漂移部分信息下的均值-方差投资组合选择

如上所述，我们需要寻求以下正向反向SDE的解决方案：dYt公司=（b+γπt- r） ut+rYtdt+utdνt，Y=Y，dπt=γπt（1- πt）dνt，dρt=-rρtdt-（b）- r+γπt）ρtdνt，ρ=1，π=c，YT=c+cρt，（3.20），其中c=P（u=a），c=zEρt-yEρTVar（ρT）和c=y-zEρTVar（ρT）是已知常数。为了证明ρt的可逆性，我们通过以下SDE定义Φt：dΦt=（r+（b- r+γπt））Φtdt+（b- r+γπt）Φtdνt，Φ=1。（3.21）将It^o公式应用于ρtΦt，我们得到（ρtΦt）=0，因此，ρtΦt≡ ρΦ= 1. 由于ρtYtis a mar tingale，则nyt=ρ-1tE（ρTYT | Gt）=ρ-1tE（θ| Gt）=ΦtE（θ| Gt）。（3.22）将It^o公式应用于（3.22），并将结果与（3.20）进行比较，得到最优投资组合的表达式（3.18）。下一节的目标是求FBSDE（3.20）的数值解（ut，Yt，πt，ρt）。1990年，基于Malliavin calculusPa rdoux和Peng[2 2]的4种数值格式获得了非线性BSDE的唯一可解性结果。此后，越来越多的文献研究了BSDE的数值方法（[17]、[8]、[1]、[18]、[16]、[28]、[2]、[3]、[9]、[27]）。在[4]中，Malliavin微积分方法和MonteCarlo近似被用于研究条件期望，在Zhang的博士论文[26]中，还研究了在较弱条件下使用Malliavin导数的BSDE的一些精细性质。然而，上述工作基于BSDE漂移系数具有确定性的设置。我们不能将这些数值模式直接应用于我们的模型。在熊和周的[23]模型中，漂移项中出现的Utan和Yt的系数通常是随机的。他们对具有随机系数的BSDE的解（ut，Yt）提出了一种数值近似（unt，Ynt）。

然而，由于技术困难，只有YNTO的收敛性得到了验证，而投资组合的收敛性问题没有得到解决。Yntto Ytis的收敛速度在那篇论文中没有确定。在本节中，我们为BSDE（3.17）提出了一个有效的数值方案f，其中终端值v的形式为c+cρT，其中c、care常数和ρ是一个马利雅文可区分的微分过程（详细计算见定理4.1）。借助Malliavin演算，我们证明了我们的投资组合方案和财富过程在强Lsense中收敛，并导出了收敛速度。表示N（t）：=E（θ| Gt）。我们注意到，熊和周[23]的BSD Es数值格式的主要复杂性来自被积函数ηtin（3.19）的近似，这很难直接计算。他们使用下面的程序来近似ηt：首先，他们将[0，t]划分为n个区间，并通过分区点上的离散版本来近似二次协变量过程：=hN，νit=Ztηsdsb。他们进一步将上述每个子区间划分为更小的子区间，并获得ηs，s的近似值≤ t、 这一过程的计算效率不高，因为双分区会极大地增加错误。这将在下一节的数值示例中看到。为了克服上述数值格式的上述缺点，我们转而使用Malliavin演算中的Clark-Ocone公式来获得ηt的显式表达式。事实上，这将是Malliavin导数的条件期望。我们的数字模式将基于此表示。定理4。我们可以表示ηtas E（Dtθ| Gt），其中Dt是Malliavin导数算子。

此外，Dtθ=（c+2cρT）DtρT（4.1）和DtρTis给出n byDtρT=ρT-ZTtγ（b- r+γπs）Dtπsds- （b）- r+γπt）+ZTtγDtπsdνs, （4.2）dtπs=γπt（1- πt）expZstγ（1- πr）dνr-Zstγ（1- 2πr）dr. （4.3）证明。注意θ=ρTYT=cρT+cρT，因此，（4.1）通过在两侧应用Malliavin导数。ρT=exp-ZT[r+（b- r+γπs）]ds-ZT（b- r+γπs）dνs,直接计算得出（4.2）。将Malliavin导数应用于恒等式积分形式（3.6）的两侧，wegetDtπs=γπt（1- πt）+Zstγ（1- 2πr）Dtπrdνr.（4.4），然后，（4.3）求解线性SDE（4.4）。最后，（4.1）遵循第2节中给出的ClarkOcone公式。备注4.1。我们的方法基于ρTso的Malliavin微分，即（3.17）的解可以明确表示。在本文中，我们的设置是一个漂移不确定的ty模型，u只取两个值，然而，整个分析可以推广到一个具有多个风险资产的模型，其中漂移向量取有限状态，在此假设下，我们仍然可以推导出ρT.4.1数值格式的Malliavin可微性及其基于定理4.1的分析，很容易证明ηt=E（Dtθ| Gt）：=N（t）+γN（t）+γN（t），其中Nj（t）=E（Ij | Gt），j=1，2，3，其中i=-（cρT+2cρT）（b- r+γπt，（4.5）I=（cρt+2cρt）zttdtdtπsdνs，（4.6）I=-（cρT+2cρT）ZTt（b- r+γπs）Dtπsds，（4.7）和Dtπsis由（4.3）给出。在定理3.2的证明中，求解最优投资组合的关键是Gt鞅E（θ| Gt）的鞅表示。我们将建立这个鞅的粒子表示f。（3.9）的解由ρt=exp给出-Zt（b- r+γπs）dνs-Zt（r+（b- r+γπs）ds, （4.8）表示▄ρt：=对数ρt，然后d▄ρt=-（b）- r+γπt）dνt- （r+（b- r+γπt）dt。

（4.9）为了近似E（πt | Gt′），我们使用条件SLLN，使得π由（3.6）给出，其中νsbe替换为νiss表示s≥ t′，其中νi，i=1，2，····是ν的独立副本。更准确地说，我们用两个时间指数定义了以下过程πi（t，t′），如下所示：≤ t′，πi（t，t′）=πt，对于t≥ t′，dπi（t，t′）=γπi（t，t′）（1- πi（t，t′）dνit，πi（t′，t′）=π（t′）。（4.10）为了近似E（ρt | Gt′），我们使用E（exp（|ρt）| Gt′）。对于t≤ t′，ρi（t，t′）=ρt，和fort≥ t′，dρi（t，t′）=-（b）- r+γπi（t，t′）dνit- （r+（b- r+γπi（t，t′）dt，|ρi（t′，t′）=|ρ（t′）。（4.11）通过条件SLLN，我们可以很容易地证明下列恒等式。提案4.1。表示ρi（T，T）=exp（|ρi（T，T）），我们有（T）=-（b）- r+γπt）limm→∞mmXi=1（cρi（T，T）+2c（ρi（T，T）），N（T）=limm→∞mmXi=1（cρi（T，T）+2c（ρi（T，T）））zttdtdtπi（s，T）dνis，N（T）=limm→∞mmXi=1-（cρi（T，T）+2c（ρi（T，T）））ZTt（b- r+γπi（s，t））Dtπi（s，t）ds。为了近似Nk（t），（k=1，2，3），我们使用离散Euler格式来近似πt。为了便于记法，从现在起我们假设t=1。然后，我们将时间间隔[0，1]离散为n个小间隔，并设δ=n。注意，SDE（3.6）中的扩散系数为σ（x）=γx（1- x） ，不满足全局Lipschitz条件（2.7）。为了克服这一障碍，我们将σ（x）定义为以下σ（x）=γx（1- x） ，x∈ [0，1]，0，x/∈ [0, 1].使用πt的事实t∈ [0，1]对于所有t∈ [0，T]，很容易看出，π是以下SDEdπT=(R)σ（πT）dνT.（4.12）的解，该SDE满足全局Lipschitz条件（2.7），所以π是唯一解。

因此，我们通过将Euler格式应用于（4.12）而不是SDE（3.6）来近似πtb。首先，我们定义πi，δ（t，t′），t，t′≥ 0，分两步执行。对于l≤ k、 设πδ（lδ，kδ）：=πδ（（l- 1） δ，kδ）+σ（πδ（（l- 1） δ，kδ）νlδ- ν（l-1)δπδ（0，kδ）：=c（c是[0，1]中的常数）；对于l>k，设πi，δ（lδ，kδ）：=πi，δ（（l- 1） δ，kδ）+σ（πi，δ（（l- 1） δ，kδ）νilδ- νi（l-1)δ.对于l≤ k、 设ρδ（lδ，kδ）：=expρδ（（l- 1） δ，kδ）- δ（r+（b- r+γπδ（（l- 1） δ，kδ）））-（b）-r+γπδ（（l- 1） δ，kδ）νlδ- ν（l-1)δ; （4.13）对于l>k，设ρi，δ（lδ，kδ）：=expρi，δ（（l- 1） δ，kδ）- δ（r+（b- r+γπi，δ（（l- 1） δ，kδ）））-（b）- r+γπi，δ（（l- 1） δ，kδ）νilδ- νi（l-1)δ, （4.14），其中|ρδ=0。类似地，表示￠Φt=对数Φt，并让￠Φδkδ：=￠Φδ（k-1)δ+ δr+b- r+γπδ（（k- 1） δ，kδ）+b- r+γπδ（（k- 1） δ，kδ）νkδ- ν（k-1)δ,当||Μδ=0时。那么Φδkδ=exp（|Φδkδ）。接下来，我们用Nm近似Ni（t），δi（kδ），（i=1，2，3；m与SLLN相关，稍后选择）。对于所有s∈ [t，t]，t∈ [0，T]，设k=[nt]，j=[ns]。然后t∈ [kδ，（k+1）δ）和s∈ [jδ，（j+1）δ）。我们将Nm，δi（kδ），（i=1，2，3）定义如下：Nm，δ（kδ）=-b- r+γπδ（kδ）mmXi=1cρi，δ（T，kδ）+2c（ρi，δ（T，kδ））,Nm，δ（kδ）=mmXi=1cρi，δ（T，kδ）+2c（ρi，δ（T，kδ））Si，δ（T，kδ），Nm，δ（kδ）=mmXi=1-cρi，δ（T，kδ）+2c（ρi，δ（T，kδ））Si，δ（T，kδ），其中Si，δ（T，kδ）=n-kXl=1Dkδπi，δ（（l+k-1） δ，kδ）νilδ- νi（l-1)δ,Si，δ（T，kδ）=n-kXl=1δ（b-r+γπi，δ（（l+k- 1） δ，kδ））Dkδπi，δ（（l+k- 1） δ，kδ）。在上述公式中，Dkδπi，δ（jδ，kδ），（j=k，··，n-1） 仍然是随机积分。根据（4.4），我们仅在一步中确定Dkδπi，δ（jδ，kδ）。即，对于j≥ k、 我们定义了kδπi，δ（jδ，kδ）：=Dkδπi，δ（（j- 1） δ，kδ）+γ1.- 2πi，δ（（j- 1） δ，kδ）Dkδπi，δ（（j- 1） δ，kδ）νijδ- νi（j-1)δ对于Dkδπi，δ（kδ，kδ）=γπkδ（1- πkδ）。最后，我们得到ηδ，mkδ=Nm，δ（kδ）+γNm，δ（kδ）+γNm，δ（kδ）。

（4.15）综上所述，我们可以近似计算y和ut，kδ≤ t<（k+1）δ，Yδ，mkδ和uδ，mkδ，其中Yδ，mkδ=ΦδkδmmXi=1cρi，δ（T，kδ）+cρi，δ（T，kδ）（4.16）anduδ，mkδ=（b- r+γπδkδ）Yδ，mkδ+Φδkδηδ，mkδ。（4.17）定理4.2。存在一个常数C，使得对于任何kδ≤ T=1，we h avekukδ- uδ，mkδk≤ C√δ +√m级andkYkδ- Yδ，mkδk≤ C√δ +√m级.证据因为我们对满足定理2.3中所有条件的新方程（4.12）应用了Euler格式。

因此，kπ- πδk≤ C√δ.此外，由于Φt、ρ和Dtρ是由指数随机积分给出的，然后由Burkholder-Davis-Gundy不等式和H¨older不等式给出，我们得到了kΦ- Φδk≤ C√δ、 kvρ- vδρδk≤ C√δ、 kDtρ- Dtρδk≤ C√δ.根据表达式（3.18）和近似值（4.17），我们首先估计ukδ和uδ之间的误差，mkδ，ukδ- uδ，mkδ≤Φkδ（b- r+γπkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）- Φδkδ（b- r+γπδkδ）mmXi=1（vi，δ（T，kδ）ρi，δ（T，kδ）+ΦkδE（cDkδρ（T，kδ）+2cρ（T，kδ）Dkδρ（T，kδ）| Gkδ）- ΦδkδmmXi=1cDkδρi，δ（T，kδ）+2cρi，δ（T，kδ）Dkδρi，δ（T，kδ）:= J+J，（4.18），其中J=Φkδ（b- r+γπkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）- Φδkδ（b- r+γπδkδ）mmXi=1（vi，δ（T，kδ）ρi，δ（T，kδ）≤Φkδ（b- r+γπkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）- Φδkδ（b- r+γπδkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）+Φδkδ（b- r+γπδkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）- Φδkδ（b- r+γπδkδ）mmXi=1（vi，δ（T，kδ）ρi，δ（T，kδ）≤Φkδ（b- r+γπkδ）-Φδkδ（b- r+γπδkδ）×E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）+Φδkδ（b- r+γπδkδ）×E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ））- Evδ（T，kδ）ρδ（T，kδ）| Gkδ+Φδkδ（b- r+γπδkδ）×Evδ（T，kδ）ρδ（T，kδ）| Gkδ-mmXi=1（vi，δ（T，kδ）ρi，δ（T，kδ）≤ C√δ +√m级, （4.19）andJ≤Φkδ- Φδkδ×E（cDkδρ（T，kδ）+2cρ（T，kδ）Dkδρ（T，kδ）| Gkδ）+Φδkδ×E（cDkδρ（T，kδ）+2cρ（T，kδ）Dkδρ（T，kδ）| Gkδ）- E（cDkδρδ（T，kδ）+2cρδ（T，kδ）Dkδρδ（T，kδ）| Gkδ）+Φδkδ×E（cDkδρδ（T，kδ）+2cρδ（T，kδ）Dkδρδ（T，kδ）| Gkδ）-mmXi=1cDkδρi，δ（T，kδ）+2cρi，δ（T，kδ）Dkδρi，δ（T，kδ）≤ C√δ +√m级. （4.20）到（4.19）和（4.20），我们已经ukδ- uδ，mkδ≤ C√δ +√m级.同样，我们可以证明Ykδ- Yδ，mkδ≤ C√δ +√m级, （4.21），如果我们取m=n（在这种情况下，δ=m），则收敛到0。备注4.2。在熊和周的[23]模型中，只有Yntto Ytis的收敛性得到了证明，然而，由于技术上的困难，Yntto Ytis的收敛速度并没有在该论文中建立。

上述定理不仅证明了Yntto Yt的收敛性，而且还证明了收敛速度。请注意，我们的nume-ri-cal方案中的错误包括来自Euler ap近似的错误和来自SLLN的错误。从这个角度来看，在漂移不确定性模型下，我们提出的数值格式比[23]的更有效。4.2数值结果在最后一小节中，我们证明了数值格式的收敛性。现在，我们使用Matlab给出一个示例，将我们的方法与[23]的方法进行比较。为此，我们首先构造漂移项为随机项的aBSDE，并且可以显式计算解（X（t），Z（t））。然后，通过应用两种不同的模式，我们得到了（X（t），Z（t））的数值近似。接下来，我们将这两种近似值与实际解进行比较。最后，应用新算法对漂移不确定性模型进行了仿真。为方便起见，我们将熊和周[23]提出的数值方法称为“旧算法”，将我们提出的数值方法称为“新算法”，将显式解称为“真值”。对于表示的外观，我们现在编写Wtas W（t）（尤其是当t具有复杂表达式时）。LetH（t）=Zt（1+W（s））dW（s）-Zt（W（s）+2W（s））ds。我们考虑具有如下随机系数的BSDEdX（t）=-1.- 2W（t）- W（t）X（t）- （1+W（t））Z（t）dt+Z（t）dW（t），X（t）=expH（T）- 2吨, t型∈ [0，T]。（4.22）按照步骤（见[25]第7章定理2.2），我们可以显式求解上述线性BSDE（4.22）asX（t）=eH（t）-2t，Z（t）=（1+W（t））X（t）。（4.23）为简单起见，设T=1。我们将[0，1]离散为nn个小区间。表示δ=nandδ=nn。设θ=expRT（1+W（s））dW（s）- 2RT（1+W（s））ds和Φ（t）=e-H（t）。

使用旧算法，（X（t），Z（t））的近似值如下所示：Xm，δ（t）=Φδ（t）Nm，δ（t），Zm，δ（t）=-Xm，δ（t）+Φδ（t）ηm，δ（t），其中N（t）=E（θ| FWt），Φδ（t）是由Euler格式生成的Φ（t）的近似值，Nm，δ（t）是由粒子表示和Euler格式生成的N（t）的近似值，ηm，δ千牛:= nnXj=1Nm，δk- 1n+jnn- Nm，δk- 1n+j- 1nn×Wδk- 1n+jnn- Wδk- 1n+j- 1nn, （4.24）k=1，2，···，n- 1，n，n=1，2，···。另一方面，由于θ是Malliavin可微分的，我们得到η（t）：=EDtθ| FWt= EeRTt（1+W（s））dW（s）-2RTt（1+W（s））dsh2W（T）- 4ZTt（1+W（s））ds+2iFWt公司.（4.25）根据新算法，（X（t），Z（t））的近似值如下所示：Xm，δ（t）=Φδ（t）Nm，δ（t），Zm，δ（t）=-Xm，δ（t）+Φδ（t）ηm，δ（t），其中ηm，δ（t）是由粒子表示和Euler格式生成的η（t）的近似值。使用上述算法，我们生成以下图表。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11000个离散区间0.51.5真值新算法旧算法图1:X（t）带100个离散区间0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1100个离散区间-1.5-1-0.50.51.5真值新算法旧算法图2:Z（t）带100个离散区间0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 11000离散间隔0.20.40.60.81.2真值新algorithmold算法图3:X（t）带10个离散区间0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11000个离散区间-1.5-1-0.50.51.5真值新算法图4:Z（t）带10个离散区间从图1、2、3、4可以看出，我们的新数值格式很好地逼近了真过程X（t）和Z（t）。新方案生成的X（t）和Z（t）g曲线与真实过程几乎相同。

相比之下，旧方案产生的pat H相对较低，这是由于该方案的主要缺点是双重分区。新算法通过使用Malliavin演算克服了这一缺点。最后，我们应用我们的高效数值格式模拟了漂移不确定性模型的财富过程Y和最优控制UT。我们选择的参数如下：n=1000，δ=，m=1000，r=0.03，a=0.04，b=0.032，y=100，z=y·（1+r+0.03），π=0.1。下图5是创新过程νt、财富过程y和最优控制ut的数值结果。0 0.5 1创新过程-1-0.50.50 0.5 1财富过程0.5 1最优控制30.531.5图5：具有10个离散区间的漂移不确定性模型。参考文献【1】V.Bally。反向随机微分方程中BSDE解的近似格式，Pitman R es。数学笔记。序列号。177-1911997年，英国哈洛朗曼364号。[2] V.Bally和G.Pag\'es。解决离散时间多维最优停止问题的量化算法，Bernoulli，6，1–4 7，2003。[3] V.Bally和G.Pag\'es。障碍物问题最优量化算法的误差分析，随机过程。应用程序。，106, 1–40, 2003.[4] B.Bouchard、I.Ekeland和N.Touzi。关于条件期望、金融和随机的蒙特卡罗近似法的Malliavin方法，8（1），45-712004。[5] T.R.Bielecki、H.Q.Jin、S.R.Pliska和X.Y.Zhou。连续时间均值Va ri a ncePortfolio Selection with Bankreption，Math。《财务》第15213-2442005页。[6] F.Biagini。《资产定价第二基本定理》，R.Cont，ed.，定量金融百科全书（英国奇切斯特约翰·威利父子出版社），1623-16202010年。[7] M.C.Chiu和D.Li。连续时间均值方差优化框架下的资产负债管理，保险：数学经济。