考虑交易成本的均衡资产定价

然后，相应的位置˙成为一个状态变量，可以通过调整控制˙˙˙来逐渐影响该状态变量。我们关注可接受的交易利率∈ H对应位置Д=xn+R·˙Иtdt满足Дσ∈ H、 类似于无摩擦情况。均值-方差目标函数（2.3）的摩擦版本为jnλ（˙И）：=EZT公司utхt-γn（σtДt+βnt）-λ˙Дtdt公司→ 最大值！（2.4）在（2.4）中，周转率的二次交易成本对应于交易规模和速度线性移动的执行价格。然而，请注意，每个代理人的报酬仅受其自身交易利率的影响。因此，交易成本应解释为交易所经营者收取的税款或费用，而不是此处的临时价格影响成本。备注2.2。选择线性二次目标函数（2.4）作为可处理性。事实上，（2.3）、（2.4）中的局部均值-方差权衡是凹效用函数所描述偏好的更易于处理的代理。相应的等式和摩擦已经导致了一种新的耦合FBSDE系统，它超越了现有文献中的求解方法。对于更一般的偏好，相应的FBSDE系统将包含额外的耦合后向和前向组件，分别描述代理的价值和财富过程。二次成本而非比例成本的假设也简化了分析，确保描述均衡的BSDE系统在代理位置保持线性。

次二次交易成本对代理头寸非线性的FBSDE不利【27】；比例成本的极限情况对应于具有反射的FBSDE系统，这是此类奇异控制问题的典型情况（比较，例如，【23】）。虽然这些评估是为了便于处理，但[27]中报告的数值结果表明，均衡资产价格的定性和定量属性在不同的交易成本规格中都具有惊人的鲁棒性（考虑到它们的绝对大小是适当匹配的）。这与具有小交易成本的模型的部分均衡结果一致[50]，其中摩擦位置的波动围绕其无摩擦对应物，小交易成本的福利效应由相同的驱动因素控制，用于偏好和交易成本的不同规格。将这些稳健性结果推广到一般均衡环境是未来研究的一个重要但富有挑战性的方向。3个体优化解决均衡的第一步是确定每个代理人针对给定资产价格的个体最优交易策略。为此，确定初始风险资产价格∈ R、 预期回报过程（ut）t∈[0，T]和波动过程（σT）T∈[0，T]其中u=σκ，市场价格为风险κ∈ H、 为了更好的可读性，所有证明都归为第6.3.1节无摩擦优化Agent n的无摩擦模型优化程序（2.3）可通过逐点优化直接计算：=utγnσt-βntσt，σt6=0，xn，σt=0，t∈ （0，T），（3.1）备注3。1.请注意，最优策略（3.1）不是在集合{σ=0}上唯一确定的，因为这些值对payoff（2.3）没有贡献。

因此，我们选择确保市场清算的任意值。所有后续结果都与此选择无关。3.2交易成本优化与无摩擦优化一样，摩擦优化问题（2.4）不再是短视的，因此无法直接使用逐点优化来解决。但是，（2.4）可以重写为jnλ（˙Д）=-EZT公司γnσt（Дt- ^хnt）+λ˙хtdt公司+ EZTγnσt^Иnt- （βnt）dt公司.请注意，该分解右侧的第二个期望值为κ，β∈ H、 因此，最大化摩擦均值-方差函数Jnλ相当于解决二次跟踪问题，其中目标是无摩擦优化（3.1）：EZT公司γnσt（Дt- ^хnt）+λ˙хtdt公司→ 最小值！（3.2）例如，[38，5，8]研究了这类问题。通过严格凸性，每个代理的最优交易率的特征是一阶条件，即其G’teaux导数在所有方向上消失【22，命题II.2.1】。变量演算论证（比较[7，10]）反过来表明，因子n的最佳交易点˙nto和相应位置˙nt的特征是一个向前向后的随机微分方程（FBSDE）：d˙nt=˙ntdt，νn=xn，（3.3）d˙nt=γnσtλ（νnt- хnt）dt+˙ZntdWt，˙хnt=0。（3.4）注意，需要将过程˙Zn确定为此处溶液的一部分。与[7，10]中考虑的恒常性σ不同，该方程不能通过简化为s标准Riccati方程来求解。相反，倒向随机Riccati方程（BSRDE）在分析[38，5，8]中起着至关重要的作用。文献[38]表明，对于有界σ，该方程有唯一解。本地化论证表明，σ仍然如此∈ HBMO，这将是我们在第4节进行平衡分析的自然空间。引理3.2。

对于γ，λ>0和σ∈ HBMO，BSRDEct=ZTtγλσs- 反恐精英ds公司-ZTtZcsdWs，t∈ [0，T]，（3.5）有唯一的解决方案（c，Z）∈ S∞×HBMO。It满意度0≤ 计算机断层扫描≤γλkσkHBMO，t∈ [0，T]。（3.6）借助手头的辅助过程c，FBSDE（3.3–3.4）的解决方案（3.2）表征了跟踪问题（3.2）的最优tradingrate，或等效于原始均值-方差优化（2.4），可依次构造如下：引理3。3.对于γ，λ>0和σ∈ HBMO，设c为相应BSRDE（3.5）的解。对于渐进可测过程ξ，满足σξ∈ H、 定义ξt：=γλEt中兴通讯-Rstcuduσsξsds, t型∈ [0，T]，（3.7）和线性（随机）ODE˙ИT=(R)ξT- ctДt，t∈ [0，T]，Д=x，（3.8）这里，交易率的终端条件为零，因为接近终端时间T的交易不再能够收回实施这些交易所需支付的交易成本。例如，在[5，8]中研究了更一般的终端条件。具有显式解Дt=e-Rtcudux+中兴通讯-Rtscudu？ξsds，t∈ [0，T]。（3.9）然后，对于（3.1）中的γ=γn、x=xn和ξ=^Дnf，相应的g溶液（Дn，˙Дn）对于（3.2）或等效的（2.4）是最佳的。此外，如果σ|ξ|∈ HBMO，则˙Д和Д一致有界。对于一致有界σ，这一结果在[38]中得到了证明。对于σ∈ HBMO，我们在第6节中提供了一个简短的自包含证明。

作为副产品，我们得到了解与[8]所考虑的时间截断的“辅助问题”的对应解一致。引理3.3表明，对于t∈ [0，T），具有交易成本的最优策略朝着BSRDE（3.5）确定的“信号过程”ξT/ctat a（时间相关和随机）速度cts进行权衡。对于每个代理的个体优化问题（3.2），信号从相应的无摩擦优化器（3.1）获得，按照BSRDE得出的利率对其预期未来价值进行适当折现。对于第4节中的平衡分析，相同的结构将应用于不同的目标策略，请参见（4.7）。4均衡随着每个代理人各自最优策略的特征化，我们现在转向确定代理人对风险资产的总需求等于其供应的均衡资产价格。为了更好的可读性，所有证据都推迟到第8.4.1节无摩擦均衡。我们首先考虑无摩擦情况。定义4.1。初始值为S的ri S ky资产的价格过程S∈ R、 预期收益（ut）t∈[0，T]和波动率（σT）T∈[0，T]称为（Radner）平衡，如果：（i）u=σκ表示κ∈ H（ii）满足终端条件ST=S；（iii）对于给定的价格过程，代理人的个别优化问题（2.3）具有在所有时间清除风险资产市场的解决方案Д和Д，Дt+Дt=S，t∈ [0，T]。对于任何均衡（S，u，σ），市场清算和代理各自最优策略的表示（3.1）给出ut=’γsσt+σt（βt+βt）, t型∈ [0，T]，其中γ：=γγ+γ。相应地，（S，σ）求解以下二次BSDE:dSt=(R)γsσt+σt（βt+βt）dt+σtdWt，ST=S。

（4.1）相反，如果σ∈ 这只手显然清理了市场。由此，Radner平衡点的存在性和唯一性等价于二次BSDE（4.1）解的存在性和唯一性。前提是测量β~ P、 密度过程Zβ：=E-Z·′γ（βt+βt）dWt（4.2）特别是，由于‘ξ’仅取决于σξ，所以（2.4）的优化值与{σ=0}上为无摩擦优化值选择的（任意）值无关。很好地定义，BSDE（4.1）可以用Pβ-布朗运动Wβ=W重写-R·′γ（βt+βt）dt作为一个纯二次BSDE，dSt=’γsσtdt+σtdWβt，ST=s。（4.3）如果另外终端条件s是可积的，众所周知，（4.3）在s的拉普拉斯变换项中有一个显式解：ST=-2’’γ槽Eβ-2’γsSi，t∈ [0，T]。（4.4）为了确保度量值Pβ得到很好的定义，并验证（4.4）确实是（4.3）在可测量类别中的唯一解，我们对总交易目标β+β和终端条件S作出以下可积性假设：假设4.2。β+ β∈ HBMOand | S |具有所有阶数的有限指数矩。以该可积性为假设（例如，如果β+β和S一致有界，则可满足），我们得到了BSDE（4.1）的以下存在性和唯一性结果：命题4.3。假设满足假设4.2。那么，（4.4）是（4.1）在连续的、逐步可测量的过程中的唯一解-2’γsSτ）τ∈T0，一致Pβ可积。特别是，价格过程（4.4）是这一类中唯一的拉德纳均衡。备注4.4。【20】中已经观察到的价格过程的类别-2’γsSτ）τ∈T0，Tis uniformlyPβ-可积是唯一性的最大可能类。

实际上，如果这个族不是一致Pβ可积的，那么e-根据It^o公式和动力学（4.3），2’γsSis是严格的局部Pβ-鞅，因此也是严格的Pβ上鞅，因为它也是正的。因此，相应的价格过程S严格大于（4.4）。Remark4.4中描述的非唯一性仅适用于以下无边界的价格过程。事实上，在价格过程S中，唯一性总是存在的，它允许一个与平方可积密度过程Z关于Pβ的等价鞅测度。实际上，考虑到动力学（4.3），我们需要Z=E- γsR·∑tdWβt依次为0≤ e-2’γsSτ=e-2’γsRτσtdt-2’γsRτσtdWβt≤ e- γsRτσtdt-2’γsRτσtdWβt=Zτ，对于任何τ∈ T0，T.Whence（e）的一致Pβ-可积性-2’γsSτ）τ∈T0，t在这种情况下遵循Doob的最大不等式。如果终端条件是有界的，那么唯一性甚至在所有允许等价鞅测度的价格过程中都成立，因为S是自动有界的。推论4.5。假设假设4.2满足，并且∈ L∞. 那么，（4.4）是S中（4.3）的唯一解∞×HBMO，从而得到有界价格过程之间的唯一Radner均衡。4.2交易成本均衡我们现在转向本研究的主要主题，即交易成本均衡。平衡的概念与定义4.1中的相同，但个别优化问题由（2.4）而非（2.3）给出。为了清理市场，购买必须始终等于销售，即所有单个交易利率的总和必须为零。

将两个代理的最优交易率的后向方程（3.4）求和，并使用市场清算条件Дt=s- ^1t，这导致0=σtλγβt+γβt+σtλγs+（γ- γ） ^1t-2utλdt公司+˙Zt+˙Zt载重吨。例如，在[40]中使用了这种唯一性的概念。由于任何有限变化的局部鞅都是常数，因此ut=σtγβt+γβt+σtγs+γ- γИt, t型∈ [0，T]。（4.5）将其插回代理1的个别最优性条件（3.4）中，并回顾终端条件˙ДT=0以及正向方程（3.3），我们得到以下FBSDE：d˙T=˙ДT，Д=x，（4.6）d˙ДT=（γ+γ）2λγβt- γβtγ+γσt-γsγ+γσt+Дtσtdt+˙ZtdWt，˙ИT=0。（4.7）代理2的相应最优策略由市场清算决定。正如第4.1节中讨论的无摩擦情况，相应的均衡波动率由终端条件ST=S固定。更具体地说，在（2.1）中插入（4.5），我们得到以下BSDE，该BSDE与前向-后向系统（4.6–4.7）耦合：dSt=γ- γДtσt+γsσt+γβt+γβtσtdt+σtdWt，ST=S.（4.8）通过逆转这些论点，可以直接验证FBSDE（4.6–4.8）的有效可积解确实确定了具有交易成本的Radner均衡（以下定理4.8证明了FBSDE（4.6–4.8）存在解的有效条件）：命题4.6。假设存在FBSDE（4.6–4.8）的溶液（˙Д，σ）∈ H×HBMO。然后，（S，u，σ）和（4.5）中的u是交易成本的拉德纳均衡。由于前向-后向方程（4.6–4.8）之间的耦合，无法通过定点迭代进行直接存在性证明，除非时间范围足够短，因此交易率的成本很低。

建立足够小的交易成本的存在也是很微妙的，因为相应的交易利率会爆炸，这需要通过适当的重新规范化来处理。受【54】的启发，我们因此将重点放在一个不同的小规模条件上，即两个代理人的风险规避相似的情况下，γ≈ γ.对于γ=γ，摩擦均衡价格的BSDE（4.8）与（4.6–4.7）分离，并减少到其无摩擦对应物（4.3）。因此，对于γ≈ γ、 我们预计摩擦均衡价格S及其波动率σ将分别接近其无摩擦版本S和σ。为了使这一点更加精确，代理人随机禀赋的摩擦序列波动率σ和波动率β，β需要有效地进行积分：假设4.7。（i） 命题4.3中的无摩擦均衡波动率σ属于HBMO；（ii）β，β∈ HBMO，以便我们可以确定β的测量值~ P，密度处理dqβdP：=E-Z·γs′σt+γβt+γβt载重吨T（iii）对于某些p>2，我们有EQβhexppRT公司γs′σt+γβt+γβtdt公司i<∞.我们现在可以表述我们的主要结果。这表明，如果代理人的风险厌恶程度γ、γ非常相似，则存在与交易成本的均衡。这种均衡在无摩擦均衡价格和波动率σ附近也是唯一的。为了使这些陈述更加精确，我们定义了对于任何R>0的情况，以下一组逐步可测量的过程：B∞（R） :=（S，σ）：kS-(R)SkS∞+ kσ- (R)σkHBMO（Qβ）≤ R.我们的主要结果如下：定理4.8。假设满足第4.2条和第4.7条的要求。

然后，存在Rmax>0，因此对于任何小于Rmax的系统，耦合的FBSDE（4.6–4.8）具有唯一的解（S，σ）∈ B∞（R） 前提是|γ-γ|小到足以满足定理8.3的条件。定理4.8是更一般适定性结果定理8.3的特例，例如，如果禀赋波动率β、β和终端条件S一致有界，则定理4.8适用。更一般地说，假设4.7中的BMOASummptions保证均衡头寸˙和交易利率˙˙是统一的，这对于我们用来证明定理4.8的Picard迭代至关重要。然而，假设4.7不包括基本体β、β遵循某些无界扩散过程（如布朗运动）的规范。因此，作为对定理4.8的补充，我们在第5节和s节中讨论了这样一个具体示例，即在这种情况下，FBSDE系统（4.6–4.8）可以简化为确定性但耦合的R iccati方程系统。对于高度相似的风险规避γ和γ，这些Riccati ODE的存在可以通过调整Picard迭代来确定，Picard迭代用于证明定理4.8.5一个具有线性状态动力学的示例5.1原语和无摩擦基准为了研究交易成本对均衡资产价格和交易量的影响，我们现在考虑一个具有线性状态动力学的具体示例。