克拉姆-伦德伯格破产概率的收敛速度

（4.1）注意Fnψn，ψn（x），ψ′n（x+），ψn（·）= 对于所有x>0，ψnis独立于λ，但明显依赖于n。在接下来的两个属性中，我们修改ψdt，分别获得ψn的下界和上界。在附录A中，我们给出了激发这些边界的背景计算。我们首先修改ψdt以获得ψn的下界。命题4.1。假设m的存在使得supd≥0E（Y）- d） eγ√m（Y-d）Y>d< ∞. （4.2）选择ε>0，通过δ=max“θ，supd确定δ≥0γE（Y- d | Y>d）+ε#, （4.3）并选择N>m maxδ、 m级这样的话≥0γ√新西兰（1- ω） E类（Y）- d） eγω√N（Y）-d）Y>ddω≤ ε. （4.4）然后，对于所有n>n，1.-δ√nψD（x）<ψn（x），（4.5）对于所有x≥ 0.证明。因为δ≥ θ、 我们有1.-δ√nψD（0）=1-δ√n≤ 1.-θ√n<1+θ√n=ψn（0）。此外，limx→∞1.-δ√nψD（x）=0=limx→∞ψn（x）。接下来，考虑Fnevaluated atln、 其中ln（x）=1.- δ/√nψD（x），并假设w在失去一般性的情况下，n>δ：Fnx，ln（x），l′n（x），ln（·）= λ1.-δ√ne-γx√n+θEYγ- 新西兰∞eγt√n- 1.dFY（t）+ nλZ∞√nx公司1.-δ√neγt型√n-x个- 1.dFY（t）∝√n+θEYγ- 新西兰∞eγt√n- 1.dFY（t）+新西兰∞√nxeγt√n-1.-δ√neγx！dFY（t）∝ -Z∞eγt√n- 1.-γt√n-γt2ndFY（t）+Z∞√nxeγt√n-1.-δ√neγx！dFY（t）。（4.6）第一个积分自动为负；因此，如果我们确定δ和n>δ的值，对于所有n>n和所有x，二次积分都是非正的≥ 0，那么引理2.1意味着l对于所有x，n（x）<ψn（x）≥ 0和所有n>n。为此，考虑以下不等式：Z∞√nxeγt√n-1.-δ√neγx！dFY（t）≤ 0、如果SY(√nx）=0，则左侧等于0，因此假设SY(√nx）>0。更换后√nx除以d，再除以eγxSY（d），上述不等式变为z∞deγ√n（t）-d）-1.-δ√ndFY（t）SY（d）≤ 0，用于d≥ 0，或等效Z∞deγ√n（t）-d）- 1.dFY（t）SY（d）≤δ√n1-δ√n、 如果我们发现δ满足以下更强的不等式，则上述不等式序列成立：Z∞deγ√n（t）-d）- 1.dFY（t）SY（d）≤δ√n

（4.7）将不等式（4.7）左侧的被积函数重写为f，z=t- d： eγz√n- 1=γz√n+γznZ（1- ω） eγz√nωdω。因此，不等式（4.7）等价于z∞dγ（t- d）√n+γ（t- d） 新西兰（1- ω） eγ（t-d）√nωdωdFY（t）SY（d）≤δ√n、 或者，将两侧乘以√n和转换积分的顺序，γE（Y- d | Y>d）+γ√新西兰（1- ω） E类（Y）- d） eγω√n（Y）-d）Y>ddω≤ δ. （4.8）注意，左侧随着n的增加而减少。因此，如果我们分别按照（4.3）和（4.4）定义δ和n，则不等式（4.8）适用于所有d≥ 0且所有n>n，这意味着fn在l所有x为nis负值≥ （4.5）中的结论遵循引理2.1，因为fn在ψnequals 0处计算。在下面的命题中，我们修改ψdt以获得ψn的上界。命题4.2。定义函数νnbyДn（x）=e-γ-α√nx=ψD（x）eα√nx。（4.9）如果α>γEYEY, （4.10）则存在N>0，使得对于所有N>N，ψN（x）<νN（x），（4.11）对于所有x≥ 0.证明。ψn（0）<1=Дn（0）。此外，limx→∞ψn（x）=0=limx→∞νn（x），如果n>（α/γ）。接下来，考虑Fn在νn处评估：Fnx、 νn（x），Д′n（x），Дn（·）= λe-γ-α√nx个√n+θEY公司γ -α√n- 新西兰∞eγ-α√nt型√n-1.dFY（t）+ nλZ∞√nx公司eγ-α√nt型√n-x个-1.dFY（t）。（4.12）如果n>（α/γ），（4.12）的最后一行自动为非负。卷曲苞片中的表达与x无关；用一个。如果我们发现α和N>（α/γ）的值对所有N>N都是正的，那么引理2.1意味着所有x的ψN（x）<νN（x≥ 0和f或所有n>n。在Anto-obtainAn中展开被积函数的指数=√n+θEY公司γ -α√n-新西兰∞eγ-α√nt型√n- 1.-γ -α√nt型√n-γ -α√nt2n型-γ -α√nt6n3/2！dFY（t）-nγ -α√nEY公司√n个+γ -α√nEY2n个+γ -α√nEY6n3/2=γ√nαEY-γEY+ On-1..选择（4.10）中的α；那么，上述表达式中的第一项是严格正的。

接下来，选择>（α/γ），使AN中余项的绝对值（如果为负值）小于第一项。因此，对于α的选择，An>0，对于所有n>n。因此，（4.11）中的结论来自引理2.1，因为fn在ψnequals 0处求值，而fn在vnispositive处求值。在下面的定理中，我们结合了命题4.1和命题4.2的结果。定理4.1。如果（4.2）成立，则存在C>0和N>0，这样，对于所有N>N和x≥ 0,ψn（x）- ψD（x）≤C√n、 （4.13）回想（3.3）和（3.4），ψD（x）=e-γx，γ=2θEYEY.证据从命题4.1和4.2可以看出1.-δ√ne-γx<ψn（x）<e-γ-α√nx、 减去e-γx从每个s ide产生，-δ√氖-γx<ψn（x）- e-γx<e-γ-α√nx个- e-γx。很明显，左侧以-δ/√n、 基本微积分会对每n>α/γ,右侧上方以1.-αγ√nγ√nαα√nγ-α√n第一个因子收敛到e-1，第二个因子的阶数为On-1/2. 通过将此上界与下界相结合，我们推导出不等式（4.13）。备注4.1。定理4.1断言ψntoψDis的收敛速度为O阶n-1/2,而且，收敛在x上是一致的∈ [0, ∞). 通过使用概率技术并依赖于底层过程分布的收敛性，其他人证明了点态收敛极限→∞ψn（x）=ψD（x），不估计速率。精算文献中第一个这样做的是Iglehart【10】；有关这方面的最新工作，请参见B¨auerle[3]。备注4.2。

根据定理4.1的证明，相对于极限e-γx，我们看到ψ与e之间的相对误差-γxis的界限如下：-δ√n<ψn（x）- e-γxe-γx<eα√nx公司- 1、上下界均为O阶n-1/2, 但是，上界在x中并不一致。也就是说，考虑Cram'er-Lundberg渐近公式；例如，参见定理5.7 inSchmidli【17】：limx→∞ψn（x）eRnx=θ√氖Y√nEY√书呆子√n-1 +θ√nEY√n=θEY√东北部Y eRnY公司√n- (√n+θ）EY，（4.14），其中Rn是调整系数，即Rn是0=E的正根埃里√n-1 +1 +θ√nEY√nr.可以证明limn→∞Rn=γ，andlimn→∞林克斯→∞ψn（x）eRnx=1。（4.15）有关这两个限值的证明，请参见附录B。此外，从定理4.1中，我们知道limn→∞ψn（x）eRnx=1表示所有x≥ 当Y如例3.1所示呈指数分布时，我们可以加强定理4.1的结果。定义函数f：[0，∞) × [0, θ] → R byf（z，w）=1+wexp-z1+w.定义εn=n-1/2; 那么，对于任何n∈ N和x∈ [0, ∞ ),ψn（x）=f（θβx，θεn）。最后，定义函数g:[0，∞ ) ×[0, 1] → R乘以g（x，y）=f（θβx，θy）。利用函数f，对于指数情形，我们给出了任意阶ψnof的一致渐近逼近。定理4.2。如果Y~ Exp（β），平均值为1/β，然后对于任何k∈ N、 对于所有N，存在C=C（k）>0这样的值∈ N和x≥ 0,ψn（x）-kXm=0εmnm！m级ymg（x，0）≤ Cεk+1n=Cn（k+1）/2。（4.16）证明。因为g线性变换为f，所以有必要显示LIM supw→0+supz≥0周+1f（z，w）-kXm=0wmm！m级wmf（z，0）< ∞.通过泰勒展开，对于任何z≥ 0和w∈ [0，θ]，存在wz∈ [0，w]使得f（z，w）-kXm=0wmm！m级wmf（z，0）=周+1（k+1）！k+1wk+1f（z，wz）。因此，p问题归结为显示LIM supw→0+supz≥0k+1wk+1f（z、wz）< ∞,这又源于s tronger不等式SUPW∈[0，θ]，z≥0k+1wk+1f（z、w）< ∞.

（4.17）通过归纳可以表明，f或任何k∈ N、 存在一个二元多项式Pk+1，这样k+1wk+1f（z，w）=Pk+1（z，（1+w））（1+w）k+1f（z，w）。因为变量w的域是一个紧集，它的边界远离-1，即[0，θ]，因此，对于任何l ∈ N、 supw公司∈[0，θ]，z≥0zlf（z，w）<∞,这显然是真的。因此，我们得出（4.17）成立，从而完成了该定理的证明。示例4.1。（4.16）的另一种思考方式~ Exp（β）和k=1是limitlimn→∞nψn（x）- e-θβx1 +θ√nθβx- 1.对所有x都是有限的≥ 0且关于x一致有界。但是，当Y~ Gamma（2，β）如例3.2所示，由于x=0时膨胀的不连续性，x>0的相应极限为近似线性→∞n1+θ√n- 1 +8θ√n！=画→∞-θ√n= -∞.因此，对于一般索赔严重性Y，我们不能期望比定理4.1做得更好。备注4.3。根据示例4.1末尾的注释，我们激励On-1/2收敛速度。请注意，预极限过程弱收敛于布朗运动（带漂移），并且通过Skorokhod表示定理，我们可以认为在紧时间区间上的收敛是一致的。现在，因为预限制过程有阶跃On-1/2, 因此，在布朗运动的第一次击中时间为0时，预极限过程为On-1/2-0的邻域。通过矛盾论证，假设（4.13）中的比率也可以提高n-1/2, 然后从c开始，命中0的概率/√n、 是e-γc/√n+on-1/2≈1+c/√n+on-1/2, 对于一些标量c∈ R

c/√n项表示命中概率之间的差值为O级n-1/2, 与我们猜测的改进相矛盾。5总结与未来研究我们证明了决定Cram'er-Lundberg（CL）模型破产问题的积分微分方程的比较引理（引理2.1）。通过使用这个比较引理，我们在定理4.1中表明，limn的收敛速度→∞ψn=O阶ψDisn-1/2在x上是一致的≥ 一般来说，无法提高这种收敛速度，我们在示例4.1中通过示例进行了演示，并在R emark 4.3中进行了讨论。这就是说，对于指数分布的索赔，在定理4.2中，我们证明了我们可以将ψnup近似为任何ord er，也可以是一致的inx≥ 参考文献中的许多参考文献也考虑了有限时间破产问题，这是我们在本文中没有提到的。因此，在未来的工作中，我们将找到一个与定理4.1平行的，在有限时间内的RUIN概率的渐近结果。更重要的是，我们将考虑通过再保险或最优股息对Surplus过程进行最优控制。由于问题变得容易处理，所以在应用控制之前，通常将离散近似（DA）应用于盈余过程。然而，CL情况下的最优策略可能与DA情况下的最优策略大不相同。例如，在CL模型下最小化破产概率时，对于小剩余值，最优的每索赔保留策略是保留所有索赔；相比之下，在theDA模型下，当盈余接近0时，每项索赔的最优保留率严格为正。看看我们是否能得到受控破产概率的渐近结果是很有趣的。Gerber、Sh iu和Smith[8]提出了股息问题的近似方法。

此外，B¨auerle[3]考虑了股息问题的大λ近似，并证明了当泊松率随着本文中索赔严重性的相应缩放而增加时，当λ变为完整时，最优值函数收敛到DA下的函数。确定最优势垒的收敛速度是否为O阶是很有趣的n-1/2, 正如本文的工作所表明的那样。我们将进行的另一项研究是改进现有的对排队系统中繁忙时间和逗留时间的估计。回想一下，在导言中，扩散代理通常用于随机网络，被称为重传递代理。此外，积分微分方程通常用于估计期望值和概率，例如参见[19、16、2]。因此，很自然地，可以为标度系统制定积分微分，并应用本文中的方法，以达到收敛速度加上某些感兴趣程度的收敛速度。在本附录ψDIn处，我们给出了启发命题4.1和4.2的计算。Fn公司x、 ψD（x），（ψD）x（x），ψD（·）= λe-γx√n+θEYγ- 新西兰∞eγt√n- 1.dFY（t）+ nλZ∞√nx公司eγt型√n-x个- 1.dFY（t）=λe-γx√n+θEYγ- 新西兰∞γt√n+γt2ndFY（t）+ nλZ∞√nx公司eγt型√n-x个- 1.dFY（t）- nλe-γxZ∞eγt√n- 1.-γt√n-γt2ndFY（t）。（A.1）花括号中的条款取消，我们只剩下fnx、 ψD（x），（ψD）x（x），ψD（·）= -nλe-γxZ∞eγt√n- 1.-γt√n-γt2ndFY（t）+nλZ∞√nx公司eγt型√n-x个- 1.dFY（t）=-nλe-γxZ∞γt2n3/2Z（1- ω） eγt√nωdωdFY（t）+nλZ∞√nx公司eγt型√n-x个- 1.dFY（t）=-λe-γxγ√新西兰（1-ω） E类Yeγω√纽约州dω+nλZ∞√nx公司eγt型√n-x个- 1.dFY（t）。第一项为负，顺序为On-1/2.

如果我们设置d=√nx，则第二项为nλZ∞√nx公司eγt型√n-x个-1.dFY（t）=nλZ∞deγ√n（t）-d）- 1.dFY（t）=nλZ∞deγ√n（t）-d）- 1.dFY（t）=nλSY（d）Z∞dγ（t- d）√nZeγ（t-d）√nωdωdFY（t）SY（d）=√nγλSY（d）ZE（Y）- d） eγω√n（Y）-d）Y>ddω，为正，为O级√n.为了获得ψn的下界，我们修改了ψDso，使相应的修改后的第二项为负，这是命题4.1的要点。缩放不会影响第一项的负号，但会使第二项为负号。此外，请注意，缩放有效地减去了O级的atermn-1/2从ψD中，为了获得ψn的上限，我们修改了ψDso，使得相应的修改后的第一项为正，这就是命题4.2的要点。α的附加指数/√n不影响第二项的正号，而是使第一项为正。此外，请注意，ψD指数的修改有效地增加了一个O阶项n-1/2为了ψD.B证明备注4.2中所述的两个极限，我们将证明limn→∞Rn=γ，（B.1），其中Rn是由fn（r）=E定义的函数fn的正零埃里√n-1 +1 +θ√nEY√nr,我们假设Rn>0存在。从Schmidli【17】第90-91页，我们知道Rn<γ，对于所有n∈ N、 设ε>0；然后，存在N，使得γ√东北部YEYeγY√N< ε. （B.2）然后，通过在fn中展开指数，我们得到0=E埃尔尼√n- 1.-RnY公司√n-RnY2n+Rnn公司RnE公司Y- θEY,或等效地，0=ERnY2n3/2Z（1- ω） 埃尔尼√nωdω+Rnn公司RnE公司Y- θEY,or0=Rn√东北部YZ（1- ω） E类耶尼√nωdω+（Rn- γ).那么，（B.2）意味着，对于n>n，我们有0<ε+（Rn- γ） ，或0<γ- Rn<ε。因此，我们证明了（B.1）中的极限。接下来，我们将证明（4.15）。

展开表达式forlimx分母中的指数→∞ψn（x）eRnxin（4.14），具体而言，√东北部Y eRnY公司√n-√n+θEY公司=√东北部Y埃尔尼√n-1.-RnY公司√n+ RnE公司Y- θEY=√东北部Y·RnYnZ（1- ω） 埃尔尼√nωdω+ RnE公司Y- θEY=Rn√新西兰（1- ω） E类耶尼√nωdω+（Rn- γ） E类Y+ θEY，分母的极限n等于θEY，因为前两项为0；因此，我们在（4.15）中证明了极限。确认：作者感谢两位匿名推荐人的建议，这些建议改进了论文的陈述。参考文献[1]Asmussen，Soren（1984），《有限时间内破产概率的近似值》，斯堪的纳维亚精算杂志，1984（1）：31-57。[2] Ayesta、Urtzi、Onno Johan Boxma和Ina Maria Ver loop（2012年）。在一个有多个假期的游行队伍中的逗留时间。排队系统，71（1-2）：53-78。[3] B–auerle，Nicole（2004）。最佳恢复和股息支付政策的近似值。数学金融，14（1）：99-113。[4] Broeckx、Fernand、Florian De Vylder和Marc Goovaerts（1986年）。风险和破坏概率的排序。保险：数学与经济学，5（1）：35-39。[5] 陈浩和David D.Yao（2001）。排队网络基础：性能、渐近性和优化。柏林斯普林格。[6] 克拉姆·哈拉尔德（1930）。关于风险的数学理论。斯德哥尔摩Centraltryckeriet。[7] De Vylder、Florian和Marc Goovaerts（1984年）。经典破产概率的界。保险：数学与经济学，3（2）：121-131。[8] Gerber、Hans U.、Elias S.W.Shiu和Nathaniel Smith（2008）。估计最优股息壁垒和破产概率的方法。保险：数学与经济学，42（1）：243-254。[9] 格兰德尔，1月（1977年）。破产概率的一类近似。斯堪的纳维亚精算杂志，1977（1）：37-52。[10] Iglehart，Donald L.（1969年）。

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