衍生工具投资组合建模的高斯过程回归

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英文标题：
《Gaussian Process Regression for Derivative Portfolio Modeling and
  Application to CVA Computations》
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作者：
St\\\'ephane Cr\\\'epey and Matthew Dixon
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Modeling counterparty risk is computationally challenging because it requires the simultaneous evaluation of all the trades with each counterparty under both market and credit risk. We present a multi-Gaussian process regression approach, which is well suited for OTC derivative portfolio valuation involved in CVA computation. Our approach avoids nested simulation or simulation and regression of cash flows by learning a Gaussian metamodel for the mark-to-market cube of a derivative portfolio. We model the joint posterior of the derivatives as a Gaussian process over function space, with the spatial covariance structure imposed on the risk factors. Monte-Carlo simulation is then used to simulate the dynamics of the risk factors. The uncertainty in portfolio valuation arising from the Gaussian process approximation is quantified numerically. Numerical experiments demonstrate the accuracy and convergence properties of our approach for CVA computations, including a counterparty portfolio of interest rate swaps.
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中文摘要：
交易对手风险建模在计算上具有挑战性，因为它需要同时评估市场和信用风险下与每个交易对手的所有交易。我们提出了一种多元高斯过程回归方法，该方法非常适合于涉及CVA计算的OTC衍生品投资组合估值。我们的方法通过学习衍生品投资组合按市值计价立方体的高斯元模型，避免了嵌套模拟或现金流的模拟和回归。我们将导数的联合后验值建模为函数空间上的高斯过程，并将空间协方差结构施加在风险因素上。然后使用蒙特卡罗模拟来模拟风险因素的动态。对高斯过程近似引起的投资组合估值不确定性进行了数值量化。数值实验证明了我们的CVA计算方法的准确性和收敛性，包括利率掉期交易对手组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Gaussian_Process_Regression_for_Derivative_Portfolio_Modeling_and_Application_to.pdf (1.95 MB)

2022-6-11 12:58:43 上传

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关键词：高斯过程 衍生工具 投资组合 counterparty computations

导数组合建模的高斯过程回归及其在CVA计算中的应用*LaMME，Evry大学，CNRS，巴黎萨克雷大学，91037，Evry，FranceandMatthew F.Dixon+伊利诺伊理工学院应用数学系。2019年10月18日抽象建模交易对手风险在计算上具有挑战性，因为它需要同时评估每个交易对手在市场和信用风险下的所有交易。我们提出了一种多元高斯过程回归方法，该方法非常适合于涉及CVA计算的OTC衍生品投资组合估值。我们的方法通过学习衍生品投资组合按市值计价立方体的高斯元模型，避免了嵌套模拟或现金流的模拟和回归。我们将导数的联合后验值建模为函数空间上的高斯过程，并将空间协方差结构施加在风险因素上。然后使用蒙特卡罗模拟来模拟风险因素的动态。由高斯过程近似引起的投资组合估值的不确定性在数值上进行了量化。数值实验证明了我们的CVA计算方法的准确性和收敛性，包括利率掉期交易对手组合。关键词：高斯过程回归、替代模型、按市值计价立方体、衍生品、信用估值调整（CVA）、不确定性量化。数学学科分类：91B25、91G20、91G40、62G08、68Q32。*St’ephane Cr’epey是巴黎萨克雷埃弗里大学数学系教授。电子邮件：stephane。crepey@univ-埃弗里。fr.S。

Cr'epey得益于由法国巴黎大学理工学院及其基金会领导并由法国巴黎银行赞助的主席压力测试、风险管理和财务指导的支持。+Matthew Dixon是芝加哥伊利诺伊理工学院应用数学系的助理教授。电子邮件：matthew。dixon@iit.edu.M.Dixon的研究得到了Intel Corp.的资助。感谢：作者感谢Marc Chataigner、Areski Cousin、Mike Ludkovski和theanonymous裁判的见解和反馈，感谢Bouazza Saadeddine生成markto market cube，作为第5.5节回归练习的基础。本文的早期版本在维也纳的Quantminds 2019、多伦多的暹罗FME 2019和巴黎的AMAMEF 2019上发表。1简介2007-2008年全球金融危机爆发后，银行受到了更严格的监管以及保守的资本和流动性要求。场外交易（OTC）衍生品的定价、估值和管理已大幅修订，以更有力地捕获交易对手信用风险。定价和会计现在包括估值调整，统称为XVAs（Abbas Turki et al.（2018）；Kenyon和Green（2014）；Cr'epey等人（2014年））。BCBS指出，2007-2009年危机期间，信贷损失总额的三分之二是CVA损失，即CVA增加，其中银行的CVA负债是其未来交易对手违约造成的预期损失。因此，自2010年12月巴塞尔协议III框架的初始阶段以来，已经产生了CVA资本费用。交易对手风险建模在计算上具有挑战性，因为它需要在市场和信贷模拟下评估与每个交易对手的所有交易。

例如，CVA计算需要对每个交易对手投资组合的路径定价低于模拟的市场波动，交易对手违约单独建模。对冲需要CVA对所有潜在市场风险桶的敏感性。XVA计算中计算复杂性的主要来源是，在许多未来动态场景中，有必要重新评估投资组合持有量（包括路径相关或早期行使期权）。就XVA（一阶）灵敏度而言，在使用伴随算法差异进行实时估计方面取得了很大进展（Giles和Glasserman（2005）；Capriotti等人（2011年）；卡普里奥蒂（2011）；Antonov等人（2018年）；巨无霸和萨文（2017））。然而，算法差异化在银行衍生品投资组合层面上的实施仍然非常具有挑战性，通常需要或多或少大幅简化要差异化的xVA指标。因此，冲击和重估敏感度仍然有用（事实上，对于二阶敏感度而言，这是不可避免的），并且再次需要多次快速估值。在本文中，我们研究了高斯过程（GP）回归作为市值（MtM）立方体元模型的可能用途，即未来时间点和场景中客户投资组合的价值。我们的方法包括及时模拟市场风险因素，然后从一组模型生成的参考衍生产品价格中插入按市值计价的立方体。这种方法基于这样一个概念，即GP模型一旦经过训练，就可以提供快速可靠的价格（以及相关的、分析上不同的希腊人）。我们请读者参考Rasmussen和Williams（2006）对高斯过程回归或简单的高斯过程（GPs）的一般介绍。

与频繁的机器学习技术（包括神经网络或支持向量机）不同，GPs只提供点估计，它量化了预测的不确定性。预测中的高度不确定性可能会导致GP模型估计被拒绝，而支持重新训练模型，甚至使用完整的模型重新评估。使用GPs的另一个动机是为模型超参数提供有效的训练方法。除了一些有利的统计和数学特性，如通用性（参见Michelli et al.（2006）），实现支持基础设施也很成熟，并由开源机器学习包（如GpyTorch、scikit learn、Edward或STAN）提供。GPs在金融以外的应用中取得了巨大成功，有时还被称为克里格法。高斯过程预测的基本理论在本文中，我们将“预测”称为样本外点估计。为了避免疑问，测试点不必像术语所建议的那样位于未来。至少可以追溯到科尔莫戈罗夫（Kolmogorov）或维纳（Wiener）在20世纪40年代的时间序列工作（见Whittle和Sargent（1983））。Roberts等人（2013）介绍了将GPs应用于金融时间序列预测的示例。这些作者很有帮助地指出，AR（p）过程是GP模型的离散时间等价物，具有特定类别的协方差函数，即已知的材料协方差函数。因此，GPs可以被视为著名计量经济学技术的贝叶斯非参数推广。da Barrosa等人（2016年）提出了优化金融资产组合的aGP方法。在金融衍生工具建模中采用克里格方法是最近才出现的。

然后，GP所适用的基础数据通常由用户自己在模型中生成，而不是市场数据，这在某种程度上与采用机器学习的动机背道而驰，但在其他最近的计算金融应用程序中，如Hernandez（2017）、E et al.（2017）或B¨uhler et al.（2018）也是如此。一旦预测算法作为预处理阶段进行了有效的训练，那么动机就是快速定价。Counse等人（2016年）引入了形状约束GPs，以确保收益率曲线和CDS曲线插值不可仲裁且误差可控。Ludkovski和Gramacy（2015）以及Ludkovski（2018））将百慕大期权定价问题重新表述为一个响应表面建模问题，并通过克里格法解决。在预期空头计算的背景下，Liu和Staum（2010年）以及Ludkovski和Risk（2018年）根据附近情景的内部模拟，使用GPs推断给定情景下的投资组合值。通过将内部级别模拟限制在少数选定场景中，同时自然考虑到内部级别模拟产生的差异，这显著降低了所需的计算效率。Spiegeleer等人（2018年）提出通过高斯过程回归学习衍生定价函数。具体而言，作者在网格上配置训练集，然后使用GP在测试点处插值。他们展示了GPS相对于蒙特卡罗方法的加速，以及应用于赫斯顿模型定价和Greekestimation的可容忍精度损失，以及近似隐含波动率面。与三次样条插值相比，GPs的表达能力有所提高。三次样条插值是一种常用的数值逼近技术，可用于快速点估计。然而，Spiegeleer等人。

（2018）仅限于单一工具定价，不考虑投资组合方面。特别是，他们的研究仅限于单响应GPs，而不是本研究中的多响应GPs（为简洁起见，分别称为单响应GPs和多响应GPs）。在单个GP设置中，单个GPs用于在假设衍生价格独立的情况下，根据训练数据和测试输入，对每个预测衍生价格的后验值进行建模。鉴于衍生工具可能共享共同的基础，或者基础不同但相互关联，这一假设在实践中显然被违反。相比之下，multi-GPs（参见Alvarez et al.（2012）的一项调查）利用核函数指定的空间协方差矩阵，直接对衍生价格（响应）系数预测中的不确定性进行建模。因此，按市价计价立方体预测中的误差量（预测本身不会改变）只能使用多个GPs进行充分建模。本文使用单GPs和多GPs来学习按市值计价立方体的后验分布，然后将其用于CVA计算。第2节回顾了单响应GPs，第3节说明了它们在衍生品定价和问候应用中的用途。第4节将设置扩展到多响应通用化的GPS。第5节使用蒙特卡罗GPs方法处理CVA计算，其中GP预测MtM立方体用于评估银行CVA蒙特卡罗模拟节点处的银行衍生品投资组合。最后的第6节总结了我们的发现，并用更简单或更精细的回归替代方法来透视GPs。一些数值示例用Python代码摘录进行了说明，说明了我们方法的关键特性。

所有性能均基于2.2 GHzIntel Core i7笔记本电脑。Github reposi中提供了这些示例和其他示例toryhttps://github.com/mfrdixon/GP-CVA.这些示例可以使用commandipython笔记本运行（一旦加载了所需的包）。请注意，我们的设置涉及财务风险因素的随机性和相对于GP估计的贝叶斯不确定性。为了说明清楚，我们用Pand E表示定价度量的概率和期望，用E（分别为var或cov）表示GP点（分别为方差或协方差）估计。一致区间指的是相对于财务风险因素随机性的蒙特卡罗估计，而不确定区间指的是GP估计程序（均以95%概率水平计算）。2单输出高斯过程本节是以经典贝叶斯统计风格编写的（标准、单）高斯过程推理入门。不熟悉的金融读者可以参考托拉斯·穆森和威廉姆斯（2006）、麦凯（1998）和墨菲（2012，第15章）了解更多背景和细节。统计推断包括学习数据的函数Y=f（X）（X，Y）：={（xi，yi）| i=1，…，n}。高斯过程（GPs）的思想是，在没有参数化f（X）的情况下，将概率先验直接放置在函数空间上。GP是一种贝叶斯非参数模型，将高斯分布从有限维向量空间推广到有限维函数空间。GPs是被称为“核学习”（kernellearning）的一类更一般的有监督机器学习技术的一个例子，该技术通过输入上的一组参数化核对协方差矩阵进行建模。

GPs扩展并放入贝叶斯框架样条线或核插值器，以及Tikhonov正则化（见Rasmussen和Williams（2006）和Alvarez et al.（2012））。Neal（1996）还观察到，某些具有一个隐藏层的神经网络在有限个隐藏单元的限制下收敛到aGaussian过程。在本节中，我们仅限于单响应GPs的简单情况，其中fis实值（第4节将考虑多响应GPs）。2.1高斯过程回归和预测我们说一个随机函数f:Rp7→ R是从具有均值函数u和协方差函数（称为核k，即f）的GP中提取的~ GP（u，k），如果用于任何输入点x，x，在Rp中，函数值的对应向量为高斯：[f（x），f（x），…，f（xn）]~ N（u，KX，X），这与金融中常用的非线性回归相反，非线性回归试图用一组权重参数化非线性函数。对于一些平均向量u，例如ui=u（xi），协方差矩阵KX，X满足（KX，X）ij=k（xi，xj）。除非另有规定，否则我们遵循假定u=0的文献约定。核k可以是任何对称正半限定函数，它是对称正半限定（即协方差）矩阵概念的有限维类似物，即。

使得nxi，j=1k（xi，xj）ξiξj≥ 0，对于任意点xk∈ 径向基函数（RBF）是只依赖于| | x的核-x | |，例如平方分式（SE）kernelk（x，x）=exp{-2 ` | | x- x | |}，（1）其中长度刻度参数`可以解释为“需要在输入空间中移动多远才能使函数值变得不相关”，或者Matern（MA）kernelk（x，x）=1-νΓ(ν)√2ν| | x- x | |`！νKν√2ν| | x- x | |`！（2） （在ν到单位的极限下收敛到（1），其中`和ν是非负参数，Γ是伽马函数，Kν是第二类修正贝塞尔函数。与插值方法相比，GPs的一个优点是其可表达性。特别是，可以通过卷积来组合核（参见Melkumyan和Ramos（2011））。此外，GP插值的正则性可以通过核函数的正则性来控制。GPs可被视为函数的再生核希尔伯特空间（RKHS）上的分布，其由核函数k唯一定义（见Scholkopf和Smola（2001））。具有RBF核的GPs是已知的通用逼近器，在任何连续函数的任意小ε带内具有先验支持（见Michelli等人（2006））。GPs还提供“差异规律性”——GPs是根据差异运算符定义的RKHSs，潜在函数的希尔伯特范数具有惩罚梯度的效果。因此，通过选择核参数和平滑参数，可以控制GP插值的规律性（见Rasmussen和Williams（2006）第6.2节）。内核的一个限制是它没有显示任何隐藏的表示——无法识别用于解决特定问题的有用特性。GPs可以通过对协方差参数施加“尖峰-板”混合先验来解决特征发现问题（参见Savitsky et al。