瞬时价格影响下的最优VWAP执行

正如我们接下来将看到的，这些属性也适用于内核函数的其他选择。3.1.2幂律kernelIt众所周知，经验数据清楚地表明，对于大滞后，核G（t）表现为幂律[5，3]：事实上，对于小股票，幂律行为主义者观察到了τ的所有值，而对于小股票，非常小的滞后会出现起伏[25]。对于分析可跟踪性，我们将在这里考虑G（t）=t的情况-κ<1。为了找到VWAP执行的最佳解决方案，我们使用了（15）的分解。我们提醒您，在的情况下，是执行的最佳解决方案-xshares为[3，10]w（1）t=-xTκΓ1 +κ√πΓ1+κtT1.-tT(1-κ） /2（18）注意，w（1）在[0，T]中总是正的，并且相对于T/2对称（Ushaped），在T=0+和T=T时发散-.函数w（2）s解积分方程ztw（2）s | t- s |κds=-xT（1- κ） t1级-κ≡ f（t）这是一个具有常数极限的广义阿贝尔积分方程[13，24]。UsingEqs。[24]中的（2.58）和（2.62），可在asw（2）t=-cosπκπ[t（t- t） ]（1-κ） /2PZT[s（T- s） ]（1-κ） /2秒- t型ddsZsf（u）（s）- u） 1个-κduds+sinπκ2πddtZtf（s）（t- s） 1个-κds==xT（1- κ） ×（19）“cosπκπ[t（t- t） ]（1-κ） /2PZT[s（T- s） ]（1-κ） /2秒- t型ddsZsu1-κ（s- u） 1个-κduds公司-sinπκ2πddtZts1-κ（t- s） 1个-κds其中P表示Cauchy主值积分。

当κ<1时，这个表达式可以重写为：t=xTπcscπκ×（20）“cosπκπ[t/t（1- 电汇）]（1-κ） /2PZ[z（1- z） ]（1-κ） /2z- t/Tdz-sinπκ2π#（21）SincePZ[z（1- z） ]（1-κ） /2z- t/Tdz=（22）κ-1.√πΓ1.-κF（1，-1 + κ, (1 + κ)/2; 电汇）Γ1.-κ-πtanκπ[t/t（1- t/t）]（κ-1） /2，其中f为超几何函数，解为w（2）t=xT“-1 +κ-2.√πcsc（κπ/2）Γ1.-κΓ1+κF（1，-1 + κ, (1 + κ)/2; 电汇[电汇（1- 电汇）]（1-κ） /2#（23）通过直接积分X=ZTw（2）tdt=-X该值用于w（1）的表达式中，最后我们得到了tradingvelocity vt≡ ˙xtvt=xTκ-2.√πcsc（κπ）Γ1.-κΓ1+κκ+F1.-1 + κ,1+κ;tTtT1.-tT(1-κ） /2（24）SinceF1.-1 + κ,1+κ; 0= 1，当t→ 0+（与IS情况相同），而条件F1.-1 + κ,1+κ; 1.= -1和κ<1意味着vtdivariges注意，以下表达式也可用于确定一般ηs6=1/T的最佳执行，因为当核是幂律时，等式11是具有常数限制的广义阿贝尔积分方程。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1 0 1 2 3测量速度κ=0.15κ=0.25κ=0.35κ=0.90.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2 0 4指标交易速度图1：基准区间与交易区间一致的VWAP的最佳交易计划[0，1]。价格没有漂移，经纪人是风险中性的。Leftpanel为内核的指数κ的不同值报告了四个计划。右侧面板。对于κ=0.25的TIM，黑线是最佳解决方案。绿色（β=0.9）和蓝色（β=3）线是在[16]中获得的永久线性价格影响下的解决方案（如Almgren Chriss）。对t的否定→ T-. 这意味着在VWAP卖出执行中，在交易期结束时买入是最佳选择，因此该策略允许交易触发的价格操纵，即使G是凸的。

最后，在极限κ中观察到这一点很有趣→ 1，最佳时间表为vt=x/T，即以恒定速度交易。为了便于说明，我们考虑x=1和T=1的情况。图1的左侧面板显示了κ=0.15、0.25、0.35、0.9的最佳时间表。很明显，这个解不是对称的w.r.t.t/2。此外，从质量上讲，与指数alkernel的情况类似，最佳解决方案是在t=0左右非常强烈地卖出，然后以较低的速度卖出，在接近t=t=1时非常强烈地买入。κ越小，负交易速度区域越大。相反，如上所述，当κ接近1时，最优进度接近常数，分别在t=0和t=t处出现正峰值和负峰值。备注4有趣的是，将我们的κ=0.25的解与【16】中获得的线性永久冲击模型a la Almgren-Chriss的解进行比较。假设k为常数的线性永久冲击和η为常数的二次临时冲击，[16]发现风险中性因素的最佳解决方案是VT=x[（β+1）- 2βt]，其中β=kV/4η，V为市场容量。图1显示了对应于β=0.9（绿色）和β=3（蓝色）的两种溶液。从质量上讲，在这些解决方案中，最好在区间开始时交易更快，在β较大的情况下（即暂时影响较小），最好在接近尾声时回购一部分。4离散时间的解在本节中，我们通过使用离散时间框架来推导最优VWAP的解。此设置将允许获得明确的解决方案，并探索附加约束的作用（例如，在销售计划中不允许购买的要求）。

离散时间设置可以在三个不同的级别上应用：（i）在离散时间中表示成本函数（8），并解决优化问题；（ii）使用离散时间获得积分方程（15）的求积；（iii）在离散时间内写入TIM（1），导出相应的成本，然后将其最小化。值得注意的是，这三种方法得出的结果并不完全相同，但是，如果离散化中使用的时间间隔非常小，则差异是可以忽略的。在下文中，我们将考虑方法（iii），并简要讨论与方法（i）的差异。让我们将区间[0，T]除以N个相等的区间，并确定τ=T/N。现在，该策略是一个向量x=（x，…，xN），其中xi是在区间i中交易的股份数量，即T∈ [（一）- 1） τ，iτ]。离散时间isS`=S中销售执行的价格动态- k` Xi=1G（`- i） xi+τ1/2 ` xi=1i`={0，…，N}（25），可以用向量形式asS=S1重写- kGx+τ1/2L （26）其中S=（S，…，SN），1=（1，…，1），L是1的下三角矩阵（即，如果i≥ j、 否则为零），G是下三角矩阵，使得gij=G[τ（i-j） ]如果我≥ 否则为零。最后 ~ N（u，∑）是描述价格动态的高斯随机向量，无需执行。即使在以下内容中，我们将主要关注u=0和∑=diag（σi），我们也将提供漂移和相关收益的解决方案。期末现金金额为XN=xS。一般来说，我们认为VWAP基准介于t=和t=t之间，对应于`=bNT/t e `=bNT/t e是对初始和最终交易区间的最接近整数的四舍五入。我们表示B={`∈ 编号：`≤ ` ≤ `}我们引入一个向量η，其分量η`=V ` | |η| I`∈B（27）式中，V `是区间交易的市场量\'，I是指标函数。

基准是xηS，归一化确保1η=1。效用函数为U[（x- xη）S]，并且使用风险规避2γ的CARA效用函数下的高斯假设，预期效用isU[x]=E[（x- xη）S]- γV[（x- 在附录中，我们证明了以下命题。目前，我们忽视了我们在基准上的交易，请参见第4.2小节。命题3在风险规避为2γ的CARA效用函数下，使期望效用最大化的最优VwapeExecution（28）是二次优化Minx的解xAx公司- bx公司s、 t.1x=x，其中=kG+γτL∑L（29）b=kxηG+2γτxηL∑L+τ1/2uL（30）。此外，如果∑为正定义，则矩阵A为正定义。因此，二次优化的解是存在的，并且是唯一的。由于问题可以以二次优化形式重新表述，因此可以添加一些额外的约束，而不会影响问题的难度。例如，可以添加所有交易都具有相同符号的约束，例如销售执行中的nobuys（xi≥ 0, i） ，或限制最大交易速度（| xi |≤ X最大值，i） 。备注5注意，当T=1和T=N时，无法获得通过离散化成本函数得出的相同解。这是因为这里我们离散化了影响模型，而不是成本。这两种解决方案之间的差异是由于G的对角线项，当离散化成本时，G的对角线项比通过离散影响模型获得的对角线项少一半。然而，策略之间的差异很小，当N→ ∞.4.1数值结果在本节中，我们探讨了不同参数选择下的最优解。在所有分析中，我们将设置τ=1、T=N=50、k=1和x=1000。此外，我们选择幂律核Gij=2+| i-j |κ，κ=0.5。最后，我们假设一个fl-at-marketvolume-pro-file，即。

V`=常数。图2显示了γ=0（即风险中性经纪人）、u=0（无漂移）、T=0和T=T的基线情况。红色圆点表示无约束问题，蓝色圆点表示约束xi的情况≥ 0, i、 第一种方法类似于图1所示的连续时间内的解决方案，在执行结束时出现负头寸（买入），而在第二种方法中，负夏尔基本上被限制为零。在这两种情况下，预期效用的价值（在风险中性情况下对应于预期现金减去VWAP）均为正值，表明清算价值大于VWAP，因此是经纪人的净利润。然后我们考虑漂移和风险厌恶的作用。图3的左面板显示了风险中性因素的最佳解决方案和（恒定）漂移的不同值。蓝色（红色）线表示正（负）漂移，而黑色线表示无漂移基准情况。正如直觉所示，当漂移为正（负）时，推迟（预期）出售股票是最佳选择。图3的右面板显示了不同风险规避参数γ在无漂移情况下的最佳解决方案。Weset∑=diag（σi），具有恒定的波动率σi=0.01i。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50-20 0 20 40 60 80分时度假解决方案图2：基准间隔与交易间隔一致的VWAP的最佳交易计划。价格没有漂移，经纪人是风险中性的。红色圆点表示无约束的情况，而蓝色圆点表示对交易的非负性有约束的情况（没有买卖执行）。备注6值得注意的是，对于非常大的风险规避，最佳交易利润会发生变化，即：。

如果经纪人只关心利润的变化，最佳选择是以恒定的速度进行交易，在恒定的市场交易量V“的假设下，这意味着固定的交易量百分比（如POV策略）。请注意，这与is基准[6]下发生的情况不同，因为在这种情况下，风险中性U形变得不对称，并且策略是前置的（即在执行开始时比在执行结束时更具交易性），我们现在得出基准期[T，T]与交易期[0，T]不一致的情况。图4显示了当T=25=T/2和T=38’3T/4时，无风险价格和风险中性经纪人的解决方案。图中显示了交易符号上有（黑色）和无（红色）限制的结果。我们观察到，最佳解决方案是在基准区间之前、期间和之后进行交易。如果规定所有交易必须具有相同的标志，则最好不要在基准期之后进行交易。有趣的是，在基准期开始之前，交易模式类似于IS下最优执行的U形（连续时间表达式见等式18），而在基准期内，交易模式类似于交易区间与基准区间重合时获得的模式（见图2）。最后，我们考虑经纪人的预期超额利润E[（x- xη）S]取决于基准间隔。

超额利润是指交易期结束时的现金与基准期内的VWAP之间的差异（即●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50-出售50 0 50 100 150个分时度假●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50-20 0 20 40 60 80次出售的股份●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ●● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ●●●●●图3：左侧。针对价格漂移ui=4（青色）、ui=2（蓝色）ui=-2（红色），ui=-4（洋红色）。黑点指的是无漂移基准案例。正当无漂移价格下风险厌恶型经纪人的最优VWAP计划。风险规避参数γ的值为0（黑色）、0.5（红色）、1（绿色）、3（蓝色）、7（青色）、100（品红）。在两个面板中，基准间隔与交易间隔一致。经纪人给客户的现金）。我们再次考虑T=50、无风险价格、风险中性经纪人和上述其他参数。图5的左面板显示了以t/2为中心的基准期和可变长度的预期超额利润。很明显，提供最大利润的时间间隔是最短的。鉴于此结果，右侧面板显示了长度为1的基准期的超额利润，作为基准期所在交易期内时间的函数。

形状是非单调的，对于所选参数，提供最大利润的基准周期长度为1，位于时间t=t=36。总之，提供最大利润的基准期非常短，并且位于交易间隔的后半部分。值得注意的是，我们隐含地假设，对于短期基准期所需的非常大的交易强度，等式（1）的市场影响模型也将继续适用。这在现实中是不可能的，应在方案3的优化中添加额外的约束条件（例如最大行驶速度），以获得更现实的结果。4.2将执行量包括在基准中，特别是对于短期基准，来自最佳执行的量可能是市场量的重要组成部分，因此应将其添加到基准中。因此，公式（27）可能不精确，应替换为η`=V`+| x ` | P`∈BV`+P`∈B | x ` | I`∈B●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50-50 0 50 100分时解决方案图4：基准间隔T=25和T=38（垂直线）的aVWAP贸易标志上无（红色）和（蓝色）约束的最佳时间表。由于x `以绝对值和分母出现，在优化中插入此基准价格会导致非二次优化，这可能很难解决。我们将在这里考虑当| x ` |时的情况 V`，导致膨胀η`≈V`+x`P`∈BV公司`1.-P`∈Bx`P`∈BV公司`我`∈b注意，这个向量的Lnorm，P `η\'，等于1。

为简单起见，我们考虑V`=V的情况，并用 = T- T+1基准时间的长度，因此η`≈+x个`五、-P`∈Bx公司`v效用函数的参数可以重写为x- x[a+M x]其中a`=I`∈B类/ andMij=七∈BIj公司∈B在中-^INis是N×N单位矩阵，^1是单位矩阵（所有元素都是1的矩阵）。总之，优化与之前相同，只是改变了→ G- xM5结论在本文中，我们设置并解决了当基准是特定时间间隔内的成交量加权平均价格且价格影响是暂时的时，订单的最优执行问题。通过考虑TradinInterval大于基准间隔的一般情况，我们已经证明了几个现有的最佳执行基准（实现不足、目标关闭、VWAP和●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●10 20 30 40 50 50 000 000 100000 150000基准区间长度超额利润●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50100000 150000 200000次超额利润图5：经纪人在基准间隔与交易间隔不同的情况下执行VWAP的超额利润。左面板显示了以t/2为中心时，作为基准期长度函数的利润。右侧面板显示了基准期具有单位长度时，作为交易期内时间函数的利润。TWAP）可视为特例。我们考虑了连续时间内的解，将最大化问题映射到积分方程的解中，与文献[10]中所做的一致。离散时间的解被简化为标准的二次优化问题。我们没有明确考虑将交易成本和子订单安排作为实际应用所需的优化的一部分。