订单流的队列反应Hawkes模型

让我们指出，之前的工作（例如，[23]和[18]）表明，这种依赖性实际上是依赖于由i（t）=vb（t）定义的队列大小的不平衡性- va（t）vb（t）+va（t）=qb（t）- qa（t）qb（t）+qa（t）（21），其中va/b（t）表示在时间t的最佳询价/投标价格下的可用量，我们假设订单具有与之前定义的AES相对应的恒定量。这种不平衡是解释即时购买压力的最简单代表。在这方面，在图9和图10中，我们以对数标度绘制了每个订单类型的参数f`（qia，qjb），作为平衡I的函数，计算为与分位数（qia，qjb）相关的状态区间的中值不平衡。让我们注意到，在这些图中，点大小表示相应qib的大小。通过查看图9和图10，我们可以得出以下观察结果：首先，订单上的不平衡变化捕获了密集参数f`（qa，qb）的大部分变化，这在大型蜱虫资产（Bund）上更为明显，因为f可以跨越几乎三个数量级（对于P和M事件），因为I的范围为-1至+1。小勾号资产（DAX）的f`（qa，qb）变化较小，因此不平衡的影响不太明显，尽管P和L事件仍然可见，但程度较低。这与观察结果一致，即不平衡是Largettick资产中价变化的一个很好的预测因子，而它的预测能力对小刻度资产的预测能力则不那么显著（参见例[12]）。

在分析这些数据时需要牢记的一个方面是，特别是对于一个小的tick资产，在本书的更深层次上也有大量的信息，这里没有考虑到这些信息。在与外滩结果相对应的图9中，我们观察到，对于中间价格变化（P事件），似乎存在一种阈值效应，即对于低于I=-1/2，向上的价格增量被显著抑制，而较大的正失衡只会略微增加向上价格变化的可能性。这是很自然的，因为不平衡小于-1/2对应于这样的情况，即任务大小至少比出价大小大三倍，这使得中间价不太可能向上移动。更令人惊讶的是，代理似乎强烈地根据订单簿的状态来决定使用攻击性订单（M事件）。也许他们急于在向中价移动之前获得最后可用的流动性（事实上，当不平衡较大时，f对于M事件变得非常大，即当ask大小几乎没有任何剩余时）。限制和取消订单似乎对该书的状态不那么敏感。正如我们已经指出的那样，对于DAX，对不平衡的依赖性不太明显（见图10），除中间价格变化外，所有因子f`（qa，qb）都随I而变弱。但是，请注意，对于市场（M）和取消（C）订单，我们观察到一个制度转换，即I=1/2。这些机制分别对应于非常大和非常小的ask队列大小。

在后一种情况下（当价差等于一个滴答声时），不太可能出现不改变中间价的市场和取消订单。最后但并非最不重要的一点是，让我们注意到，不平衡未捕获到的强度变化主要位于I=0附近，其中各个队列大小（几乎相等的qa或qb）似乎具有重要影响。因此，例如，对于外滩，fP+（q，q）似乎随着q的增加而增加。实际上，这可以通过更深入的分析来解释，该分析表明，平均价差随着q的增加而增加，当q较大时，它非常接近2。对于市场订单也可以这样说。或者，根据等式（19），在[14]1.0 0.5 0.0 0.5 1.0不平衡21012log（f）=P+1.0 0.5 0.0 0.5 1.0不平衡21012log（f）=La1.0 0.5 0.0 0.5 1.0不平衡21012log（f）=Ca1.0 0.5 0.0 0 0.5 1.0不平衡21012log（f）=图9：从左到右，从上到下，l=P+，La，Ca的log（fl Maof QRHmodel作为不平衡21的函数，外滩未来。bid侧和ask侧的分位数相同，分别对应于qa=qb=]0，80]，qa=qb=]80，165]，qa=qb=]165，258]，qa=qb=]258，386]和qa=qb=]386+∞[.由于该示例说明了其他微观结构变量，尤其是扩散，因此应在更完整的模型中加以考虑。然而，这超出了当前工作的范围。估计强度和经验强度的比较。为了进一步验证QRH-II模型，我们测试了重现经验强度的能力。平均强度的MLE由ate q=（qa，qb）15次写入（在非参数框架中）^∧`（q）=^∧（q）Pt'kq（tl-k） =qPtkq（t-k） =qwith^∧（q）=平均值（tk- tk公司-1 | q（t-k） =q）-1，（22）其中运算符表示（…）对应于经验平均值。这个估计仅仅基于对过程{Nlt}l的观察。

可以使用∧'''QRH-II（t`）的QRH-II参数形式计算相应的估计量'∧''''QRH-II（q），-k | q），这导致∧` QRH（q）=平均值（λ` QRH-II（t`），-k） | q（t`，-k） =q）（23）为了综合所获得的结果，我们选择不对所有类型的阶和所有状态q的∧` QRH-II（q）与∧`（q）进行比较。相反，对于每种类型的阶，我们报告加权相对误差`定义为：`=Pq^∧`（q）-^∧` QRH-II（q）N`（q）Pq∧`（q）N`（q）（24）Bund和DAX的加权相对误差如表6所示。我们观察到`约为10%，这与经验观察到的强度相符。1.0 0.5 0.0 0.5 1.0不平衡1.00.50.00.51.0log（f）=P+1.0 0.5 0.0 0.5 1.0不平衡1.00.50.00.51.0log（f）=La1.0 0.5 0.0 0 0.5 1.0不平衡1.00.50.00.51.0log（f）=Ca1.0 0 0 0.5 0 0 0.5 1.0不平衡1.00.50.00.51.0log（f）=图10：从左到右，从上到下l=P+、La、Ca、Maof QRH模型的对数（fl（qia、qjb）），作为不平衡21、DAX指数期货的函数。bid侧和ask侧的分位数相同，分别对应于qa=qb=]0,2]，qa=qb=]2,3]，qa=qb=]3,5]，qa=qb=]5,8]和qa=qb=[8+∞[.P+P-LaLbCaCbMaMbBund 14.2%10.5%6.7%6.0%7.4%8.1%4.0%12.0%DAX 8.2%5.9%0.5%4.7%7.1%1.1%1.6%5.9%表6：核范数矩阵顺序类型分析的平均强度误差。最后，为了完成我们结果的分析，在图11中，我们显示了Bund和DAX的估计范数{Rφ\'m（t）dt}\'mf的矩阵。当忽略队列依赖性时，这些矩阵提供了不同事件类型之间的平均交互信息。因此，它们是[4]中图4所示的核范数矩阵的对应项。

我们恢复了[4]中强调的许多功能，例如限制、市场和取消订单的强大对角线组件（订单拆分的签名），以及市场订单和价格变动似乎对限制和取消的影响要远远大于相反的事实。值得注意的是，对于外滩而言，当中间价上升（或下降）时，它会降低（或上升）ask（或最佳）侧的限价订单率，因为有效价格接近最佳ask，所以相对于市场而言，发送限价没有任何收益。这也解释了为什么它会增加（或减少）最佳询问（或出价）端的取消订单发送率。在DAX上或多或少可以看到同样的影响（但减弱了很多）。由于DAX上的滴答声很小，所以它会减弱，因此有效的价格论证并不强烈。让我们指出，完全相同的论点可以用来解释市场订单对限制和取消订单的影响。市场秩序对价格变化的影响主要是因为在我们的设置下，市场秩序以最佳价格消耗流动性，最终可能产生新的价格。由于DAX是一种小型的交易资产，而最高价的排队规模比外滩小，因此市场订单更有可能产生新的价格。因此，市场秩序对价格变化的影响更为明显。我们可以看到，对于DAX未来，出于同样的原因，限价订单和取消订单也会对价格变化产生强烈影响。我们还可以看到，除了订单分割带来的自我激励效应外，对于外滩而言，一方的限价订单与另一方的取消订单相结合。这可以看作是一种简单的做市商策略（重新平衡头寸）。

ItP+PMAMBLALBCABP+PMAMBLALBCAB0.90.60.30.00.30.60.9P+PMAMBLALBCABP+PMAMBLACAB0.90.60.30.00.30.60.9图11：使用最小二乘估计QRH-II模型的估计矩阵normsRφlm（t）dt。Bundfuture位于左侧，DAX future位于右侧。1.0 0.5 0.0 0.5 1.0I0.00.10.20.30.40.5密度1.0 0.5 0.0 0.5 1.0I0.000.050.100.150.20密度图12：外滩（左侧面板）和DAX（右侧面板）P+事件后观察到的不平衡值的经验频率。请注意两种情况下负不平衡值的大分量。当然不会出现在DAX上，因为刻度大小要小得多，相同的再平衡策略不会对双方都产生必要的影响。关于这些特征的解释，我们请读者参考第4节【4】。平均反转率bund 0.65DAX 0.56表7：平均价格反转的度量：两个连续的中间价格变化事件具有相反方向的经验概率。虽然对于大多数特征，QRH-II模型（图11）和纯霍克斯模型（图4中的图4）是相似的，但我们可以观察到在P→ P和P→ T子矩阵。我们无法在QRH-II中发现P+到P+之间没有强激发-和P-P+（图11中左上角的2×2子矩阵），这应该是高频价格均值回归的特征（如[4]所述）。对于纯霍克斯过程模型，如工作[4]，价格的平均回归反映在P→ P核范数子矩阵（即强P+→ P-和P-→ P+条款）。这是因为（平均而言）P+事件会产生更多的P-事件多于P+事件，反之亦然。如表7所示，实际的中间价序列是强线性回归，因此，在QRH-II模型中，这一特征可能应该用队列反应函数f（qa，qb）来解释。

事实上，如图12所示，在中间价格变化之后，不平衡发展为有利于价格朝相反方向移动。例如，价格上涨P+在大多数情况下会导致负不平衡，要么是因为百思买队列QA满了，要么仅仅是因为在价差内发送了单笔限购订单。根据图的结果。9和10，在这种情况下，我们有fP+（qa，qb） 1和fP-（qa，qb）>1。相反，价格下跌后，P-, 我们会有fP-（qa、qb） 1和fP+（qa，qb）>1。2×2子矩阵P→ 在纯霍克斯模型中，P估计值很可能对应于QRH-II霍克斯子矩阵乘以反对角线上的一个大因子和对角线上的一个小因子。基于不平衡影响的同一种论证可以用来解释P的高对角线值→ T子矩阵在反对角线上观察到了[4]中的最高值。4总结与展望在本文中，我们介绍了两种“队列反应性霍克斯模型”（QRH-I和QRH-II），旨在分别改进Huang等人[16]关于劳动力动力学的队列反应性和Bacry等人[4]的模型的方法。我们表明，shuch模型可以通过参数化方法轻松校准。我们对欧洲期货交易所（Eurex）的两种不同未来资产（namelyBund和DAX）订单簿数据的经验发现表明，队列反应性和过去订单流量依赖性都与未来订单簿事件发生的可能性有关。事实上，这两种模型都在优度方面表现为纯霍克斯模型和纯队列反应模型。就QRH-I模型而言，我们的框架允许人们保持在马尔可夫过程的框架内，马尔可夫过程具有遍历性，因此，与Huang et al。

方法中，我们可以定义并估计与模型不变度量相关的队列大小分布。QRH-IImodel引导我们通过考虑最佳出价和最佳ASK队列的状态来确定Bacry等人的发现【4】。事实证明，容量不平衡可以解释大多数队列依赖性。QRH-II模型可以通过考虑队列大小（以及不平衡）和订单流量之间的相互作用来改进，就像在QRH-I模型中一样，还可以包括对小tick资产利差的明确依赖关系。我们所做的一些实质性简化也可以删除，以获得更现实的模型，例如，通过采用与[19]类似的方法放弃单一订单大小的假设。除了考虑这些模型的各种应用来设计和优化高频交易策略外，从数值的角度来看，仍需确定的方法允许处理等式（2）中定义的完整QR模型，其中不仅外生核和霍克斯核的队列依赖性是任意的，而且可以同时考虑到给定深度的所有订单队列。也许最近在统计学习中发展的一些方法和技术将有助于处理此类高维问题。从数学的角度来看，对于依赖队列的Hawkes模型的稳定性和平稳性条件还有待进一步的理解。

更根本的是，对于观察到的外生强度的形状以及订单流量到达率在不同市场参与者（理性）行为方面的不平衡依赖性的明确理解仍然是一个悬而未决的问题。附录A。1不变分布存在性的证明我们有动机证明第一部分中提出的QRH-I模型的不变分布的存在性，因为如果存在这种不变分布，我们可以通过长期模拟QRH-I模型来近似队列大小的经验分布。利用lyapunov函数进行了证明。首先，让我们定义：o\'mu（t）=Ztα\'mue-βu（t-s） dNms（25）通过采用定义（23）和（6），强度函数现在的形式为：λ`（t）=u`（q（t-)) +DXm=1UXu=1o\'mu（t），（26）到总系数q（t）6=0，对于使用队列大小的订单，必须考虑到这一点。我们注意到J增加队列大小的订单类型集，I减少队列大小的订单类型集。我们进一步假设P`∈Iu`（q）≥ c`q和um（q）≤ c*, m级∈ J、 队列大小由订单流量之和决定：q（t）=Xm∈JNm公司-X个`∈INm（27）设~o（t）为所有（`，m，u）的o\'mu（t）分量垂直叠加得到的向量∈{1，…，D}×{1，…，U}。要验证向量过程（q，~ o）是否是马尔可夫过程并不困难。然后，我们的目标是为（q，~ o）T构造一个Lyapunov函数。

首先，我们分别为q和~o构造Lyapunov函数，然后将它们组合在一起。A、 1.1 oLet us的Lyapunov函数首先写出o（t）的微分形式：do\'mu（t）=-βuo ` mu（t）dt+α` mudNmt（28）然后对于任何映射R2D+Uto R的任意合适函数F，微型生成器的形式为：LF（~ o）=Xmλm（F（~ o+m（~ o））- F（~ o））-X`，m，uβuo`muFo` mu（29），其中λmis事件到达点过程N的维数m的概率，以及m（~o）是由该事件引起的~o跳跃。然后，我们将矩阵A定义为：A ` m=Xuα` muβu（30）。我们假设QRH-I模型的Hawkes部分描述的序流动力学对应于稳定的Hawkes过程。根据Perron-Frobenius定理，Asatis fies的最大特征值κ为0<κ<1，以及~ κsaties的相关特征向量l、，l> 0。然后我们注意到δ\'mu：=δ\'u=`βu（31）我们选择函数Vof~o为：V（~o）=X\'，m，uδ\'muo\'mu（32），使用上面定义的符号，我们可以验证lv（~o）=Xm（um+Xp，qompq）`=0∨q（t）>0X\'，uδ\'muα\'mu-X`，m，uβuo`muδ`mu≤Xm（um+Xp，qompq）X\'，uδ\'muα\'mu-X`，m，uβuo` muδ\'mu=X`，m，uumδ\'muα\'mu+Xm（Xp，qompq）（X`，u`βuα\'mu）-X`，m，uβuo` muδ\'mu=C+Xm（Xp，qompq）（X``Xuα\'muβu）-X`，m，uβuo` muδ\'mu=C+Xm（Xp，qompq）mκ-X`，m，u`o\'mu=C- (1 - κ） X`，m，u`o\'mu=C- (1 - κ） X`，m，uβuδ\'muo\'mu≤ -ρV+C（33），其中常数ρ选择为ρ=（1- κ） infβu（34）A.1.2 Lyapunov函数对于q类似，让我们首先写出q（t）的微分形式：dq（t）=Xm∈JdNmt公司-X个`∈IdN\'t（35）我们一直使用相同的符号 如等式29所示。