订单流的队列反应Hawkes模型

对于将R+映射到R的任意合适函数F，最小生成元的形式为：LF（q）=Xmλm（F（q+m（q））- F（q））（36）接下来，我们选择q:V（q）：=q（37）的恒等式函数Vas，那么可以很容易地验证V（q）是q:LV（q）=Xm的Lyapunov函数∈Jλm（q）-X个`∈Iλ`（q）≤Xm公司∈Jum（q）-X个`∈Iu`（q）+X`，m，uo`mu≤Xm公司∈Jc公司*-X个`∈Ic\'q+X\'，m，uo\'mu≤ -X个`∈集成电路q+C≤ -ρV+C（38）提醒常数C*, 之前定义了c。常数ρ简单地选择为ρ=max\'c\'。此外，必须注意的是，此处c：=Xm∈Jc公司*+X`，m，uo`mu（39），它依赖于~ o。另一个注释是因为m和c*如果固定，则必须存在ρ*谁满意c<ρ*X`，m，uo` mu（40）A.1.3（q，~ o）的Lyapunov函数最后一步是为q和~ o建立一个函数V：V（q，~ o）=V（q）+ηV（~ o）（41），然后我们应用先前对Vand V得出的结论。直接计算表明：LV（q，~ o）=LV（q）+ηLV o（~ o）=-ρV+C-ρηV+Cη≤ -ρV+ρ*X`，m，uo`mu-ρηV+C（42）注意，由于系数δ\'muin和o\'mu均为正，因此必须存在一个满足ρ2ηV（~o）>ρ的η*X`，m，uo`mu（43）通过将该不等式代入等式42，我们最终证明V是（q，~o）：LV（q，~o）的李雅普诺夫函数≤ -ρV-ρ2ηV+C≤ - min（ρ，ρ2η）V+C（44）在假设A的谱半径小于1的情况下，假设Lyapunov函数的存在和上述几何漂移条件，文献[20]中的定理7.1保证过程qis是遍历的。此外，它以指数速度收敛到其唯一的平稳分布。A、 2 QRH模型对数似然函数及其梯度的计算对于QRH模型，对数似然是u和α的函数。让我们注意t“k类型的第k个事件的时间戳”，N“类型的事件总数”。

用这种表示法，L（~α，~u）=DX`=1NlXk=1logu’（q（t’，-k） +DXm=1UXu=1α\'muβuZtke-βu（t-s） dNms公司-DX`=1ZTu`（q（t））+DXm=1UXu=1α\'muβuZse-βu（s-v） dNmvds（45）我们首先定义g和g，其值不取决于参数u和α。有趣的是，G和G只需要计算一次，然后就可以重用它们来加速G似然函数及其梯度的计算。gmu（t）=Xtmk<tβue-βu（t-tmk）（46）和gmu（t）=Ztgmu（s）ds=ZtZsβue-βu（s-v） dNmvds（47）可以使用以下递推关系计算g和g：计算ggmu（tk）=Xtmk<tkβue-βu（tk）-tmk）（48）=Xtmk<tk-1βue-βu（tk-1.-tmk）e-βu（tk-tk公司-1） +Xtk-1.≤tmk<tkβue-βu（tk-tmk）（49）=e-βu（tk-tk公司-1） 总经理（tk-1） +βue-βu（tk-tk公司-1） 类型（t+k-1） =m（50）计算GGmu（tk）- Gmu（tk-1） =Ztktk-1gmu（s）ds（51）=1- e-βu（tk-tk公司-1） βugmu（tk-1) +1.- e-βu（tk-tk公司-1)类型（t+k-1） =m（52）我们稍后将看到，对于每个tk，我们只需要g和g at的值。A、 2.1对数似然函数通过利用g和g的定义，对数似然函数可以用以下方式重写：L（α，u）=DX`=1N` Xk=1logu’（q（t’，-k） ）+DXm=1UXu=1α\'mugmu（tk）-DX`=1NXk=1u`（q（t-k） ）（塔卡- tk公司-1) -DX`=1u\'q（t+N）（t- tN）-DX`=1NXk=1DXm=1UXu=1α`μ（Gmu（tk））- Gmu（tk-1)) -DX`=1DXm=1UXu=1α`μ（Gmu（T））- Gmu（tN））（53）A.2.2梯度稍微滥用符号q和q（t），直接计算表明：Lu`（q）=N`Xk=1q（t`，-k） =qu`（q（t`），-k） ）+PDm=1PUu=1α\'mugmu（t\'k）-NXk=1q（t-k） =q（tk- tk公司-1) - 1q（t+N）=q（t- tN）（54）Lα\'mu=N\'Xk=1gmu（t\'k）u\'（q（t`），-k） ）+PDm=1PUu=1α\'mugmu（t\'k）-NXk=1（Gmu（tk）-Gmu（tk-1))-（Gmu（T）-Gmu（tN））（55）A.3计算QRH模型的最小二乘函数及其梯度A。3.1第二部分所述QRH模型的最小二乘函数。

让我们通过组合ask端和bide端的状态来记录LOB的状态q。q=qa×qbf（q（t））：=f（qa（t-), qb（t-)) （56）那么在时间t，维数的强度函数为：λ\'t=f\'（q（t））u\'+XmXuα\'muZtβue-βu（t-s） dNms公司（57）与对数似然函数及其梯度的计算类似，我们首先确定一些中间值，其值不依赖于u、α或f。它们只需在预处理阶段计算一次。然后，在计算最小二乘函数及其梯度时可以重用它们。g\'u（t）=Xt\'k<tβue-βu（t-t`k）（58）Gmu（q）=ZTgmu（s）1type（q（t））=qdt（59）Hmmuu（q）=ZTYPE（q（t））=qgmu（t）gm0u（t）dt（60）D（q）=ZTYPE（q（t））=qdt（61）Cm（q）=NmXk=1type（tm，-k） =q（62）计算ggmu（tk）=Xtmk<tkβue-βu（tk-tmk）（63）=Xtmk<tk-1βue-βu（tk-1.-tmk）e-βu（tk-tk公司-1） +Xtk-1.≤tmk<tkβue-βu（tk-tmk）（64）=e-βu（tk-tk公司-1） 总经理（tk-1） +βue-βu（tk-tk公司-1） 类型（t-k） =m（65）计算GGmu（tk）- Gmu（tk-1） =Ztktk-1gmu（s）ds（66）=1- e-βu（tk-tk公司-1） βugmu（tk-1) +1.- e-βu（tk-tk公司-1)类型（t+k-1） =m（67）计算HHmmuu（q）=XkZtktk-1类型（q（t））=qgmu（t）gm0u（t）dt（68）=Xktype（q（t-k） ）=qgmu（tk-1） gm0u（tk-1） e类-（βu+βu）（tk-tk公司-1） （69）A.3.2最小二乘函数对于前一部分中定义的中间变量，我们可以将20中定义的最小二乘函数改写为更有效的计算形式。在尺寸`，R`（θ）=ZTλ`（t；θ| Ft）dt中-N`Xk=1λ`（t`k；θ| Ft`k）=ZTf`（q（t））u\'+XmXuα\'muZtβue-βu（t-s） dNms公司dt公司-N\'Xk=1f\'（q（t\'k））u\'+XmXuα\'muZt\'kβue-βu（tmk-s） dNms公司（70）让我们分别命名上述第I项和第II项公式中的第一项和第二项。

我们可以进一步将项I分解为新项项项I.1、项I.2等：项I=ZTf`（q（t））u`+Xmα\'muXuZtβue-βu（t-s） dNms公司dt=ZTf`（q（t））u`dt+ZT2f`（q（t））u`XmXuα\'muZtβue-βu（t-s） dNms公司dt+ZT2f`（q（t））XmXuα\'muuZtβue-βu（t-s） dNms公司dt（71）对于第I.1项，可根据上述中间变量计算：对于第I.2项，ZTf`（q（t））u\'dt=u\'XqD（q）f`（q）（72），ZT2f`（q（t））u`XmXuα\'muZtβue-βu（t-s） dNms公司dt=ZT2f`（q（t））u`XmXuα\'mugmu（t）dt=2u\'Xqf\'（q）XmXuα\'muXuGmu（q）（73）对于术语I.3，ZT2f`（q（t））XmXuα\'muZtβue-βu（t-s） dNms公司dt=ZT2f`（q（t））XmXmXuXuα\'muα\'mugmu（t）gmu（t）dt=XmXmXuXuα\'muα\'muXqf`（q）Hmmuu（q）（74）为了便于记法，我们使用术语II的符号。然后我们把它分解成第二项。1和第二学期。2：II=N\'Xk=1f\'（q（t\'k））u\'+XmXuα\'muZt\'kβue-βu（tmk-s） dNms公司=N\'Xk=1f\'（q（t\'k））u\'+N\'Xk=1f\'（q（t\'k））XmXuα\'muZtmkβue-βu（tmk-s） dNms公司（75）第二期。1，对于第II项，N\'Xk=1f\'（q（t\'k））u`=u\'Xqf（q）C\'（q）（76）。2，N\'Xk=1f\'（q（t\'k））XmXuα\'muZtmkβue-βu（tmk-s） dNms公司=N\'Xk=1f\'（q（t\'k））XmXuα\'mugmu（t\'k）（77）20中定义的最小二乘函数可以通过将所有这些项相加来计算。A、 3.3梯度利用上述中间变量和结果，直接计算表明：Ru`=2u\'XqD（q）f`（q）+2Xqf`（q）Xmα\'muXuGmu（q）- 2Xqf（q）Cm（q）（78）Rα\'mu=2u\'Xqf\'（q）Gmu（q）+2XmXuα\'muXqf`（q）Hmmuu（q）- 2NmXk=1f`（q（tmk））gmu（tmk-)(79)Rf`（q）=Xq2f`（q）u\'D（q）+4u\'f`（q）Xmα\'muXuGmu（q）+ 2XmXmXuXuα\'muα\'muXqf`（q）Hmmuu（q）- u\'C\'（q）- 2N\'Xk=1类型（t\'k-)=qXmXuα\'mugmu（t\'k）（80）参考文献[1]F.Abergel和Jedidi A.基于Hawkes过程的极限指令簿的长期行为。SSRNElectronic杂志，2015年。[2] F.Abergel、M.Anane、A.Chakraborti、A.Jedidi和I.Muni Toke。限制订单簿。剑桥大学出版社，2016年。[3] 弗雷德里克·阿伯格尔和艾门·杰迪。订单建模的数学方法。16(5):1–40,2010.[4] E.Bacry、T.Jaisson和Muzy J。

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