跳跃式非流动市场中的期权定价

在Koumodel中，α=u=0，D+=λ-, D-= -λ+. 对于方差γ过程，我们有α=1，u=0，D±=A±B.3。跳跃式差异下的反馈效应基础资产价格动态让我们假设一个大型交易者使用股票持有策略α，并且是一个cadlagprocess（向右连续，向左限制）。从今以后，我们将识别StwithSt-. 我们假设St具有以下动力学：dSt=uStdt+σStdWt+ρStdαt+ZRSt（ex- 1） JX（dt，dx）。（17） 可以将其视为经典跳跃扩散模型的扰动。事实上，如果一个大型交易者不交易，那么αt=0或市场流动性参数ρ设置为零，那么股价St遵循经典的跳跃扩散模型。在下文中，我们将假设以下结构假设：假设3.1。假设交易策略αt=φ（t，St）和参数ρ≥ 0满足ρL<1，其中L=supS>0 | SφS |。接下来，我们给出了在股票持有函数φ（t，S）的某些正则性假设下，满足St（17）的动力学的显式公式。提案3.2。假设持股策略αt=φ（t，St）满足假设3.1，其中φ∈ C1,2（[0，T]×R+）。如果工艺St，t≥ 0，满足隐式随机微分方程（17），则过程满足以下随机微分方程：dSt=b（t，St）Stdt+v（t，St）StdWt+ZRH（t，x，St）JX（dt，dx），（18），其中b（t，S）=1- ρSφS（t，S）u + ρφt+v（t，S）SφS, （19） v（t，S）=σ1- ρSφS（t，S），（20）H（t，x，S）=S（ex- 1） +ρS[φ（t，S+H（t，x，S））- φ（t，S）]。（21）证明。

我们可以用以下方式重写St的SDE（18）：dSt=b（t，St）St+Z | x |<1H（t，x，St）ν（dx）！dt+v（t，St）StdWt+Z | x|≥1H（t，x，St）JX（dt，dx）+Z | x |<1H（t，x，St）~JX（dt，dx）。由于φ（t，S）被假定为光滑函数，那么通过将其^o公式（12）应用于过程φ（t，St），我们得到了αt=φt+v（t，St）StφSdt公司+φSdSt（22）+ZRφ（t，St+H（t，x，St））- φ（t，St）- H（t，x，St）φS（t，St）JX（dt，dx）。现在，插入微分dαtinto（17），我们得到了dst=uStdt+σStdWt+ZRSt（例如- 1） JX（dt，dx）+ρStφSdSt+ρStφt+v（t，St）StφSdt（23）+ρStZRφ（t，St+H（t，x，St））- φ（t，St）- H（t、x、St）φS（t，St）JX（dt，dx）。在（23）中重新排列术语，我们得出（1- ρStφS（t，St））dSt=（uSt+ρSt(φt+v（t，St）StφS） ）dt+σStdWt- ρStZRH（t，x，St）φS（t，St）JX（dt，dx）（24）+ZRSt（ex- 1） +ρSt（φ（t，St+H（t，x，St））- φ（t，St））JX（dt，dx）。比较（18）和（24）中的项，我们得到表达式（19）、（20）和函数H的隐式方程：H（t，x，S）=1- ρSφS（t，S）（S（ex- 1） +ρS（φ（t，S+H（t，x，S））- φ（t，S）））-1.- ρSφS（t，S）ρSφS（t，S）H（t，x，S）。（25）简化H的表达式，我们得出（21）的结论，如所述。方程（21）隐含地给出了函数H。如果我们将其解H在一个小参数ρ中展开，即H（t，x，S）=H（t，x，S）+ρH（t，x，S）+O（ρ）作为ρ→ 0，我们得出以下命题：命题3.3。假设ρ很小。然后，函数H（t，x，S）的一阶近似值如下：H（t，x，S）=S（ex- 1） +ρS（φ（t，性别）- φ（t，S））+O（ρ）为ρ→ 0.（26）提案3.4。假设资产价格过程St=eXt+rtful fills SDE（18），其中L’evy度量ν为r | x|≥1e2xν（dx）<∞. 用V（t，S）表示由V（t，S）=Ehe给出的衍生证券的价格-r（T-t） Φ（ST）| ST=Si=e-r（T-t） EhΦ（Ser（t-t） +文本-t） i。

（27）假设pay-o fff函数Φ是一个Lipschitz连续函数，函数φ有一个有界导数。那么V（t，S）是PIDE的解决方案：五、t+v（t，S）S五、S+rS五、S- rV+ZRV（t，S+H（t，x，S））- V（t，S）- H（t、x、S）五、S（t，S）ν（dx）=0，（28），其中v（t，S）和H（t，x，S）分别由（20）和（21）给出。证据Q度量的资产价格动态由DST=rStdt+v（t，St）StdWt+ZRH（t，x，St）~JX（dt，dx）给出。（29）如果我们将它的^o引理应用于V（t，St），我们得到d（V（t，St）e-rt）=a（t）dt+dmt，其中a（t）=五、t+v（t，St）St五、S+rSt五、S- rV+ZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- H（t，x，St）五、S（t，St）ν（dx），dMt=e-rtStv（t，St）五、SdWt+e-rtZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）~JX（dt，dx）。我们的目标是证明Mtis是鞅。因此，我们有一个≡ 0 a.s.和Vis（28）的解决方案（见[4]的第8.9条）。证明条款-rtRRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）~JS（dt，dy）是一个鞅，这足以说明E“ZTe”-2rtZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）ν（dx）dt#<∞. （30）自sup0起≤t型≤TE公司提取-t型< ∞ 支付函数Φ是Lipschitz连续的，V（t，S）是Lipschitz连续的，并且一些Lipschitz常数C>0。由于函数φ（t，S）有界导数，我们得到φ（t，S+H（t，x，S））- φ（t，S）|≤ SφS|H（t，x，S）|≤ L | H（t，x，S）|（见假设3.1）。因为H（t，x，S）=S（ex-1） +ρS（φ（t，S+H（t，x，S））-φ（t，S））我们得到| H（t，x，S）|≤ S（ex-1)/(1 -ρL）。当V是Lipschitz连续且Lipschitz常数C>0时，我们得到了e“ZTe-2rtZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）ν（dx）dt公司#≤C（1- ρL）E中兴通讯-2rt | St |（ex- 1） ν（dx）dt< ∞,因为支持∈[0，T]ESt公司< ∞. 此处C=RR（ex- 1） ν（dx）<∞ 由于对测量ν的假设。还有待证明-rtStv（t，St）五、S（t，St）是一个鞅。

自S起φ假设S（t，S）有界，我们得到0<v（t，S）=σ1- ρSφS（t，S）≤σ1 - ρL≡ C<∞.因此E[RTe-2rt(五、S（t，St）v（t，St）St）dt]≤ CCRTe公司-2rtE【St】dt<∞ 因为STI是一个鞅。因此，Mtis也是鞅。因此≡ 如所述，0与PIDE（28）的一种解决方案相对应。备注2。如果ρ=0，则H（t，x，S）=S（ex- 1） 方程式（28）简化为：五、t+σS五、S+rS五、S-rV+ZRV（t，性别）-V（t，S）-S（ex-1)五、S（t，S）ν（dx）=0，（31），这是著名的经典PIDE。如果没有跳跃（ν=0）且交易遵循增量对冲策略，即φ（t，S）=SV（t，S），然后方程式（28）简化为Frey–Stremme期权定价模型：五、t+σ1.- %SSV公司S五、S+rS五、S- rV=0（32）（参考文献[5]）。最后，如果ρ=0且ν=0，则方程（28）简化为经典的线性Black–Scholes方程。为简单起见，我们假设利率为零，r=0。那么函数V（t，S）就是PIDE的解决方案：五、t+v（t，S）S五、S+ZRV（t，S+H（t，x，S））- V（t，S）- H（t、x、S）五、S（t，S）ν（dx）=0。

（33）让我们将交易策略的跟踪误差αt=φ（t，St）定义如下：eMT：=Φ（St）- V=V（T，ST）- 五、-RTαtdSt。通过将It^o公式应用于V（t，St）并使用（33），我们得到了V（t，St）- V=V（T，ST）- V（0，S）=ZTdV（t，St）=ZT五、SdSt+ZT五、t+v（t，St）St五、Sdt+ZTZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- H（t，x，St）五、SJX（dt，dx）=ZT五、SdSt公司-ZTZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- H（t，x，St）五、Sν（dx）dt+ZTZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- H（t，x，St）五、SJX（dt，dx）=ZT五、SdSt+ZTZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- H（t，x，St）五、SJX（dt，dx）。将表达式（29）用于资产价格St的动态（r=0），跟踪误差eMT可以表示为：eMT=V（T，St）- 五、-ZTαtdSt=ZT五、S（t，St）- αtdSt+ZTZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- H（t，x，St）五、SJX（dt，dx）=ZTv（t，St）St五、S- αtdWt（34）+ZTZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- αtH（t，x，St）~JX（dt，dx）。备注3。对于delta对冲策略，αt=φ（t，St）=五、S（t，St）跟踪误差函数emtca可表示为：eMT=ZTZRV（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- H（t，x，St）五、S（t，St）~JX（dt，dx）。显然，对于ν6，增量对冲策略的跟踪误差不必为零≡ 0.接下来，我们提出了一个可用于确定最优套期保值策略的标准。提案3.5。大交易者的交易策略αt=φ（t，St），最小化方差E(MT）跟踪误差由隐式方程给出：φ（t，St）=βρ（t，St）v（t，St）St五、S（t，St）+ZR（V（t，St+H（t，x，St））- V（t，St））H（t，x，St）ν（dx）, （35）式中，βρ（t，St）=1/[v（t，St）St+RRH（t，x，St）ν（dx）]，H（t，x，S）=S（ex- 1） +ρS[φ（t，S+H（t，x，S））- φ（t，S）]。证据

使用表达式（34）计算跟踪误差M和它的等距(MT）= E“ZTv（t，St）St五、S（t，St）- αtdt#+EZTZR（V（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- αtH（t，x，St））ν（dx）dt.上述凸二次极小化问题的极小值α满足一阶必要条件d（ET, αt）=0，即0=-2E类ZT公司v（t，St）St五、S（t，St）- αt+ZRH（t、x、St）V（t，St+H（t，x，St））- V（t，St）- αtH（t，x，St）ν（dx）ωtdt对于任何变化ωt，跟踪误差最小化策略α由（35）给出。备注4。最小化跟踪误差方差的最优交易策略不需要满足结构假设3.1。例如，如果ν=0，则跟踪误差最小值就是delta对冲策略φ=SV。在acall或看跌期权的情况下，其伽马，即。SV（t，S）随着t的增加而变得有限→ T和S=K。给定L>0级，我们可以将跟踪误差E最小化T在附加约束supS>0 | S下φS（t，S）|≤ 五十、 也就是说，我们可以解决以下凸约束非线性优化问题minφETs、 t.| sSφ|≤ Linstead提出的命题3.5中的无约束极小化问题。备注5。注意，如果ν=0和ρ≥ 0，交易策略αt简化为Black-Scholes delta对冲策略，即αt=五、S（t，St）。如果ν6≡ 0且ρ=0，则最优交易策略为αt=φ（t，St），其中φ（t，St）=β（t，St）σSt五、S（t，St）+ZRSt（ex- 1） （V（t，Stex）- V（t，St））ν（dx）,式中，β（t，St）=1/[σSt+RRSt（ex- 1） ν（dx）]。我们通过以下命题总结本节，在参数ρ 1是小的。

在下文中，我们推导了φρ（t，St）的一阶近似值，形式为φρ（t，St）=φ（t，St）+ρφ（t，St）+O（ρ）作为ρ→ 显然，波动率函数v（t，S）的一阶泰勒展开式的形式为：v（t，S）=σ（1- ρSSφ）=σ+2ρσSφS（t，S）+O（ρ），作为ρ→ 关于命题3.3（见（26）），我们有H（t，x，S）=H（t，x，S）+ρH（t，x，S）+O（ρ），其中H（t，x，S）=S（ex- 1） ，H（t，x，S）=S[φ（t，性别）- φ（t，S）]。（36）函数βρ可展开如下：βρ（t，S）=β（t，S）+ρβ（1）（t，S）+O（ρ），β（t，S）=1/[σS+SZR（ex- 1） ν（dx）]，（37）β（1）（t，S）=-（β（t，S））2σSφS（t，S）+2SZR（ex- 1） [φ（t，性别）- φ（t，S）]ν（dx）.利用函数v、βρ和H的一阶展开式，我们得到以下结果。提案3.6。对于参数ρ的较小值 1，跟踪误差方差最小化策略αt=φρ（t，St）由φρ（t，St）=φ（t，St）+ρφ（1）（t，St）+O（ρ）给出，作为ρ→ 0，（38），其中φ（1）（t，S）=β（t，S）2σS五、S（t，S）φS（t，S）+ZRV（t，性别）- V（t，S）+五、S（t，性别）H（t，x，S）H（t，x，S）ν（dx）+β（1）（t，S）σS五、S（t，S）+ZR（V（t，性别）- V（t，S））H（t，x，S）ν（dx）函数H、H、β和β（1）的定义如（36）和（37）所示。隐式-显式数值离散化方案本节的目的是提出一种用于求解非线性PIDE（28）的全时空离散化方案。离散化方法基于（28）中所有导数的有限差分近似，以及通过截断域上的梯形积分规则近似积分项。为了求解（28），我们将其转化为一个非线性抛物线方程。

实际上，使用标准变换V（t，S）=e-rτu（τ，x），φ（t，S）=ψ（τ，x），其中τ=t- t、 x=ln（SK）我们得出结论，当且仅当函数u（τ，x）解以下非线性抛物方程时，V（t，S）是（28）的解：uτ=σ(1 - ρψx）ux+r-σ(1 - ρψx） 哦！ux（39）+ZRu（τ，x+ξ（τ，z，x））-u（τ，x）- H（T- τ、 z，Kex）Ke-x个ux（τ，x）ν（dz），u（0，x）=h（x）≡ Φ（Kex），（τ，x）∈ [0，T]×R，（40）和h（T，z，S）=S（ez- 1） +ρS[φ（t，S+H（t，z，S））- φ（t，S）]，（41）ξ（τ，z，x）=ln（1+K-1e级-xH（T- τ、 z，Kex））。(42)4.1. 求解具有有限活性的非线性PIDE的数值格式L'evy测度我们首先考虑L'evy测度ν具有有限活性的情况，即ν（R）<∞.让我们表示λ=ZRν（dz），ω（τ，x）=ZRH（T- τ、 z，性别）Se-xν（dz）。我们有λ<∞. 注意（39）等同于uτ=σ(1 - ρψx）ux+r-σ(1 - ρψx）- ω!ux个-λu+ZRu（τ，x+ξ（τ，z，x））ν（dz）。（43）我们通过【15】中提出的半隐式有限差分方案，继续求解（43）。其想法是将右侧分为两部分：差异部分和整体部分。设uji=u（τj，xi），τj=jτ、 xi=zi=ix代表i=-N+1，···，N- 1和j=1，···，M。除ψ（τ，x）外，我们隐式地近似微分部分ux个冀≈（uj+1i+1-uj+1ix、 if（σji）- r+ωji<0，uj+1i-uj+1i-1.x、 if（σji）- r+ωji≥ 0，σji=σ1- ρDψji，ux个冀≈uj+1i+1- 2uj+1i+uj+1i-1(x） ，则，uτ冀≈uj+1i- 乌吉t。ψx个冀≈ψji+1- ψjix=Dψji。对于积分算子，首先我们必须将积分域截断为富余区间[Bl，Br]。我们通过选择整数klandkr来近似这个积分，使得[Bl，Br] [（Kl- 1/2)x、 （吉隆坡+1/2）x] 。ThenZBrBlu（τj，xi+ξ（τj，zi，xi））ν（dz）≈KrXk=Klu（τj，xi+ξ（τj，zk，xi））νk，（44），其中νk=ν（zk+1/2）+ν（zk-1/2)x。

类似地，ωji≈e-xiKKrXk=KlH（T- τj，zk，Kexi）νk和λ≈KrXk=Klνk，其中ξ（τ，z，x）如（42）所示。将u导数的有限差分近似值插入（43）中，我们得到了Uj+1i- 乌吉t=（σji）uj+1i+1- 2uj+1i+uj+1i-1(x）- λuj+1i（45）+（r-（σji）- ωji）uj+1i+1- uj+1ix+KrXk=Klu（τj，xi+ξ（τj，zk，xi））νk，前提是（σji）- r+ωji<0。类似地，我们可以导出这种情况下的微分方程（σji）- r+ωji≥ 如果我们定义系数βji±，βjia如下：βji±=-τ2(x） （σji）-τx个r-（σji）- ωji±，（46）βji=1+τλ - （βji-+ βji+，（47），其中（a）+=最大值（a，0），（a）-= 最小值（a，0）。然后解uj=（uj）的三对角线性方程组-N+1，···，ujN-1） T，j=0，···，M，如下所示：ui=h（xi），对于i=-N+1，···，N- 1，uj+1i=g（τj+1，xi），对于i=-N+1，···，-编号/2- 1，βji+uj+1i+1+βjiuj+1i+βji-uj+1i-1=uji+τKrXk=Klu（τj，xi+ξ（τj，zk，xi））νk，（48），对于i=-N/2+1，···，N/2- 1，uj+1i=g（τj+1，xi），对于i=N/2，···，N- 其中ξ（τj，zk，xi）=ln（1+K-1e级-xiH（T- τj，zk，Kexi）），g是局部化区间外点xilyng的函数。根据[15]中的命题4.3.1，建议选择g（τ，x）=h（x+rτ）=Φ（Kerτ+x）。输入（48）右侧和的术语u（τj，xi+ξ（τj，zk，xi））通过一阶泰勒级数展开近似：u（τj，xi+ξ（τj，zk，xi））≈ uji+uji+1- 乌吉xξ（τj，zk，xi）。4.2. 解具有有限活性的非线性PIDE的数值格式L'evy度量接下来，我们考虑L'evy度量具有有限活性的情况，例如方差伽马过程，其中L'evy密度在零处爆炸，且ν（R）=∞.等式（39）等效于uτ=σ(1 - ρψx）ux+r-σ(1 - ρψx）- ω!ux+ZRu（τ，x+ξ（τ，z，x））-u（τ，x）ν（dz）。（49）方程（49）与（43）不同，因为积分部分中包含了术语u（τ，x），因为λ=RRν（dz）=∞.

与（43）的离散化类似，我们可以通过半隐式有限差分格式数值求解（49）。如果系数βji±定义如（46）所示，且βji=1-（βji-+βji+，则解向量uj=（uj-N+1，···，ujN-1） T，j=0，···，M是以下三对角线性方程组的解：ui=h（xi），对于i=-N+1，···，N- 1，uj+1i=g（τj+1，xi），对于i=-N+1，···，-编号/2- 1，（50）βji+uj+1i+1+βjiuj+1i+βji-uj+1i-1=uji+τKrXk=Kl（u（τj，xi+ξ（τj，zk，xi））- u（τj，xi））νk，对于i=-N/2+1，···，N/2- 1，uj+1i=g（τj+1，xi），对于i=N/2，···，N- 1、术语u（τj，xi+ξ（τj，zk，xi））-输入（50）右侧和的u（τj，xi）再次通过一阶泰勒级数展开近似，即u（τj，xi+ξ（τj，zk，xi））- u（τj，xi）≈uji+1- 乌吉xξ（τj，zk，xi）。5、数值结果在本节中，我们使用第4节中描述的欧洲看跌期权的有限差分模式，即Φ（S）=（K），给出数值实验结果- S） +。对于L'evy过程，我们考虑参数θ=-0.33，σ=0.12，κ=0.16，其他期权定价模型参数：r=0，K=100，T=1。数值离散化参数选择如下如下所示：aeae图1。经典PIDE和线性Black-Scholesmodel之间的欧洲看跌期权价格比较（左）。经典PIDE和Frey–Stremme PIDE模型之间的比较（右）。删除0.050.100.150.20隐含挥发分定义定义图2。Frey–Stremme模型、经典PIDE和Frey–Stremme PIDE推广之间隐含波动率的比较。x=0.01，t=0.005。