先进的基础设施和关于交易订单如何影响价格的复杂知识。在最佳价格下的可用流动性非常小的情况下，最小化成本的最佳策略是按照凯尔在现代市场之前的假设，将5月份的交易顺序进行分割。因此，从Bertsimas和Lo【1】以及Almgren和Chris【2】的开创性论文开始，人们提出了许多解决最佳执行问题的贡献（有关广泛的评论，请参见【14、17、7】）。*Barzykin：汇丰外汇埃里斯克，全球市场部，汇丰银行股份有限公司。，英国。亚历山大。barzykin@hsbc.com.Lillo：意大利博洛尼亚大学Matematica分校。法布里齐奥。lillo@unibo.it.

我们感谢JeanineBaumert（他参与了该项目的早期阶段）和James Newbury进行了有益的讨论。问题的设置主要取决于两个因素：（i）市场影响模型和（ii）基准标准。关于第一个问题，实证文献[5,22,27,3]记录了原始文献[1,2]中假设的永久和固定市场影响假设没有得到遵守。相反，市场影响是短暂的，即影响在被触发后立即最强，然后迅速衰减，通常非常缓慢。这一证据导致了新模型的发展，其中最著名的是瞬态碰撞模型（TIM，早期称为传播子模型）[5]，其连续时间版本在[15]中提出。其他方法更详细地模拟了限额订单簿[23、12、9]，在某种程度上表现为TIM模型。TIM最初是为市场影响建模而开发的，现在立即成为优化执行问题的热门研究对象。参考文献。[3、6、10、8]构成一个不完整的列表。然而，上述所有论文都是在以实现差额（is）或到达价格为基准的假设下解决最优执行问题的。对于销售订单，这意味着执行尝试最大化收益预期收入与执行开始前按市值计价的订单价值之间的风险调整差异。尽管IS在学术文献中被广泛使用，但它可能不是业界使用最多的基准。更常见的替代方法是成交量加权平均价格（VWAP）、TargetClose（TC）和成交量百分比（POV）。令人惊讶的是，考虑这些基准的研究相对较少。在例外情况中，参考文献。

[18、20、16、11]考虑了VWAP，但使用的价格影响模型是Almgren和Chris的模型（有无随机市场容量）。据我们所知，当执行以VWAP（TWAP）或TC为基准时，没有论文研究TIM下的最优执行问题。在本文中，我们通过在连续和离散时间内解决问题来填补这一空白。我们构建了一个设置，即经纪人必须在一个时间窗口[0，T]内出售一定数量的股票，我们将在一个时间间隔[T，T]内的VWAP作为基准 [0，T]。在下一节中，我们将在实践中出现这种情况时进行激励。这里值得注意的是，TC和VWAP是这个一般问题的特例。T=0和T时的第一个→ T、 当T=T和T时的第二个→ 当T=0且T=T时，则为最后一个。有趣的是，当[T，T]是有限的且与[0，T]不一致（称为区间VWAP）的情况在实践中也很有趣，详情如下。问题设置假设代理具有CARA实用功能，这是此类问题的标准功能（例如，请参见[17]）。我们通过将效用函数的最大化问题转化为求解积分方程的问题来解决不连续时间问题，类似于[10]中针对IS情况所做的工作。如果必须向问题添加更多约束条件（例如，最大参与率），则在离散时间内设置问题是有用的。事实上，效用函数的最大化可以转化为一个二次优化问题，该问题可以附加线性甚至二次形式的额外约束，而不会显著改变问题的复杂性。

最后，他们当然会在其他方面有所偏离，因此，对于TIM来说最理想的，对于其他订单模型来说未必如此。当市场容量被视为常数时，经常使用的时间加权平均价格可以被视为VWAP的特例。离散案例允许将执行的交易量添加到基准中，这是一种与非常大的交易相关的添加。本文的组织结构如下。第2节介绍了TIM及其与动态套利存在相关的知识产权。第3节设置了连续时间内的优化问题，并找到了与积分方程的等价性。此外，给出了简单情况下的显式解。在第4节中，我们重述了离散时间的问题（讨论了与连续时间情况的联系），解决了它，并给出了一些具体的数值例子。最后在第5节中，我们得出结论并为进一步的工作提供建议。2瞬态影响模型任何最优执行问题都严重依赖于市场影响模型，即价格对执行交易的反应。在本文中，我们将考虑文献[5]中介绍的瞬态碰撞模型（TIM）（又称传播模型）（另见文献[3]）。最初在事务（即离散）时间中引入，在[15]中被推广到连续时间。考虑到时间间隔[0，T]，并用St表示时间T的价格，TIM isSt=S+Ztf（˙xs）G（T）下的价格演变-s） ds+ZtσsdWs（1），其中˙xtdt>0是在[t，t+dt]中考虑的执行出售的股份数量，wse是适当概率空间中的维纳过程，波动率σ是确定性函数。

函数f描述了已执行交易对价格的瞬时影响，在本文考虑的线性情况下，它是f（˙xt）=-k˙xt（2）函数G（t）被称为模型的核或传播子，描述了交易对价格和G（t）的延迟影响- s） 描述了时间s的交易如何影响时间t的价格。由于通常观察到G是一个递减函数[5，25]，因此该模型中的影响是瞬态的。相比之下，其他市场影响模型，如Almgren和Chriss[2]的模型，假设了永久性影响（即持续性影响）加上仅影响成本的临时性影响。大量文献考虑了不同市场影响模型下的价格操纵和动态套利问题【15、4、14、10、8、26】。当存在往返策略时，Animpact模型允许价格操纵，从而对预期产生一定影响【14】。相反，如果中间买入（卖出）交易可以增加卖出（买入）计划的预期收入，则该模型允许交易触发价格操纵“[4]。可以证明，没有交易触发的价格操纵意味着没有价格操纵[14]。当将TIM视为市场影响模型时，已经推导出了一系列不存在市场操纵的条件（见【14】）。特别是，当（1）中的函数f是线性函数时，G的凸性足以保证不存在交易触发的价格操纵。然而，尽管实证文献表明f具有非线性行为，但具有非线性f的TIM模型似乎承认了价格操纵，从而得出了这一结果。将实施不足视为最小化的功能。

在本文中，我们展示了当目标不同时（在我们的例子中是VWAP），G的凸性不再有效，并且确实是销售计划的最优解同时包含买卖交易。3连续时间内的问题设置我们考虑一个一般问题设置，即经纪人必须在一个时间窗口[0，T]内出售数量超过0股的股票，称为交易间隔，并且她在一个时间窗口[T，T]内以市场VWAP为基准 [0，T]，称为基准间隔。该公式涵盖了大多数标准设置，例如T=T=0时的实施不足，T=T=T时的目标关闭，以及T=0时的间隔VWAP，T=T。[T，T]的概况 [0，T]可能出现在经纪人必须在给定的时间间隔内保证VWAP价格，但由于限制（例如，最大POV），XI太大而无法在此时间间隔内交易的情况。时间点基准（如市场收盘）提供了一个限制性场景，通常在市场收盘前执行目标收盘算法来解决这个问题。某些工具可以在收盘后进行交易，由于波动性风险降低，可能更可取。行业时间点基准正被区间基准所取代，从而支持一般的制定。标准化条件要求zt˙xtdt=x（3），即使rtxtdt>x是可能的，即经纪人也可以决定在市场上购买部分股票（如果允许的话）。设Vtdt为确定的市场交易量【t，t+dt】。VWAP基准由V W APTT=RTTSTVTTRTVTDT=ZTηtStdt（4）给出，其中ηt=VtRTTVsdsIt∈【T，T】（5）其中IBI是集合B的指标函数。经纪人的目标函数是她能够从交易区间的收益中获得的现金与她将返还给客户的现金之间的差异，等于xV W APTT。

这种差异当然是一个随机变量，因此我们必须假设一些效用函数来模拟经纪人的风险规避。为此，让我们定义现金流程dxt=˙xtStdt X=0。（6） 假设一个CARA风险规避代理，策略x的目标函数≡ {xt}TisU[x]=E[-经验值(-2γ（XT- xV W APTT））]（7）其中2γ是风险规避参数。我们现在可以插入式（1）中关于价格动态的TIM，并证明以下命题：线性影响下的命题1，f（z）=-当k＞0时，效用函数（7）的最大化等价于函数l[x]的最小化≡ZTZT˙xt˙xsG（| t- s |）ds dt- xZTηtdtZtG（t- s） ˙xsds（8）+γkZTZTdt dt（˙xt- xηt）（˙xt- xηt）Zt∧tσs这一命题和以下命题的证明见附录。为了找到最佳执行，我们按照【10，21】的方法使用了变分法。我们考虑一个策略dys=δt（ds）- δt（ds）0≤ t型≤ t型≤ T（9）对应于在时间T瞬时购买一个单元，该单元在时间T瞬时出售。用x表示*最佳策略和设置z=x*+ αy，通过设置E[C[z]]αα=0=0（10）虽然在一般情况下可以获得积分方程，但在下文中，我们将把注意力限制在风险中性投资者的情况下（γ=0）。在第4节中，我们还将探讨离散时间环境下风险厌恶型投资者（γ>0）的情况。

此过程导致以下命题：命题2策略{x*t} t用γ=0最小化函数（8），满足积分方程ztg（| t- s |）dx*s- xZTtηsG（s- t） ds=λ（11），其中λ是通过总体积贸易dztdx的归一化设置的常数*s=x（12）备注1我们提醒【10】当目标函数为实现不足时，TIM下的最佳执行满足方程ZTG（| t- s |）dx*s=λ（13），因此在VWAP目标函数下，有一个附加项-xRTtηsG（s- t） D在方程式的左侧。备注2当T=T=0时，为ηT=2δ（T），式11中的第二个积分为-xZTtδ（s）G（s- t） ds=0由于t>0，积分方程简化为公式13，即Schied等人获得的公式。[10] 对于实施不足的优化。注意，这里和下面我们使用的约定是rbaδ（x-a） f（x）dx=f（a）/2。因此，sinceRTηtdt=1，当η是以t=0或t=t为中心的狄拉克三角洲时，我们必须包含因子2。我们可以用备注1将积分方程的解写成两项之和。为此，我们引入变量ws=˙x*s- xηswithRTwsds=0，通过替换in（11），我们得到了ztg（| t- s |）wsds=λ- xZtηsG（t- s） ds（14）可以将解ws=w（1）s+w（2）s写入第二项solvesZTG（| t- s |）w（2）sds=-xZtηsG（t- s） ds（15）设置x=RTw（2）sds，第一项解算TG（| t- s |）w（1）sds=λ，ZTw（1）sds=-这是当目标函数为is和sharesi的数量时的方程-x、 备注3当T=T=T（目标关闭）时，为ηT=2δ（T-T），式11中的第二个积分减少到-xZTt2δ（s- T）G（s）- t） ds=-xG（T- t） 积分方程变成tg（| t- s |）dx*s=λ+xG（T- t） 该积分方程的解为˙x*s=w（1）s+xδ（T- t） 标准化RTW（1）sds=x/2。

换言之，TC基准下的最佳时间表是在IS情况下交易的x/2股和剩余的x/2股交易的总和t=t。3.1当基准区间和交易区间重合时VWAP的显式解我们在这里考虑基准VWAP区间[T，T]与交易区间[0，T]重合且ηT=1/T的情况，t型∈ [0，T]，即市场容量在区间内保持不变（TWAP）。在这种情况下，我们能够找到两种不同核的显式解决方案，并将结果与在不同影响模型下获得的最优计划进行比较。更一般的情况将在第4.3.1.1节指数核中使用时间离散化进行数值探索。我们首先考虑指数核G（t）=e-ρt。众所周知，这种类型的核与Obizhaeva Wang[23]的订单弹性模型是一致的。我们提醒大家，当最小化IS时，解决方案是在T=0和T=T的时间瞬间交换有限分数1/（2（1+ρT）），在（0，T）的恒定速度下交换分数ρT/（1+ρT）。对于任何核，IS最优tradingschedule相对于T／2是对称的。确定交易速度vt≡ ˙xt，很容易测试类型vt的解=aδ（t）+b+aδ（t- T）（16）满足（11），通过施加归一化条件，我们得到结果T=xρT（2+ρT）[2（1+ρT）δ（T）+ρ（1+ρT）- 2δ（t- T）]（17）因此，最好在T=0时卖出一笔固定金额，然后在整个时间间隔内持续卖出[0，T]，最后在T=T时买入一笔固定金额。因此，我们看到，与IS的情况不同，VWAP下的最优执行（i）不再是围绕T/2对称的，并且（ii）允许交易触发的价格操纵，即使G是凸的。