订单流的队列反应Hawkes模型

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英文标题：
《Queue-reactive Hawkes models for the order flow》
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作者：
Peng Wu, Marcello Rambaldi, Jean-Fran\\c{c}ois Muzy, Emmanuel Bacry
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this work we introduce two variants of multivariate Hawkes models with an explicit dependency on various queue sizes aimed at modeling the stochastic time evolution of a limit order book. The models we propose thus integrate the influence of both the current book state and the past order flow. The first variant considers the flow of order arrivals at a specific price level as independent from the other one and describes this flow by adding a Hawkes component to the arrival rates provided by the continuous time Markov \"Queue Reactive\" model of Huang et al. Empirical calibration using Level-I order book data from Eurex future assets (Bund and DAX) show that the Hawkes term dramatically improves the pure \"Queue-Reactive\" model not only for the description of the order flow properties (as e.g. the statistics of inter-event times) but also with respect to the shape of the queue distributions. The second variant we introduce describes the joint dynamics of all events occurring at best bid and ask sides of some order book during a trading day. This model can be considered as a queue dependent extension of the multivariate Hawkes order-book model of Bacry et al. We provide an explicit way to calibrate this model either with a Maximum-Likelihood method or with a Least-Square approach. Empirical estimation from Bund and DAX level-I order book data allow us to recover the main features of Hawkes interactions uncovered in Bacry et al. but also to unveil their joint dependence on bid and ask queue sizes. We notably find that while the market order or mid-price changes rates can mainly be functions on the volume imbalance this is not the case for the arrival rate of limit or cancel orders. Our findings also allows us to clearly bring to light various features that distinguish small and large tick assets.
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中文摘要：
在这项工作中，我们引入了两种变量的多变量霍克斯模型，该模型对不同的队列大小具有明确的依赖性，旨在建模极限订单簿的随机时间演化。因此，我们提出的模型综合了当前图书状态和过去订单流的影响。第一个变量认为特定价格水平下的订单到达流独立于另一个价格水平，并通过在Huang等人的连续时间马尔可夫“队列反应”模型提供的到达率中添加Hawkes分量来描述该流。使用Eurex future assets（Bund和DAX）的一级订单簿数据进行的经验校准表明，Hawkes项显著改进了纯“队列反应”模型，不仅用于描述订单流属性（例如，事件间时间的统计信息），还用于描述队列分布的形状。我们介绍的第二种变体描述了在一个交易日内，在某些订单的最佳买卖双方发生的所有事件的联合动态。该模型可被视为Bacry等人的多元Hawkes订货簿模型的队列相关扩展。我们提供了一种明确的方法，用最大似然法或最小二乘法来校准该模型。通过Bund和DAX一级订单数据的经验估计，我们可以恢复Bacry等人发现的Hawkes相互作用的主要特征，但也可以揭示它们对出价和询问队列大小的共同依赖性。我们特别发现，虽然市场订单或中间价格变化率主要是数量不平衡的函数，但限价或取消订单的到达率却不是这样。我们的发现还使我们能够清楚地揭示区分小型和大型蜱类资产的各种特征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
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2022-6-11 11:45:50 上传

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关键词：Hawk Multivariate interactions distribution Quantitative

队列反应性霍克斯模型，适用于Wu、Marcello Rambaldi、Jean-Fran,cois Muzy、Emmanuel BacryUniversit'e Paris Dauphine和Ceremake CNRS-UMR 7534SPE UMR 6134，CNRS，Universit'e de Corse，20250 Corte，FranceAbstractIn在这项工作中，我们引入了两种变量的多变量Hawkes模型，该模型对各种队列大小具有明确的依赖性，旨在建模限制订单簿的随机时间演化。因此，我们提出的模型综合了当前图书状态和过去订单流的影响。第一种变体将特定价格水平下的订单到达流量视为独立于另一种价格水平，并通过在Huang等人的连续时间马尔可夫“队列反应”模型提供的到达率中添加Hawkes分量来描述这种流量。使用Eurex future assets（Bund和DAX）的一级订单簿数据进行的经验校准表明，霍克斯术语显著改进了纯“队列反应”模型，不仅用于描述订单流量特性（如事件间时间的统计），而且还用于描述队列分布的形状。我们介绍的第二种变体描述了在一个交易日内，在某个订单簿的最佳买卖双方发生的所有事件的联合动态。该模型可以被视为Bacry等人的多元Hawkes订单模型的队列依赖扩展。我们提供了一种用最大似然法或最小二乘法对该模型进行校准的明确方法。根据Bund和DAX一级订单数据的经验估计，我们可以恢复Bacry等人在[4]中发现的Hawkes相互作用的主要特征，但也可以揭示它们对出价和询问队列大小的共同依赖性。

我们特别发现，虽然市场订单或国内价格变化率主要是数量不平衡的函数，但限价或取消订单的到货率并非如此。我们的发现还使我们能够清楚地揭示区分小型和大型蜱虫资产的各种特征。关键词-限价指令簿、市场微观结构、霍克斯过程、高频数据、跳跃马尔可夫过程、遍历特性、市场模拟器1简介为限价指令簿（LOB）建立可靠的模型是一个长期存在的问题，定量金融界投入了许多精力。在过去十年中，出现了大量关于限价订单书的理论和实证研究文献（例如，最近的评论见[13]和[2]）。由于LOB复杂的依赖结构，对其建模是一项具有挑战性的任务。事实上，限价订单簿的配置取决于多种类型的订单的到达：最简单的设置中的限价、取消和市场订单，这些订单到达市场的方式非常简单。例如，众所周知，订单到达事件间时间呈现出强烈且持久的自相关（参见例[8]），这意味着过去的订单会影响书籍的当前状态。与此同时，轶事和经验证据（[18]）表明，市场参与者通过查看订单簿的状态来做出交易决策。LOB的模型大致可分为两大类。一方面是经济学界开发的模型，其重点是理性主体的行为，这些理性主体采取战略性行动以优化其效用函数（参见例[22]）。

另一系列文献，尤其是从[25]开始，关注LOB的总体统计特性，并假设订单流具有某种简化的动态，以便建立数学上易于处理的模型，该模型至少可以部分再现这些观察到的特性。这项工作为后者做出了贡献，并建立在该领域先前工作的基础上。如上所述，在开创性的工作【25】中，订单簿被视为一个纯粹的随机系统，即所谓的零智能模型，其中订单随机到达，客户的兴趣是基于可测量的输入做出可测试的预测。[9] 是第一篇在排队论和马尔可夫链的背景下明确阐述LOBmodeling问题的论文之一。通过利用Markovchains的特性，作者能够推导出几个条件概率，例如价格变动前的中间价变动概率或限价订单执行概率。[3]的作者保持了泊松驱动的独立队列的相同假设，并使用最小生成元理论和李雅普诺夫稳定性准则证明了抵消结构对于确保LOB分布稳定性的重要性，同时还表明在他们的模型下，价格过程收敛于维纳过程。虽然这些模型所作的假设与经验事实不一致，但它们具有易于处理的优点，可以从分析中推导出许多有用的量。在[1]中，作者放弃了不相关订单流的假设，通过选择建立限额和市场订单到达率的模型，引入了一些记忆效应，λLandλMby a Hawkes过程（[15]）λ`（t）=u`+XmZφ\'m（t- s） dNms。

（1） 通过将核函数φ设置为指数形式φ（t）=αe-βt过程（λ，N）具有马尔可夫性质，因此作者可以使用与[3]类似的机制来研究其模型的限制行为。在【4】和【23】中，作者还使用多变量霍克斯过程来分析订单簿一级的订单流相互作用。使用非参数方法对其模型进行校准，无需对Hawkes核形状进行任何假设。在【16】中，作者将重点放在LOB当前状态对交易决策的影响上。他们提出了一个简单的马尔可夫模型，其中订单流到达强度仅取决于通过可用量的LOB的当前状态。他们建立了模型具有遍历性的条件，从而可以将经验LOB队列大小分布复制为马尔可夫过程的变量分布。最近，[19]扩展了[16]的模型，允许订单动态也取决于导致某一水平（即市场或取消订单）完全耗尽的订单类型，还考虑了订单规模。[19] 因此，稍微偏离纯马尔可夫框架。然后，他们在模型的背景下讨论最优做市策略，并在真实数据上评估其表现。在本文中，我们的目标是在[16]的工作基础上，在[1]和[4]的工作基础上，提出一个模型，其中既存在对牧师流动的依赖，也存在对LOB状态的依赖，从而为这一文学流做出贡献。更准确地说，我们建议考虑随机LOB模型，即多变量Hawkes模型，其参数明确依赖于订单的队列大小。

对于所考虑的LOBmodel中可能出现的一组给定事件类型，如果~q（t）表示某个给定时间t的图书队列状态，则可以将此类模型简化为标准多元Hawkes模型（等式（1））的以下推广：λ`（t）=u`（~q（t））+XmZφm（t- s、 ~q（t））dNms。（2） 其中，我们考虑了对外生内容u`和相互作用核φ` m的队列大小的可能显式依赖。我们将这类模型称为队列反应性霍克斯（QRH）模型。让我们注意到，Morariu Patrichi和Pakkanen最近（在完成本工作期间）也考虑了在单个模型中同时考虑自激效应和对给定状态的依赖性的问题【21】。这些作者提出了一个称为“状态相关Hawkes过程”的通用框架，其中Hawkes核φ是一些状态过程x（t）的函数，这些状态过程x（t）可以取一定数量的值，并且当Hawkes过程发生事件时，根据该事件类型的转换规则，从一种状态切换到另一种状态。[21]中提出的该框架在LOB建模中的具体应用主要包括将交易量不平衡或价差作为状态变量加以考虑。让我们提及Daw和Pender[11]论文中的另一项最近的相关工作，该工作定义并研究了马尔可夫过程，构建了一对相互依赖的过程（Nt，Qt），其中NTI是一个计数过程，Qta是一个queuingprocess。在本文中，我们的目的有两个：首先，我们研究在Huang等人【16】的“队列反应”模型中加入Hawkes自激励和交叉激励特性可以改进该模型的哪些方面。

为了实现这一目标，我们考虑（2）中描述的一般模型的一个简单版本，称为QRH-I，其中霍克斯核不依赖于队列大小，各种队列被视为独立的。在第二部分中，我们考虑Bacry等人引入的一级LOB-Hawkes模型的队列状态依赖版本。[4]，其中我们考虑了出价和询问队列交互，我们假设外部强度和交互核矩阵共享相同的乘法队列依赖。我们将此模型称为QRH-II订单模型。通过使用欧洲期货交易所期货市场的高频数据对这些模型进行校准，我们表明，这两种模型都比其purequeue反应式或Hawkes限制实现了更好的数据拟合。我们要强调的是，与[16]的QR模型一样，QRH-I模型可以被视为订单流量和队列状态的模型，而在QRH-II模型中，我们主要关注的是改进订单流量描述，特别是我们将队列视为外源输入。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们详细阐述了QRH-I模型，即ona单队列模型，该模型包括在【16】中介绍的队列反应（QR）模型中添加多变量霍克斯过程提供的订单流量依赖性。我们展示了如何使用最大似然方法校准此类模型，并证明，与QR模型非常相似，在一些合理的假设下，队列大小允许不变分布。然后，我们将QRH-I模型的可能性与无状态依赖的标准霍克斯模型以及欧洲交易所真实数据的[16]模型进行了比较。

与经验数据的比较表明，QRH-I模型不仅在事件间时间统计方面，而且在均衡队列大小分布的预测形状方面，都是对QR模型的重要改进。在第3节中，我们从[4]的一级账簿模型的角度出发，这是一个针对订单一级发生的所有事件的多变量霍克斯模型。QRH-II模型是通过考虑霍克斯核矩阵的乘法依赖性和外部强度对最佳出价和最佳询问队列状态的依赖性来定义的。我们表明，这种状态依赖是一个非常有意义的假设。然后讨论了使用Eurex期货数据进行模型校准所提供的实证结果。第4节提供了结论和未来研究的展望。附录中给出了技术结果，如QRH-I遍历性的证明、最大似然法或最小二乘法的模型校准问题。2固定价格最佳限制的队列反应性霍克斯模型2.1将内存添加到Huang等人的队列反应性模型中。如引言所述，Huang、Lehalle和Rosenbaum在【16】中提出，一种模型，其中给定价格水平的订单流到达被建模为非均匀泊松过程，其强度仅取决于订单簿的当前状态，尤其是队列大小。他们将此属性命名为反应性队列（QR）。

让我们简要回顾一下QR方法的主线，我们的模型将分享这些主线。订单簿被视为一个2K维向量，其中K表示每侧的可用级别数，即网格上的价格，其分辨率为刻度大小刻度，即价格变化的单位。如果价差是勾号大小的奇数倍，且等于topmid±tick，则买卖双方由一个等于中间价格pmid（即最佳出价和最佳出价的平均值）的参考价格pref分隔，如果价差是勾号大小的偶数倍，则取更接近前一个pref的值。投标方的价格水平表示为{Q-i} i=1。。。K、 在ask端的那些{Qi}i=1。。。K这些级别的可用数量为q±i。队列大小根据限额、市场和取消订单的到达进行修改。为简单起见，所有订单均假定为单一数量，因此限制订单会向队列中添加一个单位，而市场订单或取消订单会减去一个单位。我们将用λLi、λmian和λcit表示队列i上分别限制、市场和取消订单的到达强度。在Huang等人的QR模型的最简单版本中，所有队列大小彼此独立，对于某些给定队列i，强度λLi、λmian和λcid仅取决于队列大小qi，即：λLi（t）=uLi（qi（t-))λCi（t）=uCi（qi（t-))λMi（t）=uMi（qi（t-))（3） 其中函数{u\'i（q）}i，`是模型的参数。它们对应于出生-死亡马尔可夫过程的速率，可以通过最大似然法轻松估计，在这种情况下，最大似然法相当于计算[16]中定义的强度的条件经验平均值。由于价格级别的标签是相对于参考价格的，当价格发生变化时，级别标签也会发生变化。

因此，估计是在前缀不变的间隔上进行的，每个周期被视为过程的独立化。如【16】所示，考虑队列交互作用的QR模型及其扩展是一个遍历的连续时间跳跃马尔可夫过程，前提是对于较大的队列大小，限制订单率是有界的，并且订单删除的速率大于队列增加的速率。在这方面，QR模型代表了一个简单而简洁的马尔可夫模型，它可以解释书籍动态的状态依赖性，并且能够描述队列大小的（平稳）分布。我们的目标是考虑Huang等人QR模型的扩展，该模型具有独立队列，能够考虑队列反应和顺序流中的记忆效应。这可以通过将对LOB当前状态的依赖性与过去订单流量事件的依赖性相结合来实现，如QRH模型中的多变量Hawkes过程所示。请注意，如引言（等式（2））中所述，原则上，霍克斯核和基线强度都可能取决于LOB状态，我们将在下一节中探讨这种可能性。然而，在这里，我们对Huang等人模型的最简单修改感兴趣。这解释了对过去订单流量的依赖。在这方面，我们的模型在多元Hawkes框架中引入了状态依赖性，通过允许排他性的外源强度依赖于队列大小。此外，由于我们的数据库主要关注最佳出价和要价，因此我们只考虑位置Q±1。根据买卖对称性（由经验观察支持），可以假设两个过程具有相同的定律，我们将从此删除下标i。