数学金融中的适应Wasserstein距离与稳定性

必然σi=滴滴涕[米]t=σi1+σi2，（dt d▄π- a、 s.）。通过Cauchy-Schwarz不等式，我们几乎可以确定，[M，M]T=ZT[σ+σ]dt≤ZTσσdt，相应地我们得到了下界π[[M- M] p/2T]≥ EπhZT（σ- σ） dt公司p/2i。正如在证明的开始，由于σi仅是时间的函数，右侧不依赖于耦合π。综上所述，观察同步耦合π*我们在上面的等式中是相等的。作为一个简单的结果，我们有12个J.BACKHOFF-VERAGUAS、D.BARTL、M.BEIGLB¨OCK、M.EDERExample 3.4。对于有界Lipschitz函数u，u，σ，σ，我们用Pui，σi表示，diffusiondxit=ui（t，Xit）dt+σi（t，Xit）dBt。假设ouiis独立于x变量，一些i∈ {1，2}，和oσkis独立于x变量，一些k∈ {1, 2}.呼叫j∈ {1，2}\\{i}和l ∈ {1，2}\\{k}，我们有awp（Pu，σ，Pu，σ）P=EhZT[σl（t，Xlt）- σk（t）]dtp/2i+EhZT |uj（t，Xjt）- ui（t）| dt圆周率。我们现在说明，一般来说，命题3.3的直接同步耦合不是最优的。因此，我们不期望自适应的Wasserstein距离有一个封闭形式的表达式。[8，第7节]讨论了这一观察结果的离散时间版本。示例3.5。考虑d=1，T=2，对于每个c∈ R引入uct（ω）：=c1[1,2]（t）符号（ω）和^uct（ω）：=-uct（ω）。假设B是布朗运动，对于σ∈ R+，我们引入耦合π：=定律σB+Zuct（B）dt，σB+Zuct（B）dt,π： =法律σB+Zuct（B）dt，-σB+Z^uct(-B） dt公司.这些耦合具有相同的边缘，并且每个都是双因果的。

很容易计算π[M] p/2T+| A | p1 var= （2c）p，Eπ[M] p/2T+| A | p1 var= （8σ）p/2。我们得出结论，对于每个p，都有大量对（c，σ），因此对于度量AWp，“同步”耦合π在其边缘之间不是最优的。为了结束这一部分，我们估计了具有不同波动率的两个几何布朗运动之间的距离。提案3.6。对于i=1，2，设Pσibe为SDEdZit=σizitdbit且Zi=1的解的定律，其中Bidenotes布朗运动和σi∈ R+。出租人R~ N（0，T），我们得到aw（Pσ，Pσ）=E“eσR-σT- eσR-σT#= eσT- 2eσT+eσT，对于p>1AWp（pσ，pσ）p≤ cpE公司eσR-σT- eσR-σTp,式中，CPI是BDG不等式中的常数，允许通过终值控制二次变化。调整了WASSERSTEIN距离和数学金融稳定性13证明。我们有awp（Pσ，Pσ）P=infnEπ[Z]- Z] p/2T: π ∈ CplBC（P，Q）o≤cpinfnEπ[（ZT- ZT）p）]：π∈ CplBC（P，Q）o=cpinfnZeσr-σT- eσr-σTpdπ（r，r）：π∈ Cpl（γT，γT）o=cpEeσR-σT- eσR-σTp,式中，γT表示方差为T的中心高斯分布。对于p=2和c=1，我们获得相等。3.3. 选择“成本函数”。回想定义1.3，adaptedWasserstein距离通过hawP（P，Q）：=inf{Φ：π给出∈ CplBC（P，Q）o，其中“成本函数”Φ=Eπ[MX- MY]p/2T+| AX- AY | p1变量1/p（3.2）是使用半鞅分解X=MX+AX，Y=MY+AY定义的。这种“二次加一阶变分”函数的独特性质是，它显示了适当的比例，可以将离散时间情况解释为与连续时间对应的近似值。也就是说，考虑Ohm = C（[0，1]），设Pσ是X的定律，其中Xt=RtσsdBs，B布朗运动和σ∈ C（[0，1]），σ≥ 对于每个N，用PσN表示{0，1/N，2/N。

，1}，具有从n/n到（n+1）/n的独立增量，根据n（0，σn/n/n）分布。然后可以计算0≤ σ, σ′∈ C（[0，1]）AW（PσN，Pσ′N）=N-1Xn=0N |σn/n- σ′n/n|1/2→Z |σt- σ′t | dt）1/2=AW（Pσ，Pσ′）。为了进行比较，考虑将Φin（3.2）替换为Φ=Eπ[PNi=0（Xi）的后果-Yi）i]1/2对应于二次嵌套距离（根据P flug和Pichler[53]）。虽然知道每个固定N的等效度量，但gAWdoes没有显示大N的适当缩放。一个简单的计算显示了gaw（PσN，Pσ′N）→ ∞ 作为N→ ∞ 每当σ6=σ′。结果，套期保值误差的界值（PσN，Pσ′N）随着N逐渐变弱→ ∞.特别是，它们不允许有意义的连续时间限制。当仅限于鞅测度P，Q时，（3.2）的一个合理替代方案是考虑最大范数，即Φ′=eπ[supt | Xt- Yt | p]1/p。事实上，根据BDG不等式，这本质上等同于我们在（3.2）中的选择。然而，当考虑半鞅时，这个代价太粗糙了。例如，设（ωn）为Ohm 最大范数收敛于零，但第一个变量趋于一致。然后Pn：=Δωn收敛到P：=δ（当仅以最大范数为代价定义适应距离时），然而，我们的优化问题都不会收敛（采取策略H∈ HK，其中（H（X）oX）T≈ k |ωn | 1-几乎可以肯定）。14 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDER3.4。随机积分和收缩原理。我们在这里给出了两个技术结果，它们是本文中主要定理证明的基础。第一个是Emma 3.7。设P，Q∈ SM公司(Ohm), H∈ Hk，π是np和Q之间的双因果耦合。然后存在一个过程G∈ hk使得Gt（Y）=Eπ[Ht（X）| Y]对于每个t，π-几乎可以肯定。此外，我们几乎可以肯定的是，（G（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]，π。证据

在离散时间内，为Borel函数Ht:Rt写入H=PNt=1Ht{t}-1.→[-k、 k）]。设π=πη（dω）P（dω）为崩解，对于每个t和η，定义′t（η）：=ZHt（ω）πη（dω）∈ Ohm. 通过定义双因果耦合G′tis FQt-1-可测量。仍需选择功能GT，即Ft-1可测量，如Gt=G′tQ几乎可以确定。由于Eπ[Ht（X）| Y]=Gt（Y）π-几乎肯定，很明显，（G（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]π-几乎肯定。在连续时间内，我们将G作为H的可预测投影，在参考度量π下，关于π-过滤完成{, Ohm}财政年度。根据[1，引理C.1]，结果是π-在过滤FY的Q-完成下，与可预测过程无法区分。因此，t-by-t，π-几乎确定等式Gt（Y）=Eπ[Ht（X）| Y]是可预测投影定义的结果。π-几乎确定等式（G（Y）oY）T=Eπ[（HoY）T | Y]在下面的引理3.8中建立，假设等式[[Y]T]<∞. 一般情况下，接下来是本地化。引理3.8。在引理3.7的连续时间上下文中，进一步假设eq[[Y]T]<∞. 那么我们有（G（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]，π-几乎可以肯定。证据如果我们将积分w.r.t.视为Y的有限变化部分（根据Riemanstieltjes积分的性质，或直接从可预测投影的定义），而不是随机积分，则该陈述是正确的。

出于这个原因，我们现在可以假设Y本身是鞅。我们首先想当然地认为以下结果：如果h在（X，Y）的过滤中有界且可预测，并且如果g表示其在度量π下在Y过滤中的可预测投影，则eπhZT | gt | d[Y]ti≤ EπhZT | ht | d[Y]ti。（3.3）我们知道存在一系列可预测的简单过程s.t.limn→∞EπhZT | Ht- Hnt | d[Y]ti=0。通过It^o等距，随机积分（HnoY）T在L（π）中收敛到（HoY）T。通过Gn表示Hn相对于Y过滤的可预测投影，我们从（3.3）中推导出→∞EπhZT | Gt- Gnt | d[Y]ti=0，因此再次通过它^o等距（GnoY）t在L（π）中收敛到（GoY）。π-几乎相等（GnoY）T=Eπ[（HnoY）T | Y]很容易遵循耦合π的双因果关系，并通过取Llimits得到期望的结论。调整了数学金融学中的瓦瑟斯坦距离和稳定性15，以完成我们必须建立的证明（3.3）。首先，我们观察到eπhZT | gt | d[Y]ti1/2=supf是Y可预测的kfk≤1EπhZTftgtd[Y]ti=supf是Y-可预测的kfk≤1EπhZTfthtd【Y】ti，根据可预测的预测和kfk计算如下：=Eπ【R | ft | d【Y】t】。结果是等式eπhZT | ht | d[Y]ti1/2=supf是（X，Y）-可预测的kfk的结果≤1EπhZTfthtd【Y】ti。下面的定理3.10给出了我们的下一个关键技术结果。但首先我们需要一些准备。引理3.9。设P，Q∈ SMp公司(Ohm), 设π是P和Q之间的双因果耦合，设H∈ Hk，并写X-π下半鞅分解的Y=M+A。然后，对于每个p≥ 1，我们有eπ[kX- Y kp∞] ≤ 2p级-1bp·Eπ[[M]p/2T+| A | p1 var]，Eπ[|（H（X）oX）T- （H（X）oY）T | p]≤ 2p级-1bpkp·Eπ[[M]p/2T+| A | p1 var]，其中bps是BDG不等式中的上限常数。

如果进一步Ht：Ohm → 对于每个t，R是▄L-Lipschitz连续的，那么我们有eπ[|（H（X）oX）t- （H（Y）oY）T | p]≤ 22便士-2bpkp·Eπ[[M]p/2T+| A | p1 var]+α·Eπ[[M]pT+| A | 2p1 var]1/2其中α=23p-2▄Lpbpb1/22pmin{AW2p（P，δ）P，AW2p（Q，δ）P}。证据初等不等式（x+y）p≤ 2p级-1xp+2p-1ypfor x，y≥ 0与BDG不等式和k·k∞≤ | · |1-varimplyEπ[kX- Y kp∞] ≤ 2p级-1Eπ[kMkp∞] + 2p级-1Eπ[| A | p1 var]≤ 2p级-1ppeπ[[M]p/2T+| A | p1 var]。这证明了第一部分。相同的参数表示π[|（H（X）oX）T- （H（X）oY）T | p]≤ 2p级-1Eπ[|（H（X）oM）T | p]+2p-1Eπ[|（H（X）oA）T | p]≤ 2p级-1kpbpEπ[[M]p/2T+| A | p1 var]，第二部分如下。为了证明第三项权利要求，写下π[|（H（X）oX）T- （H（Y）oY）T | p]≤ 2p级-1Eπ[|（（H（X））- H（Y））oX）T | p]+2p-1Eπ[|（H（Y）oX）T- （H（Y）oY）T | p]。第二项小于2p-1便士-第二部分为1KPPEπ[[M]p/2T+| A | p1 var]。仍需估计Eπ[|（（H（Y））-H（Y））oX）T | p]。对于P下X的半鞅分解，写出X=N+B。引理3.1，半鞅16 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERdecomposition在π下仍然是X=N+B。此外，BDG不等式，H的Lipschitz连续性和H¨older不等式，都意味着eπ[|（（H（X））- H（Y））oX）T | p]≤ 2p级-1Eπ[|（（H（X））- H（Y））oN）T | p+|（（H（X）- H（Y））oB）T | p]≤ 2p级-1Eπ[kH（X）- H（Y）kp∞（bp【N】p/2T+| B | p1 var）]≤ 2p级-1bpLpEπ[kX- Y k2p∞]1/2Eπ[（[N]pT+| B | P1 var）]1/2。现在，从第一部分可以看出，eπ[kX- Y k2p∞]1/2≤ （22便士-1b2p）1/2Eπ[[M]pT+| A | 2p1 var]1/2，通过引理3.1我们得到eπ[（[N]p/2T+| B | p1 var）]1/2≤ 21/2AW2p（P，δ）P。将所有估计值放在一起，并替换X和Y，得出索赔。用Pp（R）表示R上所有Borel概率度量u的集合，使得R | x | pu（dx）<∞.

此外，设dp（u，ν）为通常的p-Wasserstein距离，并设dwp弱p-Wasserstein代价，即dp（u，ν）：=infnZ | x- y | pγ（dx，dy）1/p：γ是u和νo的耦合，dwp（u，ν）：=infnZx个-Zyγx（dy）pu（dx）1/p：γ是u和νo的耦合。这里γ=u（dx）γx（dy）表示崩解。注意，dwp不是对称的，由于Jensen不等式，我们总是有dwp≤ 数据处理dwp（u，ν）的问题被称为“弱最优传输”，Gozlan等人在[32]中介绍过，但也可参见[3、4、11、9、31]。我们有定理3.10（收缩）。设P，Q∈ SMp公司(Ohm), 设π是P和Q之间的双因果耦合，设C：Ohm → R是具有常数L的Lipschitz，设H∈ 香港。进一步表示为X-Y=M+Aπandlet G下的半鞅分解∈ hk使得（G（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]π-几乎可以肯定。然后是DWP（C（Y）+（G（Y）oY）T）（Q），（C（X）+（H（X）oX）T）（P）≤2（p-1） /pb1/pp（k+L）·Eπ[[M]p/2T+| A | p1 var]1/p.（3.4）现在，除此之外，假设Ht：Ohm → 对于每t，R是▄L-Lipschitz连续的，然后是dp（C（Y）+（H（Y）oY）T）（Q），（C（X）+（H（X）oX）T）（P）≤2（3p-3） /pb1/pp（k+L）Eπ[[M]p/2T+| A | p1 var]1/p+α1/pEπ[[M]pT+| A | 2p1 var]1/2p，其中α是引理3.9的常数。证据我们首先证明第一个主张。设π如前所述，定义a（X）：=C（X）+（H（X）oX）Tas以及b（Y）：=C（Y）+（G（Y）oY）T。

现在让γ：=（b（Y），a（X））（π），因此γ是b（Y）（Q）和a（X）（P）之间的耦合。因此，DWPb（Y）（Q）、a（X）（P）≤ Eπ[| b（Y）- 假设Eπ[（G（Y）oY）T- （H（X）oX）T | Y]=Eπ[（H（X）oY）T- （H（X）oX）T | Y）。采用数学金融学中的WASSERSTEIN距离和稳定性17因此，利用tower性质和Jensen不等式，得出eπ[| b（Y）- Eπ[a（X）| b（Y）]| p]1/p≤ EπEπ[C（Y）- C（X）| Y]+Eπ[（G（Y）oY）T- （H（X）oX）T | Y]p1/p≤ Eπ[| C（Y）- C（X）| p]1/p+Eπ[|（H（X）oY）T- （H（X）oX）T | p]1/p该索赔现在来自引理3.9中的第一和第二次估计。在第二种情况下，其中H另外是Lipschitz，设d（X）：=C（X）+（H（X）oX）Tas以及e（Y）：=C（Y）+（H（Y）oY）Tandγ：=（e（Y），d（Y））（π）。然后，与之前一样，dpe（Y）（Q），d（X）（P）≤ Eπ[| E（Y）- d（Y）| p]1/p≤ Eπ[| C（Y）- C（X）| p]1/p+Eπ[|（H（Y）oY）T- （H（X）oX）T | p]1/pand该索赔来自引理3.9的第一和第三次估计。备注3.11。一个明显的问题是，在没有（Lipschitz-）连续性假设的情况下，通常的Wasserstein距离的估计是否成立。如果（3.4）适用于dp而不是dwp，则命名为。下面的示例表明这不是真的。在两周期离散时间模型（T=2）中，letP：=δ ((δ+ δ-1） /2）和Pε：=（（δε+δ-ε)/2)  ((δ+ δ-1） /2）使AWp（Pε，P）→ 0为ε→ 每p为0。然后，设置H：=0和H：=（0，∞)- 1(-∞,0). 对于Pε和H的P之间的任何双因果耦合下的投影，计算G=0和G=0。尤其是（G（Y）oY）T=0P几乎可以肯定。然而，对于每一个ε>0，就有Pε（（H（X）oX）T≥ 1.-ε) ≥ 这意味着各自的定律无法收敛。备注3.12。通过bpwe表示最小实数，即e[kMkp∞] ≤ 对于每个鞅M，bpE[[M]p/2]（3.5）。

对于p≥ 2伯克霍尔德（Burkholder）[22]确定bp=PBP，但p的bpis值未知∈ 【1，2】根据【50】，【51，第427页】。根据【17】，b≤ 6.（逆不等式中的最佳常数已知于平凡情况p=2和p=1。在后一种情况下，可以得到√3[23]和1.2727。[59]对于连续鞅4、引言和扩展部分中所述结果的证明由于上一节中所做的工作，证明策略可归纳为两部分。第一步，人们忘记了空间Ohm 当插入R上的图像测量时，仅关注当前问题相对于dpor DWP的连续性：例如，在效用最大化中，这意味着要研究u7的连续性→RU（x）u（dx）。在第二步中，使用上一节中获得的连续性和收缩定理。4.1. 定理1.5的证明。我们需要初等估计引理4.1。Letu，ν∈ P（R），设f:R→ R是凸的和Lipschitz。Zf（x）u（dx）-Zf（y）ν（dy）≤ L dw（u，ν），（4.1），其中L是f的Lipschitz常数。18 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERProof。设γ为u和ν的耦合。应用Jensen不等式，我们得到了zf（x）u（dx）-Zf（y）ν（dy）=Zf（x）- f（y）γ（dx，dy）=Zf（x）-Zf（y）γx（dy）u（dx）≤Zf（x）- fZyγx（dy）u（dx）≤LZ公司x个-Zyγx（dy）u（dx）。由于γ是任意的，这就意味着这种说法。事实上，如果我们在这个引理中取上确界，那么前面的引理是相等的。h、 （4.1）在所有L-Lipschitz凸函数上的s，如[32，命题3.2]所示。现在我们来证明定理1.5。对于n>0，设π为双因果耦合，其在AW（P，Q）模1/n裕度的定义中达到最大值。ByLemma 3.7有Gn∈ hk使得（Gn（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]π-几乎确定。

定义un：=（C（Y）+（Gn（Y）oY）T）（Q）和ν：=（C（X）+（H（X）oX）T）（P）。（注意，un，ν∈ P（R）为P，Q∈ SM公司(Ohm).) 根据引理4.1，我们有eq（C（Y）- m级- （Gn（Y）oY）T）+- EP公司（C（X）- m级- （H（X）oX）T）+≤dw（un，ν）。从定理3.10中，我们得到等式[（C（Y））- m级- （Gn（Y）oY）T））+]≤ EP[（C（X）- m级- （H（X）oX）T）+]+b（k+L）（AW（P，Q）+1/n）。（4.2）首先假设等式[[Y]T]<∞ 并用与Y相关的有限变化过程表示。然后，当（Gn）一致有界于k时，存在一个可预测的G和（Gn）的一系列前向凸组合，它们收敛于L（dQ d（[Y]+A））到G。这（4.2）和（·）+的凸性导致了所期望的结论。一般情况下，接下来是一个简单但重要的重本地化论点。G=H且H为Lipschitz的证明类似于定理3.10.4.2的第二部分。定理1.6的证明。在第一步中，请注意，对于所有P，P′和随机变量Z，Z′，它如下引理4.1所示，即avarpα（Z）- AVaRP′α（Z′）≤ dw（Z（P），Z′（P′）/α。事实上，如果γ是从u：=Z（P）到ν：=Z′（P′）的耦合，则navarpα（Z）- AVaRP′α（Z′）=infmZα（x- m）+- mu（dx）- infmαZ Z（y- m） +γx（dy）- mu（dy）≤supmαZ（x- m）+- （y）- m） +γ（dx，dy）≤supmαZ（x- m）+-Zyγx（dy）- m级+u（dx）≤αZx个-Zyγx（dy）u（dx），因此，将γ减至最小就得到了该声明。其余的证明现在遵循论证路线，如forTheorem 1.5的证明。固定P、Q∈ SM公司(Ohm). 仅为了符号的简单性，假设数学金融中的WASSERSTEIN距离和稳定性19存在一个双因果耦合π，它在定义AW（P，Q）时达到最大值，并且存在H*∈ hk使得avarpα（C（X）- （H）*（十） oX）T）=infH∈HkAVaRPα（C（X）- （H（X）oX）T）。引理3.7表示G*∈ HK，以便（G*（Y）oY）T=Eπ[（H*（十） oY）T | Y]π-几乎可以肯定。