违约投资组合贝叶斯估计中的相变

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英文标题：
《Phase transition in the Bayesian estimation of the default portfolio》
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作者：
Masato Hisakado and Shintaro Mori
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The probability of default (PD) estimation is an important process for financial institutions. The difficulty of the estimation depends on the correlations between borrowers. In this paper, we introduce a hierarchical Bayesian estimation method using the beta binomial distribution and consider a multi-year case with a temporal correlation. A phase transition occurs when the temporal correlation decays by power decay. When the power index is less than one, the PD estimator does not converge. It is difficult to estimate the PD with limited historical data. Conversely, when the power index is greater than one, the convergence is the same as that of the binomial distribution. We provide a condition for the estimation of the PD and discuss the universality class of the phase transition. We investigate the empirical default data history of rating agencies and their Fourier transformations to confirm the form of the correlation decay. The power spectrum of the decay history seems to be 1/f, which corresponds to a long memory. But the estimated power index is much greater than one. If we collect adequate historical data,the parameters can be estimated correctly.
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中文摘要：
违约概率（PD）估计是金融机构的一个重要过程。估计的难度取决于借款人之间的相关性。在本文中，我们介绍了一种使用贝塔二项分布的分层贝叶斯估计方法，并考虑了一个具有时间相关性的多年案例。当时间相关性因功率衰减而衰减时，会发生相变。当幂指数小于1时，PD估计不收敛。由于历史数据有限，很难估计PD。相反，当幂指数大于1时，收敛性与二项分布的收敛性相同。我们提供了一个估计PD的条件，并讨论了相变的普适性类。我们研究了评级机构的经验违约数据历史及其傅里叶变换，以确认相关性衰减的形式。衰变历史的功率谱似乎为1/f，对应于长记忆。但估计的功率指数远大于1。如果我们收集足够的历史数据，就可以正确估计参数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：贝叶斯估计 投资组合 贝叶斯 distribution Econophysics

默认portfolioMasato Hisakado贝叶斯估计中的相变** 野村控股有限公司，日本千代田区大田町2-2-2，东京100-8130，日本森田太郎++日本青森县广坂大学町3号科学技术研究生院数学与物理系（日期：2019年11月12日）摘要违约概率（PD）估计是金融机构的一个重要过程。估计的难度取决于借款人之间的相关性。在本文中，我们介绍了一种使用贝塔二项分布的分层贝叶斯估计方法，并考虑了一个具有时间相关性的多年案例。当时间相关性因功率衰减而衰减时，会发生相变。当幂指数小于1时，PD估计不收敛。在历史数据有限的情况下，估算P D是很困难的。相反，当幂指数大于1时，收敛性与二项分布的收敛性相同。我们为PD的估计提供了一个条件，并讨论了相位变换的普适性类。我们研究了评级机构的经验违约数据历史及其四级转换，以确定相关性衰减的形式。衰变历史的功率谱似乎是1/f，这对应于长记忆。但估计的功率指数远远大于1。如果我们收集了足够的历史数据，就可以正确估计参数。PACS编号：02.50。Ga，05.70。Fh，89.65。Gh，87.23。公斤*hisakadom@yahoo.co.jp+新太郎。mori@hirosaki-u、 ac.jpI。引言异常分化是许多领域的一个新兴课题[1-4]。描述这种现象的模型依赖于长记忆。这些都与相变有关，而相变在社会物理学[5，6]和经济物理学[8]中引起了相当大的兴趣。

在之前的论文中，我们研究了与凯恩斯选美比赛相似的投票模型[9-13]。该模型有两种相变。一种是信息级联跃迁，类似于伊辛模型的相变【11】。另一个是超正常扩散的会聚转变【10，14】。违约概率（PD）和违约相关性的估计是通过对信贷事件历史数据的实证研究得出的。这两个参数对于金融产品（如合成CDO）的定价非常重要【15–17】。这些参数也称为“长期PDs”，对金融机构的财务管理非常重要。如果默认值的数量最小，则不容易估计这些参数[18、19]。在本文中，我们介绍了一种使用贝塔二项分布的贝叶斯估计方法[20，21]。在通常情况下，默顿模型通过资产价格变动的相关性（资产相关性）合并了违约相关性，用于估计PD和违约相关性【22】。蒙特卡罗模拟对于估计这些参数是必要的，但大型同质投资组合的限制除外，其中使用了梅顿模型【17】。在贝塔二项式情况下，使用默认相关性，而不是资产相关性[20]。此外，我们考虑了一个具有时间相关性的多年案例，它指的是与时间相关的相关性【18，19】。当时间相关性按幂律衰减时，会发生相变。幂律衰减意味着与指数衰减相比，PD具有较长的记忆[8]。当幂指数小于1时，PD的估计分布不收敛于δ函数。或者，当幂指数大于1时，收敛性与正常情况相同。

当分布不收敛时，很难用有限的数据估计PD。明确了估算thePD所需的条件。相关函数幂律衰减的临界指数取决于模型的微观结构。相变的普适性类别不同于非线性P'olya urns的普适性类别【23，24】。为了证实时间相关性的衰减形式，我们使用傅立叶变换研究了经验违约数据历史。我们确定违约历史的功率谱是否遵循1/f【8，25】。当满足此条件时，它对应于PD与长记忆的相关性，其中存在收敛的阶段转换。然而，当功率指数的估计值远远大于1时，很难准确确定1/f功率谱。因此，当有足够的历史数据时，可以正确估计PD、默认相关性和时间相关性等参数。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了一种使用贝塔二项分布的分层贝叶斯估计方法。在第3节中，我们考虑了PD估计的收敛性。在第4节中，我们使用分析方法和有限尺寸缩放分析研究了带有贴现因子的多孔瓮的相变。在第5节中，我们将贝叶斯估计应用于违约历史的经验数据。最后，第6节给出了结论。二、使用β-二项分布的贝叶斯估计我们将PD估计表示为θ，默认相关性表示为ρD，其中0≤ θ ≤ 1和0≤ ρD≤ 1、θ和ρDis P（θ，ρD）的分布。使用贝叶斯估计估计投资组合n.θ和ρ中的债务人数量。

我们考虑取值为1或0的伯努利随机变量Xi（i=1，2，····，n）。当债务人i违约（非违约）时，Xi=1（0）。我们定义X=Pnj=1xj，并考虑Xi的默认相关性，而非资产相关性。当默认值为k时，后验分布P（θ，ρD | X=k）的Bayes公式isP（θ，ρD | X=k）=P（θ，ρD，X=k）P（X=k）=P（X=k |θ，ρD）f（θ，ρD）P（X=k），（1）其中f（θ，ρD）是先验分布。我们使用β二项式分布表示P（X=k |θ，ρD）。后验分布由p给出（θ，ρD | X=k）∝nk（n）- k） 哦！B（α+k，n+β- k） B（α，β）f（θ，ρD）∝Γ（α+k）Γ（α）Γ（n+β- k） Γ（β）Γ（α+β）Γ（α+β+n）f（θ，ρD），（2）式中，θ=αα+β，ρD=α+β+1。因此，我们得到了关系式α=θ1-ρDρDandβ=（1- θ )1-ρDρD。这里，我们使用β函数B（α，β）=Γ（α）Γ（β）/Γ（α+β）。我们考虑式（2）的最大后验概率（MAP）估计。当先验函数f（θ，ρD）是常数f函数时，最大点为P（θ，ρD | X=k）θ∝(1 - ρD）ρDΓ（α+k）Γ（α）Γ（n+β- k） Γ（β）（Д（α+k）- φ(α) -^1（β+n- k） +Д（β））=（1- ρD）ρDΓ（α+k）Γ（α）Γ（n+β- k） Γ（β）（kXi=1α+i-1.-n-kXi=1β+i- 1） =0，（3），其中Д（x）是digamma函数。从i=1到k的求和是θ的单调递减函数，因为α增大，而式3中的第二次求和是θ的单调递增函数，因为β减小。当θ~ 0，两个总和的差值为正。相反，当θ~ 1，两个总和的差值变为负值。因此，函数P（θ| X=k，ρD）在0<θ<1的范围内有一个峰值。附录A中提供了多项情况。接下来，我们考虑变量ρD。

最大点为P（θ，z | X=k）z∝Γ（α+k）Γ（α）Γ（N+β- k） Γ（β）Γ（α+β）Γ（α+β+n）（kXi=1θθz+i- 1+kXi=11- θ(1 - θ）z+i-1.-kXi=1z+i-1） =0，（4），其中z=（1-ρD）/ρD。带括号的最后一项中的所有求和都是关于z的单调递减函数。当z~ 0，最后一项变为正。相反，当z>>1时，最后一项变为0。何时（k- 1）/n≤ θ ≤ k/n或充分接近此条件，最后一项变为正。（k）- 1)/θ ≤ n- 1和（n- k- 1)/(1 - θ) ≤ n- 1变为（k-1）/（n-1) ≤ θ ≤ k/（n）-1). 在这种情况下，la st项单调增加，峰值为z=∞ a和ρD=0。这意味着单项模型的ρDis的优化为零。当θ未充分接近（k）时-1） /不适用≤ θ ≤ k/n，最后一项随着z的增加从正变为负。因此，P（θ，z | X=k）中出现一个峰值。我们将这种方法推广到多年的情况。在第一年有niobligors，并且会发生儿童后果。第二年的先验分布是后验分布，后验分布是根据第一年的数据计算得出的。这样，后验分布每年更新一次。我们写出后验分布P（θ，ρD | k，k）asP（θ，ρD | k，k）=P（k |θ，ρD，k）P（k）P（k |θ，ρD）f（θ，ρD）P（k）。（5） 很自然地，我们会假设当年的违约数量受前几年违约数量的影响，因此违约具有暂时相关性。当违约率高（低）时，可以合理地假设明年的违约率将高（低）。这类似于波动率聚类，它也有很长的内存[26，27]。我们在以下章节中使用实证数据对此进行了验证。我们通过调整α和β引入时间相关性，并考虑第j年。第j年的债务人和违约人数分别为NJ和kj。

同年，相关系数为ρD。我们设置了第i年和第j年之间的时间相关参数；di公司-jand j<i。α和β调整为α+π-1j=1di-jkjandβ+π-1j=1di-j（新泽西州）-kj）[28]。这意味着前几年的数据会影响当前的违约。很容易确定，di=1表示所有数据都与ρD相关。当di=0时，数据每年都是独立的。三、 相关性Decain the previous section，Di用于表示时间相关性。在本节中，为了阐明参数di的行为，其中i=1，2，·········································································。每年的差异都有nisteps和KIDEFAULT，其中i=1，2，···，T。与参数α和β相关的调整是先前结论的时间相关性的影响。我们缩小了前几年的结论，并将其添加到调整过程的初始参数中。区间i的收缩率为，首先检查两项模型。我们考虑第一年和第二年之间的关系。nand kare分别是债务人和违约的数量。第二年参数为α+dk和β+d（n- k） 。我们考虑从α到α+dk和β到β+d（n）的收缩过程-k） 。过程第二项的方差为ndpq+dn（n- 1） pqρD，其中q=1- p也就是说，我们近似bα，β（k，n- k）~ Bα，β（dk，dn- dk）式中，Bα，β是参数为α和β的β二项分布。我们通过ndpq+dn（dn）近似该方差- 1） pqρD，差值变为npqρDd（1- d）≥ 因此，当nd=0、1或ρD=0时，近似值是精确的。但是，如果d~ 0、1或ρD~ 0，可以使用此近似值。在其他情况下，实际方差大于近似值。

我们用这个近似来研究这个过程的意义。对于债务人违约，假设d~ 0或1和ρD~ 给定0。换句话说，时间相关性要么是高相关性，要么是低相关性。此后，我们使用此近似值来计算此过程的方差。我们将随机过程推广到多年的情况。让{Ut；t≥ 1} 是均匀分布在[0,1]上的独立同分布（i.i.d.）序列。该过程的离散动力学描述为：X（t+1）=1 t+1≤当ni+1时，Zd（t），（6）≤ t型≤ 镍+1。这里Zd（t）由Zd（t）给出≡α+Pts=niX（s）+Pij=1di-jkjα+β+（t- ni）+Pij=1di-jnj。（7） X（t）的期望值为E（X（t））=α/（α+β）。当di=1时，过程为beta二项式。我们考虑i年和i+1年之间的关系。第一年的分布是贝塔二项分布。因此，可以使用上述近似值，即Vi+1，来评估i+1年的条件方差Vi+1~i+1Xj=1njdi+1-jpq+（i+1Xj=1njdi+1-j） （j+1Xj=1njdi+1-j- 1） pqρD-iXj=1njdi+1-jpq公司- （iXj=1njdi+1-j） （iXj=1njdi+1-j- 1） pqρD=pqni+1+pqni+1（ni+1- 1） ρD+2 p qρDni+1iXj=1njdi+1-j、 （8）因此，总和Spi+1j=1njdi+1的差异-jandPij=1 NJDI+1-j对应于（i+1）阶跃的方差。因此，使用这种近似，Ith和jthyears之间的相关性用ρDdi近似-j、 术语di-J在ρD的相关性中扮演着一个决定性因素的角色。可以看出，随着时间的推移，相关性被打折了。假设二元函数为单调递减函数是合理的，因为效应随着i和j之间的距离的增加而减小。差异的总方差近似为V~TXi=1pqni+TXi=1pqni（ni- 1） ρD+2 p qρDTXi>jnijdi-j

（9） 第一项、第二项和第三项分别对应于二项分布的方差、投资组合中的常数相关性ρ和节奏相关性。总之，当di~ 0、1或ρD~ 0，第i年和第j年之间的相关性近似为corr~ ρD1日···dTd1日。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。滴滴涕.使用该近似的平均PD、伯努利随机变量的相关性和时间相关性分别为p、ρD和di。在贝叶斯估计中，如果标度方差随着数据的增加而收敛，则可以正确估计这些参数。相反，如果变量不收敛，则无法估计参数。还应考虑该过程是否具有静态解决方案，这将在以下章节中讨论频谱分析。由于数据有限，很难估计所有的分数值。通过引入di的先验分布，该估计成为层次贝叶斯估计。可以合理地假设先验分布是单调递减函数。因此，我们考虑了两种超先验分布，指数和幂衰减，以获得长记忆。四、 在本节中，我们确定贝叶斯估计中的PD是否收敛。为了简化模型，我们设置nj=1，j≥ 公式（7）中的1。这不会影响PD估计的结果。让{Ut；t≥ 1} 是在[0,1]上均匀分布的独立同分布（i.i.d.）序列。过程的离散动力学描述为：X（t+1）=1 t+1≤Zd（t）。这里，Zd（t）是X（s），s的加权和≤ 带贴现系数dt的t-s、 Zd（t）≡α+Pts=1X（s）dt-sα+β+Pts=1dt-s

（10） 这是具有贴现因子{di}的P'olya urn模型[29]。X（t）的期望值为E（X（t））=α/（α+β）。PD估计量为Z（t），Z（t）≡tXs=1X（s）/t。PD估计的成功取决于Z（t）方差的行为。更具体地说，如果Z（t）的方差收敛，则可以估计PD。A、 随机微分方程首先，使用c（t）=Pts=1X（s）重写随机过程；c（t）=k→ k+1：Pk，t=α+Pts=1X（s）dt-sα+β+Pts=1dt-s、 c（t）=k→ k:Qk，t=1- Pk，t，（11），其中Pk，tand Qk，皮重是过程概率。Pk，tand Qk，tis 1之和。为方便起见，我们定义了一个新变量tsuch那个t=2c（t）-t、 （12）我们将变量从k改为tand X（s）至xs=2X（s）-1、给定t=u，我们得到一个随机游走模型：t=u→ u+1：Pu，t=α+Pts=1dt-s（xs+1）/2α+β+Pts=1dt-st=u→ u- 1:Qu，t:s，t-r=1- Pu，t。我们现在考虑连续极限→ 0，Yτ=[t/]，P（y，τ）=P(t/，t/），（13），其中τ=t/，y=电话/。在接近连续极限时，我们得到以下随机偏微分方程：dYτ=α- β+Rτσ=1d（τ- σ） dYσα+β+Rτd（τ- σ） dσdτ+√，（14）其中d（τ）是dt的连续函数，贴现因子，且dYτ=x[t/]。我们对极限τ中Yτ的行为感兴趣→ ∞. 我们假设平稳解是∞= \'vτ，（15），其中\'v为常数。将式（15）代入式（14），我们得到'v=α-β+？v^Tα+β+^T，（16），其中^T=limτ→∞Rτd（τ- σ） dσ。式（16）为自洽方程。当^T<∞ , 公式（16）在'v=（α）时求解- β)/(α + β). 该过程收敛到平均点。另一方面，当^T→ ∞, 我们可以得到恒等式“v=”v，这表明该过程不收敛于delta函数。Ysis的期望值（α-β)/(α+β). 因此，点^T处的相位转换偏离到单位。