跳跃式非流动市场中的期权定价

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英文标题：
《Option Pricing in Illiquid Markets with Jumps》
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作者：
Jose Cruz, Daniel Sevcovic
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The classical linear Black--Scholes model for pricing derivative securities is a popular model in financial industry. It relies on several restrictive assumptions such as completeness, and frictionless of the market as well as the assumption on the underlying asset price dynamics following a geometric Brownian motion. The main purpose of this paper is to generalize the classical Black--Scholes model for pricing derivative securities by taking into account feedback effects due to an influence of a large trader on the underlying asset price dynamics exhibiting random jumps. The assumption that an investor can trade large amounts of assets without affecting the underlying asset price itself is usually not satisfied, especially in illiquid markets. We generalize the Frey--Stremme nonlinear option pricing model for the case the underlying asset follows a Levy stochastic process with jumps. We derive and analyze a fully nonlinear parabolic partial-integro differential equation for the price of the option contract. We propose a semi-implicit numerical discretization scheme and perform various numerical experiments showing influence of a large trader and intensity of jumps on the option price.
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中文摘要：
衍生证券定价的经典线性Black-Scholes模型是金融业中一种流行的模型。它依赖于几个限制性假设，如市场的完备性和无摩擦性，以及几何布朗运动后基础资产价格动态的假设。本文的主要目的是通过考虑大型交易者对呈现随机跳跃的基础资产价格动态的影响而产生的反馈效应，推广用于衍生证券定价的经典Black-Scholes模型。投资者可以在不影响基础资产价格的情况下交易大量资产的假设通常不能得到满足，尤其是在非流动性市场。对于标的资产服从带跳跃的Levy随机过程的情况，我们推广了Frey-Stremme非线性期权定价模型。我们推导并分析了期权合约价格的一个完全非线性抛物型偏积分微分方程。我们提出了一种半隐式数值离散格式，并进行了各种数值实验，显示了大型交易者和跳跃强度对期权价格的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：期权定价 Mathematical Quantitative Differential mathematica

JumpsJos\'e M.T.S.Cruzaand DanielˇSevˇcoviˇcbaISEG在非流动性市场中的期权定价，里斯本大学，Rua de Quelhas 61200-781，葡萄牙里斯本；布拉迪斯拉发大学，Mlynsk\'a dolina，84248布拉迪斯拉发，斯洛伐克共和国历史汇编，2019年1月23日摘要衍生证券定价的经典线性Black-Scholes模型是金融行业的一种流行模型。它依赖于几个限制性的假设，如市场的完备性和无摩擦性，以及几何布朗运动后潜在资产价格动态的假设。本文的主要目的是通过考虑大型交易对基础资产价格动态表现出随机跳跃的影响而产生的反馈效应，推广衍生证券定价的经典Black-Scholes模型。投资者可以在不影响基础资产价格的情况下交易大量资产的假设通常并不令人满意，尤其是在非流动性市场。我们将Frey–Stremme非线性期权定价模型推广到基础资产服从带跳跃的L'evy随机过程的情况。我们推导并分析了期权合同价格的全非线性抛物偏积分微分方程。我们提出了一种半隐式数值离散格式，并进行了各种数值实验，显示了大型交易者的影响和跳跃强度对期权价格的影响。关键词非线性偏积分微分方程；L'evy度量；有限差异近似值1。简介近几十年来，Black-Scholes模型及其推广在金融市场中得到了广泛应用，因为其简单且存在欧式期权定价的分析公式。

根据Black、Scholes和Merton提出的经典理论，在时间t时，程式化金融市场中期权的价格V（t，S）∈ [0，T]和基础资产价格S可作为线性Black-Scholes抛物线方程的解进行计算：五、t（t，S）+σS五、S（t，S）+rS五、S（t，S）- rV（t，S）=0，t∈ [0，T），S>0。（1）这里σ>0是由几何布朗运动驱动的基础资产的历史波动率，r>0是零息票债券的无风险利率。解决方案取决于到期时的最终支付条件V（T，S）=Φ（S）。证据联系J.克鲁兹。电子邮件：jmcruz@iseg.ulisboa.ptto摘自：股市观察的应用数学金融表明，该模型不是最现实的模型，因为它假设市场是流动的、完整的、无摩擦的且没有交易成本。我们还记得，线性Black-Scholes方程提供了一个对应于完美复制投资组合的解决方案，该投资组合不必是理想的资产。在过去二十年中，为了对交易成本的存在（参见Kwok[10]和Vellaneda以及第[2]段）、反馈和大型贸易商选择特定股票交易策略（Sch¨onbucher和Willmott[13]、Frey和Patie[7]、Frey和Stremme[6]）导致的非流动性市场效应进行建模，对其中一些假设进行了放宽，无保护投资组合的风险（Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc[8]）。在上述所有线性Black-Scholes方程（1）的推广中，恒量波动率σ被非线性函数σ（S）代替SV）取决于二阶导数期权价格本身的SV。在具有此类非线性扩散函数的广义Black-Scholes方程类中，Frey和Stremme在[8]中推导的非线性Black-Scholes模型发挥了重要作用（另见[7]、[5]）。

在该模型中，资产动态考虑了由于大型交易员选择其股票交易策略而产生的反馈效应（另见[13]）。扩散系数也是非常数：△σ（SSV）=σ1.- %SSV公司-2，（2）其中σ，%>0是常数。推广原始Black-Scholes方程的另一个重要方向是，布朗运动的样本路径是连续的，但一家典型公司的实际股票价格在初始尺度上表现出随机跳跃，使得价格轨迹不连续。在经典的Black-Scholes模型中，假设基础资产价格过程遵循几何布朗运动。然而，股票收益率的经验分布显示出FATTAIL。文献中已经提出了几种用于推广该模型的备选方案。带跳跃和差异的模型至少可以部分解决线性Black-Scholes模型固有的问题，而且它们在期权市场上也有重要的控制作用。在Black-Scholes模型中，市场是完整的，这意味着每一种支付效果都可以完美复制，而在跳跃-差异模型中，没有完美的对冲，这样一来，期权就不多余了。事实证明，期权价格可以通过以下部分积分微分（PIDE）Black-Scholes方程的解V（t，S）计算得出：五、t（t，S）+σS五、S（t，S）+rS五、S（t，S）- rV（t，S）+ZRV（t，S+H（z，S））- V（t，S）- H（z，S）五、S（t，S）ν（dz）=0，（3），其中H（z，S）=S（ez- 1） ν是所谓的L'evy度量，它描述了在时间和空间上具有随机跳跃的基础资产过程。请注意，如果ν=0，则（3）将退化为经典的线性Black–Scholes方程（1）。本文的新颖之处和主要目的是考虑Black-Scholes方程的两个推广方向。

投资者可以交易大量标的资产而不影响其价格的假设不再成立，尤其是在非流动性市场。因此，我们将推导、分析和执行模型的数值计算。在标的资产价格服从一个带跳跃的L'evy随机过程的假设下，我们放松了遵循弗里-斯特雷姆模型的流动市场假设。我们将证明相应的皮德诺线性方程具有以下形式：五、t+σ（1- %SSφ）S五、S+rS五、S- rV+ZRV（t，S+H（t，z，S））- V（t，S）- H（t、z、S）五、Sν（dz）=0，（4），其中函数H（t，z，S）可能取决于大型交易者策略函数φ=φ（t，S）。此函数可能取决于增量价格V的SV，如果%>0。本文的组织结构如下。在接下来的第2节中，我们回顾有关指数L'evy模型的已知事实。我们还回顾了具有有限和有限活动的重要类别的列维度量。第3节致力于推导新的期权定价模型，该模型考虑了大型交易员在跳跃式差异化过程后对基础资产的反馈影响。我们表明，期权的价格可以从一个完全非线性的部分积分微分方程（PIDE）的解计算出来（4）。我们还推导了交易策略函数φ的公式，该公式使跟踪误差的方差最小。接下来，在第4节中，我们提出了一种半隐式数值离散格式，用于求解由此产生的非线性PIDE。该方案基于有限差分近似。在第5节中，我们给出了考虑方差-伽马过程时的数值结果。我们还对模型参数ρ和ν的解进行了灵敏度数值分析。2.

预备、定义和动机我们考虑一个有两种交易资产的程式化经济，一种是风险资产，通常是价格为St的股票，另一种是无风险资产，通常是价格为Bt的债券。债券市场被认为是完全有弹性的，因为与股票相比，债券的流动性更高。在这种经济中，有两种交易者：参考交易者和程序交易者。该计划tradersare也被称为投资组合保险公司，因为他们使用动态对冲策略对冲投资组合，防止股价上涨。他们要么是单一交易者，要么是共同行动的交易者。假设他们的交易影响股票价格均衡。参考交易者可以被视为许多小型代理的代表性交易者。我们假设他们是价格接受者。通常，假设D（t，Yt，St）是参考交易者需求函数，它取决于收入过程y或影响参考交易需求的其他基本状态变量。程序交易者的总需求表示为Д（t，St）=ξφ（t，St），其中ξ是程序交易者试图对冲的书面相同证券的数量，φ（t，St）是被对冲证券的每单位需求。对于隐含性，我们假设ξ对于每个程序交易者都是相同的。考虑不同证券的一般情况见【14】。假设价格为常数的股票供应量。让D（t，Y，S）=▄D（t，Y，S）▄S记录参考交易者每单位供应所需的数量。然后，与时间t的供应相关的总需求由G（t，Y，S）=D（t，Y，S）+ρφ（t，S）给出，其中ρ=ξ和ρφ（t，S）是计划交易员交易的股票总供应的比例。

为了获得市场均衡，变量Y和S应满足G（t，Y，S）=1。假设函数G对于toY和S变量是单调的，并且它是充分光滑的。然后我们可以解隐式方程G（t，Yt，St）=1，得到St=ψ（t，Yt），其中ψ是一个充分光滑的函数。根据【14】，我们假设随机过程具有以下动力学：dYt=u（t，Yt）dt+η（t，Yt）dWt。然后，通过对过程St=ψ（t，Yt）使用It^o引理，我们得到了=tψ+uyψ+ηyψdt+ηyψdWt≡ b（t，St）Stdt+v（t，St）StdWt。（5） 这意味着St遵循一个几何布朗运动，其波动率函数v（t，S）=η（t，Y）Yψ（t，Y）/ψ（t，Y），其中Y=ψ-1（t，S）。根据原始Black-Scholes方程推导过程中使用的参数，我们得到了Black-Scholes偏微分方程的一个非常变函数σ=v（t，S）。在本文中，我们遵循Frey和Stremme的方法（参见[7，5]）。其想法是为基础股票价格规定一个动力学，而不是像[14]中那样，通过使用市场均衡和收益过程的动力学来推导它。通过这种方式，Frey和Stremme得出了与[14]中相同的股价动态，对应于需求函数为对数型的情况，D（Y，S）=ln（YγS），其中γ=ση，收益过程Y遵循年龄计量布朗运动，即。YD（Y，S）=γY，SD（Y，S）=-S、 dYt=uYtdt+ηYtdWt，（6）v（t，S）=η（t，Y）Yψ（t，Y）ψ（t，Y）=-ηYSγY-S+ρφS=σ1- ρSφS、 假设delta套期保值策略φ（t，S）=SV（t，S）并将波动率函数v（t，S）插入（5）中，我们得到了形式为（2）的非线性扩散函数的广义Black-Scholes方程。我们的主要目标是在列维过程之后，将弗雷-斯特雷姆模型扩展到基础资产。

接下来，我们回顾了L'evy跳跃扩散过程的基本性质。2.1. 指数L'evy modelsLet Xt，t≥ 0，是一个随机过程。Borel集A的测度ν（A）∈ B（R）由ν（A）=E[JX（[0，1]×A）]定义，其中JX（[0，t]×A）={s∈ [0，t]：Xs型∈ A} 是泊松随机测度。它给出了振幅属于集合A的每单位时间内跳跃的平均数。回想一下，L’evy It^o分解提供了XT的表示，可以将其解释为具有漂移ω的布朗运动和具有可变跳跃大小的独立补偿泊松过程的有限和的组合（见[4]），即dXt=ωdt+σdWt+Z | x|≥1xJX（dt，dx）+Z | x |<1xeJX（dt，dx），其中ejx（[0，t]×A）=JX（[0，t]×A）- tν（A）是JX的补偿。任何L'evy过程都是强马尔可夫过程，关联半群是卷积半群。Its微型发电机L:u 7→ L[u]是一个非局部偏积分微分算子，由（见[1]）：L[u]（x）=limh给出→0+E[u（x+Xh）]- u（x）h=σux+γux+ZRu（x+y）- u（x）- y1 | y|≤1.ux（x）ν（dy），（7），对于任何紧支撑函数u都有很好的定义∈ C（R）。让St，t≥ 0，表示过滤概率空间下的基础资产过程的随机过程(Ohm, F、 {Ft}，P）。过滤{Ft}代表截至时间t的价格历史。如果市场无套利，则存在一个等价度量Q，在此度量下，所有交易金融资产的贴现价格为Q- 鞅。这一结果被称为资产定价的基本定理（见[4]）。度量值Q也称为风险中性度量值。我们考虑了指数型evy模型，其中风险中性价格过程障碍Q由St=ert+Xt给出，其中Xt是具有特征三重态（σ，γ，ν）的Q下的L'evy过程。

然后，无套利市场假设规定BST=Ste-rt=ext是一个鞅，它等价于施加在三元组上的以下条件（σ，γ，ν）：Z | y|≥1eyν（dy）<∞, γ ∈ R、 γ=-σ-Z+∞-∞ey公司- 1.- y1 | y|≤1.ν（dy）。（8） 发育迟缓Q的风险中性动力学由DST=rStdt+σStdWt+ZR（ey）给出- 1） SteJX（dt，dy）。（9） 指数价格过程eXt，t≥ 也是一个状态空间为（0，∞) 最小生成器：LS[V]（S）=limh→0E[V（SeXh）]- V（S）h=卢比五、S+σS五、硫（10）+锆V（Sey）- 五（S）- S（ey- 1)五、Sν（dy）（11）（见[4]）。回想一下，如果L'evy过程具有以下表示形式，则称为L'evy型随机积分：dXt=ωdt+σdWt+Z | x|≥1K（t，x）JX（dt，dx）+Z | x |<1H（t，x）~JX（dt，dx）。稍后需要的一个重要结果是It^o引理的以下变体。定理2.1。[1] 让f∈ C1,2（[0，T]×R）和H，K∈ C（[0，T]×R）。设Xt，t≥ 0，是一个L'evy随机过程。Thendf（t，Xt）=ftdt公司+fxdXt公司+fxd[Xt，Xt]+Z | x|≥1f（t，Xt+K（t，x））-f（t，Xt）JX（dt，dx）（12）+Z | x |<1f（t，Xt+H（t，x））- f（t，Xt）~JX（dt，dx）+Z | x |<1f（t，Xt+H（t，x））- f（t，Xt）- H（t，x）fx（t，Xt）ν（dx）dt。L'evy过程的一个经典例子是Merton在[12]中引入的跳跃扩散模型。它具有以下动力学：dXt=b+Z | x |<1xν（dx）！dt+Z | x|≥1xJX（dt，dx）+σdWt+Z | x |<1xJX（dt，dx）。然后，通过将It^o引理应用于St=ext，我们得到：dSt=（b+σ/2）Stdt+σStdWt+StZR（ex- 1） JX（dt，dx）。在金融应用中，指数L'evy模型有几种类型。在本文中，我们关注的是所谓的跳跃扩散模型，在该模型中，我们将对数价格表示为具有非零扩散部分（σ>0）的L'evy过程和具有（ν（R）<∞) 或有限活度（ν（R）=∞).在财务建模的背景下，Mertonin提出了一个跳跃扩散模型[12]。

随机跳跃变量的平均值m和方差δ为正态分布。其L'evy密度由：ν（dx）=λδ给出√2πe-（十）-m） 2δdx。（13） 另一种流行且经常使用的模型是所谓的双指数模型，Kou在[9]中介绍了该模型。在该模型中，跳跃分布具有如下形式的aL'evy度量：ν（dx）=λθλ+e-λ+xx>0+（1- θ)λ-eλ-xx<0dx，（14）其中λ是跳跃的强度，θ是具有正跳跃的概率，λ±>0对应于正跳跃和负跳跃分布的衰减水平。这意味着跳跃分布是不对称的，收益分布的尾部是半重的。在财务建模中使用的有限活动L'evy过程示例中，有方差伽马（见【11】）、正态逆高斯（NIG）（见【3】）或CGMY过程。方差伽马过程是一个有限活动ν（R）=∞ 和有限变量r | x|≤1 | x |ν（dx）<∞. 其L'evy度量由：ν（dx）=κ| x | eAx给出-B | x | dx，A=θ/σ，B=σ-2pθ+2σ/κ，（15）其中，参数σ和θ与布朗运动的波动性和漂移有关，κ是与从属变量方差有关的参数，在这种情况下是伽马过程（见[4]）。上述所有跳跃扩散模型的示例都具有属于所谓容许活动L'evy测度类别的L'evy测度。定义2.2。L'evy测度ν称为容许活动L'evy测度if0≤ν（dz）dz≤ h（z）≡ C | z|-α预计起飞时间-zz公司≥0+eD+zz<0e-uz，（16）对于任何z∈ R和形状参数α≥ 0，D±∈ R和u≥ 0、备注1。注意，附加条件srmin（z，1）ν（dz）<∞ andR | z |>1ezν（dz）<∞ 如果ν是形状参数α<3且u>0，D±的容许L'evy度量，则满足∈ R、 或u=0和D-+ 1<0<D+。对于默顿模型，我们有α=0，D±=0和u=1/（2δ）>0。