基于copula的欧洲信用利差马尔可夫奖励方法

这是为了使模拟更加精确和准确。事实上，如果有一些变化点，那么从最后一个变化点开始，使用评级过程的动态是很方便的。我们依赖于变化点检测理论。特别是，我们使用Polansky提出的离线检测算法【27】。假设存在一些变化点，但它们的位置和数量未知，我们必须按以下步骤进行。我们首先假设有一个或多个变化点；我们应用似然理论来检测变化点的准确位置。最后，我们通过贝叶斯信息准则（BIC）找到了最佳变更点数量（其位置之前已找到）。BIC允许通过平衡模型的拟合优度与所需参数的数量，选择最佳模型来拟合观测数据。因此，当变化点τ，τkare参数未知，但变化点的数量k已知，变化点的最大似然估计量（MLE），即^τ，通过最大化似然函数来估计τk。（τ，…，τk）=argmaxτ<·····<τk∈{1，…，n-1} nk公司∑m=0L（τm，τm+1）o，（40），其中∑km=0L（τm，τm+1）是以变化点为条件的观测似然函数（关于似然函数计算的详细信息，请参见[27]）。为了了解我们发现的断裂是否导致评级过程中的突然变化，我们测试H：（0）P=····=（k）P与H：（0）P 6=···6=（k）P。测试统计量∧应用于观察序列xc（1），xc（s），c∈ C，计算如下：∧=k∑m=1∑c∈铯∑i=1p（m）i j（xci，xci+1）p（m-1） i j（xci，xci+1），（41），其保持以下等式：∧=2k∑m=1L（τm，τm+1）- L（τ，τk+1）.

（42）当变化点已知时，∧渐近地趋向于具有D（D）的χ分布- 1） k自由度。相反，当变化点未知时，使用自举模拟得出测试的临界值（有关此技术的更多详细信息，请参阅[27]）。如果∧>∧| 1，则拒绝具有显著水平α的无效假设-α|.最后，需要进行模型选择，以避免由于大量参数而导致的过度拟合问题。因此，BIC允许通过平衡拟合优度和参数数量，选择最佳模型来拟合观测数据。定义为：BIC（k）=log（s）·D（D- 1） ·（k+1）- 2公里∑m=0升^τm，^τm+1, （43）其中（43）右侧的第一项表示未知参数的数量，第二项表示模型的拟合优度。通过最小化之前为k=0，1，…计算的BIC来检测最佳变更点数量。。。K、 withK是任意选择的。将变化点检测算法应用于三家机构的观察评级数据。值得注意的是，由于我们每天都在工作，每个机构的观测值为128 976。找出变化点的位置当k=2，3产生计算问题时，主要与所需的大量时间有关。为了克服这个问题，我们首先每月检测一次中断。然后，我们使用结果在每日尺度上构建一个时间范围，在该范围内执行算法。

此外，该算法具有令人尴尬的并行性，可以在不丢失数据信息的情况下获得更快的速度。标准普尔0 1 2 3L-542.61-483.51-447.98-427.46参数15 24 36 48BIC 1214.1 1070.1 1205.2 1267.2Moody\'sk 0 1 2 3L-470.70 415.06-391.33-361.76参数16 32 42 36BIC 1078.83 1104.98 1143.42 1032.74Fitchk 0 1 2 3L-530.02-496.57-469.41-472.59参数14 24 30 40BIC 1180.30 1199.29 1196.51 1288.75表4：变化点检测算法的结果表4给出了变化点数量（k）、最大似然函数（L）、参数数量和贝叶斯信息准则（BIC）的值。根据我们的结果，标普的最佳模型是在2012年1月12日检测到一个变化点。惠誉没有变更点。穆迪的最佳模型包括三个变化点：2002年11月11日；2009年3月30日和2013年4月29日。如表（5）所示，统计测试∧的显著性水平为0.05，以计算预期∧0.95∧p值和p 262.659 447.228 0.0099穆迪8.369 217.878 0.0049表5：统计测试结果∧0.95源自自举模拟；∧是根据观测数据计算得出的统计量。不等式和我们在第4节中提出的其他度量，使用从最后一个变化点开始的数据估计转移概率矩阵。特别是，在我们的应用中，参数的数量等于| G |，其中G={Pi j：Pi j>0，i 6=j}惠誉使用整个观察到的评级轨迹，因为没有检测到变化点。

表（6）表示S＆P1 2 3 4 5 6 7 81 0.99948 5.15e产生的转移概率矩阵- 04 0 0 0 0 0 02 9.71e- 05 0.99971 1.94e- 04 0 0 0 0 03 0 0 0.99954 4.57e- 04 0 0 0 04 0 3.77e- 04 0.99934 2.83e- 04 0 0 05 0 0 0 6.02e- 04 0.9994 0 0 0 06 0 0 0 0 0 0.99931 6.92e- 04 07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 208 0.99375 0.004178 0 0 0 0 0 0 0 0.01333 0.01333 0.97333表6：变化点后的转移概率矩阵（2012- 01- 12） 与上一子期间相关的数据。维持当前状态的可能性非常高，并且随着信贷质量的下降，这种可能性正在降低。此外，对于等级A和B（即gi∈ [3，6]）没有升级的可能性。我们计算Jafry-Schuermann距离dJS（见[22]），以比较PHMC和传统HMC的转移概率矩阵。Jafry和Schuermann提出的指数通过评估乘积▄P▄P的所有奇异值λio的平均值来测量平均转移概率，其中▄Pis是迁移率矩阵▄P的转置。尤其是▄P=P- 一、 其中，I是与原始转移概率矩阵P具有相同维数的单位矩阵：MSV D（P）=∑Ni=1qλi（≈PP）N，（44）该度量可以解释为给定迁移矩阵的平均迁移概率的代理。然后，通过比较三个矩阵的平均奇异值（在公式（44）中获得）来计算差值：DJS=MSV D（（k）P）- MSV D（P）。（45）其中（k）P表示PHMC的转移概率矩阵，P表示HMC的转移概率矩阵。该指标非常接近于零（dJS=1.42e- 04标准普尔和dJS=3.63e- 穆迪为04）。因此，这两种情况下的平均转移概率几乎相同，尽管上述测试表明PHMC存在显著差异。

该指标也用于比较所有机构的矩阵，我们观察到，距离的值在0.039和0.044之间，如表（7）所述：关于信用利差，为了计算多元分布，我们使用了适用于N个国家信用利差分布的Copula。特别是，根据假设A3，我们需要的边际分布是那些与评级等级相关的分布。图（6）显示了根据标准普尔数据得出的所有评级类别的经验信用利差分布。信贷息差以基点值表示。每个子图显示了从秩=1到秩=7的经验c.d.f。此外，表Fitch Moody\'s&PFitch-0.043805 0.039829 Moody-0.043805-0.0039757S&P-0.039829 0.0039757中显示了与这些分布相关的一些描述性统计数据。表7：DJ适用于所有机构的转移矩阵。0 0.5 1.5 2 2.5利差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级10 1 2 3 4 5 7利差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级20 1 2 3 4 5 7利差（%）00.10.20.30.40.50.70.80.91评级30 2 4 8 10 12利差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.9140 2 4 4 8 10 14利差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级52 4 6 8 10 12 14 16价差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级65 10 15 20 25 3035 40息差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级7图6：标普数据评级类别的经验分布。(8). 毫不奇怪，平均值会随着信用质量变得最差而增加（即从排名=1到排名=8）。感知到的风险越高，债务成本越高，排名1 2 3 4 5 6 7 8样本13272 11896 11221 12784 7376 1472 632 75平均值0321 0696 1700 2750 3834 7053 17356 21029 ST。开发人员。

0.350 0.772 1.298 1.635 1.954 2.254 8.344 7.451Skew 1.743 2.651 1.120 1.731 1.805 0.341 0.466 1.169Kurt 6.056 11.882 3.702 7.914 6.982 2 2.656 1.969 3.199表8：标准普尔数据的信用利差分布描述性统计。随着信贷质量的下降，这一成本的变化更大。此外，投资评级类别（即排名=1，…，4）的观察次数大于投机评级类别（排名=5，…，8）。测试利差分布，以了解评级类别使用不同分布是否因它们之间的显著差异而合理。Anova检验结果证实，利差分布不同，显著水平为0.05。惠誉穆迪公司11934,41 11725.85 17554.65p值0.00 0.00 0.00表9：所有评级机构内的方差分析测试。5.2评估金融不平等和总信贷利差。通过第4.1节所示的动态泰尔熵的预期值来评估金融风险不平等。这需要来自24个国家和8个评级级别（2 629 575）的所有可能的配置集。为了避免由于组合数量巨大而产生的计算问题，蒙特卡罗法是从根据每个评级机构的（k）Pi j对评级轨迹进行建模开始的。特别是，通过观察国家的初始配置，如果给定国家c在时间t访问了国家i，我们将取该国家概率分布的c.d.f.（即pi，·））。然后，一个伪随机数u∈ 生成了[0，1]，如ifk∑j=1pi，j≤ u（t）<k+1∑j=1pi，j，i、 k级∈ E、 c国在t+1时访问的下一个评级等级将等于k。这是从我们的数据集结束时观察到的国家的分配开始的为期三年的期限。

然后，根据每个时间t模拟的评级，通过从多变量分布中提取价差来模拟价差动态。这是通过将高斯Copula应用于上一节所示评级类别的经验分布来实现的。为了更好地模拟未来的支付，我们估计了每个国家观察到的信用利差的相对变化。一旦生成了扩散动力学，将为每个蒙特卡罗迭代计算不等式DT（sh（t））。这个过程已经执行了200次迭代。最后，通过所有迭代中不等式的平均值计算一阶矩，即[T DT（sh（T））]。图（7）显示了预期动态Theil熵随预期总信用利差变化的演变，即。V（t）=V（t）-V（t- 1). 总信贷息差的绝对变化以百分比值表示。初始值和结束值分别由圆圈和矩形表示。图7：所有机构的预期不平等和总信用利差的绝对变化预期不平等显示了所有三家机构的上升趋势。从相同的值0.47（圆圈点的横坐标）开始，预期的不平等在评级机构之间的演变不同。在标准普尔的情况下，其增长约为初始值的23%，最终值等于0.578（标准普尔曲线直角点的横坐标）。对于惠誉，不等式增大到0.721（惠誉曲线矩形点的横坐标）。最高的是穆迪的计算结果：事实上，预期的不平等比其他机构增长得更多，在地平线时间结束时，为0.91（穆迪曲线矩形点的横坐标）。

这些结果表明，在所有情况下，金融风险在三年后的平均分布都会减少。在图（7）的纵轴上显示了预期总信用利差的变化。它表示随着时间的推移，预期信贷总额的增长速度。在39.625（标普曲线圆点纵坐标）和44.638（标普曲线矩形点纵坐标）之间的时间段内，V（t）S&Pincreases。以类似的方式V（t）Fitchincreases，但介于40.331和42.340之间。相反，随着时间的推移，V（t）穆迪从41.646缓慢下降至40.205。预期总信用利差有助于我们量化金融风险的规模，并更好地解释金融风险的演变。表（10）显示了开始或模拟时，前两年和模拟结束后的总信贷利差值。这三个机构的价值以百分比和表示。通过查看表（10），可以明显看出，该指标的演变时间t=0 1第二季度第三年穆迪41.648 15106.994 30032.948 44789.140Fitch 40.325 14994.514 30272.184 45677.702S和P 39.615 14995.465 30659.464 46759.857表10：所有机构的V（t）=E[TC（0，t）]。评级机构的情况有所不同。第一年之后，穆迪机构的总付款额最高，其次是标准普尔。相反，从第二年开始，穆迪计算的总信用利差最小，其次是惠誉。这可以概括如下。在标准普尔的情况下，将有比其他机构更公平的分配。然而，金融风险的金额更高，且增长速度比其他机构更快。此外，惠誉数据[DT（sh（t））]的增长幅度大于标准普尔，但总信用利差在较低利率时增加。

这些结果表明，在这种情况下，也有一些国家支付的费用高于其他国家，但国家之间的差异更大，即使总风险更小。最后，在使用穆迪数据模拟的情景中，E[DT（sh（t））]goesup几乎为其观察值的90%，但总信用利差以递减的速度增加，这意味着增加的利差由一个比其他两个情景中更小的国家分组支付。动态泰尔指数的分解特性允许调查评级动态对金融风险不平等评估的影响。图（8）200 400 600 800 10000.260.280.30.320.340.360.380.40.420.44内部不平等Fitchs&PMoody\'s200 400 600 800 10000.10.150.20.250.30.350.40.450.50.55内部不平等Fitchs&PMoody\'s图8：所有代理的类间和类内不平等测度显示了分解为内部不平等（左面板）和内部不平等（右面板）的动态不平等测度。内部不平等评估了金融风险在评级类别之间的分散程度。内部不平等是评级类别内的不平等，根据已知每个国家在给定评级类别中的分配的信用利差的条件份额计算。根据图（8），所有机构的内部不平等测量值都在增加，穆迪的值最大，其次是惠誉和标准普尔。另一方面，内部不平等测量值显示出不同的趋势。事实上，对于穆迪来说，这一数字正在增加，这解释了该机构金融风险不平等的强劲增长。相反，对于其他机构来说，评级等级之间的不平等正在减少。尤其是惠誉，其下跌非常缓慢，直到模拟期的中期。之后，它几乎保持稳定。

因此，金融不平等的上升可以用阶级内部不平等的演变来解释。而在标普的情况下，阶级间的不平等程度会随着时间的推移而下降约23%。随着阶级内部不平等的增加，由此产生的金融风险不平等也会增加（如图7所示）。我们观察到，内部不平等测度的高值意味着评级类的强大解释力。相反，不平等间测度的较低值表示信用评级的相对影响力，同时解释了不平等的演变。5.3国家总信用利差与相关结构之间的协方差最后一个结果涉及第4.3节所述国家总信用利差之间的协方差。为了更好地解释结果，我们计算了相关系数。我们将该系数表示为ρα、βjα、jβ（t）。图（9-10）比较了累积观测价差估计的相关系数，即左面板上的ρα、β，以及右面板上使用标准普尔数据计算的ρα、βjα、jβ（t）。特别是，ρα、βjα、jβ（t）的值是在模拟周期的中间取的，即t=547。因此ρα，β是根据所有国家根据观测数据计算的相同时间长度的总差价进行估计的。图（9）显示了丹麦、瑞典和英国与所有其他国家之间的系数。如上所述，除其组成部分外，该群体与欧盟其他国家呈负相关。ρα、βjα、jβ（t）的结构与ρα、β的结构相近，相关系数的值几乎相似。例如，丹麦和英国之间或英国和意大利之间的ρα，βjα，jβ（t）=0.81和ρα，β=0.83ρα，βjα，jβ（t）=-0.96和ρα，β=-0.93.