衍生工具投资组合建模的高斯过程回归

（右）BS delta和GP估计值之间的误差。图5：该图显示（左）买入期权的GP估计值的比较EGAν：=Cσ和BS vega公式。（右）BS vega和GPestimate之间的误差。16 ub=300#域上的上界17 sigma n=1e-8#a d i t i v e n o i s i n GP19 c a l l l=λx，y：bsf orm ul a（1，lb+（ub-l（b）*x，KC，r，T，y，0）[0]20 put=λx，y：bsf或m ul a（-1，磅+（ub-l（b）*x，KP，r，T，y，0）[0]22 T r ai ni n g n um b e r=10023 T e st i n g nu m b e r=5025 x T r a i n=np。ar RAY（np.l i n s p a c e（0.0 1，1.2，tr a i n in g n u mb er），dtype=\'f l o a t 3 2\'）。re s h a p e（tra in i ng n um be r，1）26 x t e s t=np。a rr ay（np.l i n s p a c e（0.0 1，1.0，te s ti n g n u m b e r），dtype=\'f l o a t 3 2\'）。re s h a p e（tes ti ng n u mber，1）28 y t r a i n=[]30 f r i d x i n范围（l e n（x t r a i n））：31 y t r a i n。附加（c a l l（x t r a i n[id x]，sigma））32 y t r a i n=np。ar RAY（y t r a i n）34 s k k e r n e l=RBF（l e n g t h s c a l e=1.0，l e n g t h s c a l e b o u n d s=（0.01，1 0 0 0 0 0））35 gp=g a u s i a n p r o c e s。G a u s ia n P r o c e s Re G r s o r（k k e r n e l=s k e r n e l，n r e s t a r t s o P t i m i z e r=20）36 gp。f i t（x t r a i n，y t r a i n）37 y pred，s ig ma h a t=gp。p r e d i c t（x t e s t，r e t u r n s t d=真）39 l=总成。k e r n e l。l n g t h s c a l e40 r b f=g a u s i a n p r o c e s。k e r n e l s。径向基函数（l e n g t h s c a l e=l）42 Ker n el=r b f（x t r a i n，x t r a i n）43 K y=Ker nel+np。眼睛（tr a i ni n g n u m be r）* 西格玛n44 L=sp。l i n a l g。c h o f a c t o r（K y）45 a lp ha p=sp。l i n a l g。c h o s o l v e（np。

t r a n s p o s e（L），y t r a i n）47 k s=r b f（x t e s t，x t r a i n）49 k s p r i m e=np。z e r o s（[l e n（x t e s t），l e n（x t r a i n）]）50 f r i n g（l e n（x t e s t））：51 f r j n g（l e n（x t r a i n））：52 k s p r i m[i，j]=（1.0/l** 2) * （x t r a i n[j]- x t e s t[i]）* k s[i，j]53#C a l C u l a l a t e平均u s i n g方程的gr a d i n t e t o n g reeking sub-s e c t i o无纸。54 f p r i m e=np。点（k s p r i me，a l p h a p）/（ub-lb）56#显示BS d e l t a和GP d e l t a57 d e l t a=λx，y：BS f或mul a（1，l b+（ub-l（b）*x，KC，r，T，y，0）[1]58 d e l T a（x T e s T，sigma）-f p r i m eListing 2：这个Python 3.0代码节选，使用scikit learn，演示了如何通过区分GP价格模型来计算期权的价格。x是网格化的基础股票价值，因此f prime是delta的估计值。如果x是网格化的波动率，那么f素将是织女星的估计值。清单仅提供了显著的细节，读者应参考示例2-GP-BS-DERIVATIONS。Github中的ipynb以实现完整的实现。3.3无网格GPs上述数值示例已在均匀网格上训练和测试GPs。这种方法避免了严格的维度诅咒问题，因为训练点的数量随着数据维度的增加而显著增加（参见第2.3节）。因此，在实践中，为了估算MtM立方体，我们提倡分而治之，即在特定资产类别上并行使用大量低输入维空间p、GPs（见第5.5节和Guhaniyogi et al.（2017））。此外，完全没有必要使用固定网格。我们在这里展示了GPs如何通过相对较少的模拟参考点（参见。

Gramacy和Apley（2015））。图6显示了使用（左）50和（右）100个模拟训练点（用“+”表示）从均匀随机分布中得出的预测赫斯顿看涨期权价格。Hestoncall期权在K=100时行使，到期日为T=2年。图7（左）显示了基于赫斯顿模拟训练点数量的预测GP MSE的收敛性。3.4大规模可扩展GPS将模拟点的数量固定为100个，但增加每个观测点的输入空间维数p（即包括越来越多的赫斯顿参数），图7：使用（左）50和（右）100个模拟训练点预测赫斯顿看涨价格，用“+”表示，从均匀随机分布中得出。图7：（左）基于模拟赫斯顿训练点的数量，显示了预测的GP MSE的收敛性。（右）将模拟点的数量固定为100，但增加每个观察点的维数p（包括越来越多的赫斯顿参数），图中显示了使用滑雪训练GP的挂钟时间。（右）显示了使用滑雪板训练GP的挂钟时间（参见第2.3节）。请注意，SGD迭代次数已固定为1000。图8显示了MSGP训练时间和预测时间相对于Black-Scholes模型中训练点数n的增加。将诱导点的数量固定为m=30（见第2.3节），我们增加了p=1维训练集中的观察值数量n。将SGD迭代次数设置为1000，我们观察到训练样本的训练时间大约增加了1.4倍。我们观察到，训练样本增加10倍，预测时间大约增加2倍。预测时间随n增长的原因（而不是常数，参见。

第2.3）节是由于我们实现中的记忆性，每个点预测都涉及将新测试点加载到内存中。快速缓存方法可以用来减少这种内存延迟，但超出了本研究的范围。请注意，使用GPU上的CUDA可以改进培训和测试时间，但此处未对其进行评估。图8：（左）显示了根据Black-Scholes模型生成的训练点数进行训练所用的挂钟时间。（右）根据测试点的数量显示预测单个点所用的挂钟时间。预测时间增加的原因（而第2.3节回顾的理论认为它应该是恒定的）是由于我们实现中的内存延迟，每个点预测都涉及将新测试点加载到内存中。4多响应高斯过程多响应高斯过程是随机向量的集合，任意数量的向量具有矩阵变量高斯分布。我们借用了Chen等人（2017）的以下公式，即perAlvarez等人（2012，公式（9））提出的可分离无噪声多响应核规范：根据定义，f是基于向量值平均函数u：Rp7的d变量高斯过程→ Rd，内核k:Rp×Rp7→ R、 和正半限定参数协方差矩阵Ohm ∈ Rd×d，如果向量f（x）的任何有限集合的向量化，f（xn）具有联合多变量高斯分布，vec（[f（x），…，f（xn）]）~ N（vec（M），∑ Ohm),其中f（xi）∈ Rdi是一个列向量，其分量是函数{fl（xi）}dl=1，M是Rd×nw中的矩阵，其中Mli=ul（xi），∑是Rn×nw中的矩阵，其中∑ij=k（xi，xj），和∑Ohm是Kronecker的产品ΣOhm ··· ∑1nOhm.........∑m1Ohm ··· ∑mnOhm.有时∑被称为列协方差矩阵，而Ohm 是行（或任务）协方差矩阵。我们表示f~ MGP（u，k，Ohm). 如等式后所述。

（10） 在Alvarez et al.（2012）中，矩阵∑和Ohm 对输入和输出之间的依赖关系进行编码。4.1带噪声观测的多输出高斯过程回归和预测在实践中，观测值不是从函数中提取的，而是表现出噪声。给定噪声观测值的npair{（xi，yi）}ni=1，xi∈ Rp，yi∈ Rd，我们假设模型yi=f（xi）+, 我∈ {1，…，n}，其中y~ MGP（u，k，Ohm) k=k（xi，xj）+δijσ，其中σ是加性高斯i.i.d.噪声的方差，. 因此，函数集合[f（x），…，f（xn）]的向量化遵循多元高斯分布vec（[f（x），…，f（xn）]）~ N（0，KX，X Ohm),式中，KX，Xis是n×n协方差矩阵，其中（i，j）-th元素[KX，X]ij=k（xi，xj）。预测新变量f*= [f*1.f*m] 在试验位置X*= [xn+1，…，xn+m]，训练观测值Y=[Y，…，yn]和预测目标的联合分布*由给出Yf公司*~ 明尼苏达州0,KX、XKTX*,XKX公司*,XKX公司*,十、*, Ohm, （11） 式中，KX，Xis是一个n×n矩阵，其中（i，j）-th元素[KX，X]ij=k（xi，xj），KX*,Xis是一个m×n矩阵，其中（i，j）-th元素[KX*,十] ij=k（xn+i，xj）和KX*,十、*是一个具有（i，j）-th元素[KX]的m×m矩阵*,十、*]ij=k（xn+i，xn+j）。因此，利用多元高斯过程的条件分布，预测分布为：p（vec（f*)|十、 Y，X*) = N（vec（^M），^∑^Ohm), （12） 式中，^M=KTX*,X（KX，X）-1Y，（13）^∑=KX*,十、*- KTX公司*,X（KX，X）-1倍*,十、 （14）^Ohm = Ohm. （15） 协方差矩阵的超参数和元素Ohm 通过最小化（λ，Ohm) 观测值的负对数边际似然：L（Y | X，λ，Ohm) =ndln（2π）+dln | KX，X |+nln|Ohm| +tr（（KX，X）-1年Ohm-1YT）。（16） Bonilla et al.（2007）、Alvarez et al.（2012）和Chen et al.（2017）提供了有关多重GP的更多详细信息。

第2.3节中的计算备注也适用于此处，另外的备注是，训练和预测时间也与维度d的数量成线性（成比例）缩放。请注意，任务协方差矩阵Ohm I通过a d估计-矢量因子bOhm = bbT+ωI（其中ω分量对应于标准白噪声项）。Alvarez et al.（2012）第6.1节描述了另一种利用内核可分离性的计算方法，其复杂性为（d+n）。4.2投资组合价值和市场风险估计金融衍生品投资组合的价值π通常可以表示为一组基本风险因素x的d向量f的组成部分的线性组合，即π（x）=wTf（x）。（17） 我们估计了预测分布p（π）的矩*|十、 Y，X*) 再见[π*|十、 Y，X*] = wT^M（18）cov（π*|十、 Y，X*) = wT^∑ Ohmw、 （19）式中，^M=KTX*,X（KX，X）-1Y，（20）^∑=KX*,十、*- KTX公司*,X（KX，X）-1倍*,十、 （21）特别是，（19）给出了一个表达式，用于估计投资组合的点估计中的GP不确定性，考虑到潜在风险因素，这解释了金融衍生工具合同之间的依赖关系。一般来说，投资组合中的金融衍生品合同具有共同的风险因素，并且风险因素是相互关联的。因此，如果对计算要求不太高，那么多GPapproach应该是{fl（xi）}dl=1的元建模方法。一旦学习了（17）中的向量函数f，就可以很快地评估f跨越的任何投资组合。因此，多重GP方法的实际效用是能够快速预测投资组合价值，以及误差估计，该误差估计还可以解释测试点上衍生品价格的协方差（以训练点为条件）。请注意，元模型仅指f（与投资组合权重相反）。

因此，即使投资组合构成发生变化，投资组合的预测分布仍然有效（例如，在贸易增量XVA计算的背景下，见Albanese等人（2019年，第5节））。请注意，如果向投资组合中添加了新的衍生工具，我们不必对所有GPs进行重新培训，原始投资组合价值的后验平均估计仍然有效。然而，必须重新学习核以更新协方差估计。通过构造，只需将权重设置为零即可从投资组合中减去衍生工具，无需再培训。GP分而治之策略我们重申，使用GPs的好处主要在于快速实时计算。由于MtM立方体计算中涉及的不同GPs是独立的（参见第3.3节），因此可以在GPU或manycore CPU等计算节点网格上对其进行并行训练。在使用单个GPs的情况下，每个模型的输入变量数量通常很小，因此训练集由相对较少的观测值组成。多GPs的培训更具挑战性，因为它涉及在组合中安装多个仪器。在实践中，我们可以确定具有共同风险因素的衍生工具子集，并为每个子集提供多重GP。多GP的计算开销通过更精确的不确定性估计进行调整。除了如上所述为子投资组合中的每个衍生工具设置一个GP组件（是否与其他组件相关），另一种选择是为每个总体子投资组合值设置一个GP。然而，如果投资组合的权重发生变化，则必须重新训练相应的GP。

我们提到这些利弊，以便为每个风险应用程序评估最合适的方法。4.3数值说明图9和图10说明了上述概念，其中，投资组合持有110（左）点买入期权中的两个多头头寸和90（中）点看跌期权中的空头头寸，其中S=100。回想一下，两种期权都有一个共同的风险因素，即基础工具S，每个期权的到期日为2年。为了说明多重GP回归下的不确定性带，将具有MAkernel（ν固定为2.5）的二元GP训练为Black-Scholes模型，作为S on fiftyTraining点的函数，加性高斯i.i.d.噪声，如清单3所示。通常，一个人会使用数百个训练点。经过300次迭代后，确定的内核长度尺度和噪声为^λ=[0.208，1.356355]，确定的任务协方差矩阵为^Ohm =36.977943-1.1028435-1.1028435 3.068603.双变量GP随后估计期权的价值和投资组合ata测试点的数量。其中一些测试点的选择与训练集一致，而其他测试点则不在训练集中。点估计的不确定性通过灰色带显示，表示95%的GP不确定性。在投资组合的情况下，这种不确定性是每个期权价格的点估计中的不确定性和等式（19）中协方差矩阵中的交叉项的加权组合。相反，如果将单个GPs分别用于看跌期权和看涨期权价格，则投资组合点估计的不确定性将忽略协方差矩阵中的交叉项。（a） 看涨期权价格（b）看跌期权价格（c）投资组合价格图9：该图将多重GP期权价格预测与Black-Scholes模型进行了比较。

具有MA核的多重GP在n=50 X，Y对上进行训练，其中X是基础网格价格，Y是相应看涨期权价格的d=2向量。预测平均值（红线）和后验方差由方程（18）和（19）估计，m=100个网格测试点，S*, 对于（左）看涨期权（中）看跌期权和（右）投资组合。灰色阴影包络线表示后验平均值的95%置信区间。使用Black-Scholes定价公式，精确结果由黑线给出。期权的到期时间固定为两年。为了更深入地了解不确定度的组成部分，图10显示了不确定度在f=（f，f）到100个测试点的点估计中的分布。选择了两个实验（5个和50个训练样本）来说明多重GP设置中的各种属性。选择前一个实验（图中的左图）来突出交叉项在后验协方差cov（f1）中的重要性*, f2层*| 十、 Y，X*), 在这个例子中是否定的。我们重申，此类术语仅在multi-GPsetting中表示。在有噪声数据或大型投资组合的情况下，它可能会对投资组合价值的不确定性产生不可忽视的贡献。1导入math2导入到r c h3导入gpyt到rch4导入numpy作为np5从s c i p y导入*6从Bl a ck S c h o l es导入*7从s c i p y导入s t a t s9 r=0。0#r i s k-f r e r a t e（a）5个训练点（b）50个训练点图10：该图显示了多个GPs如何能够将组合价值点估计的不确定性归因于组成工具。带有MAkernel的多重GP在X，Y对上进行训练，其中X是期权的网格底层，Y是相应看涨期权和看跌期权价格的ad=2向量。

后验协方差矩阵的元素在m=100点的测试集上绘制为分布。（左）使用5个训练点，我们显示了后验协方差的分量。后验协方差中的交叉项不是由单个GPs给出的，可以观察到它是负的和重要的。（右）50个训练点的后验协方差。观察到每个元素都会收缩，并且更加均匀（即集中），从而导致组合值不确定性的整体降低，解释了图9.10中狭窄的均匀灰色不确定性带，即S po t11 KC=110 C a l l S t r i k e12 KP=90#Put S t r i k e13 sigma=0。3#i m p l i e d v o l a t i t y 14 t=2。0#时间t到材料y16 c a l l=λx:bs表示μl（1，l b+（ub-l（b）*x，KC，r，T，sigma，0）[0]17 put=λx：b sf o rm ul a（-1，l b+（ub-l（b）*x，KP，r，T，sigma，0）[0]19 l b=0。0 01#域上下限20 ub=300#域上上限21 t r ai ni n g n um b e r=50#样本数22 t e st i n g nu m b e r=100#样本数24 t r a i n x=t o r c h。l i n s p a c e（0，1.0，trai n i n g n um b e r）26 t r a i n y 1=t o r c h。Float Ten s or（c a l l l（np.a r ay（t r a i n x）））27 t r a i n y 2=t o r c h。Float Ten s or（put（np.ar ray（t r a i n x）））29#创建一个t r a i n y，它与两个30 t r a i n y=t o r c h。s t a c k（[t r a i n y 1，t r a i n y 2]，-1） 32 c l a s MultitaskGPModel（gpyt o rch.models.ExactGP）：33 d e f i n i t（s e l f，t r a i n x，t r a i n y，l i k e l i h o d）：34 SUP er（MultitaskGPModel，s e l f）。i i t（t r a i n x，t r a i n y，l i k l i h o d）35 s e l f。平均模量=g p yto r ch。方法多任务平均（36 gpy或小时。