数学金融中的适应Wasserstein距离与稳定性

那么对于每个σ，^σ≥ 0，k≥ 1和α∈ （0，1）法院认为（我们将这一事实的证明推迟到第4节）infH公司∈HkAVaRPσα（C- （高oX）T）- infH公司∈HkAVaRP^σα（C- （高oX）T）=EPσ[C]- EP^σ[C]=√2πT |σ- ^σ| =√2πAW（Pσ，P^σ）。这表明定理1.6中的估计是紧的（直到常数），从某种意义上说，根本不可能改进概率度量AW。我们要强调的是，Glanzer、P flug和Pichler【30】使用期望距离，通过这些模型的嵌套距离，以Lipschitz的方式控制离散时间模型中的可接受价格。具体而言，在离散时间单周期框架中【30，命题3】和定理1.6得出了几乎相同的结论：在这种设置中，唯一的区别是【30，命题3】没有指定Lipschitz常数，也没有假设允许对冲策略的一致有界性。（然而，后者似乎与我们下面的备注5.3相矛盾。）1.4. 效用最大化和效用差异定价的稳定性。我们继续考虑效用最大化的连续性。让U：R→ R、 bea效用函数，它是凹的，递增的，用U′表示导数的左连续版本。我们有定理1.8。让C：Ohm → R是Lipschitz连续的，假设存在≥ 0，使得U′（x）≤ c（1+| x | p-1） 对于所有x。

然后，对于每个R≥ 0存在常数K，因此supH公司∈HkEP【U（C+（HoX）T）】- supH公司∈HkEQ【U（C+（HoX）T）】≤ K·AWp（P，Q），对于所有P，Q∈ SMp公司(Ohm) AWp（P，δ），AWp（Q，δ）≤ R注释5.1说明了通常的Wasserstein距离无法保证效用最大化的稳定性。量化索赔价值的常用方法是通过效用差异定价：给定索赔C，效用差异（投标）价格v定义为以下等式的解∈HkEP[U（C- v+（HoX）T）]=supH∈HkEP【U（（HoX）T）】。继续本论文的精神，我们对P 7的稳定性感兴趣→ v（P），其中后者表示与模型P相关的效用差异价格。定理1.9。让C：Ohm → R是Lipschitz连续的，假设存在≥ 0使得0<U′（x）≤ c（1+| x | p-1） 对于所有x。那么，对于每个R≥ 0存在一个常数K，使得v（P）- v（Q）≤ K·AWp（P，Q），对于所有P，Q∈ SMp公司(Ohm) 有AWp（P，δ），AWp（Q，δ）≤ R我们感谢匿名仲裁人指出，我们可以将效用差异定价的稳定性纳入w.r.t.适应的Wasserstein距离。《数学金融学中的瓦瑟斯坦距离和稳定性》71.5。论文的结构。在第2节中，我们简要回顾了与本文相关的文献。在第三节中，我们建立了adaptedWasserstein距离的一些基本性质，讨论了成本函数的选择，并给出了一些例子。此外，我们推导出了一个收缩原理（定理3.10），该原理将adaptedWasserstein距离与“弱”（Gozlan等人[32]）传输距离联系起来。该结果构成了引言中所述结果的证明基础，以及这些结果的某些扩展，请参见第4节。最后，我们在第5.2节中作了一些评论。与我们的精神最接近的文章是[1、20、30]。

Acciaio、Zalashko和本文作者之一在[1]中考虑了与效用最大化、过滤扩大和最佳停止相关的连续时间适应Wassersteinstance相关的对象。Glanzer、P flug和Pichler[30]证明了离散时间框架中所谓嵌套距离的偏差不等式，并考虑了通过嵌套距离描述的模糊集上的可接受性定价。Bion Nadal和Talay【20】通过PDE论证了一个与适应的Wasserstein距离相关的连续时间优化问题。因果耦合的概念，以及因果耦合上的最优传输，最近已被拉萨尔推广【45】，尽管可以在作品中找到先兆【62，58】。这一概念是最近几篇文章的核心[1、10、8、9]。为了解释时间演化而加强度量弱收敛的想法有一定的历史。事实上，有几位作者独立地引入了不同的方法来应对这一挑战：奥尔德斯（Aldous）[2]的开创性未发表著作引入了扩展弱收敛的概念，用于研究最优停止问题的稳定性。其主要思想不是直接比较过程的规律，而是比较相应预测过程的规律。赫尔维格（Hellwig）[33]独立地介绍了经济学中均衡问题稳定性的信息拓扑。粗略地说，两个概率测度关于一个有限多空间X××的乘积。如果foreach t≤ N第一个t坐标上的投影以及相应的条件（规则）分解非常接近。与这些发展无关，Sp flug和Pichler【52、53、54】引入了离散时间随机规划稳定性的嵌套距离。

嵌套距离是本文中考虑的适应瓦瑟斯坦距离的明显角色模型，以及（如上所述）固定数量的时间步长和p≥ 1、它们显然是等价的。另一个解释过程时间演变的想法是，通过取Wc（P，Q）和Wc（Q，P）的最大值或总和，对称化Lassalle[45]定义的因果运输成本Wc（P，Q）；这是Soumik Pal指出的。在平行工作中[6]，本文的四位作者详细研究了这些概念之间的关系。值得注意的是，在离散时间内，上述所有概念（适应的Wasserstein距离、扩展的弱收敛、信息拓扑、嵌套距离、对称的因果运输成本）定义了相同的拓扑。如上所述，这种“弱适应拓扑”是通常的弱拓扑（适用于T≥ 2，另见备注5.2）。文章[8，6，27]研究了这种拓扑的基本性质，例如弱适应拓扑是波兰的[8，第5节]，集合是完全有界的w.r.t.到适应的Wasserstein距离/嵌套距离，当且仅当它们是完全有界的w.r.t。修订版中添加了usualNote:最近在[7]中获得了改进的收敛速度，用于相关的基于样本的估计。与本文的结果一起，这为所考虑的金融问题的实证版本提供了统计上的一致性。8 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.Ederwassertein distance[6，引理1.6]。对于这些概念在优化传输及其概率变体中的最新应用，我们参考了【11、12、61】。相比之下，上述概念在连续时间情况下的基本拓扑性质似乎不太被理解，就作者而言，这对未来的研究提出了一个有趣的挑战。

具体而言，我们不清楚在连续时间的情况下，与适应的Wassersteindition相关的拓扑结构是否是波兰式的。同样，我们希望类似于本文结果的结果应该适用于C\'adl\'ag路径的情况，但这种扩展超出了我们目前对适应Wasserstein距离的理解范围。多年来，人们从不同的角度研究了数学金融的稳定性问题。值得注意的是，从Lyons[46]和Avellaneda，Levy[5]的文章开始，稳健金融领域主要集中在一个特定类别中主导每种模型支付的极端模型和对冲策略。霍布森的开创性文章[36]发表后，与斯科罗霍德嵌入问题的联系成为该领域的驱动力，参见霍布森的调查[37]和Ob l\'oj的调查[48]。最近，来自（鞅）最优运输的技术补充了这一点，早期提出这一观点的论文包括[38、15、29、16、21、26、24、18]。在某种意义上，与本文更密切相关的关于波动率“局部”误判的文献似乎更为空泛。El Karoui、Jeanblanc和Shreve【28】在随机波动性框架中建立了一个假设，即如果错误指定的波动性支配真实波动性，那么错误指定的看涨期权价格支配真实价格；另请参见霍布森的优雅描述【39】。最近，Herrmann、Muhle Karbe和Seifried【35】（另见【34】）研究了参考局部波动性模型波动性不确定性下的定价和套期保值问题。通过对参考模型波动率的均方距离对不稳定模型进行惩罚，作者在较小的不确定性厌恶极限下获得了价格和享乐策略的显式公式。

Becherer和Kentia【14】在模型模糊性下得出了最坏情况下的好交易界限，该界限涉及漂移和波动性。事实上，与Dirk Becherer的讨论促使我们考虑在我们关于超级套期保值稳定性的结果中也存在漂移的模型。Ob l'oj和Wiesel【49】针对d维资产和一个时间段，深入研究了参考模型周围的超级套期保值价格在球（w.r.t.各种距离概念）中的行为。我们工作的一个显著含义是，它产生了一种一致的方法来测量模型不确定性（在Cont的流行文章[25]的意义上）：确定所有一致模型集合M的子集，即鞅度量，它与价格可以在市场上观察到的基准工具一致。给定nm，与导数f相关的模型不确定性可以通过ρM（f）：=sup{EQf:Q来测量∈ M}- inf{EQf:Q∈ M} 。稳健金融中通常采用的最坏情况方法会产生ρM（f）forM=M，但将Mto作为参考模型的最小平衡似乎同样自然。这一方法首先由Drapeau、Ob l\'oj、Wiesel和本文作者之一在一个时期框架内进行。我们的结果表明，适应的Wasserstein距离提供了一种将其扩展到多周期设置的方法，我们打算在未来的工作中进一步研究这一点。另一方面，关于离散时间模型与其连续时间类似物的收敛性，已经做了很多工作。由于这本书内容浩瀚，我们请读者参考这本书。最后，最近，从卡尔达拉斯（Kardaras）和齐特科维奇（ˇZitkovi'c）的著作开始，在[41、43、44、47、60]等文献中研究了效用最大化的稳定性。《数学金融学中的瓦瑟斯坦距离和稳定性》93。调整后的Wasserstein距离为3.1。AWp的基本特性。

以下引理表明AWPI定义良好。引理3.1。设P，Q是X，Y的可积（半）鞅测度：Ohm → Ohm,设π是P和Q之间的双因果耦合。然后是X，Y，X-Y:Ohm × Ohm → Ohm 是（半）-鞅w.r.t.π。此外，如果X=M+A表示P下的半鞅分解，那么直到消失，M+A是X在π下的半鞅分解。证据设X=M+A为P和considerM下的半鞅分解，A为上的过程Ohm×Ohm 通过M（ω，η）：=M（ω）和A（ω，η）：=A（ω）。进一步假设π=P（dω）πω（dη）是P和Q之间的双因果耦合。为了证明x=M+a仍然是π下的半鞅分解，足以证明M是π下的鞅。为此，让0≤ s≤ t和letZ：Ohm × Ohm → R be Fs Fs可测量且有界。（回想一下，F=（Ft）t表示由X生成的正确连续过滤，我们赋予Ohm × Ohm过滤（英尺 Ft）t.）然后随机变量Z′：Ohm → 定义为z′（ω）：=ZZ（ω，η）πω（dη）是FPs可测的，并且有明确的界。事实上，如果Z（ω，η）=Z（ω）Z（η），对于Fs可测的有界函数Zand Z，那么从双因果关系的定义来看，Z′是fps可测的；然后，一般语句来自单调类参数。因此π[（Mt- Ms）Z]=Z（Mt（ω）- Ms（ω））ZZ（ω，η）πω（dη）P（dω）=EP[（Mt- Ms）Z′]=0，根据M在P下的鞅性质。这表明M是π下的鞅，因此X=M+a是π下的半鞅分解。引理3.2。AWpde定义了集合SMp的指标(Ohm).我们注意到，非常相似的论点可以用来证明AWpde定义了具有有限时间范围N或[0，∞).引理3.2的证明。很明显，AWp（P，Q）=AWp（Q，P）≥ 所有P、Q均为0∈SMp公司(Ohm). 假设AWp（P，Q）=0。

作为k·k∞≤ | · |1-var，如果π参与了定义中的AWp（P，Q）和X- Y=M+A，则为neπ[kX- Y kp∞] ≤ 2p级-1Eπ[kMkp∞+ |A | p1变量]≤ 2p级-1ppeπ[[M]p/2T+| A | p1 var]，其中bps表示BDG常数，我们使用BDG不等式表示鞅M。因此，P和Q之间通常的瓦瑟斯坦距离（定义w.r.t.thek·k∞-范数）由AWp（P，Q）控制，因此P=Q。我们现在证明三角形不等式。设P，Q，R给定。我们假设ε>0，并假设π是AWp（P，Q）的双因果ε-最优，而￠π是AWp（Q，R）的双因果ε-最优。在接下来的几行中，ω始终表示Ohm, η是第二个，γ是最后一个。设π（dω，dη）=πη（dω）Q（dη）和▄π（dη，dγ）=▄πη（dγ）Q（dη）为崩解，并定义▄∈ P(Ohm) 由∏（dω，dη，dγ）=πη（dω）～πη（dγ）Q（dη）。10 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERIfπ（Dω，Dγ）：=ROhmπ（dω，dη，dγ）是π在第一和第三个分量上的投影，那么很明显π的第一和第二个边缘分别是P和r。此外，πω（dγ）=Z给出了π=πω（dγ）P（dω）的分解Ohm§πη（dγ）πω（dη），其中，如上所述，πω现在表示πw.r.t的分解。Firstcoordination，即π（dω，dη）=πω（dη）P（dω）。我们声称∈ Ft，映射ω7→πω（A）是FPt可测的。事实上，通过|π的双因果关系，我们得到η7→ πη（A）是可测量的FQt。因此，有一个Ft可测函数X和aQ几乎可以肯定为零函数N，使得对于所有η，πη（A）=X（η）+N（η）∈ Ohm.那么πω（A）=ROhmX（η）πω（dη）+ROhm所有η的N（η）πω（dη）∈ Ohm. 第一项是FPT可测量的（通过π的双因果关系），并且，由于π是P和Q之间的耦合，因此有Ohm对于P-几乎所有ω，N（η）πω（dη）=0∈ Ohm.π=πγ（dω）R（dγ）的参数类似，因此π是P和R之间的双因果耦合。

最后，在引理3.1的证明中，如果x=MX+AX，Y=MY+AY，Z=MZ+AZare是P，Q和R下的半鞅分解，那么它们仍然是∏on下的半鞅分解Ohm具有产品过滤功能。为了完成三角形不等式的证明，我们观察到awp（P，R）≤ Eπ[[MX- MZ]p/2T+| AX- AZ | p1 var]1/p=E∏h[（MX- MY）+（MY）- MZ）]p/2T+········+|（AX- 是的）+（是的- AZ）| p1-vari1/p。功能M 7→ E∏[[M]p/2T]1/pis已知是∏-鞅的空间Mp（π）上的范数，其上确界为p-可积。同样，A 7→E∏[| A | p1 var]1/pis是具有p-可积变差的有限变差过程空间上的范数。因此（M，A）7→ k（M，A）k：=E∏[[M]p/2T+| A | p1 var]1/pis这些空间乘积的范数。我们用awp（P，R）给出了三角线质量的证明≤ k（MX- 我的，AX- AY）+（车型年款- MZ，AY- AZ）k≤ k（MX- 我的，AX- AY）k+k（MX- 我的，AX- AY）k=Eπ[[MX- MY]p/2T+| AX- AY | p1 var]1/p+E|π[[我的- MZ]p/2T+| AY- AZ | p1变量]1/p≤ 2ε+AWp（P，Q）+AWp（Q，R），因为X的半鞅分解-πis（MX）下的Y-我的）-（AX-AY），具有Y的类似表达式- Z在∧π下。为了得出结论，我们需要证明AWp（P，Q）<∞ 对于所有P，Q∈SMp公司(Ohm). 通过引理3.1，我们得到了AWp（P，δ）=EP[[M]P/2T+| A | p1 var]1/P其中x=M+A是P下的半鞅分解。因此，三角线质量意味着AWp是SMp上的实值(Ohm). 3.2. 示例和详细计算。我们从一个简单的结果开始，该结果允许在连续时间的情况下给出适应的Wasserstein距离的闭式表达式：适应的Wasserstein距离和数学金融中的稳定性11命题3.3。

对于i∈ {1，2}考虑具有有界渐进系数的SDE：dXit=ui（t，{Xis}s≤t） dt+σi（t，{Xis}s≤t） dBit。（3.1）假设每个SDE都有一个唯一的强解，并用Pui表示，σi分别表示。进一步假设ou仅是时间的函数（即u：[0，T]→ R） oσ，σ≥ 0，其中至少有一个是时间的函数。然后同步耦合（即π*= （X，X）的联合定律，其中B=Bin（3.1）），在定义AWp（Pu，σ，Pu，σ）时是最佳的。上述同步耦合的离散时间版本由Knothe-Rosenblatt重排给出[10]，并且在离散时间框架中也可以获得先前结果的变体。证据设π为AWp的可行耦合（Pu，σ，Pu，σ），导致有限的成本。当然，对于这个证明，我们将坐标过程表示为Ohm×Ohm 按（X，X）。与之前一样，我们让Xi=Ai+Mibe在其右连续过滤的Pui，σi-完成下的唯一连续半鞅分解。根据u的假设，观察到ddtais a.s.是确定性的，并且ddt定律与耦合π无关。这两个事实都可以很容易地从identityddtAit=limε0Eπ得出Xit+ε| FXit- Xitε，根据Lebesgue微分定理，它保持dtdπ-a.s.因此，术语Eπ[| a- A | p1-var]与耦合π无关，因此我们可以忽略它，只关注Eπ[[M- M] p/2T）。根据Doob的鞅表示【40，定理4.2】，在可能扩大的过滤概率空间（~Ohm,~F，~π）我们可以用mit=Ztσi1dW+Ztσi2d^W来表示鞅（M，M），其中W，^W是独立的标准一维布朗运动和{σik:i，k∈ {1，2}}实值过程，它们都适应于扩大的过滤空间。在下面，我们将省略参数{Xis}s≤t从σi开始。