基于copula的欧洲信用利差马尔可夫奖励方法

以下假设在本文中始终成立。假设1。流程Xc、c∈ C）是独立的且分布相同（i.i.d.）。在下面，我们将用X表示从它们的公共分布中得出的过程。假设1基于理论和实践要求：我们需要模型简单灵活，以便进行估算。此外，由于数据的稀缺性，估计国家之间的相关性结构可能是一项艰巨的任务。假设2。过程X是一个分段齐次马尔可夫链，取值于有序有限集E={1，…，D}，即存在一个正数k∈ N*∪{∞},a序列τ=0<···<τk=∞ 增加次数和序列（0）P，（k） 随机矩阵的P，对于任何l∈ N、 l≤ k、 对于任何t∈ {τl，…，τl+1-1} 和anyx，y∈ E、 x0：（t）-1） =（x，…，xt-1) ∈ Et，以下马尔可夫性质成立：PX（t+1）=y | X（t）=X，X（0：（t- 1） ）=x0：（t-1)= P（X（t+1）=y | X（t）=X）=（l）pxy，其中X（0：（t-1） ）=（X（0），X（t-1） ）和（l）pxyde根据矩阵（l）P注意到从x到y的转移概率。假设2意味着评级过程根据马尔可夫动态演变，可能会随时间变化。马尔可夫假设在有关信用评级动态的金融文献中被广泛使用（参见[2]、[4]、[22]、[24]），其中大部分涉及主权信用评级（参见[19]、[20]、[26]、[31]）。在我们的模型中，同质性仅限于构成时间线的一些子周期。这是因为存在一些导致国家财务状况或评级政策发生突然变化的事件（如金融危机）。假设2中的参数k表示此类突然变化的数量。时间间隔{τl，…，τl+1-1} ，对于l∈ {0, . . .

k-1} 对应于评级动态固定并由转移矩阵（l）P描述的时期。同质马尔可夫链的这些突变（也称为变化点）的检测在[27]、[32]和[33]中进行了研究，但从未应用于该财务问题。假设3。任何时候t∈ N和任何国家c∈ C，信用利差Sc（t）的条件分布，已知Xc（t）=x，其中x∈ E、 不依赖于t，也不依赖于c；我们忽略它fx，并假设fx是连续的，密度函数fx。从数学上讲，Fx：=D（Sc（t）| Xc（t）=x），对于任何t∈ N、 c类∈ C（2） 下面，我们将用分布Fx表示Wxa随机变量；在适当的情况下，它将替代Sc（t），仅限于事件Xc（t）=x，以简化一些条件期望的表达式，如E（Sc（t）| Xc（t）=x）=E（Wx）。假设3源于对评级动态的信用利差演变影响的认识。这是通过假设具有相同评级分配的国家的共同价差分布来正式确定的。假设4。任何时候t∈ N、 （S（t），…，的条件联合分布，SN（t））知道（X（t）=X，XN（t）=XN），带（x，…，XN）∈ ENis给定比亚迪（S（t），SN（t）| X（t）=X，XN（t）=XN）=Cθ（Fx，…，FxN），其中Fx，x∈ E由（2）给出，Cθ是一个参数copula，具有dependenceparameterθ。下面，对于给定的N元组x=（x，…，xN）∈ 我们将表示Wx：=（Wx，…，WxN）一个分布为Cθ（Fx，…，FxN）的随机向量。根据假设4，描述信用利差演变的多元随机过程（S，…，SN）由马尔可夫链Xc，c控制∈ 通过一些参数copula进行熔化。

copula的使用是因为该模型必须呈现的国家信贷息差之间存在一些依赖关系。4金融风险指标在本节中，我们介绍了Theil提出的不等式测度的定义及其对随机过程的推广。此外，还提出了两种财务风险指标：整个集团支付的预期总信用利差和两个国家支付的总信用利差之间的CO方差。4.1动态泰尔指数作为衡量不平等的最重要指标之一是泰尔指数[30]。它与概率分布的香农熵密切相关【29】。给定基数为N–例如{1，…，N}的有限集上的概率分布p=（p，…，pN），p的Theil指数T（p）定义为p和均匀分布u之间的Kullback-Leibler（KL）散度K（p | u），或等效为log（N）和香农熵S（p）之间的差值。精确地说，T（p）：=K（p | u）：=N∑i=1pilog（N·pi）=log（N）- S（p），（3），其中S（p）=-∑Ni=1pilog pi。Theil指数的定义在随机过程中扩展了[7]；有关该指数的加法分解，请参见[8]。基于这些参考文献，我们现在介绍了信用利差的动态泰尔指数，我们使用该指数来评估金融风险分布的质量。让一个国家的信贷份额分摊c∈ 时间t时的C∈ N定义为其信贷利差Sc（t）相对于所有国家信贷利差总额或总额t（t）的比例：=∑d∈CSd（t）；数学上，shc（t）=Sc（t）t S（t）=Sc（t）∑d∈CSd（t）。sh（t）时信贷利差份额向量：=（shc（t））c∈Cde定义了国家C集合的概率分布。

请注意，sh：=（sh（t）t∈N） 是一个依赖于随机过程Sc，C的随机过程（在C上的概率分布集中取其值）∈ C我们称之为信用利差的动态泰尔指数，即托卡斯蒂克过程DT（sh（t）），即DT（sh（t））=∑c∈Cshc（t）log（N·shc（t）），t∈ N、 （4）确定性和动态Theil指数都满足以下特性，这些特性直接源于Shannon熵或KL散度（参见[5，第2章]）；这里为动态泰尔熵公式：1。对于任何t，DT（sh（t））属于[0，log（N）]∈ N、 对于均匀分布和任何Dirac测度，分别获得了上下界。下限对应于金融风险的完美均衡分布，因为所有国家都支付相同金额的信贷利差。另一方面，上限是指当一个国家支付总价差时，金融风险的集中度。2、可加性分解。特别地，如果我们表示gx（t）：={c∈ C:Xc（t）=x}评级分配为x的国家子集∈ 时间t时{1，…，D}∈ N、 动态泰尔指数DT（sh（t））是信贷利差份额分布的泰尔指数与子集q（t）=（q，…，qD）之和，其中qx=∑c∈gxshc，x∈ {1，…，D}和子集的泰尔指数的平均值。也就是说，为了简单起见，去掉了符号中的时间依赖性，DT（sh（t））=DT（q）+D∑x=1qx∑c∈gxshc | gxlogshc | gx，（5）其中，对于c，shc | gx=shcqx∈ gx代表c国信用利差份额的有条件分布，知道c属于gx子集（即其比率分配为x）。DT（q）是评级等级gx，x=1。

，D–如阶级间不平等测度，whileD∑x=1qx∑c∈gxshc | gxlogshc | gx=D∑x=1qxDT（sh.| gx），是衡量组内不平等的指标，比如组内不平等指标。3、对人群中信用利差的转移敏感。这意味着泰尔指数对信贷利差分布下尾的迁移比对上尾的迁移更敏感。它对于类置换是不变的。这意味着如果所有c∈ C支付了类似的信用利差，忽略了信用利差的金额，例如所有国家所占的类别。此外，随着信用利差值的增加，DT（sh（t））变小。通过计算一阶矩E[DT（sh（t））]，可以更好地总结动态泰尔指数。提案1。根据假设A1-A4：E[DT（sh（t））]=N∑i=1∑（a，…，aN）∈ENN∏h=1∑（b，…，bl）∈厄尔-1.∏d=0（d）P（τd+1-τd）bd，bd+1·（l）P（t-τd+1）bd+1，ah·Z+∞···Z+∞埃扎伊∑Nj=zajlogNzai∑Nj=zaj！f（a，…，aN）（za，za，…，zaN | dza，dza，…，dzaN）。（6） 式中，fX（t）。。。XN（t）=NFX。。。XN公司 y型···yN=cθ外汇（t）（y），FXN（t）（yN）外汇（t）（y）·…·fXN（t）（yN）。（7） 证明。设（i，…，iN）为收集所有N个国家在初始时间t=0时的评级分配的向量，设（a，…，aN）为收集给定未来时间t内评级分配的向量。预期值由[t（p（t））]=E“N给出∑i=1pi（t）log（N pi（t））#=N∑i=1E“Si（t）∑Nj=1Sj（t）logN·Si（t）∑Nj=1Sj（t）#（8） =N∑i=1E“E”Si（t）∑Nj=1Sj（t）logN·Si（t）∑Nj=1Sj（t）！X（t），XN（t）##, （9） 根据假设，A3（9）变为：；E[DT（sh（t））]=N∑i=1∑（a，…，aN）∈ENP公司X（t）=a，XN（t）=aN | X（0）=i，XN（0）=英寸· E“Wai∑Nj=1WajlogN·Wai∑Nj=1Waj#（10） 根据分段马尔可夫链假设（A2），可以得出如下结论：∈ N l∈ {0，1，2，…，k}：t∈ {τl，…，τl+1- 1}.

（11） 因此，这Xh（t）=ah | Xh（0）=ih==∑b∈E∑b∈E类···∑基本法∈EP公司Xh（t）=ah，Xh（τl）=bl，Xh（τ）=b，Xh（τ）=b | Xh（0）=i,（12） 可以重写asPXh（t）=ah | Xh（0）=ih=∑（b，…，bl）∈EP公司Xh（t）=ah | Xh（τl）=bl· PXh（τl）=bl | Xh（τl-1） =bl-1.· . . .· PXh（τ）=b | Xh（τ）=b· PXh（τ）=b | Xh（0）=i=∑（b，…，bl）∈E（l）P（t-τl）bl，ah·（l）-1） P（τl-τl-1） 基本法-1，bl··（1） P（τ-τ） b，b·（0）P（τ）i，b=∑（b，…，bl）∈埃尔-1.∏d=0（d）P（τd+1-τd）bd，bd+1·（l）P（t-τd+1）bd+1，ah。（13） 因此，通过将（13）替换为（10），我们得到[DT（sh（t））]=N∑i=1∑（a，…，aN）∈ENN∏h=1∑（b，…，bl）∈厄尔-1.∏d=0。（d） P（τd+1-τd）bd，bd+1·（l）P（t-τd+1）bd+1，ah· E“Wai∑Nj=1WajlogN·Wai∑Nj=1Waj！#。（14） 最后，在假设A4下，可以根据：E“Wai计算（14）的最后一项∑Nj=1WajlogN·Wai∑Nj=1Waj#=Z+∞···Z+∞在∑Nj=zajlogNzai∑Nj=zaj！f（a，…，aN）（za，za，…，zaN | dza，dza，…，dzaN）。（15） 因此，（6）成立。4.2第4.1节中讨论的总信用利差泰尔指数在其确定性和动态形式化方面，对于类别排列是不变的。因此，需要对总风险进行衡量，以便更好地理解和解释财务风险。为了寻求稳定性，让我们举一个非常简单的例子。假设我们有两种情况，即国家在四个时期内支付表3所示的信贷利差。支付的总利差案例1 a b c d e案例2 a b c d et=1 2 4 5 6 3 t=1 2 4 5 6 3t=2 12 14 16 13 t=2 3 5 6 7 4t=3 22 24 25 26 23 t=3 4 6 7 8 5t=4 32 34 36 33 t=4 5 7 8 6表3：五个代理在四个期间支付的信贷利差。在两种不同的情况下，样本的TC={20、70、120、170}和TC={20、25、30、35}。根据方程式0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07T（p（t））00.010.020.030.040.050.060.070.08tTheil指数和总信贷利差计算得出的不平等度量。

案例1案例2图5：第一种案例（虚线）和第二种案例（连续线）计算的泰尔指数和总价差以及总价差相对变化如图5所示。尽管两种情况下国家间的差异相同，但在第一种情况下，泰尔指数的值较低，对应于总价差的较高值。通过仅考虑不平等度量，结果表明，第一种情况下的最佳情况。例如，指数从相同的值开始，即0.065对应于图中的黑色圆圈，但它们的演变不同，第一种情况下达到0.0009，第二种情况下达到0.02（结束值由两个矩形表示）。然而，在观察总价差的变化时，第二个样本显示了更好的情况，因为总价差较低，并且比第一个样本增长更为缓慢。因此，应同时考虑这两项指标的演变，以便准确评估金融风险在国家间的分布以及在给定时期内的风险金额。为了量化整个样本支付的总信用利差，我们按照以下步骤进行。表示b=xc（0）=i，并定义c∈ Ct型∈ [τl，τl+1- 1] [1:l]P（t）i j=P（X（t）=j | X（0）=i），（16）任何给定子周期内从状态i到状态j的转移概率。根据（13），它由[1:l]P（t）i j给出=∑（b，…，bl）∈厄尔-1.∏d=0（d）P（τd+1-τd）bd，bd+1·（l）P（t-τd+1）bd+1，j.（17）定义2。c国根据其评级分配支付的预期总信用利差定义为VI（t）=E[TCc（0，t）]：=E“t∑s=1D∑j=1{Xc（t）=j | Xc（0）=i}Sc（s）#。（18） 提案3。在假设A1-A4下，c国支付的预期总信用利差为：Vi（t）=Vi（t- 1） +D∑j=1[1:l]P（t）i j·Z+∞Fj（y）dy，（19），其中Fj（y）是生存函数。证据

Vi（t）可以递归地找到。因此，我们可以按以下方式分解（18）：Vi（t）=E“t-1.∑s=1D∑j=1{Xc（t）=j | Xc（0）=i}Sc（s）+E“D∑j=1{Xc（t）=j | Xc（0）=i}Sc（t）#，（20）在假设A3和定义2下，方程（20）可以重写为Vi（t）=Vi（t- 1） +E“D∑j=1{Xc（t）=j | Xc（0）=i}Wj#=Vi（t- 1） +D∑j=1E{Xc（t）=j | Xc（0）=i}· E【Wj】。（21）一旦我们观察到，等式（19）成立∑Dj=1E{Xc（t）=j | Xc（0）=i}等于公式（17），且E[Wj]=R+∞Fj（y）dy.备注4。一旦计算出每个国家支付的预期信用利差，预期总信用利差由以下公式得出：V（t）=E[TC（0，t）]=D∑j=1nj（0）·Vj（t），（22），其中nj（0）表示在评级等级j中分配的国家的初始数量。因此，人们可以理解金融风险是否相当大，而熵的测量表明了不平等的度量。4.3各国总信贷利差之间的协方差。两国支付的总息差之间的协方差是一个有用的指标，有助于了解一些国家的信贷息差的演变是否是相互依赖的。为了计算该指标，我们需要两个国家支付的总信用利差的预期值，即V（α，β）aα，aβ（t）。定义5。两个国家支付的总信用利差产品的预期值定义为v（α，β）aαaβ（t）：=Et型∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·t型∑s=1D∑jβ=1{Xβ（s）=jβ| Xβ（0）=aβ}sβ（s）,(23)α, β ∈ C，Xα（0）=aα，Xβ（0）=aβ，t型∈ [τl，τl+1- 1].提案6。在假设A1-A4下，V（α，β）aαaβ（t）由V（α，β）aαaβ（t）=V（α，β）aαaβ（t）给出- 1） +Vaα（t- 1)D∑jβ=1[1:l]P（t）aβ，jβ·Z+∞(R)Fjβ（x）dx+Vaβ（t- 1） D∑jα=1[1:l]P（t）aα，jα·Z+∞\'\'Fjα（x）dx+D∑jα=1D∑jβ=1[1:l]P（t）aα，jα[1:l]P（t）aβ，jβ·Z+∞Z+∞z·z·f（α，β）jα，jβ（z，z）dzdz。（24）证明。

与第4.2节中的证明类似，我们可以递归计算期望值，因此v（α，β）aαaβ（t）=Et型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）+D∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}Sα（t）·t型-1.∑s=1D∑jβ=1{Xβ（s）=jβ| Xβ（0）=aβ}sβ（s）+D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）.（25）将成员乘以我们获得的成员：Et型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·t型-1.∑s=1D∑jβ=1{Xβ（s）=jβ| Xβ（0）=aβ}sβ（s）+ Et型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）+ Et型-1.∑s=1D∑jβ=1{Xβ（s）=jβ| Xβ（0）=aβ}sβ（s）·D∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}Sα（t）+ ED∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}Sα（t）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）.（26）根据定义5，（26）的第一个附录与时间t时α和β国家支付的总信用利差产品的预期值一致-1，即V（α，β）aαaβ（t-1). 对于第二个附录，我们有：EEt型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）σX（α）（z）、S（α）（z）、X（β）（z）、z≤ t型-1.= Et型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·ED∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）σX（α）（z）、R（α）（z）、X（β）（z）、z≤ t型-1..（27）现在，在假设A1（X（α）和Xβ的i.i.d）下，我们有D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）σX（α）（z）、S（α）（z）、X（β）（z）、z≤ t型-1.=D∑jβ=1E{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}WjβX（β）（t- 1).（28）在假设A3下，由于马尔可夫性质，（28）可以重写为asD∑jβ=1Eh{Xβ（t）=jβ| Xβ（t-1） }i·EhWjβi=D∑jβ=1[1:l]P（t）X（β）（t-1） ，jβ·Z+∞Fjβ（y）dy.（29）因此，（27）变成：E“t-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·[1:l]P（t）X（β）（t-1） ，jβ·Z+∞Fjβ（y）dy#，，（30），对于A1，可以重写为“t-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}WXα（s）#·E[1:l]P（t）X（β）（t-1） ，jβ·Z+∞Fjβ（y）dy= Vaα（t- 1) ·D∑jβ=1[1:l]P（t）aβ，jβ·Z+∞Fjβ（y）dy.（31）给出了（26）的第二个附录。

（26）的第三个附录是对称的，相对于第二个附录，我们只需要交换α和β。因此：Vaβ（t- 1） ·“D∑jα=1[1:l]P（t）aα，jα·Z+∞Fjα（y）dy#。（32）关于（26）的最后附录，我们有：D∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}WX（α）（t）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}WXβ（t）= EED∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}WX（α）（t）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}WXβ（t）X（α）（t），X（β）（t）.（33）在假设A4下，从=ED∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}WX（α）（t）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}WXβ（t）X（α）（t），X（β）（t）,（34）我们获得∑jα=1D∑jβ=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}{X（β）（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}·EhWX（α）（t）·WX（β）（t）i=D∑jα=1D∑jβ=1{X（α）（t）=jα，X（β）（t）=jβ}·Z+∞Z+∞f（α，β）X（α）（t），X（β）（t）（z，z）·z·zdzdz，（35），其中f（α，β）X（α）（t），X（β）（t）（z，z）=FX（α）（t），X（β）（t）（z，z） z z、 （36）因此，（26）的最后附录将由D∑jα=1D∑jβ=1{X（α）（t）=jα，X（β）（t）=jβ}·Z+∞Z+∞f（α，β）X（α）（t），X（β）（t）（z，z）·z·zdzdz,（37）导致=D∑jα=1D∑jβ=1[1:l]P（t）aα，jα[1:l]P（t）aβ，jβ·Z+∞Z+∞z·z·f（α，β）jα，jβ（z，z）dzdz。（38）备注7。命题3-6允许通过以下方式计算两国支付的总信用利差之间的协方差：σ（α，β）jα，jβ（t）=CovTC（α）（0，t），TC（β）（0，t）= V（α，β）aαaβ（t）-Vaα（t）·Vaβ（t）。（39）5结果和讨论在本节中，我们展示了我们通过将整体方法应用于第2节中提供的数据而获得的实证结果。在简要介绍了变化点检测算法之后，我们开始对结果进行描述和解释。特别是，对于寻求综合，并非所有机构的所有结果都显示出来。但是，可根据要求提供结果。5.1分段齐次马尔可夫链（PHMC）和信用利差边际分布的估计应用程序从检测评级动态中的任何中断开始。