考虑交易成本的均衡资产定价

与[43]类似，我们假设总禀赋为零，两个代理的禀赋波动率都遵循布朗运动：βt=-βt=βWt，β>0。风险资产的终端条件也是基本布朗运动的线性函数：S=bT+aWT，a>0，b∈ R、 然后，命题4.3中的无摩擦均衡价格是一个具有恒定预期回报和波动率的Bachelier模型：(R)St=（b- \'γsa）T+\'γsat+aWt，T∈ [0，T]。5.2简化为Riccati系统在这种马尔可夫环境下，FBSDE系统（4.6–4.8）可以重新编制为PDE。事实上，让标准马尔可夫ansatz确定后向分量是时间t的光滑函数，前向分量Wt和Иtand设置St=(R)St+f（t，Wt，Дt）和˙Иt=g（t，Wt，Дt，）。将It^o的公式应用于f和g，并依次比较漂移项，得出（f，g）的以下半线性偏微分方程，其中省略了参数（t，x，y）以简化表示法：ft+fxx+fyg=γ- γ（a+fx）y+γfx+fxγa+γ- γβx-γ- γaγsγ+γ-βax,gt+gxx+gyg=γ+γ2λ（a+fx）βx-γs2λ（a+fx）+γ+γ2λ（a+fx）y，在[0，T）×R上，终端条件f（T，x，y）=g（T，x，y）=0。对于这里考虑的线性状态动力学和终端条件，这些偏微分方程可以简化为Riccati方程的系统。为此，使线性ansatz f（T，x，y）=A（T）+B（T）x+C（T）y和g（T，x，y）=D（T）+E（T）x+f（T）y、 将其插入PDE并比较与1、x和y成比例的项的系数，然后得出耦合的Riccati方程组。（例如，在[54，33]中，一个类似的ansatz也被用来连接非线性方程的平衡系统。）如果这些有一个解决方案（例如，在下面第5.2条的条件下），那么它确定了与交易成本的平衡：在理论8.3中，γ的精确上界- γ取决于R，并提供了Rmaxare的显式表达式。提案5.1。

假设以下耦合Riccati方程组在[0，T]上有解：B′（T）=γ- γβ（a+B（t））- C（t）E（t），B（t）=0，C′（t）=γ- γ（a+B（t））- C（t）F（t），C（t）=0，E′（t）=γ+γ2λβ（a+B（t））- E（t）F（t），E（t）=0，F′（t）=γ+γ2λ（a+B（t））- F（t），F（t）=0，并定义F或t∈ [0，T]，A（T）=ZTtC（u）D（u）+γsa-γs（a+B（u））du，D（t）=ZTteRutF（r）drγs2λ（a+B（u））杜。然后，具有交易成本的均衡价格和相应的最优交易率由t=’St+A（t）+B（t）Wt+C（t）Дt，˙Дt=- ˙Дt=D（t）+E（t）Wt+F（t）Дt，t∈ [0，T]，式中，ДT=eRtF（r）drx+ZteRtuF（r）dr（D（u）+E（u）Wu）du，T∈ [0，T]。5.3类似风险规避的存在与近似类似于定理4.8，只要代理人的风险规避非常相似，则保证存在ODE系统的解决方案。定理5.2。假设|γ- γ|<最小值16λ27aT（γ+γ）+48Tβλ，32λ81aT（γ+γ）+72aTβ（γ+γ）λ+32Tβλ. （5.1）然后，命题5.1中的Riccati方程组在[0，T]上有一个（唯一）解。命题5.1中的Riccati方程可以很容易地用标准ODE解算器进行数值求解。为了阐明它们的比较静力学，将渐近性视为差值ε=γ是有指导意义的- γ、 代理人的风险厌恶倾向于零。对于ε=0，我们显然有C（t；0）=0，这反过来又给了sb（t；0）=0和A（t；0）=0。

接下来，我们使用以下简单事实：o对于α>0，Riccati ODE H′（t）=α- H（t），H（t）=0，溶液H（t）=-αtanh（α（T- t） ）；o对于如上所述的H和κ∈ R、 Riccati ODE J′（t）=κα- J（t）H（t），J（t）=0，有解J（t）=κH（t）；o对于上述H，RTteRstH（r）drds=-αH（t），RTtH（s）ds=α（t- t） +H（t）以及rtth（s）ds=log（cosh（α（t- t） ））。设置δ：=r（γ+γ）a2λ，第一个屈服强度SF（t；0）=-δtanhδ（T- t）, E（t；0）=βaF（t；0），D（t；0）=-γsγ+γF（t；0）。用这些ε的极限函数→ 0，也可以直接导出C（t；ε）、B（t；ε）和A（t；ε）、C（t；ε）=-εaZTteRstF（r；0）drds+o（ε）=εa2δF（t；0）+o（ε），B（t；ε）=ZTt-εβa+C（s；ε）E（s；0）ds+o（ε）=-εβa（T- t） +εa2δZTtF（s；0）ds+o（ε）=εa2δF（t；0）+o（ε），（5.2）A（t；ε）=ZTtC（s；ε）D（s；0）+εγsa2（γ+γ）- γsaB（s，ε）ds+o（ε）=-εγsa2（γ+γ）δZTtF（s；0）ds+εγsa2（γ+γ）（T- t）-εβγsa2δZTtF（s；0）ds+o（ε）=-εγsa2（γ+γ）δF（t；0）+εγsβλγ+γlogcosh公司δ（T- t）+ o（ε）。（5.3）5.4交易量上述扩张表明，ε→ 0时，命题5.1中的均衡交易率˙Д收敛到˙Дt=D（t；0）+E（t；0）Wt+F（t；0）Дt=F（t；0）×（Дt- ^1t），（5.4）式中，Дt：=γsγ+γ-βaWt。因此，在小ε的领先顺序上，代理1的平衡位置跟踪其无摩擦对应物的相对交易速度的两倍-F（t；0）。相应地，对于小ε，相应的偏差νt- ^1tapproximaly拥有Ornstein–Uhlenbeck dynamics，d^1t- ^1t≈F（t；0）（Дt- ^1t）dt+βadWt。（5.5）根据（5.4），相应的交易量也有Ornstein–Uhlenbeck动力学，直到交易放缓，最终在接近终端时间T时停止。

与[29]的部分均衡模型一样，模型中的交易量因此再现了经验观察到的主要风格化特征，如均值回归和自相关[44]。5.5非流动性折扣、流动性溢价和波动性增加。我们现在转向风险资产的相应均衡价格。与无摩擦情况相比，它的初始水平由a（0；ε）+C（0；ε）x调整。这里，随着时间范围T的增长，C（0；ε）x迅速收敛到一个平稳值。相反，A（0；ε）近似线性增长（通过（5.3）中的第二项），因此在长时间范围内占主导地位。因此，“非流动性折扣”由- （A（0；ε）+C（0；ε）x）=-(γ- γ） γsp2（γ+γ）Tβa√λ+O（1）=γsaT B（0；ε）+O（1），作为T→ ∞. （5.6）因此，与[58]的世代重叠模型一样，我们模型中的股价可以因交易成本而上涨或下跌。该修正项的符号由差值γ确定-代理风险规避的γ。如果我们选择γ>γ来匹配实证观察到的正非流动性折扣[3]，那么折扣（5.6）在交易成本中是凹的，与[3]的实证结果一致。注：当标度因子γsaT达到时，后者与小γ的波动率校正B（t）一致- γ|.接下来，让我们看看风险资产的漂移率。

使用分部积分、由A、B和C满足的常微分方程以及函数B（t）的渐近性（5.2），我们得出，其摩擦界面的差异由A′（t）+B′（t）Wt+C′（t）Дt+C（t）˙t=（A′（t）+C（t）D（t））+（B′（t）+C（t）E（t）Wt+（C′（t）+C（t）F（t））Дt给出=- γsa+γs（a+B（t））+γ- γβ（a+B（t））Wt公司+γ- γ（a+B（t））^1t=（γ- γ） γs2（γ+γ）a+γsaB（t）+γ- γaβWt+γ- γaхt+o（|γ- γ|)=γ- γa（Дt- ^1t）+γsaB（t）+o（|γ- γ|).我们看到，与无摩擦情况相比，“流动性溢价”由两部分组成。第一个是对Ornstein–Uhlenbeck过程的重新校准（5.5）：与[54，10]一样，交易成本内在地导致了均值回复“动量因子”，如[37，19，48，25]的简化模型。然而，与[54，10]中摩擦和无摩擦预期回报之间的差异约为零的情况不同，这里出现了一个额外的确定性成分。在用因子γsa重新标度之前，它与小γ的波动率校正B（t）一致- γ|.因此，初始价格S的非流动性折扣、预期回报中的平均流动性溢价以及波动率修正在我们的模型中都具有相同的符号，这是由差异γ决定的- 代理人风险规避系数的γ。实证文献一致发现，流动性非流动性贴现率[3]和流动性溢价[3、11、53]。如果我们选择γ>γ来在我们的模型中再现这一点，那么相应的交易成本波动率修正也是正的。

流动性不足应导致更高的波动性的理论结果证实了[57、34、31]的经验结果、[1、14]的数值结果以及[18]中研究的具有不对称信息的风险中性模型的预测。为了理解我们模型中这一结果背后的直觉，回想一下β>0，因此对于积极的价格冲击，代理1的无摩擦交易目标的现金价值从（3.1）下降，代理2的增加。因此，代理2可以被解释为“趋势跟随者”，而代理1遵循“反向”策略。就交易成本而言，如果γ>γ，趋势跟随者在正面价格冲击后的购买动机强于反向者的出售动机。为了清理市场，因此，与无摩擦基准相比，风险资产的预期回报必须降低，以使出售对代理1更有吸引力。因此，积极的价格冲击被抑制，一个类似的论点表明，对于消极的价格冲击，同样的影响仍然存在。由于价格冲击减弱，因此均衡波动率必须增加，以符合固定终端条件。6节的证明本节包含第3节关于Riccati BSRDEs和FBSDEs结果的证明。首先，我们证明了mma3.2，它确保了波动过程σ的BSRDE（3.5）的适当可积解的存在性和唯一性∈ HBMO。引理3.2的证明。对于每个n∈ N、 考虑截断过程σN：=σ∧n、 由于此进程是统一边界的，因此截断的BSRDEcnt=ZTtγλ（σns）- （cns）ds公司-ZTtZnsdWs，t∈ [0，T]，（6.1）具有唯一的溶液（cn，Zn）∈ S∞×h根据[38，定理2.1]计算每个n。

实际上，在它们的符号中，我们的情况对应于a=C=D=0，N=B=1，Q（t）=γλ（σnt），M=0。由于N是正的，且一致有界于0，M是有界的，非负的，Q是有界的，非负的，[38，定理2.1]确实适用。然后，通过取条件表达式，我们看到所有这些解都是从上面一致有界的，sincecnt=EtZTt公司γλ（σns）-（cns）ds公司≤γλkσkHBMO。根据Lipschitz BSDEs的比较定理【56，定理9.4】，cnt≥ 0表示任何t∈ [0，T]，因为（0，0）是具有终端条件0和生成器的BSDE的唯一解决方案-y、 由此，运行方程的解满足0≤ cnt公司≤γλkσkHBMO，t∈ [0，T]。（6.2）还记录相应的鞅部分由mnt=ZtZnsdWs=-cn+cnt+Ztγλ（σns）- （cns）ds。（6.3）家庭（支持∈[0，T]| Mnt |）n∈Nis以L为界。事实上，由于每个cnsatis（3.6），我们得到了∈[0，T]| Mnt |≤ 2γλkσkHBMO+γλZTσsds+TγλkσkHBMO，n∈ N、 现在使用初等不等式（a+b+c）≤ 3（a+b+c）和BMO鞅的能量不等式[36，p.26]，以获得期望的界：E支持∈[0，T]| Mnt|≤ 3γλkσkHBMO+6γλkσkHBMO+3TγλkσkHBMO，n∈ N

（6.4）接下来，请注意，由于（6.1）的解对于所有n均一致有（6.2）的界，因此对（cn，Zn）也解BRSDEcnt=ZTtγλ（σns）-（cns）+∧γλkσkHBMOds公司-ZTtZnsdWs。由于该BRSDE的生成元是一致Lipschitz连续的，且其在0处的值是有界的，因此Lipschitz BSDE的标准比较定理（参见，例如，[56，定理9.4]）表明，解CnArnondecreating in n。因此，单调极限c=limn→∞CNI定义良好，结构满足cT=0和（3.6）。现在设置：=-c+ct+Ztγλσs- 反恐精英ds，t∈ [0，T]。回顾σ和cnn在n中都是非负的和非减量的，单调收敛定理给出了n→∞Ztγλσnsds=Ztγλσsds，limn→∞Zt公司中枢神经系统ds=ZTCDS。因此，M是Mn的逐点极限。自家庭（支持∈[0，t]| Mnt |）n∈Nis以L为界，MNT每个t的Foreconverge到Mtin LF∈ [0，T]。因此，可以得出M是一个平方可积鞅，而鞅表示定理表明M=R·ztdwt对于一个过程Z∈ H、 总之，回顾cT=0，我们有ZTTZSDWS=MT- Mt=-ct+ZTtγλσs- 反恐精英ds，也就是，（c，Z）∈ S∞×hs解决原始BSDE。此外，通过It^oisometry和（6.4）中使用的参数的条件版本，可以得出任何τ∈ T0，T，EτZTτZsds= EZTτZsdWs≤ Eτ支持∈[τ，T]ZtτZsdWs≤ 3γλkσkHBMO+6γλkσkHBMO+3TγλkσkHBMO。因此，Z也在HBMO中。最后，唯一性来自以下标准估计。Let（c′，Z′）∈ S∞×HBMObe另一种解决方案。然后- c′t=ZTtc’s+csc’s- 反恐精英ds公司-ZTt公司Zs公司- Z’s）dWs。然后乘积规则给出了sert（c′s+cs）ds计算机断层扫描- c′t）=-ZTteRs（c′u+cu）duZs公司- Z’s）dWs。由于c和c′都有界，Z和Z′都在HBMO中，因此右侧是P鞅。

我们的结论是，c=c′是通过条件期望得出的，这反过来又意味着Z=Z′是通过Ite^o表示定理中的唯一性得出的。接下来，我们证明了引理3.3，它解决了描述正交跟踪问题（3.2）的优化器的FBSDE（3.3–3.4）。引理3.3的证明。首先注意，由于σ∈ HBMO引理3.2表明，BSRDE（3.5）的唯一解c是非负且有界的。接下来，由于c是非负的，（条件形式的）Cauchy-Schwarz不等式σ∈ HBMO和Fubini定理ZT？ξtdt≤γλEZTEt公司ZTtσs（σs |ξs |）dsdt公司≤γλEZTkσkHBMOEtZTtσsξsdsdt公司≤γλkσkHBMOZTEZTtσsξsdsdt公司≤γλkσkHBMOT EZTσsξsds.连同σξ∈ H、 这表明ξ也属于H。注意，ξ也可以直接表征为线性BSDE的唯一解ξt=ZTtγλσsξs- cs？ξsds公司-ZTtZξsdWs，t∈ [0，T]。（6.5）类似地，对于γ=γn，x=xnandξ=^Иn，（Д，˙Д）解决了表征（3.2）优化器的FBSDE（3.3–3.4）。事实上，定义显然满足正向方程（3.3）。终端条件˙ДT=0从cT=0得出，事实是∈ H、 和σξ∈ H、 因此，仍需证明˙ΡΡ也具有反向动力学（3.4）。˙Д的ODE（3.8），‘ξ’和C的动力学（6.5）和（3.5）表明d˙Дt=d‘ξt- ct˙Иtdt- ^1tdct=-γλσtξt+ctξtdt+ZξtdWt- ct˙Иtdt- ^1t计算机断层扫描-γλσtdt公司- ^1tZctdWt。再次使用ODE（3.8）替换“ξtwith”˙Иt+ctДt，可以得出交易利率（3.8）确实需要动力学：d˙Дt=γσtλ（Дt- ξt）dt+（Zξt- ^1tZct）载重吨。因为c是非负的且|ξ∈ H、 我们有∈ S、 Asσ∈ HBMO，LemmaA。3（At=sups∈[0，t]νsandβt=（Zct））进而表明，该分解中的局部鞅实际上是一个平方可积鞅。相同的参数表明，Дσ∈ H、 而˙Д也属于Hby（3.8），因为（(R)ξ，Д）∈ H×手CI有界。

因此，对于（3.2）而言，允许的交易利率˙И和相应的头寸˙是最优的。特别是，这个解决方案是独一无二的。最后，如果σξ∈ HBMO，(R)ξ是有界的，因为c是非负的。在（3.9）中，Д因此一致有界，ξ有界，c非负。˙Д的有界性依次来自（3.8），因为˙ξ、c和Д是有界的。7稳定性结果我们现在得出了许多稳定性结果，其中一些结果本身可能很有趣。这些是Picard迭代收敛的关键因素，Picard迭代允许我们证明定理8.3中FBSDE（8.2–8.4）的存在性。我们首先考虑引理3.2中的过程c。因为它是正的，所以它也求解了BSDE（3.5）的对应项，其中二次生成器ft（y）=γλσt- yis替换为单调生成器gt（y）=γλσt- （y+）。相同的参数可应用于y-发电机的导数。解的稳定性由单调BSDE的结果得出。为了在本文正文中应用这些估计，我们在一个等价的概率测度Pα下发展了它们~ 密度过程为zα的P：=EZ·αtdWt, 对于α∈ HBMO。（7.1）在Pα下，c的BSDE可以重写为asct=ZTtγλσs- 反恐精英- αsZsds公司-ZTtZsdWαs，对于Pα-布朗运动Wα。将Eα[·]写为Pα下的期望，以简化符号，我们依次得到以下稳定性估计。请注意，我们所使用的技术在某种程度上超越了通常用于单调BSDE的技术，例如在[52]中，并且依赖于用于二次、一维、非耦合BSDE的技巧，这是在[9]中首次介绍的。引理7。1.Fix（γ，λ，p，α）∈ (0, ∞)×（1，2）×HBMO（P），相应的测量值Pα由（7.1）给出，并假设Eα[e2p2-pRTαudu]<∞. 对于（σ，～σ）∈ HBMO（P）×HBMO（P），用cσ表示，cσ表示BRSDE（3.5）的解。