基于维纳混沌展开的路径相关百慕大期权定价

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英文标题：
《Pricing path-dependent Bermudan options using Wiener chaos expansion: an
  embarrassingly parallel approach》
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作者：
J\\\'er\\^ome Lelong (DAO)
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this work, we propose a new policy iteration algorithm for pricing Bermudan options when the payoff process cannot be written as a function of a lifted Markov process. Our approach is based on a modification of the well-known Longstaff Schwartz algorithm, in which we basically replace the standard least square regression by a Wiener chaos expansion. Not only does it allow us to deal with a non Markovian setting, but it also breaks the bottleneck induced by the least square regression as the coefficients of the chaos expansion are given by scalar products on the L^2 space and can therefore be approximated by independent Monte Carlo computations. This key feature enables us to provide an embarrassingly parallel algorithm.
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中文摘要：
在这项工作中，我们提出了一种新的策略迭代算法，用于在支付过程不能写成提升马尔可夫过程的函数时对百慕大期权进行定价。我们的方法基于著名的Longstaff-Schwartz算法的改进，在该算法中，我们基本上用维纳混沌展开代替标准最小二乘回归。它不仅允许我们处理非马尔可夫环境，而且还打破了最小二乘回归所造成的瓶颈，因为混沌展开系数是由L^2空间上的标量积给出的，因此可以通过独立的蒙特卡罗计算来近似。这个关键特性使我们能够提供一个令人尴尬的并行算法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Pricing_path-dependent_Bermudan_options_using_Wiener_chaos_expansion:_an_embarra.pdf (419.6 KB)

2022-6-11 10:36:45 上传

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关键词：百慕大期权 期权定价 百慕大 Applications Modification

基于维纳混沌展开的路径依赖型百慕大期权定价：一种尴尬的并行方法*Jér^ome Lelong+2020年7月27日摘要在这项工作中，我们提出了一种新的策略迭代算法，用于在支付过程不能写成提升马尔可夫过程的函数时为百慕大期权定价。我们的方法基于著名的Longstaff-Schwartz算法的改进，在该算法中，我们基本上用维纳混沌展开取代了标准最小二乘回归。它不仅允许我们处理非马尔可夫环境，而且还打破了最小二乘回归所造成的瓶颈，因为混沌扩展的系数由L(Ohm) 因此，可以通过独立的蒙特卡罗计算进行近似。这一关键特性使我们能够提出一种令人尴尬的并行算法来有效地处理非马尔可夫回报。关键词：路径相关百慕大期权，最优停止，回归方法，高性能计算，维纳混沌展开。AMS主题分类：62L20、62L15、91G60、65Y05、60H071简介我们定义了一些时间范围T>0和过滤概率空间(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P），其中（Ft）0≤t型≤这应该是d的自然强化过滤-在这个空间上，我们考虑一个适应过程（St）0≤t型≤t Rdmodelinga d中的值–维度基础资产，带d≤ d

资产数量d可以严格小于布朗运动的维数d，以包含随机波动的情况*本文介绍的高性能计算是使用基础设施的Frogy平台进行的(https://ciment.ujf-grenoble.fr)由Rh^one Alpes地区（GRANTCPER07\\u 13 CIRA）和Equip@MesoAvenir计划投资项目（参考ANR-10-EQPX-29-01），由国家救济机构监督。+格勒诺布尔阿尔卑斯大学，CNRS，格勒诺布尔INP，LJK，38000格勒诺布尔，法国。电子邮件：jerome。lelong@univ-格勒诺布尔阿尔卑斯山。FRM模型或随机利率。我们假设P是风险中性度量。我们考虑行使日期为0=t的aBermudan期权≤ T<T<···<TN=T，贴现付款ZTkif在时间Tk行使。我们假设离散时间支付过程（ZTk）为0≤k≤Nis适应过滤（FTk）0≤k≤Nand满足最大值0≤k≤N | ZTk |∈ 五十、 此框架自然包含路径相关选项的情况，即当支付过程写入▄ZTk=φk（（Su；0≤ u≤ Tk）），对于任何0≤ k≤ N、 标准套利定价理论定义了百慕大期权的贴现价值（Tk）0≤kNby（UTN=ZTNUTk=最大值ZTk，E[UTk+1 | FTk]（1） 求解这种被称为动态规划原理的反向递归多年来一直是一个具有挑战性的问题，人们提出了各种方法来近似其解。真正的困难在于在递归的每个时间步计算条件期望E[UTk+1 | FTk]。如果我们要对不同的方法进行分类，我们可以说有基于回归的方法（见Carriere【1996】、Tsitiklis和Roy【2001】和量化方法（见Bally和Pages【2003】、Bronstein等人【2013】）。

我们参考Bouchardand Warin【2012】和Pagès【2018】对百慕大选择定价的不同技术进行调查。在所有可用的利用动态规划原理计算U的算法中，Longstaff和Schwartz[2001]提出的算法受到实践者的青睐。他们的方法基于迭代选择最优策略。设τkbe为时间Tk后的最小最优策略，然后（τN=TNτk=Tk{ZTk≥E[Zτk+1 | FTk]}+τk+1{ZTk<E[Zτk+1 | FTk]}，对于1≤ k≤ N- 1（2）所有这些基于动态规划原理的方法，无论是作为值迭代（1）还是策略迭代（2），都需要实现马尔可夫设置，以便知道整个过去的条件期望可以替换为只知道当前马尔可夫过程值的条件期望。斯内尔包络理论指出，序列U也满足supτ∈TTk，TE【Zτ| FTk】。（3） 当贴现支付过程写入ZTk=φk（XTk）时，对于任何0≤ k≤ N、 其中（Xt）0≤t型≤这是一个适应的马尔可夫过程，（2）simpli fisintoe[Zτk+1 | FTk]=E[Zτk+1 | XTk]=ψk（XTk）（4）中涉及的条件期望，其中ψk解决了以下最小化问题ψ∈L（L（XTk））EhZτk+1- ψ（XTk）i其中L（L（XTk））是所有可测函数f的集合，使得E[f（XTk）]<∞. 真正的挑战来自通过有限维向量空间正确逼近空间L（L（XTk））：通常使用多项式或局部基。在这两种情况下，为了确保适当的精度，L（L（XTk））的近似维数随X维数的增加而迅速增加。当X是高维过程时，高性能计算会有所帮助，但众所周知，解决最小二乘问题不能很好地扩展，然后会降低并行实现的效率，例如，见Pagès和Wilbertz【2011】，Pagès等人。

[2016].在这项工作中，我们的目标是真正的路径依赖期权，即收益不能写为具有合理大小的马尔可夫过程X的函数的期权。在这种情况下，（4）不再执行任何操作，并且计算条件期望知道Ftkbecomes非常具有挑战性。本文提出的新思想是计算ZTk+1的近似值，对于该近似值，已知FTKI的条件期望以闭合形式已知。这将通过使用维纳混沌展开来实现。然后，我们依靠混沌扩展的正交性在算法中引入高度并行性。在第2节中，我们简要回顾了维持维纳混沌展开的一般思想，以及如何使用维纳混沌展开近似条件期望。然后，我们在第3节中介绍了我们的算法，并解释了如何有效地并行实现它。第四节研究了算法的收敛性。我们在第5节中通过一些数值实验得出结论，这些实验强调了并行实现令人印象深刻的可扩展性以及算法对于一些复杂路径相关选项的效率。注释在本节中，我们收集了论文中广泛使用的α注释∈ Nd，|α|=Pdi=1αi。同样，对于α∈ （Nn）d，|α|=Pdj=1Pni=1αji。o对于α∈ Nd，α=Qdi=1αi！。同样，对于α∈ （Nn）d，α=Qdj=1Qni=1αji对于d、n、p∈ N、 我们定义了总度数小于p的多个指数集dp，n=α ∈ （Nn）d：|α|≤ po 对于d、n、p∈ N、 和k≤ n我们定义了总度数小于p且k之后无度数的多指标集dp，n | k=α ∈ A.dp，n：j∈ {1，…，d}，i>k，αji=0.o 对于i∈ N、 隐藏i- 厄米特多项式对于α∈ （Nn）d，x，xn公司∈ Rd，多元Hermite多项式dα（x，…）。

，xn）=dYj=1nYi=1Hαji（xji）。2维纳混沌扩展2.1一般框架在本节中，我们简要回顾维纳混沌扩展的原理及其基本特性。我们参考Nualart【1998】了解理论细节。让我来- h（x）=1定义的厄米多项式；Hi（x）=(-1） iex/2didxi（e-x/2），对于i≥ 它们满足所有整数i，Hi=Hi-1按照惯例H-1= 0. 我们记得，如果（X，Y）是R中的标准随机法向量，E[Hi（X）Hj（Y）]=i！（E[XY]）i{i=j}。众所周知，每个平方可积FT可测随机变量F都允许以下正交分解F=E[F]+Xα∈（NN）dλαdYj=1Yi≥1HαjiZTηji（t）dBjt哪里（ηji）1≤j≤d我≥1是L（[0，T]，Rd）的正交基。我们用L（[0，T]，Rd）表示函数集f=（f，…，fd）∈ L（[0，T]，Rd），因此对于所有1≤ 我≤ d、 RTfi（t）dt=1。对于所有p≥ 0，我们通过HP=spanL定义p阶维纳混沌(Ohm,英尺）（dYj=1HpjZTfjtdBjt: f∈ L（[0，T]，Rd），dXj=1pj=p）。我们表示一个随机变量F的投影∈ L（FT）ontopM`=0H`由Cp（F）确定。请注意，由于Hermite多项式的性质，空间H`彼此正交。考虑由0=t<t<···<tn=t定义的网格的指标函数，其值由Fji（t）={]ti定义-1，ti]}（t）√ti公司- ti公司-1ej，i=1，n、 j=1，dwhere（e，…，ed）表示Rd的正则基。基于Hp的定义，我们引入了高达pCp阶的截断维纳混沌，n=spanHdα（G，…，Gn）：α∈ （Nn）d，|α|≤ p其中dα（G，…，Gn）=dYj=1nYi=1Hαji（Gji），Gji=Bjti- Bjti公司-1.√ti公司- ti公司-1、从埃尔米特多项式的正交性出发，我们立即推导出以下结果。命题2.1设F为L中的实值随机变量(Ohm, 英尺，P）。其Lprojection ontoCp，nwritesCp，n（F）=Xα∈A.dp，nλαHdα（G。

，Gn）何处dp，n=α ∈ （Nn）d：|α|≤ p系数λα通过点积λα=α获得！E[F Hdα（G，…，Gn）]。（5） 随机变量Cp，n（F）称为随机变量F的p阶截断混沌展开。由于明显滥用了符号，我们写下λ∈ RA公司dp，n，Cp，n（λ）=Xα∈A.dp，nλαHdα（G，…，Gn）。（6） 我们回顾了关于截断混沌展开收敛性的主要结果（见Nualart[1998]的定理1.1.1和命题1.1.1），命题2.2设F为L中的实值随机变量(Ohm, 英尺，P）。然后，Cp，n（F）收敛到L中的F(Ohm, FT，P），当P和n都变为单位时。截断维纳混沌Cp、NHA空间是条件期望算子稳定的关键性质。更准确地说，下面的结果解释了如何以封闭形式计算Cp元素的条件期望，n.命题2.3让F是L中的实值随机变量(Ohm, FT，P）和k∈ {1，…，n}和p≥ 0E[Cp，n（F）| Ftk]=Xα∈A.dp，n | kλαHdα（G，…，Gn），其中Adp，n | kis时间tkA后消失的多指标集dp，n | k=α ∈ A.dp，n：j∈ {1，…，d}，i>k，αji=0.证据取（6）中的条件期望导致toE[Cp，n（F）| Ftk]=Xα∈A.dp，nλαkYi=1dYj=1Hαji（Gji）！E“nYi=k+1dYj=1Hαji（Gji）Ftk#。（7） 由于时间tkare之后的布朗增量与Ftkand无关，因此EhQni=k+1Qdj=1Hαji（Gji）Ftki=Qni=k+1Qdj=1EhHαji（Gji）i，当asPni=k+1Pdj=1αji>0时，该值为零。因此，（7）中的和减少为多个指数α集合上的和∈ A.dp，对于所有i>k和1，确保αji=0≤ j≤ d、 这正是setA的定义dp，n | k。由于E[Cp，n（F）| Ftk]中出现的和被减少为多个指数α集合上的和∈ A.dp，n | k，它实际上只取决于前k个增量（G，…，Gk）。

我们可以很容易地检查E[Cp，n（F）| Ftk]实际上是由F在第一个k布朗增量上的混沌展开给出的。因此，计算条件期望可以简单地归结为放弃不可测量的条件。虽然这看起来是一种天真的方式，但在这种情况下确实是正确的。为了表示时间网格（t，…，tn）上的混沌扩展，我们引入了符号Cp，n | k（F）=Xα∈A.dp，n | kλαHdα（G，…，Gn）=E[Cp，n（F）| Ftk]。（8） 由于明显滥用了符号，我们写λ∈ A.dp，n | k，Cp，n | k（λ）=Xα∈A.dp，n | kλαHdα（G，…，Gn）。2.2条件期望近似的应用在本节中，我们解释如何使用随机变量F的截断维纳混沌展开∈ L(Ohm, FT，P），以计算其条件期望。假设我们需要M个条件期望样本。我们对M条路径（B（M）t，…）进行采样，（Bt，…，Btn，F）的B（m）tn，F（m）），并且由于命题2.3，我们在样本路径上用索引m byC（m）p，n | k（Bλm）=Xα近似[F | Ftk]∈A.dp，n | kbλMαHdα（G（m），G（m）k），其中bλmα=mα！MX`=1F（`）Hdα（G（`），G（`）k）。利用强大数定律，我们清楚地知道，对于每个α∈ A.dp，n | k，bλMα收敛a。s、 到λα，当M变为单位时。然后，我们推导出，对于任何固定的m，当m→ ∞.备注2.4请注意，我们使用相同的样本来计算混沌展开系数bλMα，并近似C（M）p，n | k。这两部分可以使用不同的样本集，甚至可以简化算法的理论分析，但在计算时间方面支付的价格是禁止的。

使用独立的样本集需要在每个日期模拟整个路径的新样本。3算法3.1算法描述我们旨在求解动态规划方程（2）以获得τ。那么，时间-百慕大期权的0价格writesU=max（Z，E[Zτ]）。适用于所有n≥ N、 考虑时间网格0<t<t<··<tn=t的[0，t]，这样{t，…，tn} {t，…，tn}。我们假设limn→∞sup0≤k≤n-1 | tk+1- tk |=0。对于k≤ N、 我们定义σk∈ N使得tσk=Tk。尽管我们没有明确表示对n的依赖关系，但很明显σkis是n的递增函数。现在，我们介绍了（2）的一些连续近似。首先，我们用Zτk+1（τp，nN=TNτp，nk=Tk{ZTk）的截断维纳超扩张的条件期望替换真实条件期望E[Zτk+1 | FTk≥Cp，n |σk（λk）}+τp，nk+1{ZTk<Cp，n |σk（λk）}，对于1≤ k≤ N- 其中λk是Zτp的截断展开系数，nk+1λk，α=α！E[Zτp，nk+1Hdα（G，…，Gσk）]表示α∈ A.dp，n |σk标准方法是对模型S（m）T，S（m）T，…，的一组路径进行采样，S（m）tn以及相应的支付路径Z（m）T，Z（m）T，Z（m）TN，对于m=1，M、 我们用B（M）表示用于采样S（M）T，S（M）T，…，的布朗路径，S（m）TN.注意，B在细网格上取样，tn，它使我们能够处理模型离散化问题。向量G（m），G（m）n对应于内时间网格上布朗运动B的增量。为了计算每条路径上的τk，需要计算k=1，…，的条件期望E[Zτk+1 | FTk]，N- 1.

然后，我们介绍了反向迭代策略的最终近似，其中截断混沌扩展使用蒙特卡罗近似（bτp，n，（m）n=TNbτp，n，（m）k=TknZ（m）Tk）计算≥C（m）p，n |σk（bλMk）o+bτp，n，（m）k+1nZ（m）Tk<C（m）p，n |σk（bλMk）o，对于1≤ k≤ N- 其中，bλmk的计算如第2.2节所述。对于k=1，N- 1，RA的向量bλMkisan元d、 σkp，每个α的nand∈ A.d、 σkp，n，bλMk，α=Mα！MX`=1Z（`）bτp，n，（`）k+1Hdα（G（`））。（9） 然后，我们最终估计时间-0期权价格byUp，n，M=maxZ，MMXm=1Z（M）bτp，n，（M）！。（10） 我们的方法的伪代码对应于算法3.1。备注3.1从实际角度来看，我们建议考虑Chaos扩张的资金路径，因为Longstaff和Schwartz【2001】已经注意到了这一点。因此，集合{Z（m）Tk≥ C（m）p，n |σk（bλMk）}替换为{Z（m）Tk>0}∪ {Z（m）Tk≥ C（m）p，n |σk（bλMk）}和混沌展开系数由bλMk给出，α=mα！MX`=1Z（`）bτp，n，（`）k+1nZ（`）Tk>0oHdα（G（`））。这种修改不会改变算法的理论分析，但会改善其数值行为。我们的算法被设计成一个黑箱，以布朗运动和相应的支付过程的模拟作为输入。从实用的角度来看，您可以将实现设计为这样一种方式，即为新产品定价相当于实现模型的离散化和回报的计算。3.2对算法的评论使用标准Longstaff-Schwartz算法处理真正路径相关期权或非马尔可夫模型的明显和通用方法是将整个路径视为回归器。很难轻易地建立一组与离散化路径过程法则正交的基函数。