违约投资组合贝叶斯估计中的相变

当分布不收敛时，即使数据量增加，我们也无法正确估计参数。这是使用贝叶斯估计时的一个关键问题。换句话说，^T<∞ 是参数估计的强制条件。B、 相关函数和有限尺度分析为了理解相变，我们研究了相关函数C（t）。C（t）定义为X（1）和X（t）之间的相关性，即C（t）≡ E（X（t+1）| X（1）=1）- E（X（t+1）| X（1）=0）=Cov（X（1），X（t+1））V（X（1））。（17） 函数C（t）表示X（1）的内存向其他变量X（t+1）的传播。为了理解Z（t）和C（t）的方差之间的关系，Z（t）的方差可以写成V（Z（t））=EX（1）（V（Z（t）| X（1）））+EX（1）（（E（Z（t）| X（1））- E（Z（t）），（18），其中V（Z（t）| X（1））是X（1）上Z（t）的条件向量。xis EX（1）（x）的期望值，概率函数为P（x（1））。等式（18）右侧的第二项表示E（Z（t）| X（1））相对于X（1）的依赖关系的方差。在式（18）中，第二项与C（t）相关，因为它源于E（Z（t）| X（1））对X（1）的依赖关系。我们写出C（t）asEX（1）（（E（Z（t）| X（1））的第二项- E（Z（t）））=tαβ（α+β）t-1Xs=0C（s）！。如果c=极限→∞C（t）>0，极限→∞V（Z（t））>0且Z（t）不收敛。使用X（t+1）=1 t+1≤Zd（t），我们得到了条件X（1）=X，E（X（t+1）| X（1）=X，asE（X（t+1）| X（1）=X）=α+Pts=1E（X（s）| X（1）=X）dt时X（t+1）的条件期望值的下一个关系-sα+β+Pts=1dt-s、 当C（t）=E（X（t+1）| 1）-E（X（t+1）| 0），我们得到C（t）asC（t）=Pts=1C（s）的以下递归关系-1） dt公司-sα+β+Pts=1dt-s

（19） 这个递归关系包含关于C（t）渐近行为的所有信息。如果假设初始条件为C（0）=1的Di的函数形式，我们可以估计t的C（t）≥ 1.1. 指数衰减情形我们考虑指数衰减情形，di=ri，r≤ 1、^T是有限的，没有相位转换。我们将式（19）的分子分解为C（t- 1） +Pt-1s=1C（s- 1） rt公司-s、 我们使用公式（19）为t写入第二个t项- 1 ast-1Xs=1C（s-1） rt公司-s=rt-1Xs=1C（s-1） rt公司-1.-s=r·C（t- 1）（α+β+t-1Xs=1rt-1.-s） 。然后，我们得到r C（t）的下一个递归关系：C（t）=1+r（α+β+Pt-1s=1rt-1.-s） α+β+Pts=1rt-sC（t- 1). （20） 由于我们对C（t）的渐近行为感兴趣，我们用C（t）估计衰减率reff~ rteff，它给出了≡ 限制→∞C（t）/C（t-1） =r+1- r（α+β）（1- r） +1<1，（21），其中r<1的reff<1，且C（t）呈指数衰减。对系统进行了数值研究。为了估计C（t），对t求解公式（19）的递归关系≤ 2 × 10. Z（t）的方差采用蒙特卡罗抽样方法。我们为{X（t）}获得了10个样本序列，t=1，····，2×10，并估计了Z（t）的方差。图1（a）显示了C（t）与t的曲线图。很明显，t C（t）呈指数衰减。图1（b）显示了所有r<1的V（Z（t））与t的曲线图∈ {0.8，0.9，0.99}，V（Z（t））衰减为1/t。当r=1时，Z（t）分布收敛于beta分布。因此，r<1时不存在相变。（a） （b）图1。（a）C（t）和（b）V（Z（t））与t、f或r的曲线图∈ {0.8, 0.9, 0.99}. 用于比较，exp(-0.03t）/3和1/t分别封装在（a）和（b）中。2、幂律衰变情况对于幂律衰变情况，即di=（1+i）γ，当γ>1且^T<∞, 进程收敛到delta函数。

另一方面，当γ≤ 1和^T到最后，过程不会收敛。用数值方法研究了C（t）和V（Z（t））的行为，与指数衰减情况相同。图2（a）显示了C（t）与t的双对数曲线图。可以看出，C（t）以γ的幂律形式衰减∈ {1.5 , 2, 3}.对于较小的γ，如γ=0.5、0.1，斜率非常小。无花果2（b）显示了V（Z（t））与t的双对数图。对于r=3.0、2.0、1.5，V（Z（t））衰减为1/t。在γ=1时，衰减斜率小于1。当r<1时，曲线向下凹。这些结果表明了自洽方程分析的有效性。（a） （b）图2。γ的（a）C（t）和（b）V（Z（t））与t的曲线图∈ {3.0, 2.0, 1.5, 1.0, 0.5, 0.1}.为了研究相变，我们应用有限尺寸标度（FSS）分析【23】。我们使用C（t）asMn（t）的n阶矩分别确定弛豫和二阶矩相关时间τ（t）和ξ（t）≡t型-1Xs=0C（s）sn，τ（t）=M（t），ξ（t）=VuTM（t）M（t）。（22）对于FSS，我们假设标度函数limt→∞A（st）/A（t），对于一些可观测的，A（t），具有比例因子s，表示为ξt的函数≡ 限制→∞ξ（t）/t使fa（ξt）≡ 限制→∞A（st）A（t）。表1.C（t）的渐近行为，以及标度函数fτ（ξt）、fξ（ξt）和ξt。第二列给出了C（t）的假定渐近形式。第二列和第三列提供了缩放函数。最后一列包含ξ（t）/t.No的极限值。

渐近行为fτ（ξt）=limt→∞τ（st）τ（t）fξ（ξt）=极限→∞ξ（st）ξ（t）ξt=极限→∞ξ（t）/t1 C（t） c+C（t），C>0 s s 1/√2 C（t）∝ t型-δ、 0<δ<1 s1-δ=s2（ξ/t）1-（ξ/吨）sq1-δ3-δ3 C（t）∝ t型-δ、 1<δ<3 1 s（3-δ） /24 C（t）∝ t型-δ, δ ≥ 我们假定C（t）的渐近形式如下：；C（t）c+C（t）C>0c′t-此处δc=0，c=极限→∞C（t）是相变的序参量，C′是常数。利用渐近形式，我们可以对标度函数的行为进行分类。我们展示了fτ（ξt）、fξ（ξt）和ξtin的结果。表一（详见附录B）图3显示了ξ（2t）/ξ（t）和τ（2t）/τ（t）与ξ（t）/t的数值估计，其中t=10。符号表示重整化变换下的固定点→ 2吨。ξt=0和ξt=1处有两个稳定的固定点/√3，以及ξt=q（1）处的一个不稳定执行点- δ)/(3 - δ)  0.4073≡ ξct。如果ξt>ξct，则ξ（2t）/ξ（t）>2，ξ（t）/t移到1/√3在转换t下→ 2nt和n→ ∞. ξ（t）在固定点随系统大小t线性发散，这反映了保留的X（1）的记忆。如果ξt<ξct，ξ（2t）/ξ（t）<2，ξ（t）/t移到0。限制→∞ξ（t）<∞ 对于足够大的t，X（1）的记忆几乎没有。在ξt=1的稳定固定点处/√当ξt=0时，τ（2t）/τ（t）分别变为2和1。从ξt=ξct的不稳定固定点，我们可以使用fτ（ξct）=21来估计δ-δ 1.3174. 该估计值与ξct=q（1）的估计值一致- δ)/(3 - δ)  0.4073. 这些结果支持了两个相C（t）之间的相变 c+C（t），C>0和C（t）∝ t型-δ、 δ>1，在极限t内→ ∞. 临界点γ=1，ξt=ξC和C（t）∝ t型-δ，0<δ<1。我们用c（2t）估计c，用logC（t）/c（2t估计δ，t=10和10。

通过比较0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0ξ（t）/tξ（2*t）/ξ（t）●●T=105临界：γ=1.0c=0c>0ξ（T）/T=0.4073（a）0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0ξ（T）/Tτ（2*T）/τ（T）●●T=105临界：γ=1.0c=0c>0ξ（T）/T=0.40731.3174（b）图3。（a）ξ（2t）/ξ（t）vsξ（t）/t和（b）τ（2t）/τ（t）vsξ（t）/t的曲线图。我们认为t=10anda=b=1。系统图显示了重整化变换下的固定点→ 2吨。t=10和10的值可以预测极限行为t→ ∞. 结果如图4所示。图4（a）显示了C（2t）与γ的关系。对于γ>1，C（2t）是lmo st零。对于γ<1，C（2t）为正。γ=1时c的导数似乎是连续的。图4（b）显示了δvsγ，其中（α，β）=（1，1）和（1，4）。对于γ>1，可以通过观察m t=10到10的变化来预测δ=γ。对于γ<1，δ=0，这表明c>0。在临界点γ=1时，δ取决于（α，β）。接下来，我们研究了临界点γ=1处的δ。我们假设C（t）∝ t型-δ. 式（19）可近似为连续极限a sC（t）=t-δ=Rt（s- 1)-δd（t- s） dsα+β+Rtd（t- s） ds。（23）通过以下变量变化，（t+1）u=s，我们得到α+βZt/（t+1）1/（t+1）u-δ(1 - u)-1du- ln t。。（24）通过α+β的组合，我们看到δ取决于α和β。在极限t内→ ∞, 当δ=1和0时，α+β=0和α+β→ ∞, 分别地临界指数δ在δ范围内∈ (0, 1). 图4（c）显示了γ=1时δ与α+β的关系。我们采用两种情况α：β=1:1和（a）（b）0 20 40 60 80 1000.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0α+βδα：β=1:1，T=105α：β，=1:4，T=105理论（c）图4。（a）C（t）和（b）δ与γ的曲线图。我们采用t=2×10，2×10，和（α，β）=（1，1）和（1，4）。

正文中提出的猜想用细实线绘制在（b）中。γ=1和α=β=1（分别为粗实线和黑色虚线）的δ由ξct=p（1）估计- δ)/(3 - δ） 图3中的ξctin。（c） γ=1时δ与α+β的曲线图。我们设定比率α：β=1:1和1:4，并改变α+β。实线表示通过求解公式（24）得出的δ估计值。1 : 4. symbo ls表示数值估计的结果，实线表示通过数值求解公式（24）得到的结果。与α+β相比，α：β=1:1和1:4的结果收缩到同一条曲线，这证实了δ通过α+β依赖于α和β。五、 时间相关性衰减是指数还是幂？在本节中，我们使用默认数据中的三个数据集。两套是代理数据，另一套来自日本公司。A、 标准普尔数据如前一节所述，时间相关性是确定t是指数衰减还是幂衰减的关键问题。这会影响参数估计是否正确。在本节中，我们使用经验数据研究时间相关性。首先，使用1981年至2017年的标准普尔违约数据【30】。所有评级的平均PD为1.58%，投机评级的平均PD为3.09%。投机评级代表BBB（Baa3）下的评级。在图5（a）中，我们显示了历史违约率。实线和虚线分别对应所有样本和推测等级，低于WBBB+（Baa3）。（a） （b）图5。（a） ：1981-2017年标准普尔违约率。（b）1920-2017年穆迪违约率。实线和虚线分别对应所有样本和推测等级，低于WBBB+（Baa3）。自相关如图6（a）所示。x轴表示年份。证实了指数衰减和周期性增长。

这代表了近年来的周期性泡沫及其崩溃。然而，仅从自相关数据很难确定衰减是指数衰减还是幂律衰减。因此，对图7（a）中的PD数据进行了傅立叶变换，但由于数据是年度数据，且其大小不是很大，因此仍很难获得确认。B、 穆迪数据下一步，我们使用穆迪1920年至2017年98年的违约数据[3 1]。它包括1929年的大萧条和2008年的大衰退。它是defaultdata最长的集合之一[32]。所有评级的平均违约率为1.56%，投机者的平均违约率为3.87%。在图5（b）中，我们显示了历史违约率。自相关如图6（b）所示。x-a轴代表年份。指数衰减在短时间内得到证实。从长期历史数据来看，我们无法确认（a）（b）图6。（a） 1981-2017年违约率的标准普尔自相关。（b） 1920-2017年违约率的穆迪自相关。（a） （b）图7。（a） 1981-2017年标普违约率的功率谱。（b） 功率谱形成了1920-2017年的穆迪违约率。近年来观察到的周期性趋势。我们对图7（b）中的默认比率数据应用了傅立叶变换。因为很难从自相关中确定衰变是单数衰变还是幂律衰变。C、 风险数据库数据接下来，我们将数据应用于风险数据库（R DB）数据【33】。该数据涵盖了Ja pan中没有个人所有者经理的所有企业数据。从2001年到2017年，数据为月度数据，并对季节性影响进行了调整。历史数据和自相关如图8（a）所示，与前两个样本不同。证实了相关性的缓慢衰减。在图8（b）中，确认了1/f项假设。

这对应于维纳-钦钦定理的功率衰减，该定理通过傅立叶变换显示自相关和功率谱之间的关系。图9显示了每个部门的功率谱，即建筑、批发、房地产、零售、其他服务和制造业。实线表示t r端。我们可以得出结论，时间相关性可能包含对这些数据的长记忆。然而，很难制定严格的电力法。（a） （b）图8。（a） 风险数据库与违约率的相关性。（b）违约率的风险数据库功率谱。六、 参数估计我们通过MAP估计来估计违约的长期概率θ，以及违约相关性ρD，forS&P和穆迪数据。我们使用均匀分布作为优先分布f（θ，ρD）。如前一节所述，指数和幂（a）（b）（c）（d）（e）（f）如图9所示。（a）建筑、（b）批发、（c）房地产、（d）零售、（e）其他服务和（f）制造业的频谱分析图。衰减用于时间相关性。指数和功率衰减模型的结论列于表II。我们确认了一个小的r值，代表了小的时间相关性。功率衰减的参数γ大于相变点，γ=1。PD和默认相关性与经验和功率衰减模型的估计几乎相同。原因是功率指数γ足够大，指数模型和功率衰减模型之间只有很小的差异。第一年和第二年的时间相关性和d对于表示数据很重要。参数取决于数据项。在最近的一段时间里，违约和节奏相关性变得最小。

这可能取决于政府和中央银行的顺利金融运作。另外，100年的长期历史数据具有比相变更小的长期相关性。这取决于20世纪80年代之前的旧数据。对于RDB数据，我们可以估计γ=2，它处于非正规收敛阶段。因此，我们可以通过我们介绍的贝叶斯公式来估计PD。七、总结性意见在本文中，我们介绍了一种使用betabinomial分布估计参数、违约概率（PD）和违约表II的分层贝叶斯估计方法。指数和功率衰减模型参数的MAP估计。指数衰减功率decayNo。模型θρDrθρDγ1穆迪1920-2017 0.96%1.9%0.044 0.95%2.0%4.72穆迪1920-2017 s G 2.37%3.9%0.044 2.35%4.1%4.73穆迪1981-2017 1.49%0.7%0.023 1.46%0.7%5.94穆迪1990-2017 1.65%0.7%0.006 1.70%0.8%7.05穆迪1981-2017 s G 4.25%1.8%0.020 4.29%1.8%6.06标准普尔1981-2017 1.54%0.8%0.024 1.54%0.8%5.77标准普尔1990-2017 1.72%0.8%0.006 1.72%0.8%7.58标准普尔1990-2017年SG 4.21%2.0%0.024 4.17%1.9%5.7相关性。此外，我们考虑了一个具有时间相关性的多年案例。我们证实了当时间相关性衰减为幂曲线时的相变，这意味着相关性具有长记忆性。相反，对于指数衰减的情况，没有相变。当幂指数γ大于或等于1时，PD的估计分布收敛。相反，当幂指数小于1时，分布不收敛。临界指数0<δ<1取决于模型的微观特征和非线性P'olya urn相变的普适性类别。我们称这种相变为“短记忆长记忆转变”。

总之，参数估计的条件为^T=limτ→∞Rτd（τ- s） ds<∞.为了证实衰退的形式，我们使用傅立叶变换研究了经验违约历史数据。我们确定默认历史的功率谱似乎为1/f，这意味着相关性对RDB月数据有很长的记忆。我们将该方法应用于历史数据并估计了参数。幂指数的区域提供了正态收敛。我们已经证明，为了收集足够的数据，可以正确估计这些参数。确认本工作得到了JPSJ KAKENHI【Gra nt No.17K00 347】的支持。附录A：多年案例的MAP估计我们扩展了最大后验概率（MAP）估计，我们在第2节中讨论了多年案例。jthyear中的债务人和违约人数分别为NJ和kj。当先验函数f（θ，ρD）是常数函数时，最大点为P（θ，ρD | n，···，nT，k，··，kT）θ∝(1 - ρD）ρDQTj=1Γ（αj+kj）QTj=1Γ（αj）QTj=1Γ（nj+βj- kj）QTj=1Γ（βj）×（TXj=1{Д（αj+kj）- ^1（αj）- ^1（βj+nj- kj）+Д（βj）}）=（1- ρD）ρDQTj=1Γ（αj+kj）QTj=1Γ（αj）QTj=1Γ（nj+βj- kj）QTj=1Γ（βj）×{TXj=1（kjXi=1αj+i- 1.-新泽西州-kjXi=1βj+i- 1） }=0，（A1），其中Д（x）是diga mma函数。αjandβjare调整后的α和β。αj=α+Pj-1l=1dj-lklandβj=β+Pj-1l=1dj-l（nl- 吉隆坡）。最后一组括号中的第一项inEq。（A1）是关于θ的单调递减函数，因为α增加。最后一组括号中的第二项是关于θ的单调递增函数，因为β减小。当θ~ 0，因为α=α，所以这两项的差异为正。