订单流的队列反应Hawkes模型

特别是，由于我们在这本书的同一面看互动，我们注意到市场秩序对取消平均有令人兴奋的影响。正如在上述研究中所观察到的，给定价格下的市场订单波动表明，“真实”价格更接近该方，0 20 40 60q606570758085eL、%0 20 40 60q7580859095100eC、%0 20 40 60q60708090100eM、%0.0 2.5 5 5 5.0 7.5 10.0 12.5Q5055606657075EL、%2.5 5 5 5.0 7.5 10.0 12.5 Q55606570758085EC、%2.5 5 5 5 5.0 10.5 Q455505560EM、，%图5：从左到右：QRH模型下，限额订单插入的内生分数，公式（14）中定义的e`（q），限额（`=L），取消（`=C）和市场（`=M）订单。第一行：Bundfuture。最后一行：DAX未来。L C MLCM0.150.300.450.60L C MLCM0.150.300.450.60图6：外滩期货（左）和DAX期货（右）的核范数矩阵。因此，流动性进行了调整，取消了未完成的订单，以免被逆向选择。均衡和经验队列大小分布在参考文献[16]中，作者强调QR模型提供了一个简单的框架来解释在theorder book中观察到的队列大小分布。为此，他们表明，模型不变分布非常符合经验法则，尤其是在第一次出价/要价水平。在附录A.1中，我们表明，在一些似乎经验丰富的条件下，QRH-I模型也是一个遍历过程，队列大小角可以通过其不变分布来描述。在比较QR和QRH Imodels在预测均衡队列大小分布方面的性能之前，让我们强调在解决此问题时需要谨慎。

事实上，这种分布，即使以指数速度达到，也必然符合经验观察到的队列定律，因为当队列为空时，参考价格的变化概率不为零。这直接意味着，对于队列大小的较小值，不变分布不应该解释从经验书本状态快照中观察到的值。此外，由于初始队列大小没有理由用变量分布来绘制，因此该定律仅在短暂延迟后才适用，该延迟必须与每次实现的长度进行比较，即参考价格两次变化之间的时间段。然而，遍历定理中涉及的指数率很难估计，可以使用一个代理，例如经验队列大小自相关函数的指数衰减。这是混合系数的另一种度量方法，在某些条件下，它可能与分布弛豫时间有关[7]。假设队列大小的自相关衰减采用ρ（t）=a exp的形式-t/τc，我们从实证上得出，τc’15 s用于外滩未来，τc’2 s用于DAX。对于这两种资产，必须将这些相关性特征标度与平均实现长度进行比较，即外滩的τm’100 s和DAX的τm’16s。因为在这两种情况下，我们都有τc τm，不变量分布很可能与在随机选择的时间观察到的队列大小分布有关。考虑到之前的观察结果，我们现在开始比较经验队列分布，通过每30秒拍摄一次书的快照来测量，以及QR和QRH-I模型产生的不变分布。

由于我们没有任何明确的QRH-I模型公式，我们通过长时间的模拟来估计q（t）的变化分布。QR模型的不变度量可以通过图3中u`（q）的估计值，使用秒的分析公式直接推导出来。参考文献【16】第2.3.3条。图7显示了Bund和DAX的QR和QRH-I不变度量图以及经验队列大小分布图。首先，我们观察到，QRH-I模型在这两种情况下提供了比QR模型更好的经验数据，尤其是在尾部区域。后者与外滩数据的大样本中观察到的分布尤其相去甚远。其对较小的tick资产（DAX）的表现更接近于[16]中所报告的股票数据结果。除了难以解释大小蜱类资产之间的这种显著差异之外（尽管[16]中的分析公式表明，当u`（q）函数的相应行为发生变化时，分布的整体形状可能会发生很大的变化），我们的发现表明，考虑队列反应模型中的霍克斯自交互不仅对正确描述订单流量动态，但也为队列大小分布提供了更好的模型。0 20 40 60 80 100 120 140q0.000.010.020.030.040.050.060.07密度经验分布QR模型QRH模型0 5 10 15 20 25q0.000.050.100.150.200.250.30密度经验分布QR模型QRH模型图7：QR和QRH模型的不变分布与经验分布的比较。左：外滩未来。右图：DAX未来。我们进一步注意到，QRH-I模型模拟的队列大小分布偏离了经验分布，尤其是在队列较小的状态周围。

如前所述，当队列为空时，参考价格很有可能发生变化，因此相应的经验样本将停止。这导致了与“理论模型”相关的统计偏差，其中不存在此类事件类型，因为当队列为空时，直到新的限制指令到达，才会发生任何事情。因此，与非经验观测相比，模型中更有可能访问队列值较低的状态。3 TheOrderBook最佳限额的队列反应式霍克斯模型在上一节中，我们提出了一个具有固定价格的单一最佳限额的模型，即当最佳限额的价格发生变化时，该模型存在。因此，它既不考虑两个最佳限额（最佳出价/最佳出价）之间的交叉动态，也不考虑其相应价格的变化。本节致力于解决这些缺点的模型。这两个最佳限额都是与中间价格变化一起建模的。因此，与之前的模型（以及[16]中提出的模型）相反，模型的重置仅在市场收盘时发生。这个新模型是通过在Bacry等人的模型中添加queuedependency来构建的。上一节的模型被称为QRH-I（单侧LOB建模），此新模型将被称为QRH-II（双侧LOB建模）。3.1 QRH-II模型：将队列依赖性添加到Bacry等人的模型中[4]作者考虑了LOB最佳级别的八种事件类型，即P+（P-) 对于根据此次变动的规模独立上调（下调）中间价的活动，对于不改变中间价的最佳询价（出价）限价订单，La（Lb），对于不改变中间价的最佳询价（出价）取消订单，Ca（Cb），对于不改变中间价的最佳询价（出价）市场订单，Ma（Mb），其中，对于任何`∈ {P+，P-, La、Lb、Ca、Cb、Ma、Mb}，最佳ask（分别为。

bid）级别是指ask（resp.bid）侧的非空级别。让我们定义与事件相关的计数过程，以键入“和λ”（t）相关的条件强度。让我们指出，LOB的第一个限制的描述与前一节或[16]中所采用的方法有很大不同，其中最佳限制队列大小可以为0。此外，该模型不再需要定期重置，也不使用任何参考价格优先的概念。【4】中的作者考虑了一个多变量霍克斯模型，其中每种事件类型都可以影响其他事件类型，并受到其他事件类型的影响，因此条件强度读数为：λ`（t）=u`+XmZtφ` m（t- s） dNms，（16），其中`和m可以取8个值{P+，P-, La、Lb、Ca、Cb、Ma、Mb}。在他们的工作中，使用文献[6]中首次描述的非参数估计方法估计核φ。该模型允许作者强调限额订单簿中事件之间的丰富影响结构，包括高频中间价反转和订单分割策略确定的订单流中的持续自相关，以及一些更明确的做市商诱导动态（见[4]）。为了将队列依赖性添加到之前的霍克斯方法中，我们以与前一节中大致相同的方式进行操作，除了订单簿状态不再由单队列数量q（表示最佳ask或最佳bid数量）表示，而是由最佳bid和最佳ask队列大小（qa、qb）表示。让我们指出，现在队列大小Qa和qb，根据定义，永远不会达到零，而且每个进程dN `编码在相应的最佳侧发生的所有类型事件的完整历史，独立于最佳询价/投标价格的各种移动。

因此，将队列依赖性添加到这样的模型需要一种机制，该机制不仅能够调节（作为电子书状态的函数）外部强度u`（如前一个模型中所述），而且能够调节强度的霍克斯部分。为了说明这一点，我们可以提到一种情况，显然Hawkes kernelmatrix应该明确地依赖于队列状态：例如，当ask队列较大而bid队列较小时，P+事件极不可能发生（对于较大的tick资产）。我们考虑了最简单的可能性，即强度的外生部分和自激部分对状态具有相同的乘法依赖性，并引入了以下模型，称为QRH-IIλ`（t）=f `（qa（t），qb（t））u`+XmZtφ` m（t- s） dNms！，（17） 其中，编码对订单状态依赖性的函数f `不仅调节异源强度（如等式（4））而且调节霍克斯项。让我们注意到，与QRH-I模型不同，QRH-II模型主要是订单流量的模型，因此我们忽略了订单到达量和队列大小之间的关系，并将这些队列视为（可观察的）外部过程。如前所述，我们为核φ\'mand选择了一种参数形式，特别是我们采用了等式（6）中提供的相同指数总和规格。我们记得，中间价对应于最佳询价与最佳出价的平均值。3.2从对数似然估计到最小二乘估计核的参数形式（6）已经指定，可以使用MLE估计模型。虽然QRH-II模型与QRH-I模型略有不同，但其对数似然函数及其梯度的计算遵循附录A.2中所述的相同轨迹，只需进行心房修正。

此外，由于选择了参数化，对数似然是参数的凸函数，从而保证了全局最优解的存在。由于订单簿状态的配置数量在每侧考虑的状态数量中呈二次增长，如果该数量太大，则可能会出现问题。考虑每个可能的属性（即每个队列的每个可能值）将需要很长的计算时间。为了限制配置数量，如果出价队列大小在其第i个五分位数（即25·i百分位数）内，而询问队列在其第j个五分位数内，则我们认为订单处于状态（qia，qjb）。因此，估计函数f′实际上是五分位数f′（qia，qjb）的函数。最后，我们选择标准化（注意，任何其他标准化都相当于重新调整内核和公式（17）中的u′）f′（qa，qb）=1。（18） 使用最大似然法，我们在上一节中使用的相同数据集上校准如此获得的模型。如表4和表5所示，当使用指数核之和进行校准时，我们的模型在拟合优度方面优于[4]中引入的纯霍克斯模型。

特别是，似然比检验拒绝了p值<10的纯霍克斯模型的无效假设-16.BUNDLE AIC BIC#参数SQRH II 5.348×10-1.070 × 10-1.070×10霍克斯5.200×10-1.040 × 10-1.040×10DAXL AIC BIC#参数SQRH II 4.626×10-9.253 × 10-9.253×10霍克斯4.488×10-8.976 × 10-8.976×10表4:Bund和DAX数据的QRH-II模型（由（17）定义）和霍克斯模型（由[4]定义）的对数似然、AIC和BIC值。捆扎机df p值H=霍克斯，H=QRH-II 2.9·10200<10-16DAXLR df p-valueH=霍克斯，H=QRH-II 2.8·10200<10-16表5：零假设为QRH IImodel（由（17）定义）和零假设为Hawkes model（由[4]定义）的情况下的似然比检验统计量和p值。P+pmamblabcacbp+pmamblabcacb0.00.20.40.60.81.0P+pmamblabcacbp+pmamblabcacb0.00.20.40.60.81.0图8:QRH II模型的MLE核范数矩阵rφlm（t）dt（左）和DAX future（右）（由（17）定义）。第3.3节将详细讨论由此获得的MLE结果。现在，为了简单起见，让我们先把队列依赖性的影响分开，看看内核估计。图8表示由此获得的核范数矩阵{Rφ\'m（t）dt}}}由我们的模型给出。该图将与[4]图4中获得的矩阵进行比较，其中使用了相同的模型（无排队依赖关系）。让我们指出，为了获得该矩阵，[4]进行了非参数估计，该估计允许核的负值，从而允许矩阵{Rφ\'m（t）dt}\'m的某些元素的负值。这些负值说明了抑制动力学，即降低给定类型事件的强度。

我们可以证明，在某些情况下，内核的负值可能会在某个特定时间（且概率非零）出现，其中总和（17）为负，导致负强度，当然，这没有任何意义。为了避免这一困难，通常用λ`（t）=f `（qa（t），qb（t））u`+XmZtφm（t）形式的非线性方程代替方程（17- s） dNms！+，（19） 其中运算符（…）+如果此数量为正，则不更改括号之间的数量值；如果此数量为负，则为0。然而，在这种非线性霍克斯模型的框架下，极大似然估计不再是一个凸问题，因此变得很难处理。如【14】所述，当考虑最小二乘法时，这个问题在某种意义上是可以处理的（另请参见【24】关于负值核最小二乘估计的示例）。因此，最小二乘估计允许负值核，而在上述MLE框架中，我们强制所有核（即等式（6）中的所有αlmu）为正值。这主要解释了【4】中的图4和我们的图8之间的差异。为了命名一个显著的差异，在[4]中，核积分φLbP-（分别为RφLaP+）被发现是强负的。实际上，如文献[4]中附录B.6所示，内核本身φLbP-（分别为φLaP+）在所有时间尺度上都是最负的。

这一事实可以被看作是做市商诱发的一种自然动态：当价格下跌时，有效价格更接近最佳出价，因此在出价规模上下达的限价订单更少（与发送激进订单相比，收益很小），而在询价方下达的限价订单更多。让我们指出，强制核只有正值（即，在执行MLE时，强制所有αlmuto都为正值）将先验地不仅导致具有负值的核的高偏差值，而且还可能导致仅具有正值的核的高偏差，因为所执行的估计是对所有涉及复杂这些核之间的关系（有关此类偏差的示例，请参见[6]）。因此，似乎应该使用基于最小二乘的估计，而不是MLE。有关最小二乘估计的详细信息，请参见附录A.3。它包括将R（θ）最小化为R（θ）=DX`=1R`（θ），R`（θ）=ZTλ`（t；θ| Ft）dt-N\'Xk=1λ\'（t\'k；θ| Ft\'k）（20），其中λ\'由公式17给出。可以很容易地验证这个问题作为αulm的函数是凸的（见等式（6）），因此可以保证全局最优解的存在。如附录A.3所示，该参数化允许在计算上高效地计算平方损失函数R及其梯度。3.3拟合结果和评论在本节中，我们展示并评论通过等式（17）定义的QRH II模型的最小二乘估计获得的结果。f`（qa，qb）函数的估计。在我们的结果中，我们记录了订单到达率对QIA和qjb的明显依赖性，表明LOB的状态对订单到达率有明显的影响。