衍生工具投资组合建模的高斯过程回归

在时间1）使用Black-Scholes公式或MC-GP方法。此外，未显示CVA=0.2，因此为随机变量（CVA- CVA）可以为负值。为了分离GP近似的影响，我们对每种方法使用相同的随机数。MC-GP和MC reval图实际上彼此无法区分。夏普近似的原因有三个方面：（i）维度（在风险因素数量的意义上）只有1，（ii）统计实验被视为插值问题，许多网格化的训练点接近网格化的测试点；以及（iii）200的训练样本量相对较大，接近光滑表面（没有更多）。右图显示了γ的分布≡ γ（St）在模拟视界上的不同时间。图13：（左）根据MC reval（完全重新使用Black-Scholes公式的MC）与95%置信区间的MC-GP方法估计的CVA分布。默认模型使用固定参数γ=0.02和γ=1.2。为了分离GP近似的影响，我们对每种方法使用相同的随机数。（右）γ的分布≡ γ（St）在模拟期内的不同时间，对于固定参数：γ=0.02，γ=1.2.5.4 CVA不确定性量化在本节中，我们展示了GPs在给定信贷风险模型参数的前提下，对CVA计算的不确定性量化的应用。也就是说，动态强度模型（29）的参数（γ，γ）现在通过constraintEe一一对应-RTγ（St）dt=P（τ>T），（31），其中右侧是从客户CDS曲线中提取的给定目标值（或后者的合适代理）。我们现在不必fixing（γ，γ），而是在γ前面放置一个卡方，其中心位于1.2。

对于γ的每个样本，γ的相应值通过时间离散和数值根查找（31）确定。图14显示了MC reval（使用Black-Scholes公式完全重新定价的MC）与MC-GP估计的时间0 CVA后验密度。接下来，我们将展示一年期CVA VaR的不确定性量化估计。如清单5所示，MC-GP估计实现为双重嵌套模拟，外部循环用于从γ上的先验分布中采样，中间嵌套循环用于模拟底层到一年，内部嵌套MC模拟用于沿每条路径对一年CVA进行点估计。图14：默认模型使用1000个模拟参数值，卡方检验值输入为γ=1.2（左），γ通过约束优化找到。（中）MC reval（完全重新使用Black-Scholes公式的MC）与MC-GP方法（95%蒙特卡罗密度区间以MC-GP估计为中心）估计的CVA后验时间0的密度。（右）以95%蒙特卡罗置信区间（以MC-GP估计为中心）显示的CVAI与γ的对比。图15显示了（CVA）99%VaR的分布-CVA）在参数γ的卡方误差下，通过求解（31）得到γ的相应值，p（τ>2）=0.05。在相同的随机数下，观察到MC-GP和MC reval 99%CVA变量实际上是一致的。图15：该图显示了（CVA）99%VaR的分布- CVA）在方程（29）中，achi平方优先于γ，且优先于γ，满足P（τ>2）=0.05的约束（31）。

1000个外部模拟用于从先前的γ上采样。在相同的随机数下，观察到MC-GP和MC reval 99%CVA变量实际上是相同的。1 J=1000#输出数量（从p r i o r）2 m=1000#s3上的中间数量CVA=[]4 CVA 0=[]5 gamma 1=np。a rr a y（[0.0]* J，dtype=\'f l o a t 3 2’’7#来自p r i o r d i s t r i b u t i n u s i n g 8的样本#非-ce n t e r e d c h i-平方随机v a r i a t e s9γ1=（1.2+1.0* np。随机的randn（J））**211 f o r j in r ange（j）：#u t e r l o p13 d ef m o d e l[\'γ0\']=0。0 214 d ef m o d e l[‘gamma 1’]=gamma 1[j]15模型参数[‘t0’]=0。016 sim参数[‘ti m e g r i d’]=t i m e g r i d17 CVA 0。附加（CVA模拟（模拟参数，模型参数，d e f m de l））19 S=gbm（S0，r，sigma，1.0，n si m dt，m）20模型参数[‘t0’]=1。021 sim参数[\'ti m e g r i d\']=t i m e g r i d[5：]22 f o r m i n ra n ge（m）：#中间lo op23模型参数[\'S0\']=S[-1，m]24 CVA。append（CVA simulation（sim params，model params，d e f mo de l））清单5：这段Python 3.0代码摘录，使用scikit learn，演示了如何使用MC-GP模拟投资组合的CVA VaR。实施假设为Black-Scholes模型，动态违约强度模型由等式（29）给出。BS参数和投资组合配置与之前的列表相同。请注意，为了简洁起见，此摘录只能在运行上一个摘录之后运行。

请注意，列表仅提供了显著的细节，读者应参考Github中的示例4-MC-GPA-BSCVA-VaR.ipynb以了解完整的实现。5.5方法的可扩展性我们展示了我们的GP元模型在利率掉期交易对手组合（IRS）CVA估计中的应用。该投资组合持有20个IRS的空头和多头头寸，共有11个利率和10个外汇利率。合同期限从5年到10年不等。短期利率和外汇利率数据由均值回复过程生成，在驱动因素布朗运动之间具有准齐次相关结构。具体而言，我们将利率之间的相关性设置为0.45，利率与外汇之间的相关性设置为0.3，外汇之间的相关性设置为0.15。在我们的实验中，n=10，共给出21个因子。对于短期利率，我们使用多因素赫尔-怀特模型。为完整起见，附录A中给出了模型的详细信息。这些模型在时间步长为0.01的Euler格式下进行模拟。每十步，即对于粗t=0.1，我们存储模拟速率并评估IRSprices。IRS合同是现场启动的，第一次重置时间为{tn}0，随后重置时间为{tn}0，δ=0.5年≤n≤N、 为了给掉期定价，让我们用L（t，t）表示到期日t在t时的简单利率，这是赫尔-怀特模型给出的短期利率的确定函数。然后，在重置日期，IRS对收取固定费用和支付固定费用的一方的外币价格以外币名义单位给出，如下所示：p（tn）=1+δL（tn-1，tn）-1+（N- n） δL（tn，tn）-δSN-nXi=01+iδL（tn，tn+i），1.≤ n≤ N、 （32）和p（t）=1-1+NδL（t，tN）- δSNXi=11+nδL（t，tn）。（33）对于非重置日期，即。

任何t∈]tn，tn+1[，0≤ n≤ N-1我们有：p（t）=1+δL（tn，tn+1）1+（tn+1- t） L（t，tn+1）-1+（tN- t） δL（t，tN）-δSN-nXi=11+（tn+i- t） L（t，tn+i）。（34）除t=t外，我们注意到价格p（t）始终是短期利率att和之前重置日期的函数。因此，每个GP模型最多使用三个输入来了解掉期价格：国内或国外空头利率、最新重置日期的相同利率，如果是国外，则将外汇利率转换为欧元。因此，国内利率互换价格的GP模型有两个输入变量，而国外利率有三个输入变量。为了训练每个GP模型，我们在粗略的时间步长中使用1000条短期和外汇利率路径以及欧元计价的市场IRS价格t=0.1。每个GP模型都被训练为投资组合中每个IRS合同的代理。因此，有10个周期的200GP模型接受了培训。上述数值例子在均匀网格上训练和测试了GPs。这种方法避免了严格的维数灾难问题，因为训练点数随着数据的维数呈指数增长（参见第2.3节）。因此，在实践中，为了估计MtM立方体，我们提倡分而治之，即使用大量低输入维空间，p，GPs在特定资产类别上并行运行（见第4.2节）。在本例中，我们甚至为每个仪器培训一名GP。如第4.2节末尾所示，这种分而治之方法的极端情况的优点是，投资组合可以重新平衡，而无需对GP进行再培训。将所有变量（包括价格）重新调整为单位间隔，以解决潜在的缩放问题。GP被配置为使用ν=0.5的材料核。参见示例-5MC-GP-IRS-CVA。Github中的ipynb了解更多详细信息。EPE文件（参见。

图16显示了使用定价公式（MC reval）与MC-GP评估的IRS投资组合的第5.2）节。表5.5给出了使用MC-GP或MCreval模型的CVA。GP模型估计值的平均值[CVA]为GP reval估计值的0.25%。还给出了MC抽样的95%上下置信区间。6结论本文介绍了高斯过程回归和蒙特卡罗模拟（MC-GP）快速评估衍生产品组合、其敏感性和相关交易对手信用风险指标（如EPE和CVA）的方法。该方法如图16所示：使用分析模型评估的IRS投资组合的EPE利润（欧元）与GP（使用Matren核）进行比较。灰色带表示95%GP不确定度带。估计值平均值下C.I.上C.I.CVA3357.846 3179.715 3535.978[CVA3177.103 3522.072 3571.0287表3：使用MC reval模型的CVA与GP模型的平均值进行比较，【CVA，发现在GP reval估计值的0.25%范围内。还给出了MC抽样的95%上下置信区间。通过对简单投资组合的CVA进行估计，并对准确性和收敛性进行数值研究（就训练点和样本路径的数量而言）我们的MC GP估计。一旦了解了内核，就没有必要使用expensivederivative定价或Greeking函数。内核允许对投资组合对风险因素的敏感性进行封闭式近似，该方法保持了重新平衡投资组合的灵活性。高效的超参数优化程序可用。此外，优势不仅仅是计算性的：风险估计接近于贝叶斯估计。模型在训练数据中没有看到的点估计中的不确定性是量化的。

该方法可通过分而治之的方法进行扩展，可能并行实施，其中根据相同（少数）风险因素对每个资产子组合使用不同的GP。与样条线或核平滑器等更简单的替代方案相比，GP回归提供了一个元建模框架，具有概率贝叶斯解释和相关数值不确定性的量化。边际似然最大化是一种设置超参数的便捷方法。GPs可以处理有噪声的数据，但它们也在无噪声的范围内插值。与切比雪夫插值不同，GPs可以使用任意的、可能是非结构化的（例如随机模拟的）观测网格，切比雪夫插值采用了方案施加的确定性节点位置（结合适当的插值权重，见Gasset al.（2017））。与深度神经网络（DNN）等更丰富的替代方案相比，GPs通常需要更少的数据进行训练。它们还固有地提供“差异正则化”，而无需采用繁琐的交叉验证技术来调整正则化超参数，如DNN。此外，尽管最近的贝叶斯深度学习开发（Bayesian deep learning developmentsmeant）能够在小型数据域中实现深度学习，但DNN仍然难以在贝叶斯框架中进行转换。然而，与DNN不同，内核视图不提供任何HiddenRepresentation，无法识别用于解决特定问题的有用特性。更详细的先验选择可以用来解决这个问题。我们在本文中使用的“不确定性”指的是GP回归误差估计。然而，从量化模型风险的角度来看，GPs也可能用于不确定性量化。

模型风险尤其是一个重要且广泛开放的问题，我们将其留给未来的研究。多因素利率模型我们考虑相关矩阵R。对于每种货币i，我们考虑一个独立布朗运动向量W（i），其中上标i表示过程是Q（i）世界中的布朗运动，而Q（i）世界中的布朗运动又是货币i中现金流的定价。此外，eidenotes向量的ithcoordinate等于1，所有其他分量Sequal等于0。短期利率的赫尔-怀特模型由dri（t）=（θi（t）给出- airi（t））dt+σiDRei，dW（i）te，具有θian外部确定性函数，能够拟合时间0的正向曲线。或者等价，我们可以写出ri（t）=xi（t）+βi（t），其中βi是一个确定性函数，并且：（dxi（t）=-aixi（t）dt+σiDRei，dW（i）tExi（0）=0If fi（0，.）是速率i的time-0瞬时正向曲线，则：t型≥ 0，βi（t）=fi（0，t）+σi2ai（1- e-ait）外汇汇率通过均值回复过程给出，如下所示。考虑一下，为了便于解释n=1时的情况，d FXj，i（t）FXj，i（t）=（ri（t）- rj（t））dt+αj，iσDRe，dW（i）te其中α1,2=-1和α2，1=1。通过与FX反演得到的动力学进行比较，可以推断出Q（1）和Q（2）世界之间的布朗运动变化如下：dW（2）t=dW（1）t- σReditor等效：dQ（2）dQ（1）t=经验值RtσDRe，dW（i）sE-Rtσ重新ds公司=FX2,1（t）FX2,1（0）expRt（r（s）- r（s））ds参考Abbas Turki、L.A.、S.Cr'epey和B.Diallo（2018）。XVA原则、嵌套蒙特卡罗策略和GPU优化。《国际理论与应用金融杂志》21，1850030。Albanese，C.、M.Chataigner和S.Cr'epey（2019年）。财富转移、差别定价和XVA压缩方案。《从概率到金融》BICMR暑期学校金融数学讲师，北京大学数学讲座系列。斯普林格。

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