克拉姆-伦德伯格破产概率的收敛速度

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英文标题：
《Rate of Convergence of the Probability of Ruin in the Cram\\\'er-Lundberg
  Model to its Diffusion Approximation》
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作者：
Asaf Cohen and Virginia R. Young
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We analyze the probability of ruin for the {\\it scaled} classical Cram\\\'er-Lundberg (CL) risk process and the corresponding diffusion approximation. The scaling, introduced by Iglehart \\cite{I1969} to the actuarial literature, amounts to multiplying the Poisson rate $\\la$ by $n$, dividing the claim severity by $\\sqrtn$, and adjusting the premium rate so that net premium income remains constant. %Therefore, we think of the associated diffusion approximation as being \"asymptotic for large values of $\\la$.\"   We are the first to use a comparison method to prove convergence of the probability of ruin for the scaled CL process and to derive the rate of convergence. Specifically, we prove a comparison lemma for the corresponding integro-differential equation and use this comparison lemma to prove that the probability of ruin for the scaled CL process converges to the probability of ruin for the limiting diffusion process. Moreover, we show that the rate of convergence for the ruin probability is of order $\\mO\\big(n^{-1/2}\\big)$, and we show that the convergence is {\\it uniform} with respect to the surplus. To the best of our knowledge, this is the first rate of convergence achieved for these ruin probabilities, and we show that it is the tightest one in the general case. For the case of exponentially-distributed claims, we are able to improve the approximation arising from the diffusion, attaining a uniform $\\mO\\big(n^{-k/2}\\big)$ rate of convergence for arbitrary $k \\in \\N$. We also include two examples that illustrate our results.
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中文摘要：
我们分析了{\\it scaled}经典Cram\\er-Lundberg（CL）风险过程的破产概率和相应的扩散近似。Iglehart{I1969}在精算文献中引入的比例相当于将泊松率$\\la$乘以n$，将索赔严重性除以$\\sqrtn$，并调整保费率，使净保费收入保持不变。%因此，我们认为相关的扩散近似是“对于$\\la$的大值是渐近的”我们是第一个使用比较方法证明规模CL过程破产概率的收敛性并推导收敛速度的人。具体来说，我们证明了相应积分微分方程的一个比较引理，并利用这个比较引理证明了标度CL过程的破产概率收敛于极限扩散过程的破产概率。此外，我们还证明了破产概率的收敛速度为$\\mO\\big（n ^{-1/2}\\big）$，并且我们证明了关于盈余的收敛是{\\it一致的}。据我们所知，这是这些破产概率的第一个收敛速度，我们证明了它在一般情况下是最紧的。对于指数分布索赔的情况，我们能够改进由扩散产生的近似值，对于任意的$k，我们可以获得一致的$mO \\ big（n ^{-k/2}\\ big）$收敛速度。我们还包括两个例子来说明我们的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：破产概率 克拉姆 Quantitative Optimization Differential

theCram'er-Lundberg模型破产概率收敛到其差分近似的速度*Asaf Cohen+Virginia R.Young2020年6月18日摘要我们分析了标度经典Cram'er Lundberg（CL）风险过程的破产概率以及相应的差异近似值。Iglehart【10】在实际文献中引入的标度等于泊松率λ乘以n，索赔严重性除以√n、 调整保费率，使净保费收入保持不变。我们是第一个使用比较方法来证明标度CL过程破产概率的收敛性并推导收敛速度的人。具体而言，我们证明了相应积分微分方程的比较引理，并使用该比较引理证明了sc-aled CL过程的破产概率收敛于限制微分过程的破产概率。此外，我们还证明了破产概率的收敛速度为O阶n-1/2, 我们证明了关于盈余的收敛是一致的。据我们所知，这是这些破产概率的第一个收敛速度，我们证明了它在一般情况下是最紧的。对于指数分布索赔的情况，我们能够改进由分歧产生的近似值，获得统一的n-k/2任意k的收敛速度∈ N、 我们还包括两个例子来说明结果。关键词：投资分析；破产概率、Cram'er-Lundberg风险过程、差分近似、近似误差。AMS 2010科目分类：45J0 5、6 0G99、90B20。JEL分类：G22、C60。*这是论文的最终版本。出现在《保险：数学与经济学》，第93卷，2020333-340年7月。+通讯作者。

美国密歇根州安阿伯市密歇根大学数学系，邮编：48109，电子邮箱：shloshim@gmail.com，网站：https://sites.go盯着看com/site/asafcohentau/美国密歇根州安娜堡市密歇根大学数学系，邮编：48109，vryoung@umich.edu.V.R.Young感谢精算数学主席Cecil J.和Eth el M.Nesbitt提供的部分财务支持。1简介破产概率的近似和界定在风险理论中有着悠久的历史。可以说，最早的近似和定界是众所周知的克莱姆-伦德伯格近似和相关的伦德伯格定界；参见Lund berg【15】和Cram'er【6】。Cram'er-Lundberg近似对于盈余过程的大值是渐近的，在破产理论的大多数文献中，这就是渐近所指的。在本文中，渐近指的是泊松速率的大值，以及小索赔严重性；在这种情况下，classicalCram'er-Lundberg风险过程方法存在差异。我们梳理了以下两个研究领域。第一个领域是使用离散过程来近似离散风险过程，其中有许多小跳跃。该方法利用扩散过程的数学可处理性来推断其近似过程的特性。Kingman【13】在分析单服务器队列时引入了该技术，Iglehart和Whitt【11，12】在分析多通道队列时引入了该技术。从那时起，它在随机网络社区中得到了普及，在那里它被称为重传递近似。在此字段中，队列长度按n1/2进行缩放（除以），速率按n进行缩放（乘以），以使系统在传输强度（利用率）从下方收敛到1的意义上临界加载。

因此，马尔丁格尔/泛函中心极限定理意味着，在极限中，一个人会得到一个不同的过程。近似值有助于找到复杂系统的渐近最优控制和行为。有关重近似的基本介绍，请参见Chen和Yao【5】、Kushner【14】以及其中的参考文献。伊格哈特（Iglehart）[10]在精算文献中引入了差分近似。他使用概率技术（弱收敛）证明，比例模型的破产概率接近极限扩散过程的破产概率。Grandell【9】和Asmussen【1】进一步使用近似离散过程来逼近破产概率；阿斯穆森的作品受到西格蒙德的启发。在这些工作中，极限是逐点的，没有给出收敛速度。最近，B¨auerle[3]利用概率技术证明了剩余过程最优控制下的极限结果。与概率技术不同，我们依赖于对破产概率所解积分微分方程的比较分析，这是第二个研究领域。这项技术的关键要素是一个“递增”函数，当以破产概率进行评估时，该函数将消失（在n尺度问题中）。通过扰动破产概率n-1/2在两个方向上，利用泛函的单调性，我们得到了所需的界（命题4.1和4.2）。这又意味着O阶的收敛速度n-1/2, 在初始盈余中一致（定理4.1）。事实上，由于n-1/2跳转大小，这是一般情况下可以达到的最佳速率（备注4.3）。此外，这是第一次使用比较原则来获得这些破产概率的收敛速度。

我们相信，这种技术可以应用于其他精算和排队应用中，我们将在第5节中详细介绍。一些精算研究人员使用比较来限制破产概率；然而，他们在主要问题（n=1）中进行了研究，并没有将比较应用于n标度问题。具体而言，Taylor【19】通过使用该方程的积分版本和Volterra积分算子的比较结果来限定r uin的概率；这些比较结果见Walter【20】。De Vylder和Goovaerts【7】以及Broeckx、De Vylder和Goovaerts【4】继续了Taylor【19】的工作，使用了一个更简单的比较引理。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了Cram'er-Lundbergmodel，并证明了决定该模型破产概率的积分微分方程的比较引理。在第3节中，我们将模型按n进行缩放，并提醒读者在微分近似下破产的可能性。在第4节中，我们证明了比例模型中的破产概率接近ψDat，收敛速度为O（n）阶-对于指数分布索赔的特殊情况，我们也加强了这一结果，并表明我们不能更普遍地加强收敛速度。第5节总结了本文。2经典风险模型和比较引理2.1 Cram'er Lundberg模型考虑盈余过程X={Xt}t的保险人≥0由经典的Cram'er-Lundbergmodel描述，即保险人以恒定费率c收取保费收入，并根据复合泊松过程支付索赔。具体而言，Xt=x+ct-NtXi=1Yi，（2.1），其中X=X≥ 0是初始s urplus，N={Nt}t≥0是一个强度λ>0的齐次泊松过程，索赔额为Y，Y。

是独立且同分布的正态变量，与N无关。设fy表示{Yi}i的公共累积分布函数∈N、 假设Y具有有限矩母函数MY（u）=E安永大学对于处于0的高度的u，比如说，对于u∈ (-u、 u）对于某些u>0；因此，EYk公司< ∞ 对于k=1，2。最后，假设保险费率c满足c>λEY（否则，最终破产是确定的），writec=（1+θ）λEY，正风险负荷θ>0。通过τ=inf{t确定破产时间τ≥ 0:Xt<0}，（2.2），并通过ψ（x）=P定义最终破产概率τ < ∞ | X=X. （2.3）回想一下ψ（0）=1/（1+θ）。标准风险理论文本表明，可以将ψ描述为以下R+上积分微分方程的唯一经典解，并在一定的边界条件下：λv（x）=cvx（x+）+λZxv（x- y） dFY（y）+λSY（x），x>0，limx→∞v（x）=0，（2.4），其中SY=1- Fyy是Y的生存函数。如果我们用（2.4）中的c=（1+θ）λEY代替，那么ψ处的th与λ无关。备注2.1。在第5.3节中，Schmidli【17】表明，可以将（2.4）中的微分方程改写为积分方程，如下所示：cv（x）=λZxv（x- y） SY（y）dy+λZ∞xSY（y）dy.（2.5）泰勒（Taylor）[19]、戴维尔德（DeVylder）和古瓦茨（Goovaerts）[7]、布罗克（Broec）kx（D eVylder）和古瓦茨（Goovaerts）[4]使用这种形式的等式来确定破产概率的界限。De Vylder和Goovaerts[7]中的定理1.2.1证明（2.5）有唯一解；因此，（2.4）有一个唯一的解，它等于破产概率。在未来的工作中，我们将控制剩余过程X，在这种情况下，形式（2.5）的积分方程将不容易应用。因此，为了预测未来的工作，我们继续（2.4）中的积分微分方程。2.2比较引理我们寻找破产ψ作为（2.4）的子解和超解的概率的界。

因此，我们首先证明一个比较引理，我们用它来确定给定函数是ψ的下界还是上界。定义byF的运算符x、 u（x），ux（x+），u（·）= -cux（x+）- λZxu（x- y） dFY（y）+SY（x）- u（x）. （2.6）注意破产概率ψ满足Fx、 ψ（x），ψx（x+），ψ（·）= 0表示所有x>0。我们预计破产概率ψ在所有R+上都是连续的，并且在R+上有连续的一阶导数，例如，见Schmidli最近的文本第5.3节【17】。FY不连续点除外；因此，我们需要下面引理2.1中的u和v来满足类似的连续性性质。引理2.1。（比较引理）。让0≤ a<b≤ ∞, 考虑函数u，v∈ C[0，b）对于连续的一阶导数，FY不连续点除外，其中u和v具有左导数和右导数。假设u和v是u（x）≤ v（x）表示所有0≤ x个≤ a和u（b）≤ 五（b）。此外，假设x、 u（x），ux（x+），u（·）< Fx、 v（x），vx（x+），v（·）,对于所有x∈ （a，b），然后所有x的u（x）<v（x）∈ （a、b）。证据首先，如果u的最大值- [a，b]上的v出现在x=a或x=b处，但不在（a，b）的内部，然后u<v在内部，因为u- v≤ 假设边界上为0。第二，如果u- v在（a，b）的内部达到一个严格负的最大值，那么我们在内部也有u<v。第三，如果u- v在x处达到非负最大值∈ （a、b），然后是ux（x+）- vx（x+）≤ 因此0<Fx、 v（x），vx（x+），v（·）- Fx、 u（x），ux（x+），u（·）= -cvx（x+）- λZxv（x- y） dFY（y）-λSY（x）+λv（x）+cux（x）+λZxu（x- y） dFY（y）+λSY（x）- λu（x）≤ λZxu（x- y）- v（x）- y）dFY（y）- λu（x）- v（x）.最后一行为非正。的确，因为你-v在x=x时达到非负最大值∈ （a，b），我们有u（x）- v（x）≥ u（x）- v（x）表示所有x∈ （a、b）。此外，因为u（x）≤ v（x）表示所有0≤ x个≤ a、 我们有u（x）- v（x）≥ u（x）- v（x）表示所有x∈ （0，b）。

在不损失一般性的情况下，我们可以将u和v扩展到R-通过设置u（x）=v（x）=1表示x<0，由此得出u（x）-v（x）≥ u（x）- v（x）对于所有x<b，我们推断u（x）- u（x）≤ v（x）- v（x）表示所有x≤ x、 这意味着0<λZxu（x- y）- v（x）- y）dFY（y）- λu（x）- v（x）= λZ∞u（x- y）- u（x）-v（x）- y）- v（x）dFY（y）≤ 0，矛盾。因此，u<v in（a，b）。如果b=∞, 那么u（b）表示limx→∞u（x）；同样，对于v（b）。备注2.2。如果我们只想要非严格的比较，那就是u≤ v、 然后我们可以将次（超）解的性质减弱为Fx、 u（x），ux（x+），u（·）≤ Fx、 v（x），vx（x+），v（·）, withF公司x、 u（x），ux（x+），u（·）最后。在下一个例子中，我们使用引理2.1和备注2.2来重新证明众所周知的Lundbergbound。示例2.1。假设R>0 solvescR=λ车型年款（右）- 1.,也就是说，R是调整系数，定义v（x）=e-接收。设a=0，b=∞ 引理2.1；那么，ψ（0）=1/（1+θ）≤ 1=v（0）。此外，回忆一下，对于x>0，Fx、 ψ（x），ψx（x+），ψ（·）= 0，andFx、 v（x），vx（x），v（·）= cRe公司-接收- λZxe公司-R（x-y）dFY（y）+SY（x）- e-接收= λe-接收车型年款（右）- 1.-ZxeRydFY（y）+eRxSY（x）- 1.= λe-RxZ公司∞x个埃里- eRx公司dFY（y）≥ 我们从引理2.1的非严格版本推导出fψ（x）≤ e-rx对于x>0，则为Lundbergbound。3缩放模型和扩散近似接下来，我们将模型缩放n>0。在s标度系统中，定义λn=nλ，因此n large本质上等同于λlarge。通过定义Yn=Y来衡量索赔严重性/√n因此，[0，t]期间totalclaims的方差在标度下是不变的，即λnEYn公司= λEY对于所有n>0。最后，通过cn=c+(√n-1） λEY；因此，cn-λnEYn=c-λEY在标度下也是不变的。我们也可以写cn=(√n+θ）λEY，其中c=（1+θ）λEY；此外，我们可以写ecn=（1+θn）λnEYn，其中θn=θ/√n

因此，规模剩余过程的差异，中国大陆- λnEYndt+qλnEYn公司dBt公司=c- λEYdt+qλEYdBt，（3.1）对于一些标准布朗运动B={Bt}t≥0，与n无关。有关这种缩放的更多信息，请参见Iglehart【10】、B–auerle【3】、Gerber、Sh iu和S mith【8】以及Schmidli【17】。让ψdde注意到离散近似下的破产概率；th en，ψDuniquely解下列边值问题：0=θEY vx（x）+EYvxx（x），x>0，v（0）=1，limx→∞v（x）=0。（3.2）因为c-λEY=λθEY，我们能够消除λ因子以获得（3.2）中的ode；因此，我们看到ψ与λ不相关，就像克拉姆-伦德伯格模型ψ中的破产概率一样。（3.2）的解由ψD（x）=e给出-γx，（3.3）对于所有x>0，其中γ等于γ=2θ眼Y. （3.4）关于（3.3）的早期参考，参见Iglehart【10】中的定理8。由于（3.1）中的差异近似于（2.1）中的Cram'er-Lun-dberg风险过程，λ、Y和c分别被λn、Yn和cn所取代，研究人员通常认为ψdapproximatedψn。在下一节的定理4.1中，我们量化了ψdapproximatedψn的程度。我们在本节末尾给出了两个示例，其中我们（试图）扩展ψnin的阶次幂n-1/2. 在第一个示例中，当Y呈指数分布时，我们计算此展开式。示例3.1。假设Y~ Exp（β），平均值为1/β；那么，Yn~ 经验值(√nβ）和ψn（x）=1+θnexp-θnx（1+θn）EYn=1 +θ√nexp公司-θβx1+θ√n（3.5）获得ψn中的O（n）项，计算imn→∞ψn（x）=e-θβx，注意（3.4）中定义的γ在本例中等于θβ。因此，扩散近似ψ的破产概率是ψn展开式中的前导项。接下来，得到n-1/2术语，computelimn→∞√nψn（x）- e-θβx= θθβx- 1.e-θβx。因此，我们有ψnFrx的以下展开式≥ 0：ψn（x）=e-θβx1 +θ√nθβx- 1.+ On-1..

（3.6）在下一节的定理4.2中，我们证明了该展开式对于tox一致有效≥ 更强烈的是，我们证明了我们可以将展开式扩展到O阶n-k/2（在x中均匀分布）对于任何k∈ N、 在第二个例子中，当Y根据形状参数为2的gamma w分布时，我们计算相同的展开式。示例3.2。假设Y~ γ（2，β），平均值为2/β；那么，Yn~ γ（2，√nβ）和ψn（x）=θn2（1+θn）(√nβ- Rn2θn·√nβ-3+4θnRne-Rnx公司+√nβ- rn2θn·√nβ-3+4θnrne-rnx）=θ1 +θ√n(2β -注册护士√n2θβ-3+4θ/√nRne公司-Rnx+2β-注册护士√n2θβ-3+4θ/√nrne公司-rnx），（3.7），其中Rn是调整系数=√nβ1 +θ√n\"3 +4θ√n-s9+8θ√n#，和rnisrn=√nβ1 +θ√n\"3 +4θ√n+s9+8θ√n#。可以证明limn→∞Rn=θβ=γ，limn→∞ψn（x）=e-θβx，andlimn→∞√nψn（x）- e-θβx=8θθβx- 1.e-θβx，x>0，-θ、 x=0。相应的展开式方程-θβx1 +8θ√nθβx- 1.+ On-1., （3.8）对于x>0和等式1-θ√n+On-1.,对于x=0，其中On-1.项取决于x，因此，对于任何给定的x，都有一个Cx>0On-1.≤ Cxn公司-注意，在x=0时，展开是不连续的，这意味着该展开在某种意义上是无效的，我们将在下面的示例4.1中进一步讨论。4渐近分析在本节中，我们使用引理2.1，因为它适用于标度问题，以表明ψDfrom（3.3）将标度问题的破产概率ψ近似为O阶n-1/2关于x一致。在本节中，让Fn表示（2.6）中的运算符，c、λ和Y分别替换为cn、λn和Yn，并将Fn写为：x、 u（x），ux（x+），u（·）=- λ\"√n+θEY ux（x++新西兰）√nxux个-t型√ndFY（t）+SY(√nx）- u（x）！#。