基于维纳混沌展开的路径相关百慕大期权定价

在我们的框架中，这意味着，对于固定M，Eb∧M- Λ将随着p.4.3.2关于收敛速度的讨论而增加。从定理4.5，我们推断，应用于我们算法的标准经验方差估计是收敛的。对于每k=1，N，limM→∞MMXm=1Z（m）bτp，n，（m）k-MMXm=1Z（m）bτp，n，（m）k！=Var（Zτp，nk）a.s.（12）Clément等人[2002]进行的收敛速度分析稳定地适用于我们的方法。然后，在适当的假设下，向量√MMMXm=1Z（m）bτp，n，（m）k- E[Zτp，nk]！！k=1，。。。，N（13）在法律上收敛于均值为零的正态分布。正如Clément等人[2002]所指出的，直接从单次运行算法生成的数据中确定渐近方差几乎是不可能的。从他们算法的中心极限定理的证明来看，当M变为整数时，我们在Lsense中√MMMXm=1Z（m）bτp，n，（m）k- E[Zτp，nk]=√MMMXm=1Z（m）τp，n，（m）k- φk（λ）+√M（φk（b∧M）- φk（λ））。（14） 记住Z（m）τp，n，（m）k=Fk（λ，Z（m），G（m））。根据标准的中心极限定理，√MMPMm=1Z（m）τp，n，（m）k- φk（λ）在法律上收敛于方差Var（Zτp，nk）的正态分布。然后，使用估计量的经验方差作为算法收敛的度量，实际上忽略了部分方差，因为从（12）开始，我们知道经验方差只考虑了（14）的r.h.s的第一项。5数值实验在本节中，我们使用我们的算法进行了几个数值实验。在差异表中，“价格”列对应于算法25次独立运行时的Up，n，M值，“方差”列是在这25次独立运行时计算的Up，n，M的方差。

前两个实验涉及看跌期权，使我们能够在每个时间步仅使用货币内路径，将我们的方法的准确性与标准Longstaff-Schwartz算法进行比较，其价格在“LS”列中报告。然后，我们考虑更复杂的真正路径依赖选项，因为众所周知的维数灾难，标准LongstaffSchwartz算法的使用变得禁止。在所有的例子中，我们使用N=N，也就是说，我们不细分由练习日期给出的网格来计算混沌展开。5.1 Black-Scholes模型中的示例-多维Black-Scholes模型为j∈ {1，…，d}dSjt=Sjt（rtdt+σjLjdBt），其中B是一个布朗运动，其值为Rd，σ=（σ，…，σd）是波动性向量，假设其在任何时候都是确定的正向量，Ljis是矩阵L的第j行，定义为相关矩阵Γ的平方根，由Γ给出=1 ρ . . . ρρ 1...............ρρ . . . ρ 1式中ρ∈] - 1/（d）- 1） ，1]确保Γ为正定义。5.1.1评估一维看跌期权的方法在研究更详细的数值示例之前，我们想在百慕大看跌期权上测试我们的方法。尽管这个例子可能很标准，但获得一个值得信赖的referenceprice并不是一件容易的事情。我们依赖于Lord et al.（2008）中通过卷积法计算的价格，后来在Fang和Oosterlee（2009）中用作参考价格。我们在表1中报告了我们的价值与两种不同波动率的参考价格的比较。我们的价格已经非常接近真实价格，即使是二阶扩展p=2。

在这些例子中，我们在参考价格的0.2%以内。σp M价格差异参考价格0.2 2 1E5 10.48 7E-4 10.47950.2 2 1E6 10.47 7E-50.2 3 1E5 10.48 6E-40.2 3 1E6 10.47 6E-50.25 2 1E5 11.96 1E-3 11.9870.25 2 1E6 11.94 2E-40.25 3 1E5 11.96 9E-40.25 3 1E6 11.96 1E-4表1：r=0.1、T=1、K=110、S=100和N=10.5.1.2卖出篮子期权我们考虑一个有回报的看跌期权-dXi=1ωiSiT！+，它可以使用经典的Longstaff-Schwartz算法进行定价，因此使我们能够在多维环境中测试我们方法的准确性。我们在维5中测试了我们的算法，并在表2中报告了不同样本数M和不同阶数pof混沌扩展的结果。“LS”列中报告的值对应于使用10个样本的Longstaff-Schwartz算法计算的价格，并将总阶数为3的多项式集与支付函数一起用作回归函数。我们注意到，在相当合理的计算时间内，订单p=2的扩展已经给出了相当接近“LS”的价格。仅当样本数M也增加时，将p增加到3才能提高精度。实际上，我们可以看到，对于小值M（M=5E4或M=1E5），K=90和p=3的价格高于双重价格。这显然是因为p比M大，这会导致偏差。关于这一点的更多信息，请读者参考定理4.5之后的讨论。因此，在品牌新闻设置中，我们建议从p=2开始，并监控方差，以确定需要多少蒙特卡罗样本M。然后，如果需要，可以尝试p=3，记住M应同时增加。

在我们的示例中，当从p=2到p=3时，我们基本上会向M添加一个数量级。T K N p M价格差异LS Dual price3 100 20 2 5E4 4.01793 0.00039 4.07 4.33 100 20 2 1E5 4.00769 0.000283 100 20 2 1E6 3.99801 2.15E-053 100 20 3 5E4 4.2544 0.000413 100 20 3 1E5 4.1965 0.000243 100 20 3 1E6 4.06587 2.19E-053 90 20 2 5E4 1.29423 0.00013 1.32 1.473 90 20 2 1E5 1.27274 0.000113 90 20 2 1E5 6 1.25166 2.242E-053 90 20 3 5E4 1.52426 8.84E-053 90 20 3 1E5 1.49847 0.000103 90 20 3 1E61.31845 2.72E-05表2：一篮子期权，r=0.05，d=5，σi=0.2，ωi=1/d，Si=100，ρ=0.2.5.1.3亚洲期权。本例中，我们考虑一维Black-Scholes模型，d=1。我们考虑报酬为Zt=（K）的anAsian- Xt）+对于t>0Xt=tZtSudu，X=砂。我们用算术平均值近似连续时间积分，并将我们的结果与赫尔和怀特（Hull and White）[1993年]（在表3的“HW”栏中）报告的结果进行比较，尽管这一结果很古老，但许多研究美国期权的论文仍将其视为基准。价格差异HW1 45 20 2 1E6 8.55 1E-4 8.551 45 20 3 1E6 8.47 1E-41 45 20 3 1E7 8.61 3E-61 50 20 2 1E6 4.81 1E-4 4.891 50 20 3 1E6 4.7 1E-41 50 20 3 1E7 4.79 4E-62 45 20 2 1E6 10.63 2E-4 10.622 45 20 3 1E6 10.46 2E-42 45 20 3 1E7 10.66 6E-62 50 20 2 1E6 7.28 2E-4 7.332 50 20 3 1E6 6 7.24 2E-42 20 3 1E7 7.29 7E-6表3：亚洲期权，r=0.1，d=1，σ=0.3，对于T=1（分别为T=2），S=50，N=40（分别为80）。众所周知，虽然在维度1中，回报似乎不是马尔可夫的，但如果我们对状态空间进行加权并考虑对（S，X），那么选项将再次变为马尔可夫的。因此，亚洲期权可以作为一个很好的例子，通过在我们的方法中考虑亚洲期权的非马尔可夫表示来评估我们算法的效率。

与前一个例子一样，我们注意到二阶展开式p=2已经给出了非常准确的价格，在Hull and White[1993]使用树方法计算的基准价格的1%以内。将p增加到3并不显著提高过程的准确性，但需要增加蒙特卡罗样本的数量。5.1.4移动平均期权本例中，我们考虑一维Black-Scholes模型，d=1。我们考虑收益为Zt=（St）的移动平均期权- Xt）+表示t≥ δ+`带xt=δZt-`t型-δ-`其中δ>0是平均窗口的长度，`是延迟。我们用算术平均值近似连续时间积分，并将我们的结果与Bernhart等人[2011]计算的基准价格进行比较。对于每个Ti，设Nδ=δTN，N`=`TN≥ δ+`，我们近似于XtibyXNTi=Nδi-N\'Xj=i-Nδ-N`+1STj。“LS”栏中报告的基准价格来自Bernhart et al.【2011年】，并使用标准Longstaff-Schwartz算法进行计算，其回归系数为STi公司-Nδ-N`+1，STi-Nδ-N`+2，STi公司-N个`.这导致了一个带有Nδ变量的回归问题，这使得它非常需要CPU。虽然我们的方法也可能看起来像多元回归，但主要区别在于选择了正交基函数，它将线性系统回归系数的计算转化为一系列独立的蒙特卡罗计算。虽然这似乎是一个微小的变化，但它确实是一个巨大的改进，因为它打破了标准Longstaff-Schwartz算法的瓶颈，并使其易于并行化。我们对移动平均期权进行了两个系列的测试，这是truepath依赖期权的一个典型例子，因为基本马尔可夫过程X（见（4））的大小基本上是行使日期的数量。

我们在表4中报告了非延迟选项的结果，即N`=0，在表5中报告了延迟选项的结果。在没有延迟的情况下（表4），我们可以使用完整的回归器列表恢复使用Longstaff-Schwartz方法计算的价格。对于阶数p=2的混沌展开，我们的结果已经非常精确。为了从p=3阶更精确的混沌扩展中真正获益，还需要增加样本数M以减少偏差。注意w=0.04时，“LS价格”列中的价格>4.268。在Bernhart等人【2011年】中，他们没有成功地使用Longstaff-Schwartz方法计算该期权的价格，该方法使用了完整的回归器列表，因此他们只提供了非马尔可夫近似值4.268，该值始终低于真实价格。因此，对于p=3和M=10获得的值4.30329是有意义的。我们还在表4的“双重价格”栏中报告了从乐龙【2018】获得的上限。上下限之间有一个很小的差距，但考虑到高度路径依赖的乘积所代表的数值挑战，可以认为这是完全可以接受的。自Bernhart等人（2011年）的工作以来，已经开发出了处理高维回归的新方法，主要是使用机器学习技术。例如，我们可以引用recentworks Becker等人[2019a，b]。

使用这些算法为非马尔可夫设置构建aprice比较器将非常有趣。δp M价格差异LS价格双重价格0.02 2 1E5 3.53118 8.97E-06 3.531 3.760.02 2 1E6 3.53863 9.7E-070.02 3 1E5 3.45177 7.05E-060.02 3 1E6 3.52758 7.12E-070.04 2 1E5 4.30318 1.7E-04>4.268 4.520.04 2 1E6 4.31781 8.82E-070.04 3 1E5 4.18467 1.31E-040.04 3 1E6 4.302 39 1.10E-06表4：移动平均期权，S=100，σ=0.3，r=0.05，T=0.2，N=N=50，`=0（无延迟）。p M价格差异2 5E4 6.62011 7.5E-42 1E5 6.67733 2.5E-42 1E6 6.74565 2.00E-053 5E4 6.28484 4 4.2E-43 1E5 6.36383 3 3.1E-43 1E6 6.65446 8.02E-06表5：移动平均期权，S=100，σ=0.3，r=0.05，T=0.2，N=50，`=0.08（N`=20）和δ=0.02（Nδ=5）。5.2赫斯顿模型中的看跌期权我们从赫斯顿模型中的看跌期权开始，以评估我们算法的准确性。我们重新定义了赫斯顿模型DST=St（rtdt+√σt（ρdWt+p1- ρdWt））dσt=κ（θ- σt）dt+ξ√σtdWt。d p M价格差异1 2 1E5 1.71756 4.68E-051 2 1E6 1.69802 7.68E-061 2 1E7 1.69699 4.37E-071 3 1E5 1.73389 8.43E-051 3 1E6 1.72354 6.63E-061 3 1E7 1.72274 8.53E-07表6：赫斯顿模型中S=K=100，T=1，σ=0.01，ξ=0.2，θ=0.01，κ=2，ρ=-0.3，r=0.1，N=20对于表6数值实验中使用的看跌期权，Longstaff-Schwartzalgorithm给出了1.74，使用回归的3次多项式和10个样本。请注意，由于我们只考虑回归步骤的货币路径，因此收益函数实际上是基础资产的线性函数-一次多项式。因此，对于更复杂的选项，无需将支付函数添加到回归基础中。

显然，我们将资产价格和波动过程都视为回归因素。很明显，我们在表6的图表中看到，从1E6到1E7样本对价格没有任何影响。相反，M=1E5时获得的价格总是略高，这看起来可能令人惊讶。这实际上与第4.3.1节末尾描述的偏差现象有关。混沌扩展系数的变化是引入价格偏差的原因。为了避免这种情况，需要使用足够多的蒙特卡罗样本来计算混沌展开。无论如何，p=3和M=1E6或M=1E7时获得的价格在朗斯塔夫-施瓦茨标准价格的1%以内。5.3并行实现的可扩展性可扩展性测试在一台包含3204核的BullX DLC超级计算机上进行。代码是用C++编写的，使用OpenMPI库处理通信，使用PNL库Lelong【2007-2017】以通用方式计算任意阶p的混沌扩展。我们在表7中报告了效率随使用资源数量的变化。我们重申，效率定义为顺序运行时间与并行运行时间乘积乘以资源数量之间的比率。显然，效率值介于0和1之间，越接近1越好。在用于可伸缩性研究的示例中，我们设法将计算时间从一个半小时减少到14秒，同时将效率保持在接近0.7的水平，这代表着可伸缩性方面的惊人改进。对于固定大小的问题，众所周知，随着处理器数量的增加，效率最终会下降到零，因为每个算法都有一个最终占主导地位的纯序列部分。

因此，效率值0.7必须与绝对计算时间一起考虑。我们参考Dung-Doan等人【2008年】，Dung-Doan等人【2010年】，以了解不同并行方法forBermudan选项的可伸缩性实验。虽然他们的框架与我们的框架有点不同，但我们可以断言，我们的0.7效率证明具有很好的可扩展性#过程时间（秒）效率1 4768 12 2402 0.994 1234 0.9716 353 0.8432 173 0.8664 89 0.84128 47 0.79256 24 0.76512 14 0.68表7：移动平均选项上的并行算法的可扩展性，使用表5的延迟，M=10，p=3.6。本工作的结论，我们提出了一种新的算法来为非马尔可夫设置中的百慕大期权定价：非马尔可夫特征可以来自期权的真正路径依赖特征，也可以来自粗糙波动率模型。我们的算法使得设计一个通用的美式期权定价器变得很容易，实际上并不比欧洲期权定价器更困难。虽然这听起来有点雄心勃勃，但我们的算法被设计成一个黑箱，输入潜在多维布朗运动的样本路径和支付过程的关联样本，这与欧式期权基本相同。我们算法的智能设计与维纳混沌扩展的正交性特征相结合，导致了一个令人尴尬的并行算法，其中每个节点对一组路径进行采样，并在其上更新最优停止策略。每个节点都有助于计算bλMk，在每个时间步，我们进行一次缩减以获得bλMk的值，然后abroadcast使系数对每个人都可用。

并行实现只需要很少的通信，因此显示出令人印象深刻的效率。通过在Hermite多项式中加入Charlier多项式，本工作中在布朗环境下开发的方法可以适用于Lévyprocess。关于跳跃混沌扩展的使用，我们参考Geiss和Labart【2017】。参考A。Balata和J.Palczewski。在能源领域应用蒙特卡罗回归最优库存控制。arXiv电子打印，第arXiv页：1703.064612018年3月。五、 Bally和G.Pages。一种求解多维离散时间最优停止问题的量化算法。伯努利，9（6）：1003–10492003。S、 Becker、P.Cheridito和A.Jentzen。深度最佳停车。机器学习研究杂志，20（74）：1–252019a。S、 Becker、P.Cheridito、A.Jentzen和T.Welti。使用深度学习解决高维最优停止问题，2019b。M、 Benguigui和F.Baude。为Americanbasket期权定价在GPU上实现并行和分布式计算。第四届IEEE云计算技术与科学国际会议论文集，第723-728页。IEEE，2012年。M、 Bernhart、P.Tankov和X.Warin。movingaverage期权定价的有限维近似值。暹罗J.金融数学。，2(1):989–1013, 2011.B、 Bouchard和X.Warin。蒙特卡罗美式期权估价：事实和改进现有方法的新算法。R.A.Carmona、P.Del Moral、P.Hu和N.Oudjane，《金融中的数值方法》，编辑，《斯普林格数学学报》第12卷，第215-255页。施普林格柏林海德堡，2012年。A、 L.Bronstein、G.Pagès和J.Portès.多资产美式期权和平行量化。《应用概率的方法和计算》，15（3）：547–5612013。J、 F.卡里雷。使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行估值。