基于维纳混沌展开的路径相关百慕大期权定价

因此，回归问题将以指数级速度增长，正如Benguigui和Baude（2012）所解释的那样，并行性不会有多大帮助。超出马尔可夫设置需要正交性属性，该属性turns1生成（G（1），Z（1）），（G（M），Z（M））M i.i.d.样品遵循（Zti，Gti）1的规律≤我≤N2 bτp，n，（m）n← T对于所有m=1，k=N时为M3- 1.α为1 do4∈ A.dp，n |σkdobλMk，α=Mα！MX`=1Z（`）bτp，n，（`）k+1Hdα（G（`））6端7，对于m=1，M dobτp，n，（M）k=TknZ（M）Tk≥C（m）p，n |σk（bλMk）o+bτp，n，（m）k+1nZ（m）Tk<C（m）p，n |σk（bλMk）o9 end 10 end up，n，m=maxZ，MMXm=1Z（m）bτp，n，（m）！算法3.1：使用维纳混沌展开的动态规划原理将回归问题展开为一系列独立的内积。当然，总是可以假装一切都是马尔可夫的，但是你对自己所犯的错误没有任何保证。我们的算法可能与Glasserman和Yu【2004a】、Balata和Palczewski【2018】研究的回归后期方法有关。在时间Tk时，后回归方法通常由两个步骤组成：第一个Zτk+1在一组FTk+1可测量基函数上分解，这看起来像是关于时间Tk+1的条件期望的最小二乘近似值。然后，通过解析计算每个基函数的条件期望来获得E[Zτk+1 | FTk]的近似值。我们的算法也可以看作是一种两阶段的方法：首先计算Zτk+1的混沌展开，然后计算其条件期望。虽然这种制定算法的方法在数学上是正确的，但以这种方式实现它将是完全有效的。

事实上，对Aviener混沌展开的条件期望等于放弃不可测项，因为每个系数都是使用内积自己计算的，所以我们可以直接计算混沌展开的条件期望，方法是实际计算一个关于布朗增量的混沌展开，直到时间Tkonly。这种更务实的理解我们算法的方式实际上更接近于现在回归的方法。仔细观察算法3.1，很明显，算法的核心部分是混沌展开的计算。方便地实现这一步骤对算法的效率起着重要作用。在我们的C++实现中，混沌扩展是使用Lelong（2007-2017）提供的通用多元多项式工具箱执行的。3.3复杂性分析大多数计算时间用于计算混沌扩展的系数。记住dp，n | kis由给出σkd+pnσk=（σkd+p）···（σkd+1）p！。由于最优策略仅在每个时间步的货币内路径上更新（见备注3.1），算法3.1第3行上循环迭代k的复杂性与]{时间Tk时货币内路径}××成正比σkd+pnσk.值得注意的是，复杂性随着时间的减少而降低。展开式的阶数p对算法的计算时间起着重要作用。因此，当扩展阶数从p增加到p+1时，计算时间乘以σkd+p+1p+1.3.4并行实现我们算法的关键计算技巧是将混沌系数λ写为独立期望，因此可以在α和蒙特卡罗样本数M之间并行。

简单地说，算法3.1可以简化为计算几个独立的蒙特卡罗平均数，因此非常适合于并行编程。对于固定时间Tk，有两种方法可以引入并行性。（i） 截断维纳混沌展开的系数可以并行计算。两个多指数α、β∈ A.dp，n |σk，bλMk，α和bλMk，β的计算是独立的，因此可以同时进行。所有bτp，n，（m）kc的更新也可以并行进行。如果dp，n |σk足够大，至少大于可用计算资源的数量。请注意#Adp，n |σk=σkd+pσkd我们回忆起σk→ k时为0→ 0、这种方法对于较大的数据量是有效的，但当数据量减少时，不可避免地无法扩展，即对于较小的数据量。（ii）或者，我们可以使用蒙特卡罗样本的数量作为并行性的杠杆。由于在整个算法中，样本数保持不变，因此对于大k和小k，并行性同样有效。假设我们有R个可供使用的计算资源，那么每个资源处理MR=M/R样本路径，并在这些路径上运行顺序算法3.1，除了在每个时间步，在更新bτp，n，（M）k，M=1，…，之前先进行缩减，然后进行广播，M、 这样，就可以使用M条路径计算混沌展开。我们在算法3.2中精确描述了这个并行算法。我们遵循了并行实现的方法（ii），以确保所有资源始终处于繁忙状态，这是确保良好可扩展性的最低要求。

对算法3.1和3.2的比较表明，顺序算法和并行算法差别很小。我们甚至成功地将顺序和并行实现合并到单个代码中，这几乎不可行，尤其是在使用MPI时。每个计算资源对一组路径进行采样，在这些路径上更新最佳停止策略并有助于计算bλMk。在每个时间步，我们计算平均值（减少值）以获得bλMk的值，然后我们向每个资源发送（广播）系数。实际上，我们使用MPI中的allreducemethod。Benguigui和Baude【2012年】、Pagès等人【2016年】指出，在最小二乘蒙特卡罗中使用小批量引入并行性并没有令人信服的效率，主要是因为反向诱导基本上是连续的。这是由于回归步骤本身，当蒙特卡罗路径在每个处理器上按块分配时，无法有效解决该问题。在最小二乘蒙特卡罗的任何并行实现中，回归步骤最终都会因其糟糕的可扩展性而成为瓶颈。为了通过最小二乘法蒙特卡罗来规避这一主要问题，Pagès和Wilbertz【2011年】用量化方法取代了回归步骤，从而实现了自然的并行性。同样，Gobet et al.（2016）使用分层法在每个地层中使用的样本之间引入了条件独立性。这可能看起来是一种小批量方法，但他们必须在每个时间步使用新的分层采样，因为它们在向后随机微分环境中工作。因此，用小批量来解释他们的方法并不简单。

在我们的方法中，我们依靠混沌展开的正交性，用蒙特卡罗计算的内积代替回归步骤。因此，我们的方法自然适合小批量模式，无需额外成本。4算法的收敛在本节中，我们基本上遵循Clément等人【2002】中介绍的方法。即使某些假设需要修改以匹配我们的框架，收敛结果的陈述也非常相似，但证明不同，以适应回归步骤的新公式。本节分为两个独立部分。在第4.2节中，我们研究了当所有期望都被精确计算（无蒙特卡罗近似）时，算法相对于混沌展开的收敛性。在第4.3节中，我们确定了混沌展开中使用的阶数和离散化，并研究了关于numberSee的收敛性https://mpitutorial.com/tutorials/mpi-reduce-and-allreduce/解释reduce和broadcast如何有效耦合。1个MR← M/R2并行do3生成（G（1），Z（1）），（G（MR），Z（MR））MRi。i、 d.遵循（Zti，Gti）1法则的样品≤我≤N4 bτp，n，（m）n← T对于所有m=1，k=N的MR5- 1.α为1 do6∈ A.dp，n |σkdobλMRk，α=MRα！MRX`=1Z（`）bτp，n，（m）k+1Hdα（G（`））8 end9减少bλMRk，α以获得bλMk，α10广播bλMk，α的α∈ A.dp，n |σk11，对于m=1，MRdobτp，n，（m）k=TknZ（m）Tk≥C（m）p，n |σk（bλMk）o+bτp，n，（m）k+1nZ（m）Tk<C（m）p，n |σk（bλMk）o13 end14 endUp，n，MR=MRMRXm=1Z（m）bτp，n，（m）16 end17减少Up，n，MR18 Up，n，m=max（Z，Up，n）算法3.2：使用蒙特卡罗样本维纳混沌展开求解动态规划原理的并行算法。

这是通过首次证明每个时间步混沌展开的蒙特卡罗近似值收敛到真实系数来实现的。4.1符号为避免过度扩展符号，我们只需在混沌扩展中写入G而不是（G，…，Gn）。在某些情况下，确定混沌展开中使用的布朗增量可能很重要。为此，我们引入符号Cp，n（λ；G）=Xα∈A.dp，nλαHdα（G）。首先，重要的是要注意路径τp，n，（m），τp，n，（m）对于m=1，由于混沌扩展系数bλmk的蒙特卡罗计算混合了所有路径，因此M是相同分布的，但不是独立的。我们定义了连续膨胀系数∧=（λ，…，λN）的向量∧-1） 及其蒙特卡罗近似b∧M=（bλM，…，bλMN-1).现在，我们回顾Clément et al.（2002）用于研究原始Longstaff-Schwartz方法收敛性的符号。给定参数“=（`，…，`N”-1） 在RA中dp，n |σ×·····×RAdp，n |σn-1和向量z=z，zNin RNand g=（g，…，gn）in（Rd）n，我们定义向量场F=F，FNby（FN（`，z，g）=zNFk（`，z，g）=zk{zk≥Cp，n |σk（`；g）}+Fk+1（`，z，g）1{zk<Cp，n |σk（`；g）}，对于1≤ k≤ N- 1、注意Fk（`，z，x）不依赖于前k-1、、的组件`k-此外，Fk（λ，Z，G）=Zτp，nk，Fk（b∧M，Z（M），G（M））=Z（M）bτp，n，（M）k。对于k=1，N、 我们还定义了函数φk:RAdp，n |σ×·····×RAdp，n |σn-1.→ R和ψk:RAdp，n |σ×·····×RAdp，n |σn-1.→ RA公司dp，n |σkbyφk（`）=E[Fk（`，Z，G）]和ψk（`）=E[Fk（`，Z，G）Hdα（G）]α∈A.dp，n |σk。注意，φkandψk实际上只取决于\'k`N-1但不是第一个k-“”的1个组件。4.2条件期望的混沌近似建议4.1，对于所有k=1，N，跛行，N→∞E【Zτp，nk | FTk】=L中的E【Zτk | FTk】(Ohm).证据我们采用归纳法。

对于k=N，结果为真，因为τN=τp，nk=T。假设i为k+1（k≤ N- 1） ，我们将证明k.E[Zτp，nk- Zτk | FTk]=ZTk{ZTk≥Cp，n |σk（λk）}- 1{ZTk≥E[Zτk+1 | FTk]}+ EhZτp，nk+1{ZTk<Cp，n |σk（λk）}- Zτk+1{ZTk<E[Zτk+1 | FTk]}| FTki=（ZTk- E[Zτk+1 | FTk]）{ZTk≥Cp，n |σk（λk）}- 1{ZTk≥E[Zτk+1 | FTk]}+ EhZτp，nk+1- Zτk+1 | FTki{ZTk<Cp，n |σk（λk）}。根据归纳假设，术语EhZτp，nk+1- Zτk+1 | ftki在L中归零(Ohm) 作为p，n从O到I。所以，我们只需要证明AK=（ZTk- E[Zτk+1 | FTk]）{ZTk≥Cp，n |σk（λk）}- 1{ZTk≥E[Zτk+1 | FTk]}在L中收敛到零(Ohm).|Ak |≤ZTk公司- E[Zτk+1 | FTk]{ZTk≥Cp，n |σk（λk）}- 1{ZTk≥E[Zτk+1 | FTk]}≤ZTk公司- E[Zτk+1 | FTk]{E[Zτk+1 | FTk]>ZTk≥Cp，n |σk（λk）}- 1{Cp，n |σk（λk）>ZTk≥E[Zτk+1 | FTk]}≤ZTk- E[Zτk+1 | FTk]{| ZTk-E[Zτk+1 | FTk]|≤|Cp，n |σk（λk）-E[Zτk+1 | FTk]|}≤Cp，n |σk（λk）- E[Zτk+1 | FTk]≤Cp，n |σk（λk）- Cp，n |σk（E[Zτk+1 | FTk]）+Cp，n |σk（E[Zτk+1 | FTk]）- E[Zτk+1 | FTk]. （11） 注意，Cp，n |σk（λk）=Cp，n |σk（E[Zp，nτk+1 | FTk]）。截断混沌展开Cp，n |σkb是随机变量空间上关于布朗增量G，…，可测的非正交投影，Gk，我们很清楚，呃Cp，n |σk（λk）- Cp，n |σk（E[Zτk+1 | FTk]）我≤ EE[Zτp，nk+1 | FTk]- E[Zτk+1 | FTk]≤ EE[Zτp，nk+1 | FTk+1]- E[Zτk+1 | FTk+1]其中，最后一个不等式来自条件期望的正交投影特性。然后，k+1的归纳假设得出Cp，n |σk（λk）- Cp，n |σk（E[Zτk+1 | FTk]）在L中变为零(Ohm) 作为p，n为单位。因此，（11）的r.h.s的第一项变为零。当Cp，n |σk（E[Zτk+1 | FTk]）=Cp，n（E[Zτk+1 | FTk]）时，（11）的r.h.s上的第二项在L中变为零(Ohm) 感谢提案2.2。将这两个结果结合起来，就得到了该命题的收敛性陈述。

备注4.2当离散时间支付过程（ZTk）为0时≤k≤Nis可测量离散时间布朗增量（Gk）0产生的过滤≤k≤N=（σ（BTi+1-BTi，i≤ k） ）0≤k≤N、 命题4.1的结果简化为跛行→∞E【Zτp，Nk | FTk】=L中的E【Zτk | FTk】。没有必要让n进入单位，只需取n=n就足够了。从实际角度来看，应该选择n，以便在具有n个步骤的时间网格上监控真实支付过程与其可实现的离散化zn之间的离散化误差。然后，必须将参数n视为固定参数，我们实际计算了百慕大期权的价格，其支付过程为zn而非Z。因此，当模型可以精确采样时，应选择n=n.4.3蒙特卡罗近似的收敛性，如下所示：，我们假设p和n是固定的，我们研究了样本数M的收敛性。4.3.1强大数定律首先，我们证明了混沌展开系数的收敛性。命题4.3假设每k=1，N、 P（ZTk∈ Cp，n |σk）=0。然后，对于everyk=1，N、 b∧mk收敛到∧ka。s、 作为M→ ∞.命题4.3的证明基于Clément et al.（2002）的以下关键引理。假设P（ZTk∈ Cp，n）=0可能看起来很奇怪，但[Clément等人，2002年，引理3.2]中已经要求了一个非常相似的假设。该假设与以下引理相结合，证明向量场F（a，Z，G）是a.s.连续的w.r.t膨胀系数a。引理4.4对于每k=1，N- 1，| Fk（a、Z、G）- Fk（b，Z，G）|≤NXi=k | ZTi |！N-1Xi=k{| ZTi-Cp，n |σi（bi）|≤|人工智能-bi | kCp，n |σik}！式中，kcp，nk=sup |λ|=1 | Cp，n（λ）|。证明（命题4.3的证明）。我们采用归纳法。对于k=N- 结果直接遵循标准的强大数定律。

选择k≤ N-假设k+1的结果为，N- 1，我们旨在证明这对于k.bλMk，α=Mα是正确的！MXm=1Fk+1（b∧Mk+1，Z（m），G（m））Hdα（G（m））。根据标准的强大数定律，Mα！PMm=1Fk+1（b∧k+1，Z（m），G（m））Hdα（G（m））将a.s.收敛到α！E[Fk+1（b∧k+1，Z，G）Hdα（G）]=λk，α。那么，证明ψM=MMXm=1就足够了Fk+1（b∧Mk+1，Z（m），G（m））- Fk+1（b∧k+1，Z（m），G（m））Hdα（G（m））→ 然后，使用引理4.4，我们得到了|ψM |≤MMXm=1Fk+1（b∧Mk+1，Z（m），G（m））- Fk+1（b∧k+1，Z（m），G（m））Hdα（G（m））≤MMXm=1NXi=k+1Z（m）Ti+1N-1Xi=k+1nZ（m）Ti-C（m）p，n |σi（λi）≤|b∧Mi-∧i | kCp，n |σiko！Hdα（G（m））根据k+1的归纳假设，N- 对于i=k+1，…，我们有，N- 1，b∧Mi→ ∧i.那么，对于任何ε>0，我们有lim supM |ψM|≤ lim SUPMMMMXM=1NXi=k+1Z（m）Ti+1N-1Xi=k+1nZ（m）Ti-C（m）p，n |σi（λi）≤εkCp，n |σiko！Hdα（G（m））≤ E“NXi=k+1ZTi+1N-1Xi=k+1{| ZTi-Cp，n |σi（λi）|≤εkCp，n |σik}！Hdα（G）#最后一个等式来自强大的大数定律。同于P（ZTk∈ Cp，n |σk）=0对于所有k，我们可以让ε变为0，以获得lim supM |ψM |=0 a.s。一旦建立了展开式的收敛性，我们现在可以研究p，n，Mto Up，nwhen M的收敛性→ ∞.定理4.5假设每k=1，N、 P（ZTk∈ Cp，n）=0。然后，对于q=1、2和所有k=1，N、 limM公司→∞MMXm=1Z（m）bτp，n，（m）kq=EhZτp，nkqia。s、 证明。注意，E[（Zτp，nk）q]=E[Fk（b∧，Z，G）q]，并根据强大的大数定律limm→∞MMXm=1Fk（b∧，Z（m），G（m））q=E[Fk（b∧，Z，G）q]a.s。因此，我们必须证明FM=MMXm=1Fk（b∧M，Z（M），G（M））q- Fk（b∧，Z（m），G（m））qa、 s----→M→∞0.对于任何x，y∈ R、 q=1，2，| xq- yq |=| x- y | | xq-1+yq-1|.

使用引理4.4和| Fk（γ，z，g）|≤ 最大值（maxk）≤j≤N | zj |，我们有|FM |≤MMXm=1Fk（b∧Mk，Z（m），G（m））q- Fk（b∧k，Z（m），G（m））q≤ 2MMXm=1NXi=kmaxk≤j≤NZ（m）TjZ（m）Ti+1N-1Xi=knZ（m）Ti-C（m）p，n |σi（λi）≤|b∧Mi-∧i | kCp，n |σiko！使用命题4.3，b∧Mi→ ∧如果所有i=1，N- 1、对于任何ε>0，lim supM|FM公司|≤ 2 lim SUPMMMMXM=1NXi=kmaxk≤j≤NZ（m）TjZ（m）Ti+1N-1Xi=knZ（m）Ti-C（m）p，n |σi（λi）≤εkCp，n |σiko！≤ 2E“NXi=kmaxk≤j≤NZTj公司ZTi+1N-1Xi=k{| ZTi-Cp，n |σi（λi）|≤εkCp，n |σik}#其中，最后一个不等式遵循强大数定律，即E[maxk≤j≤NZTj公司] <∞. 我们得出结论，lim supM|FM |=0，将ε设为0，并将其用于everyk=1，N、 P（ZTk∈ Cp，n）=0。q=1的情况证明了该算法的强大数定律。考虑到所有路径实际上都是通过混沌展开进行混合的，估计量SMPMM=1Z（m）bτp，n，（m）kf对于k=1，N是无偏的。我们记得Up，n，Mk=MPMm=1Fk（b∧M，Z（M），G（M））和Zτp，nk=Fk（λ，Z，G）。然后，EhUp，n，Mki- EhZτp，nki=E“MMXm=1Fk（b∧M，Z（M），G（M））- Fk（λ，Z（m），G（m））#= EhFk（b∧M，Z（1），G（1））- Fk（λ，Z（1），G（1））i这里我们使用的是所有随机变量都具有相同的分布。因此，我们估计量的偏差与nb∧和真值∧之间的差距直接相关。设p<p，则对于任何α∈ A.dp，n，α∈ A.dp和对应的值bλMk，α对于p和p是相同的。这意味着当p增加时，b∧的长度增加，第一个分量保持不变。因此b∧M- Λ随着p的增加而增加，这表明，对于固定的M，biasalso随着p的增加而增加。此外，Glasserman和Yu【2004b】已经指出，对于固定数量的样本M，回归系数的均方误差与回归器的数量呈爆炸式增长。