考虑交易成本的均衡资产定价

然后取条件Q-期望并使用Ynis有界和Zn∈ HBMO（Pα）。对于值在[0，T]中的任何停止时间τ，这给出s0=（Ynτ）+等式τZTτ（Zns）ds+ EPατZTτ2Yns（(R)σs+Zn-1s）γ-γИns+2Ynsκ（Zn-1s）ds- EPατZTτ2Ynsγ- γ（(R)σs）νs′σs+ν′sds公司. （8.8）现在使用Yn∈ S∞和kZn-1kHBMO（Pα）≤ R、 再加上先验估计（8.5）和（8.7），这就得到了（Ynτ）+EPατZTτ（Zns）ds≤ |γ- γ| kYnkS∞k′σ+Zn-1kHBMO（Pα）kДnkS∞+ 2κkYnkS∞kZn公司-1kHBMO（Pα）+γ- γ| kYnkS∞kνkHBMO（Q）k′σkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα）≤ kYnkS公司∞|γ- γ|4k'σkHBMO（Pα）kДnkS∞+ kνkHBMO（Pα）k′σkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα）+ 2κR=: kYnkS公司∞|γ- γ| hR（x，～γ，α，’σ，ν，ν′）+2κR, （8.9）式中，hr（x，|γ，α，|σ，ν，ν′）：=4k|σkHBMO（Pα）hИ（x，|γ，α，|σ，ν，ν′）+kνkHBMO（Pα）k|σkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα）。取所有τ的上确界（对于Yn）并重新排列yieldskYnkS∞≤ |γ- γ| hR（x，~γ，α，’σ，ν，ν′）+2κR.（8.10）现在取所有τin（8.9）（对于Zn）的上确界，使用（8.10），我们得到了kznkhbmo（Pα）≤|γ- γ| hR（x，～γ，α，’σ，ν，ν′）+2κR. （8.11）使用|γ的边界- γ|，以及≤√2κ，我们推断thatkYnkS∞+ kZnkHBMO（Pα）≤ 2.|γ- γ| hR（x，～γ，α，’σ，ν，ν′）+2κR≤ R、 现在我们证明了我们的迭代是球布林S上的收缩∞×HBMO（Pα）。为此，考虑（y，z），（（y′，z′）∈ BR，并为迭代生成的图像写入（Y，Z），（Y′，Z′）。也可用（Д，˙Д），（Д′，˙Д′）表示相应的最佳跟踪策略（分别对应于波动率σ+z和σ+z）。

为了验证我们的迭代确实是一个收缩，我们必须证明对于某些η∈ （0，1），kY- Y′kS∞+ kZ公司- Z′kHBMO（Pα）≤ η肯塔基州- y′kS∞+ kz公司-z′kHBMO（Pα）.为了便于记法，设置δy：=y- y′，δz：=z- z′，δY：=Y- Y′，δZ：=Z- Z′。将It^o的公式应用于任何[0，T]值的停止时间τ，插入Y和Y′的动力学，采用pα-条件期望，并使用等式ab- cd=a（b- d） +（a- c） d代表（a、b、c、d）∈ R、 我们得到δYτ+EPατZTτδZtdt= EPατ(γ- γ） ZTτδYt（(R)σt+zt）Дt-（(R)σt+z′t）Д′tdt公司- 2κZTτδYt（zt）- （z′t）dt公司≤ kδY kS∞|γ- γ|EPατZTτ（(R)σt+ZT）|Дt- Д′t | dt+ZTτ2〃σt+zt+z′t|δzt |Д′t | dt+ 2κkδY kS∞EPατZTτ| ZT+z′t | |δZT | dt. （8.12）要估计（8.12）右侧第一个术语中的条件预期，请定义以下过程：=supu∈[0，t]| |u- ^1′u |，t∈ [0，T]。伦马。3、（8.5）、Jensen不等式和定理7.5依次为YieldpατZTτ（(R)σt+ZT）|Дt- ^1′t | dt≤ EPατZTτ（(R)σt+ZT）Atdt≤ 4k'σkHBMO（Pα）EPατsupu公司∈[0，T]| |u- ^1′u|≤ 4k'σkHBMO（Pα）gД（x，|γ，α），√2σ,√2′σ，ν，ν′）kδzkHBMO（Pα）。（8.13）为了估计（8.12）右侧第二项中的条件期望，我们使用了∈ S∞,Cauchy-Schwarz不等式和初等不等式（a+b+c）的条件形式≤ 2a+4b+4c。再加上kzkHBMO（Pα）和kz′kHBMO（Pα）均小于k′σkHBMO（Pα）和a先验估计值（8.7），该收益率ατZTτ| 2'σt+ZT+z′t | |δZT |Д′t | dt≤ kИ′kS∞EPατZTτ（2′σt+ZT+z′t）dtEPατZTτδztdt≤ 4hИ（x，|γ，α，|σ，ν，ν′）k|σkHBMO（Pα）kδzkHBMO（Pα）。（8.14）为了估计（8.12）右侧第三项中的条件期望，我们以类似的方式进行了论证，得到了pατZTτ| ZT+z′t | |δZT | dt≤ 2RkδzkHBMO（Pα）。

（8.15）现在，将（8.13）–（8.15）插入（8.12），取所有τ的上确界（Y和Z），然后取条件Pα期望，应用LemmaB。1和定理7.5（连同（8.5）），并使用元素不等式2ab≤εa+εb对于ε>0 yieldskδY kS∞+ kδZkHBMO（Pα）≤ 8|γ- γ| kδY kS∞k'σkHBMO（Pα）gД（x，|γ，α），√2σ,√2′σ，ν，ν′）kδzkHBMO（Pα）+8 |γ- γ| kδY kS∞k'σkHBMO（Pα）kИ（x，|γ，α，'σ，ν，ν′）kδzkHBMO（Pα）+8κkδY kS∞RkδzkHBMO（Pα）≤εkδY kS∞+ εηkδzkHBMO（Pα），（8.16），其中η：=4 |γ- γ| k'σkHBMO（Pα）gИ（x，|γ，α，√2σ,√2′σ，ν，ν′）+hν（x，|γ，α，’σ，ν，ν′）+ 4κR。我们推断，对于任何ε>1的情况，kδY kS∞+ kδZkHBMO（Pα）≤ kδY kS∞+εε - 1kδZkHBMO（Pα）≤εε - 1ηkδzkHBMO（Pα）。我们选择ε=2并推导出期望的结果，因为通过我们的求和ε- 1η= 4η< 1.对于结果的最后一部分，根据假设4.2和4.7，观察这些特定参数选择满足OREM8.3中的所有要求。这为相关的FBSDE系统（4.6–4.7，8.1）提供了独特的解决方案。（4.6–4.7，8.1）的任何解决方案依次通过定义S：=\'St+yt和σ：=\'σ+Z来提供（4.6–4.8）的解决方案。对于理论4.8中的解决方案，情况显然相反。我们现在证明命题5.1，该命题描述了在具有线性状态动力学和终端条件的特定模型中，通过耦合的Riccati-ODEs系统的交易成本均衡。命题5.1的证明。

首先注意，函数A（t），D（t）满足以下Riccati方程：A′（t）=- γsa+γs（a+B（t））-C（t）D（t），A（t）=0，D′（t）=-γs2λ（a+B（t））- F（t）D（t），D（t）=0。与函数B（t）、C（t）、E（t）、F（t）的Riccati ODEs一起，可以得出函数SF（t，x，y）=A（t）+B（t）x+C（t）y，g（t，x，y）=D（t）+E（t）x+F（t）y，解出以下半线性偏微分方程（此处省略参数（t，x，y）以便于表示）：ft+fxx+fyg=-γsa+γ（a+B）+γ- γβ（a+B）x+γ- γ（a+B）y=γ- γ（a+fx）y+γfx+fxγa+γ- γβx-γ- γaγsγ+γ-βax,gt+gxx+gyg=γ+γ2λ（a+fx）βx-γs2λ（a+fx）+γ+γ2λ（a+fx）y，在[0，T）×R上，终端条件f（T，x，y）=g（T，x，y）=0。通过定义νT，˙T=g（T，Wt，cfcf T）。现在设置yt=f（T，Wt，cfcf T），Zt=fx（T，Wt，cfcf T）=B（T）。然后，它的公式是f（T，x，y），g（T，x，y）的偏微分方程，以及表示˙Д，y，Z，满足B设计˙ДT=γ+γ2λβWt（a+Zt）-γsγ+γ（a+Zt）+（a+Zt）Дtdt+E（t）dWt，dYt=γ- γ（a+Zt）Дt+γsZt+Ztγsa+γ- γβWt-γ- γaγsγ+γ-βaWtdt+ZtdWt，终端条件˙ИT=YT=0。结合正向方程dИt=˙Иtdt，以及命题4.3中无摩擦均衡价格的BSD，可以得出S=\'S+Y，σ=a+Z=\'σ+Z，˙Д，E和Д确实解决了正向-反向方程（4.6–4.8）。由于无摩擦平衡波动率在这里是恒定的，’σ=a和Zt=B（t）是确定的，我们显然有σ∈ HBMO。由于布朗运动具有有限的矩和零自相关函数，我们也可以很容易地验证∈ H、 断言inturn源自命题4.6。现在，我们转向定理5.2的证明，该定理保证了命题4.8中的Riccati系统对于非常相似的风险规避参数的存在性。这个论点在精神上与定理8.3非常接近。

实际上，我们还通过Picard迭代方案获得了系统的适定性，该方案的设计使得连续迭代保持在一个足够小的球中。为了实现这一点，除非时间范围足够短，否则对f方程进行简单的直接迭代是行不通的。相反，我们必须从单独研究C、E、F对固定B所满足的系统开始，就像我们在定理8.3的证明中对（8.2–8.3）所做的一样，当NZ固定时。在得到必要的稳定性估计之后，我们可以对B进行迭代，并获得期望的结果。这表明，理论8.3所依据的方法与处理一般设置所强加的严格可积性假设没有关键联系，但也可以根据具体情况对其他特定设置进行调整。理论证明5.2。为了便于记法，设置^γ：=γ+γ，ε：=γ- γ、 以及▄B（t）：=B（t）+a，t∈ [0，T]。步骤1：与h（C、E、F）进行交易。我们首先给自己一些有界映射▄B:[0，T]→ R和分析[0，T]上的下列常微分方程耦合系统：CB（t）=-ZTt公司εИB（s）- FB（s）CB（s）ds，EB（t）=-ZTt公司β^γλИB（s）- FB（s）EB（s）ds，FB（t）=-ZTt公司^γλИB（s）- （FB）（s）ds。（8.17）由于▄B有界，F▄BHA的方程为唯一解。使用该0≤^γλИB（s）≤^γλ（kBk∞), ODE的comparisontheorem给出了估计值-r^γλ（kBk∞) ≤ -r^γλ（kBk∞)tanh公司r^γλ（kBk∞（T-t）≤ FB（t）≤ 0，t∈ [0，T]。（8.18）E带C的常微分方程基本呈线性，且具有唯一的解EB（t）=-^γβλZTtB（s）eRstFB（r）drds，CB（t）=-εZTt▄B（s）eRstF▄B（r）drds，t∈ [0，T]。特别是，F的非正性意味着EB（t）≤^γβλkBk∞（T- t） ，则，CB（t）≤|ε| kBk∞（T- t） ，对于所有t∈ [0，T]。（8.19）对于这些解，我们还需要一些关于B的变化的稳定性结果。因此，固定两个有界函数B和B′。

使用该FB- FB’满足颂歌FB- FB′（t） =-ZTt公司^γλ~B（s）+~B′（s）（￠B（s）-B′（s））-F▄B（s）+F▄B′（s）（FB- FB′（s）ds，我们得到fB（t）- F▄B′（t）=-γλZTteRst（FB（r）+FB′（r））dr~B（s）+~B′（s）B（s）-~B′（s）ds。F带FB′的非正性FB（t）- FB′（t）≤^γλkBk∞+ kB′k∞B-B′型∞（T- t） ，对于所有t∈ [0，T]。使用x 7→ 出口1-Lipschitz连续打开(-∞, 0]，这意味着eRstF▄B（r）dr- eRstF▄B′（r）dr≤^γλkBk∞+ kB′k∞B-B′型∞（T- t） ，对于0≤ t型≤ s≤ T（8.20）考虑到E带CB的显式压力，我们还推导出EB（t）- E▄B′（t）=-γβλZTteRstF▄B（r）drB（s）-~B′（s）+~B′（s）eRstF▄B（r）dr- eRstFB′（r）drds，CB（t）- CB′（t）=-εZTteRstF▄B（r）dr~B（s）+~B′（s）B（s）-~B′（s）+~B′（s）eRstF▄B（r）dr- eRstFB′（r）drds。加上（8.20），这将产生EB- EB′型∞≤γβTλ1+γTλkB′k∞kBk∞+ kB′k∞B-B′型∞, （8.21）以及CB- CB′型∞≤|ε| T1+γTλkB′k∞kBk∞+ kB′k∞B-B′型∞. （8.22）步骤2：kBk的先验估计∞. 现在，x一些R>a，定义B=a，对于固定整数n≥ 1，考虑一个连续函数Bn-1带| | | | Bn-1||∞≤ R、 设（Cn、En、Fn）为系统（8.17）的唯一解决方案，B：=Bn-1、然后，我们将Bn定义为以下（线性）ODE的唯一解决方案（自Bn起，位置明确-1，Cn，enan和fn均一致有界）：~Bn（t）=a-ZTt公司εβИBn-1（s）- En（s）Cn（s）ds，t∈ [0，T]。（8.23）使用Enand Cnfrom（8.19）的估计，我们得到十亿∞≤ a+|ε|βT十亿-1.∞+|ε|γβ2λT十亿-1.∞.现在，对于R=a和|ε|满足（5.1），可以得出a+|ε|βRT+|ε|β710;γRT2λ≤ R、 那么我们有十亿∞≤ R、 步骤3：Picard迭代▄B。

最后，使用Bn（t）的事实-~Bn′（t）=-ZTtεβ十亿-1（s）-十亿-1′（s）ds公司-ZTtCn（s）En（s）- En′（s）+ En′（s）Cn（s）- Cn′（s）ds，由（8.19）、（8.21）和（8.22）得出-Bn′k∞≤ T|ε|β+2 |ε|β^γRTλ1+γRTλ千亿克朗-1.-十亿-1′k′∞现在，对于R=a和|ε|满足（5.1），常数小于1，我们有一个收缩。BMO结果本附录收集了BMO鞅的一些辅助结果，这些结果用于定理8.3、引理3.3和命题4.6的证明。引理A.1。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是支持布朗运动（Wt）T的过滤概率空间∈[0，T]并且所有F-鞅是连续的。Let（αt）t∈[0，T]∈ HBMO（P）和定义Pα~ FTbydP上的PαdP=EZ·αtdWtT、 然后是α∈ HBMO（Pα）。此外，如果（σt）t∈[0，T]∈ HBMO（P），然后（σt）t∈[0，T]∈ HBMO（Pα）和KσkHBMO（Pα）≤ 8（kαkHBMO（Pα）+1）kσkHBMO（P），kσkHBMO（P）≤ 8（kαkHBMO（P）+1）kσkHBMO（Pα）。证据这直接来自于[36，定理3.6]和引理A.2在Pα和P.引理A.2下的证明。让(Ohm , F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是布朗运动（Wt）T中的概率空间支撑∈[0，T]。Let（αt）t∈[0，T]∈ HBMO（P）和定义P-鞅（Mt）t∈[0，T]通过Mt：=RtαsdWs。然后对于任何p>1且有p的情况≥ （kαkHBMO（P）+1）和任何停止时间τ，我们有EτE（M）τE（M）Tp-1.∞≤ 2.证明。p上的条件意味着kα/(√2(√p- 1） ）kHBMO（P）≤. 因此，根据John–Nirenberg不等式[36，定理2.2]，对于任何停止τ，Eτ2(√p- 1)hMiT公司- hMiτ≤ 2、现在的权利要求来自（a）的证明=> （b） 在[36，定理2.4]中，Cp=2。引理A.3。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是概率空间，（βT）T∈[0，T]a n负过程和（At）T∈[0，T]非减损过程。然后，f或任何[0，T]值的停止时间τ，EτZTτAsβsds≤ AτEτZTτβsds+ EτZTτEuZTuβsdsdAu公司. （A.1）此外，如果√β ∈ HBMO，thenEτZTτAsβsds≤pβHBMOEτ在. （A.2）证明。s写入为=Aτ+RSTDAU≥ τ.

Fubini定理反过来给出了sztτ为βsds=AτZTτβsds+ZTτZsτβsdAuds=AτZTτβsds+ZTτZTuβsdaud。现在，（A.1）使用与（定理VI.57的可选版本）[21]相对应的条件结果，得出条件期望，并得出过程的可选投影（RTuβsds）u∈[0，T]为（Eu[RTuβsds]）u∈[0，T]。此外，根据BMO规范的定义，（A.2）源自（A.1）。B Doob不等式的变化Doob不等式的以下版本分别用于定理8.3和引理7.1的证明中。他们很容易就把霍尔德和杜布的不平等现象跟在我们后面。引理B.1。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，X是一个FT可测量的非负性变量，E[X]<∞. ThenE公司支持∈[0，T]Et十、≤ 2E类十、.引理B.2。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，P∈ （1，2），设X和Y为FT–可测非负随机变量，E[X]<∞ 和E[Y2p/（2-p） ]<∞. 然后，对于ε>0，E支持∈[0，T]EtXY型≤εE十、+ε聚丙烯- 1.EhY2p2-pi2-pp.参考文献[1]K.Adam、J.Beutel、A.Marcet和S.Merkel。金融交易税能否阻止股价飙升？J、 周一。经济。，76:90–109, 2015.[2] R.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。J、 风险，3（2）：5–392001年。[3] 阿米哈德和门德尔森。资产定价和投标邀请函。J、 财务部。经济。，17(2):223–249, 1986.[4] S.Ankirchner、A.Fromm和J.We ndt。研究全耦合FBSDE可解性的变换方法。预印本，在线提供athttps://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02351469/, 2019.[5] S.Ankirchner和T.Kruse。具有随机线性-二次成本的最优位置定位。巴纳赫中心公共。，104(1):9–24, 2015.[6] F.Antonelli和S.Hamadène。具有连续单调系数的后向-前向SDE解的存在性。统计和概率。《信件》，76（14）：1559–15692006。[7] P。

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