漂移部分信息下的均值-方差投资组合选择

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英文标题：
《Mean-variance portfolio selection under partial information with drift
  uncertainty》
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作者：
Jie Xiong, Zuo quan Xu and Jiayu Zheng
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper, we study the mean-variance portfolio selection problem under partial information with drift uncertainty. First we show that the market model is complete even in this case while the information is not complete and the drift is uncertain. Then, the optimal strategy based on partial information is derived, which reduces to solving a related backward stochastic differential equation (BSDE). Finally, we propose an efficient numerical scheme to approximate the optimal portfolio that is the solution of the BSDE mentioned above. Malliavin calculus and the particle representation play important roles in this scheme.
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中文摘要：
本文研究了具有漂移不确定性的部分信息下的均值-方差投资组合选择问题。首先，我们证明了即使在这种情况下，当信息不完整且漂移不确定时，市场模型也是完整的。然后，导出了基于部分信息的最优策略，该策略归结为求解相关的倒向随机微分方程（BSDE）。最后，我们提出了一种有效的数值格式来逼近最优投资组合，即上述BSDE的解。Malliavin微积分和粒子表示在该方案中起着重要作用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Mean-variance_portfolio_selection_under_partial_information_with_drift_uncertainty.pdf (276.58 KB)

2022-6-11 09:34:43 上传

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关键词：投资组合选择 投资组合 Optimization Differential Presentation

漂移不确定部分信息下的均值-方差投资组合选择*左权X u+郑家玉摘要本文研究了漂移不确定性部分信息下的均值-方差投资组合选择问题。首先，我们证明了市场模型是完全的，即使在这种情况下，信息是不完整的，漂移是不确定的。然后，导出了基于部分信息的最优策略，该策略归结为求解相关的倒向随机微分方程（BSDE）。最后，我们提出了一种有效的数值格式来逼近最优投资组合，即上述BSDE的解。Malliavin微积分和粒子表示在该方案中起着重要作用。关键词：均值-方差投资组合选择；Malliavin微积分；部分信息；漂移不确定性AMS主题分类：91B28、93C41、93E11*南方科技大学数学系和南方科技大学国际数学中心，深圳，518055。本文作者得到了国家自然科学基金61873325、11831010和南方科技大学创业基金Y01286220的资助。电子邮件：xiongj@sustech.edu.cn.+香港九龙香港理工大学应用数学系。作者感谢国家自然科学基金（编号11971409）、香港国家自然科学基金（编号15204216和15202817）和香港理工大学的资助。电子邮件：maxu@polyu.edu.hk.通讯作者。加拿大埃德蒙顿阿尔伯塔大学数学和统计科学系。本文得到了国家自然科学基金11901598的资助。

电子邮件：jyzheng@outlook.com.1引言马科维茨（Markowitz）[19]开创的均值-方差投资组合选择模型为现代投资组合理论奠定了基础，并在金融经济学中得到了广泛应用。马科维茨在一个时期内提出并解决了这个问题。然而，半个世纪以来，由于方差最小化问题在动态规划意义上的不可分离结构，最优动态均值-方差投资组合问题没有得到解决。Li和Ng【12】以及Zho u和Li【29】通过嵌入方案分别在多周期和连续时间情况下克服了这一困难。从那时起，许多学者将注意力集中于研究马科维茨模型的动态扩展，例如，李等人【13】、林和周【15】、周和尹【30】、胡和周【10】、比莱基等人【5】、李和周【14】、邱和李【7】在连续时间环境中的动态扩展。所有这些工作都假设驱动股票价格的布朗运动对投资者来说是完全可观测的。然而，在现实中，投资者往往无法观察到驱动布朗运动，而股票价格是投资者做出决策所依据的唯一可观察信息。这一事实促使人们研究所谓的部分信息投资组合选择问题。熊和周[23]建立了分离原则，以分离部分信息均值-方差投资组合选择问题的过滤和优化问题。他们还开发了分析和数值方法，以获得过滤器以及解决相关的后向随机微分方程。Xu和Yi[24]研究了不确定性条件下股票贷款的最优赎回问题。

在他们的模型中，股票趋势的固有不确定性由一个分别代表牛市和熊市趋势的两态随机变量建模；投资者不知道股票的当前趋势，因此她/他必须根据部分信息做出决策。他们根据对股票走势的预测，得出最优赎回策略。本文研究了具有漂移不确定性的部分信息下的均值-方差问题。我们对文献的贡献总结如下：首先，我们表明，即使在这种情况下，当信息不完整且漂移不确定时，市场模型也是完整的。其次，推导了基于部分信息的最优策略，其中包括漂移的最优滤波器。第三，提出了一种有效的数值近似方法来解决漂移不确定性下均值-方差问题引起的BSDE。该方案是在条件期望近似的Malliavin演算方法的背景下研究的。我们还证明了数值格式的收敛性，并研究了欧拉近似和强大数定律（SLLN）引起的误差。论文的其余部分组织如下。第2节给出了滤波和Malliavin演算的一些初步结果。在第3节中，我们推导了漂移不确定性模型的后验概率过程相关的新息过程，并研究了部分信息下的优化问题。我们还证明了过滤（部分信息）下市场的完备性。第四节提出了一种新的数值格式，研究了其渐近行为，并给出了一些数值结果。2序言在本节中，为了方便读者，我们陈述了一些关于随机滤波和Malliavin微积分的基本事实。

我们请读者参阅Kallianpur【11】的第8.1-8.3节，以了解有关一般滤波问题和最优滤波器随机方程的更多详细信息，以及Nua lart和Nualart【20】关于Malliavin演算的书。设T为代表投资期限的固定正常数。让(Ohm, F，P）为完全概率空间，设Ft，t∈ [0，T]，是F的子σ场的一个不断增加的族。信号ht（ω）和观测值Zt（ω），t∈ [0，T]假设为定义在(Ohm, F，P），进一步相关如下：Zt（ω）=Zthu（ω）du+Wt（ω），（2.1），其中Wt是nn维维纳过程，ht（ω）是RN值，（t，ω）-满足zte（| ht |）dt<∞, （2.2）其中|·|表示N维向量的欧氏范数。此外，对于每个s∈ [0，T]，σ-字段Fh，Ws：=σ{hu，Wu，0≤ u≤ s} 和FWs：=σ{Wu′- 吴，s≤ u≤ u′型≤ T}是独立的。设{FZt}0≤t型≤t由Z生成的过滤。这种过滤称为观察σ场。设vt：=（vt，···，vNt）′，t∈ [0，T]是一个N维FZt适应的更新过程，也是一个N维FZt适应的布朗运动。我们列出了三个定理供参考。以下内容见【11】第8.3节（第208页）。定理2.1。在条件（2.1）和（2.2）下，三元可分FzT鞅Ytis中的每一个可分平方的样本路径都是连续的。并具有代表性- E（Y）=NXi=1ZtΦisdvis，t∈ [0，T]，（2.3），其中中兴通讯（|Φs |）ds<∞ （2.4）和Φs：=（Φs，···，ΦNs）′可连接测量，并适用于FZt。下一个定理称为Clark-Ocone公式（见[20]的定理6.1.1）。它用它的Malliavin导数的条件期望来表示一个平方可积随机变量。

设B=（Bt）t≥0是概率空间上的多维布朗运动(Ohm, F，（Ft）t≥0，P），其中（Ft）t≥0是B和F的自然过滤=∨t型≥0英尺。用D表示Malliavin导数运算符。我们将Sobolev空间D1,2自由变量定义如下：D1,2=F∈ L(Ohm, F，P）：kF k1,2=E（| F |）+EhZ∞|DtF | dti<∞,其中L(Ohm, F，P）表示F-可测随机变量集。定理2.2（Clark-Ocone公式）。让F∈ D1,2∩ L(Ohm, 英尺，P）。然后，F接受以下表示F=E（F）+中兴通讯（DtF | Ft）dBt。设M（d，q，R）是一个矩阵的向量空间，其中d行和q列为R-va值列，k·k是标准欧氏范数。用Lp（0，T；Rd）表示所有Rd值{Ft}T的集合∈[0，T]-概率空间中的自适应过程f(Ohm, F、 P）其Lpnorm为有限，名称为KFKLP（0，T；Rd）：=EZT | f（t）| pdtp<∞.设Lp（F，Rd）为所有Rd值随机变量ξ的集合，其中Lpnormkξkp为有限：=（E |ξ| p）p<∞.[21]第7节中出现的下一个定理（定理7.2）说明了解（Xt）t的Euler格式的误差近似∈[0，T]到d维随机微分方程dxt=b（T，Xt）dt+σ（T，Xt）dWt，（2.5），其中b：[0，T]×Rd→ Rd，σ：[0，T]×Rd→ M（d，q，R）a R e连续函数，W=（Wt）t∈[0，T]表示概率空间上定义的q维标准布朗运动(Ohm, F、 P）和X：(Ohm, F、 P）→ RDI是一个随机向量，与W无关。带有步长的离散时间Euler格式由“Xtnk+1=”Xtnk+Tnb定义tnk，(R)Xtnk+ σtnk，(R)XtnkrTnZnk+1，(R)X=X，k=1，···，n-1，其中tnk=kTn，k=1，····，n和（Znk）1≤k≤ndentes由znk：=rnT给出的独立且相同分布的随机向量序列Wtnk公司- Wtnk公司-1., k=1，···，n。定理2.3（Euler格式的强速率）。

假设DE（2.5）的系数b和σ满足以下正则条件：存在实常数Cb，σ，T>0和expo-entβ∈ （0，1）对于所有s，t∈ [0，T]，x，y∈ Rd，| b（t，x）- b（s，x）|+kσ（t，x）- σ（s，x）k≤ Cb，σ，T（1+| x |）| T- s |β，（2.6）| b（t，x）- b（t，y）|+kσ（t，x）- σ（t，y）k≤ Cb，σ，T | y- x |。（2.7）那么对于所有p>0，存在一个普适常数κp>0，仅取决于p，因此对于每个n≥ Tsup0≤k≤n | Xtnk-(R)Xntnk|p≤ K（p，b，σ，T）（1+kXkp）田纳西州β∧, （2.8）式中，k（p，b，σ，T）=κpC′b，σ，Teκp（1+C′b，σ，T）TandC′b，σ，T=Cb，σ，T+maxt∈[0，T]| b（T，0）|+最大值∈[0，T]kσ（T，0）k<+∞. （2.9）3问题公式3.1模型设置假设(Ohm, F、 P，{Ft}t≥0）是一个完整的过滤概率空间，代表金融市场。过滤离子{Ft}t≥0表示满足通常条件，P表示概率度量。在这个概率空间中，存在一个标准的一维布朗运动W。标的股票的价格过程用St，t表示∈ [0，T]，满足随机微分方程（SDE）：dSt=uStdt+StdWt，（3.1），其中u是随机的，与布朗运动W无关，可能只取满足γ=a的两个可能值a和b：- b>0。当u=a时，股票处于牛市趋势，当u=b时，股票处于熊市趋势。截至时间t的信息由gt：=σ（Ss:s）给出≤ t） ，t∈ [0，T]。后验概率过程π=（πt）t∈[0，T]定义为πT：=P（u=a | Gt）。（3.2）它用于估计股票在时间t处于牛市趋势的可能性。假设0<π<1。这意味着目前尚不清楚该股在0时是处于牛市趋势还是熊市趋势。让ut（称为投资组合）为t.definition 3.1时投资于股票的金额。

如果投资组合（或交易策略）的所有价值变化都是由于投资实现的收益或损失造成的，即任何时候都没有从投资组合中借入或撤出资金，则该投资组合（或交易策略）称为自我融资。如果投资组合是Gt改编、自我融资且中兴通讯（ut）dt<∞.用YT表示代理人的财富过程和utan可接受的交易策略。从初始财富y>0开始，y满足以下财富方程：dYt=（uut+（Yt- ut）r）dt+utdWt，t∈ [0，T]，Y=Y.（3.3），其中r表示利息率。我们的目标是解决以下优化问题（MV）：根据约束条件e（YT）=z，其中Ytis由（3.3）给出，z是给定的正数，找到最佳容许投资组合utto最小化Var（YT）。作为观察，对数价格过程L=（log St）t∈[0，T]，通过It^o引理，满足以下SDEdLt=u -dt+dWt。（3.4）然后，创新过程νt=Lt-Zt公司b-+ γπsds（3.5）是关于观察过滤Gt的布朗运动。很容易（见[11]，第8.1章）验证πt是以下SDE：dπt=γπt（1- πt）dνt，π=P（u=a）。（3.6）通过（3.3）和（3.5），我们得到Y的νt驱动表示：dYt公司=（b+γπt- r） ut+rYtdt+utdνt，t∈ [0，T]，Y=Y.（3.7）3.2部分信息下的优化优化问题（MV）通过状态方程（3.7）和约束E（YT）=z将Var（YT）最小化。设ρT：=exp-Zt（b- r+γπs）dνs-Zt（r+（b- r+γπs）ds. （3.8）将It^o公式应用于ρt，我们得到ρt=-rρtdt-（b）- r+γπt）ρtdνt.（3.9）进一步，将它的公式应用于Ytρt，我们得到了（Ytρt）=（Yt（rρt- uρt）+utρt）dνt。因此，Ytρ是一个Gt鞅，因此，E（Ytρt）=y。用v表示Yt。

为了找到最佳投资组合，我们寻求最佳GT可测量的最终财富v，以最小化方差E（v- z） （3.10）受约束V=z和E（ρTv）=y.（3.11）设H：=L(Ohm, GT，P）。对于X∈ H、 letkXkH：=E（X）.然后，H是赋范数k·kH的Hilbert空间。注意E（v- z） =千伏- 0公里- z、 因此，最优v是0在超平面{v上的投影∈ H:Ev=z，E（vρT）=y}。3.3市场的完整性用LG（0，T；R）表示[0，T]上所有R值、Gt适应过程f（T）的集合，使得Ezt | f（T）| dt<∞.然后LG（0，T；R）变成了一个具有normkfkLG（0，T；R）的希尔伯特空间：=EZT | f（t）| dt.定义3.2。未定权益v∈ 如果存在Φs，则称H为可达到∈ LG（0，T；R），使得vρT=E（vρT）+ZTΦsdνs.（3.12）表示AC（G）收集的所有可实现或有权益。那么AC（G）是H的一个空间。用H中AC（G）在范数k·kH下的闭包表示。定义3.3。如果H=H，市场是完整的。下面的陈述令我们非常惊讶。也就是说，尽管信息不完整，漂移不确定，但市场是完整的。值得一提的是，在[23]中，对于他们的模型，完整性是开放的。由于缺少CompletenesResult，文[23]的作者转而在空间H中搜索最优解v。定理3.1。市场是完整的。证据自H起 H、 必须显示H H、 对于任何V∈ H、 设Vn=V min{| V|-n、 1}。然后（Vn- V）=V | V |>1（| V|-n- 1 )≤ V | V |>1≤ 五、 自V起∈ H、 我们有E | V |<∞. 利用支配收敛定理，limn→∞kVn公司- V kH=limn→∞E[（Vn- V）]=Ehlimn→∞V | V |>1（|V|-n- 1）i=0。因此，如果我们可以显示Vn∈ AC（G），那么V在正规k·kH下是AC（G）的闭包，即V∈ H、 下面是索赔。现在显示Vn∈ 任意n的AC（G）≥ 1、通知对象| Vn | 2+n=E|V |（1-n） （2+n）| V |>1+| V | 2+n | V|≤1.≤ E（| V | V |>1+1）<∞,so Vn∈ L2+n。

通过H¨older不等式，我们得到了e | VnρT|≤E | Vn | 2n+12n2n2n+1Eρ2（2n+1）T2n+1<∞,作为EρpT<∞, 对于所有p>1。因此E（VnρT | Gt）是一个平方可积鞅。根据定理2.1，我们得到了（VnρT | Gt）- E（Vnρ）=ZtΦsdνs，t∈ [0，T]，（3.13）对于某些Φs∈ LG（0，T；R）。当t=t时，由于Vnρt是可测量的，因此上述方程将减小到Vnρt- E（Vnρ）=ZTΦsdνs，（3.14），这意味着Vn∈ AC（G）。如【23】所示，对于【23】中的模型，优化问题的最优终端v由v=（zhβ，βiH）给出- xhα，βiH）α+(-zhα，βiH+xhα，αiH）βhα，αiHhβ，βiH- hα，βiH，（3.15），其中α，β分别是Hof 1和ρT上的正交投影。在完备性假设下，在[23]中给出了一个数值格式。虽然该数值格式可以扩展到当前模型，但我们将为我们的模型提出一个更有效的数值格式，这是本文的主要贡献之一。3.4找到类似于[23]的最优策略，终端问题可以如下解决。引理3.1。问题（3.10）的最优终端财富为v=zE（ρT）- yEρT+（y- zEρT）ρTVar（ρT），（3.16），其中ρT由（3.8）给出。在找到最佳终端财富后，我们寻求一个投资组合来实现它。即，对于（3.16）给出的v，我们需要找到以下BSDE的解决方案：dYt公司=（b+γπt- r） ut+rYtdt+utdνt，t∈ [0，T]，YT=v.（3.17）定理3.2。最优投资组合由ut=（b）给出- r+γπt）Yt+ρ-1tηt，（3.18），其中ηt∈ LG（0，T；Rd）由马丁格尔e表示定理（θ| Gt）=e（θ）+Ztηsdνs唯一确定，t型∈ [0，T]，（3.19）和θ=ρTYT。证据