数学金融中的适应Wasserstein距离与稳定性

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英文标题：
《Adapted Wasserstein Distances and Stability in Mathematical Finance》
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作者：
Julio Backhoff-Veraguas, Daniel Bartl, Mathias Beiglb\\\"ock and Manu
  Eder
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Assume that an agent models a financial asset through a measure Q with the goal to price / hedge some derivative or optimize some expected utility. Even if the model Q is chosen in the most skilful and sophisticated way, she is left with the possibility that Q does not provide an \"exact\" description of reality. This leads us to the following question: will the hedge still be somewhat meaningful for models in the proximity of Q?   If we measure proximity with the usual Wasserstein distance (say), the answer is NO. Models which are similar w.r.t. Wasserstein distance may provide dramatically different information on which to base a hedging strategy.   Remarkably, this can be overcome by considering a suitable \"adapted\" version of the Wasserstein distance which takes the temporal structure of pricing models into account. This adapted Wasserstein distance is most closely related to the nested distance as pioneered by Pflug and Pichler \\cite{Pf09,PfPi12,PfPi14}. It allows us to establish Lipschitz properties of hedging strategies for semimartingale models in discrete and continuous time. Notably, these abstract results are sharp already for Brownian motion and European call options.
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中文摘要：
假设一个代理通过一个度量Q对金融资产进行建模，目标是对一些衍生产品进行定价/对冲或优化一些预期效用。即使模型Q是以最熟练和复杂的方式选择的，她也有可能不会提供对现实的“精确”描述。这就引出了以下问题：对冲对于接近Q的模型是否仍有一定意义？如果我们用通常的Wasserstein距离（比如）来衡量接近度，答案是否定的。类似于w.r.t.Wasserstein距离的模型可能会提供截然不同的信息，作为对冲策略的基础。值得注意的是，这可以通过考虑考虑定价模型的时间结构的瓦瑟斯坦距离的适当“调整”版本来克服。这种适应的Wasserstein距离与Pflug和Pichler提出的嵌套距离关系最为密切{Pf09，PfPi12，PfPi14}。它允许我们建立离散和连续时间半鞅模型套期保值策略的Lipschitz性质。值得注意的是，这些抽象结果对于布朗运动和欧式看涨期权来说已经很尖锐了。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：Stein 数学金融 稳定性 TEI ERS

适应了《金融数学》中的WASSERSTEIN距离和稳定性。BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERAbstract。假设代理人通过度量对金融资产进行建模，目标是对某些衍生产品进行定价/对冲或优化某些预期效用。即使模型Q是以最熟练和复杂的方式选择的，她也有可能Q不能提供对现实的准确描述。这就引出了以下问题：对冲对Q附近的模型是否仍有意义？如果我们用通常的Wasserstein距离（比如）来衡量接近度，答案是否定的。类似于w.r.t.的模型。Wasserstein距离可能会提供不同的信息，从而作为对冲策略的基础。值得注意的是，这可以通过考虑考虑pricingmodels的时间结构的Wasserstein距离的适当调整版本来克服。这种适应的Wasserstein距离与P flug和Pichler提出的嵌套距离关系最为密切【52、53、54】。它允许我们建立离散和连续时间半鞅模型套期保值策略的Lipschitz性质。值得注意的是，对于布朗运动和欧式看涨期权，这些抽象结果已经很清晰了。关键词：套期保值、效用最大化、最优运输、因果最优运输、瓦瑟斯坦距离、敏感性、稳定性。AMS学科分类（2010）91G80、60G42、60G44、90C151。导言1.1。概述假设参考指标P用于模拟金融资产X的演变，目的是对冲金融债权或最大化某些预期效用。我们并不期望模型P以绝对准确的方式捕捉现实。

然而，假设P足够接近现实（用概率Q描述），我们仍然希望为P制定的策略能够产生合理的结果。本文的主要目的是在半鞅测度之间的自适应Wasserstein距离AWP的新概念的基础上，建立这一直观的概念。为了确定想法，我们提供了我们追求的结果的第一个示例。定理1.1。设P，Q是资产价格过程X的连续半鞅模型，并假设C（X）表示（路径相关）导数C的L-Lipschitz支付。假设可预测的交易策略H=（Ht）t，| H |≤ 坎丹初始捐赠m∈ R构成C（X）的P-超边，即C（X）≤ m+（HoX）T，P-几乎可以肯定。然后有一个可预测的G s.t.m，G构成一个“几乎”的Q-超边：EQ[（C（X）- m级- （GoX）T）+]≤ 6（k+L）·AW（P，Q）。（1.1）虽然采用的瓦瑟斯坦距离将用抽象术语定义（见（1.3）），但它与“简单”模型的模型参数直接相关。特别是，如果P，Q是具有不同挥发性的布朗模型，那么这些模型之间的距离就是这些挥发性的不同。此外，（1.1）2 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDER中的界（以及下面给出的进一步Lipschitz界）在这样一个简单的设置和C欧洲看涨期权中已经很尖锐了。下面我们将提供一些与定理1.1类似的结果。E、 g.我们将提供对冲误差在风险度量方面得到控制的版本，并且我们将证明，如果在模型P和模型Q中应用相同的交易策略H，则类型（1.1）的Lipschitz界限适用（具有更大的常数）。

重要的是，我们确定了Lipschitz连续性的可比结果适用于效用最大化和效用差异定价。我们强调，熟悉的概念，如L'evy-Prokhorov度量或通常的Wasserstein距离，似乎不适合得出与OREM 1.1相当的结果。E、 g.在有意义的金融模型附近，存在套利任意高的模型，即使是有界策略；类似现象出现w.r.t.完整性/不完整性。相反，我们引入了一个adaptedWasserstein距离AWP，它考虑了半鞅模型的时间结构。这些距离在概念上与P flug和Pichler提出的嵌套距离密切相关【53、54、55】；第一篇将这种距离与融资联系起来的文章，请参见[1、30、20]。我们将在下文第2节更详细地描述这些贡献。1.2. 符号和适应的Wasserstein距离。自始至终，我们让Ohm := RTor公司Ohm := C（0，T）。第一种设置称为离散时间情况，第二种设置称为连续时间情况。在第一种情况下，我们用I={1，…，T}表示时间索引集，在第二种情况下，I=[0，T]。在整篇文章中，我们将提供定义和结果，但不指定我们所指的两种情况中的哪一种：这意味着定义/结果适用于这两种情况。我们偶尔会具体考虑一个案例，在这种情况下，我们会明确说明这一点。我们解释Ohm 作为一维定价的所有可能演变（及时）的集合。重要的是，经过必要的修改，我们的所有结果（命题3.3、3.6和示例3.4除外）对于多维资产价格过程（对应于Ohm = （Rd）T/Ohm = C（[0，T]，Rd））。我们选择了一维版本来简化符号。映射X，Y：Ohm → Ohm 表示规范过程（即。

身份映射），我们在Ohm × Ohm 过程X表示第一个坐标，Y表示第二个坐标。空间Ohm 和Ohm × Ohm 具有最大范数和相应的Borel-σ-场。在连续时间内，空间Ohm 被赋予由X生成的正确连续过滤，在离散时间内，我们使用由X生成的普通过滤。在任何情况下，我们用F=（Ft）表示该过滤，并赋予Ohm × Ohm 使用产品过滤（Ft Ft）t。给定σ-代数G和G上的概率P，我们写出G的P-完成的gp。概率测度P，Q之间耦合的setCpl（P，Q）由G上的所有概率测度π组成Ohm × Ohm 这样X（π）=P，Y（π）=Q。对于某些Borel映射T，Monge耦合是π=（Id，T）（P）形式的耦合：Ohm → Ohm 将P转换为Q，即满足度T（P）=Q。给定指标dOhm 和p≥ 1，P的Wasserstein距离，Q isWp（P，Q）=infnEπ[d（X，Y）P]1/P：π∈ Cpl（P，Q）o.（1.2）在许多实际情况下，如果仅将Monge耦合最小化，则（1.2）中的上限保持不变，参见【56】。事实上，离散案例和连续案例中的论点使用了相同的观点，但离散案例中的陈述技术性明显较低，这是将离散案例纳入本文的重要原因。在定义测量值P和Q之间的适应WASSERSTEIN距离之前，数学金融中的适应WASSERSTEIN距离和稳定性3Ohm, 让我们来解释一下，为什么与弱收敛相关的距离不适合我们所想到的结果。例如，假设我们对两个时期的效用最大化问题感兴趣，图1描述了两种交易资产的P、Q定律。很明显，它们在Wasserstein距离上非常接近，考虑到T引起的明显Monge耦合，如下所示：Ohm → Ohm, T（P）=图1中所示的Q。

与此同时，效用最大化的结果肯定是非常不同的。类似地，P是鞅测度，而Q允许rbitrage。其明显原因是时间1可用信息的不同结构。t图1。Map T将左边的蓝色路径发送到右边的蓝色路径，同样地，红色路径也是如此。所描述的随机过程在瓦瑟斯坦意义上是相近的，但在效用最大化方面却大相径庭。为了说明为什么瓦瑟斯坦距离不反映这种不同的信息结构，让我们回顾一下传输条件T（P）=Q。我们将其重新表述为（T（X，X），T（X，X））~ （Y，Y）。（1.3）虽然这种情况在大众运输中是完全自然的，（1.3）从概率的角度来看，几乎似乎是欺骗：地图不允许考虑未来值Xin以确定Y。以定义适应的瓦瑟斯坦距离，“过程”（Ti）i=1,2应该进行调整，以解释P和Q的不同信息结构。当然，我们对调整后的Wasserstein距离的定义不会指调整后的Monge运输，而是指在适当意义上“调整”的耦合。继拉萨尔（Lassalle）[45]之后，我们将这种耦合称为（双）因果耦合。由于以下定义乍看起来可能有点技术性，以下内容可能会让人安心：在离散时间设置和绝对连续测量中，自适应Monge耦合集的弱闭包，即π=（Id，T）（P）forT adapted，正是所有因果耦合集，见【42】。定义1.2（（双）因果耦合）。对于P，Q的耦合π∈ P(Ohm) 用π（dω，dη）=P（dω）πω（dη）表示有规律的崩解w.r.t.P。

因果耦合的CplC（P，Q）集由所有π组成∈ Cpl（P，Q）使得对于所有t∈ I和A∈ Ftω7→ πω（A）是FPt可测的。所有双因果耦合集CplBC（P，Q）由所有π组成∈ CplC（P，Q）也包括S（π）∈ CplC（Q，P），其中S：Ohm × Ohm → Ohm × Ohm, S（ω，η）：=（η，ω）。在离散时间中，耦合π是因果的当且仅当π（Y，…，Yt）∈ A | X= π（Y，…，Yt）∈ A | X。Xt公司,每个t和Borel集合a的P-a.s Rt，也就是说，在时间t，给定X的过去（X，…，Xt），yt的分布不取决于X的未来（Xt+1，…，XN）。用（1.2）中的双因果耦合替换耦合，可以达到P flug和Pichler引入的嵌套距离【52，53】。由于我们的目标是在连续时间内比较also4 J.BACKHOFF-VERAGUAS、D.BARTL、M.BEIGLB¨OCK、M.Edersemimatingale模型，因此我们将使用略微不同定义的自适应Wasserstein距离。（值得注意的是，这两个距离相当于RN的概率。我们将在下面第3.3节中详细说明，（1.4）中的定义为什么更适合我们的目的7（离散时间）。）在连续时间中，我们用SM表示(Ohm) 所有概率P的集合（theBorelσ-field of）Ohm 其中正则过程X是连续半鞅。在离散时间内，SM(Ohm) 表示所有Borel概率P的集合Ohm 其中X是可积的。在这两种情况下，我们都可以唯一地分解X=M+A，从零开始有一个有限变化的可预测过程，M是局部鞅。事实上，在第一种情况下，X是一个特殊的半鞅，事实上M和a也是连续的，而在第二种情况下，这是一个积分适应离散时间过程的Doob分解。

对于p∈ [1, ∞) 我们用SMp表示(Ohm) SM的子集(Ohm) 其中，p[[M]p/2T+| A | p1 var]<∞,其中[·]是二次变化，|·| 1-Var是第一个变化范数。注：BDG不等式EP[sups≤T | Ms |]<∞ 对于SMp(Ohm), 因此M是真鞅。定义1.3（适应的瓦瑟斯坦距离）。对于P，Q∈ SMp公司(Ohm), p≥ 1 setAWp（P，Q）：=infnEπ[MX- MY]p/2T+| AX- AY | p1变量1/p：π∈ CplBC（P，Q）o，（1.4），其中X=MX+AX，Y=MY+ay表示X和Y各自的半鞅分解。引理3.1表明，AWPI定义良好（即X- Y是每个双因果耦合下的半鞅），在引理3.2中，AWpin定义了一个度量。备注1.4。在连续时间设置中，自适应的Wasserstein距离可以通过以下公式计算：P（P，Q）=infnEπ[X- Y]p/2T+MVT[| X- Y | p1/p：π∈ CplBC（P，Q）o。此处MV表示平均变化，即MVT【Z】=supPtj公司∈|E[Ztj+1-Ztj | Ftj]|，其中上确界接管所有有限分区 共[0，T]。在下面的第3.2节中，我们将给出在简单SDE描述的半鞅测度的情况下，适用的Wassersteindition的显式公式。1.3. 超磨边的稳定性。对于本文的其余部分，请确定一些k∈ R+并让HK成为所有可预测流程的集合H：Ohm ×I→ [-k、 k）]。对于每个p≥ 1，为“上”伯克霍尔德-戴维斯-甘迪（BDG）常数写下BPS，参见下面的备注3.12。具体而言，已知b≤ 6，b=2。我们的第一个主要结果涉及超边缘的稳定性，并构成了上述定理1.1的一个更大版本。定理1。设P，Q∈ SM公司(Ohm), H∈ Hkand let C：Ohm → R为Lipschitz，常数为L。

那么Q下的套期保值误差是以P和Q的距离加上P下的套期保值误差为界的，在以下意义上：存在G∈ HksuchthatEQ[（C- m级- （GoX）T）+]≤ EP[（C- m级- （HoX）T）+]+b（k+L）AW（P，Q）。（WHI）调整了数学金融中的WASSERSTEIN距离和稳定性5，此外，假设Ht：Ohm → R是Lipschitz，每t的常数为L∈ 一、 然后我们可以取G=H，得到eq[（C- m级- （HoX）T）+]≤ EP[（C- m级- （HoX）T）+]+b（k+L）AW（P，Q）+βAW（P，Q），（SHI），其中β：=2√2bL最小值{AW（P，δ），AW（Q，δ）}。重要的是，不可能将P下的超边转换为Q下的超边。这已经在一个周期框架内发生，并且不是我们定义的适应瓦瑟斯坦距离的副产品；见备注5.2。类似的推理要求只考虑受k约束的交易策略；见备注5.3。比较不平等（WHI）和（SHI）是值得的：（S）在某种意义上，“强对冲不平等”（SHI）似乎是更相关的断言：毕竟交易者不知道模型Q（而不是模型P）描述了现实，因此她可能（有些人）坚持按照策略H对冲风险的初始计划。那么不平等（SHI）就是允许量化此模型错误造成的损失。（W） 然而，“弱对冲不平等”（WHI）也有一个特殊的优点：假设交易者W从先前的信念开始，即资产价格根据波动率σ的Black-Scholes模型演变，但很快0就会意识到波动率σ（其中σ6=σ）会产生更充分的现实描述。

如果机智的交易者W对正确的模型做出了准确的猜测，并相应地更新了她的交易策略，那么她的损失可以通过更紧密的界限（WHI）来控制。在定理4.2中，我们提供了定理1.5的一个版本，其中（·）+被一个凸的、严格递增的损失函数l:R代替→ R+。另一种衡量几乎超边缘效应的方法是通过风险度量。我们将一般公式推迟到定理4.3，并给出了一个符合风险平均值AVaRPα的版本。回想一下，对于随机变量Z：Ohm → RAVaRPα（Z）：=infm∈代表[（Z- m） +/α+m]是α级的平均风险值∈ （0，1）在模型P下，我们得到了定理1.6。假设C：Ohm → R是带有常数L的LipschitzinfH公司∈HkAVaRPα（C- （高oX）T）- infH公司∈HkAVaRQα（C- （高oX）T）≤ r AW（P，Q），对于r：=b（L+k）/α。如果H∈ Hkis使Ht：Ohm → [-k、 k]是Lipschitz，每t有常数L∈ I和β是定理1.5中定义的常数，那么AVaRPα（C- （高oX）T）- AVaRQα（C- （高oX）T）≤ r AW（P，Q）+βαAW（P，Q）。这个结果的解释类似于定理1.5：由于AVaRPα（·）是平移不变的，因此∈HkAVaRPα（C- （HoX）T）=infnm∈ R：有H∈ HK，使AVARPα（C- m级- （高oX）T）≤ 0o，右侧构成了超边缘价格的宽松版本。值得注意的是，第3.2节中给出的适应Wasserstein距离的显式计算意味着定理1.6（和类似的定理1.5）是sharp6 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERExample 1.7（布朗框架中的对冲）。考虑欧洲看涨期权C（X）=（XT-K） +，其中为简单起见，K=0。此外，设Pσ为具有常数波动率σ的维纳测度≥ 0