跳跃式非流动市场中的期权定价

由于方差伽马过程具有有限的活动性，我们将采用第4.2节所述的数值离散化方案。在下文中，我们展示了通过第4节中描述的线性Black-Scholes（ρ=0）和Frey-Stremme模型（ρ>0）的有限差分数值模式计算的各种期权价格及其跳跃差分PIDE推广。在图1中，我们展示了经典PIDE模型和线性Black-Scholes模型之间的欧洲看跌期权价格比较，以及在大型交易员影响较小的情况下，经典Pidean模型和Frey-Stremme-PIDE模型之间的比较，ρ=0.001。在图2中，我们将隐含波动率的依赖性绘制为Frey–Stremme模型及其PIDE推广的执行价格K的递减函数。我们可以观察到，当改变欧洲看跌期权的执行价格时，Frey–Stremme-PIDE模型的隐含波动率总是较高。表1和表2中总结了各种模型和参数设置的期权价格数值。数值结果证实了我们的预期，即与Frey–Stremme模型期权价格相比，假设基础资产过程中突然跳跃产生的风险会产生更高的期权价格。在图3（左）中，我们比较了通过Black-Scholes和Frey-Stremme模型计算的欧洲看跌期权价格V（0，S），这取决于衡量大型交易员影响力的参数ρ。我们可以观察到，欧洲putoption的价格与ρ相关，正如预期的那样。此外，根据表1计算的价格。

ρ=0.001的Black-Scholes和Frey-Stremme模型的欧洲看跌期权价格V（0，S）及其PIDE推广。B-S F-S B-S PIDE F-S PIDESν=0，ρ=0ν=0，ρ6=0ν6=0，ρ=0ν6=0，ρ6=061.8783 38.1217 38.1258 38.2297 38.823467.032 32.9691 32.9763 33.4319 34.188972.6149 27.3972 27.4207 28.4887 29.442578.6628 21.4275 21.5118 23.5224 24 24 24.691185.2144 15.2547 15.4835 18.6979 20.070192.3116 9.42895 9.85754 14.2078 15.7321100。4.78444 5.32697 10.243 11.8282108.329 1.88555 2.34727 6.95353 8.48304117.351 0.550422 0.814477 4.41257 5.77178127.125 0.114716 0.216426 2.60009 3.70615137.713 0.016615 0.043112 1.41444 2.2351表2。不同ρ值的Frey-Stremme和Frey-Stremme-PIDE模型的欧洲看跌期权价格V（0，S）。F-S F-S PIDE F-S F-S PIDE F-S F-S PIDESρ=0.1ρ=0.1ρ=0.2ρ=0.2ρ=0.3ρ=0.361.8783 38.1257 38.4958 38.1258 38.8234 38.1373 39.225967 38.8234 32.9759 33.7763 32.9763 34.1889 33.019 34.686572.6149 27.4191 28.9293 27.4207 29.4425 27.5623 30.04978.6621.5061 24.0698 21.5118 24.6911 21.8893 25.411885.2144 15.4688 19.3477 15.4835 20.0701 16.2645 20.89692.3116 9.83127 14.9344 9.8575415.7321 11.0916 16.6367100. 5.29421 10.9999 5.32697 11.8282 6.8043 12.7672108.329 2.31882 7.68096 2.34727 8.48304 3.68338 9.4005117.351 0.797286 5.05246 0.814477 5.77178 1.72932 6.61053127.125 0.209195 3.11214 0.216426 3.70615 0.693804 4.41995137.713 0.040995 1.78547 0.043112 2.2351 0.234949 2.79821ìììììòòòòòSPriceòPIDEFreyΡ=0.3ìPIDEFreyΡ=0.2ìPIDEFreyΡ=0.1aePIDEFigure 3。Black-Scholes和Frey-Stremme模型（左）以及Frey-Stremme-PIDE模型不同ρ的欧洲看跌期权价格比较。Frey–Stremme-PIDE模型比从线性Black–Scholes方程得到的模型更大。

此外，由Frey–Stremme-PIDE模型计算的价格比用非线性Frey–Stremme模型计算的价格高。这是因为基础资产过程的跳跃部分会增加风险，从而增加期权价格。图3（右）显示了不同ρ值下Black-Scholes和Frey-Stremme-PIDE模型的期权价格比较。结论在本文中，我们研究了一种新的非线性期权定价模型，该模型在假设基础资产价格服从L'evy随机过程的情况下推广了弗里-斯特雷姆模型。我们推导了在大型交易员影响下期权定价的完全非线性PIDE。我们还提出了最小化跟踪误差方差的套期保值策略。我们推导了一种半隐式有限差分数值近似格式，用于求解非线性PIDE。我们展示了各种数字实验，说明了大型交易员在跳跃式L’evy过程下的影响。7、致谢本研究得到了FCT/MEC通过国家基金资助的CEMAPRE MULTI/00491项目和2018年1月2日斯洛伐克VEGA研究项目的支持。参考文献[1]David Applebaum，《列维过程与随机微积分》，第二版，《剑桥高等数学研究》，第116卷，剑桥大学出版社，2009年。[2] Marco Avellanda、Avron Levy和Antonio Paras，《波动不确定市场中衍生证券的定价和对冲》，应用数学金融2（1995），73–88。[3] Ole E.Barndor Off-Nielsen和Sergei Z.Levendorski305;，正态逆高斯型Feller过程，Quant。

《金融学1》（2001），318–331。[4] Rama Cont和Peter Tankov，《带跳跃过程的金融建模》，Chapman&Hall/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2004年。[5] R¨udiger Frey，《大型交易者的完美期权对冲》，《金融随机2》（1998），305–325。[6] R¨udiger Frey和Pierre Patie，《非流动市场中衍生品的风险管理：模拟研究》，《金融与随机研究进展》，柏林斯普林格出版社，2002年，第137-159页。1929376【7】R¨udiger Frey和Alexander Stremme先生，《动态对冲的市场波动和反馈效应》，数学。《金融》第7期（1997），第4期，351-374页。1482708[8]Martin Jandaˇcka和DanielˇSevˇcoviˇc先生，关于风险调整定价方法基于普通期权的估值和波动率微笑的解释，J.Appl。数学（2005），第3235-258号。2201973先生【9】Steven Kou，《期权定价的跳差模型》，管理科学48（2002），1086–1101。[10] Yue Kuen Kwok，《金融衍生品的数学模型》，第二版，《施普林格金融》，施普林格，柏林，2008年。2446710先生【11】Dilip B.Madan、Peter Carr和Eric C.Chang，《方差伽马过程和期权定价》，欧洲金融评论2（1998），79–105。[12] Robert C.Merton，《基础股票收益不连续时的期权定价》。，J、 金融经济学3（1976），125–144。[13] Philipp J.Schonbucher和Paul Wilmott，《非流动市场套期保值的反馈效应》，暹罗J.Appl。数学61（2000），第1号，232-272。1776395【14】K.Ronnie Sircar和George Papanicolaou先生，《考虑对冲策略增加的市场波动性的Black-Scholes通用模型》，应用数学金融5（1998），第1期，第45–82页。[15] 叶卡捷琳娜·沃尔奇科娃（Ekaterina Voltchkova），《egro Diffiels d’erentielles d’方程的演化：m’ethodesnum’eriques et applications en-finance》，博士论文，巴黎理工学院，2005年。