参数化切比雪夫插值的低阶张量逼近

当我们观察到，对于d=5和n=4，绝对数的减少已经是巨大的|Ohm| = 124，全张量大小等于（n+1）d=3125。当n=6和d=2 5时，压缩效果显著，即所需的入口数量减少了3×10以上。如前一个数值例子所示，在o形相位中，构建张量协插值系数的计算时间可以忽略不计。实际上，对于d和n的所有选择，它都小于0.01秒，例如，对于n=4和d=5，它小于0.0045秒，对于n=6和d=25，它小于0.0095秒。我们现在执行算法4的在线阶段，以了解在新设置中如何有效地为篮子期权定价。我们通过计算100个篮子的最终值来启动t|Ohm| rel err on last上的rel errOhm新完成时间n=4 5 124 3.42·10-39.9010 546 2.54 · 10-667.4415 1712 3.55 · 10-8171.1420 2289 5.03 · 10-8193.9025 4172 3.96 · 10-9226.38n=6 5 204 2.40·10-452.5510 987 1.20 · 10-6198.2715 1900 2.28 · 10-7429.3920 3192 2.97 · 10-7732.4925 4023 1.35 · 10-7999.25d最大ru到达存储（TT）（字节）存储（完整）（字节）n=4 5 5 2080 2.50·1010 4 3440 7.81·1015 4 5840 2.44·1020 4 5800 7.63·1025 4 10920 2.38·10n=6 5 4 2688 1.34·1010 6 9912 2.26·1015 6 13720 3.80·1020 5 11536 6.38·1025 4 12600 1.07·10表4：Blackand Scholes模型中篮子期权定价问题的P完成结果。不相关资产的情况。通过切比雪夫插值（组合方法），选择参考超立方体[1；1.5]d中的随机初始资产价格，选择期权价格。然后，我们将预测价格与通过应用参考方法（带控制变量的蒙特卡罗）计算的参考价格进行比较，并对n=4的10个新模拟和n=6的10个新模拟进行比较。

特别是，我们再次测量了所有计算价格的最大绝对误差max（|品脱- PRef |），其中PIntis是一个向量，包含不同选择的S的所有100个插值价格；类似地，参考方法也是首选项。误差和计算时间如表5所示。请注意，我们再次报告计算时间以计算单个期权价格。可以看出，与MCreference方法相比，新程序的在线阶段加快了n=4时200到400之间因子的计算，以及n=6时2000到4000之间因子的计算。请注意，两个选择的插值顺序之间的加速度差异由MC参考方法中选择的不同模拟次数给出（10表示n=4，10表示n=6）。因此，对于插值阶数和所有d的选择，加速度都是显著的。为了判断我们方法的准确性，我们计算了参考方法的95%置信区间，其结果在10之间-4和5·10-4对于所有沙d或n的选择。这与表5的最后一列一起，使我们得出结论，新方法是必需的| |经验数据n=4经验数据n=6O（d）图6：所需尺寸Ohm 完工时间低于tol=10-2对于n=4和Tol=10-3对于n=6。

未更正资产的情况。d时间参考方法时间插值最大abs误差n=4 5 0.18 0.45·10-33.75 ·10-310 0.19 0.64 · 10-35.21 ·10-415 0.20 0.73 · 10-34.38 ·10-420 0.20 1.09 · 10-33.16 ·10-425 0.21 0.97 · 10-32.08 ·10-4n=6 5 1.84 0.40·10-35.20 ·10-410 1.91 0.61 · 10-31.42 ·10-415 1.99 0.78 · 10-31.02 ·10-420 2.04 0.93 · 10-31.01 ·10-425 2.10 1.04 · 10-39.36 ·10-5表5：通过切比雪夫插值（组合方法学）与MC参考方法计算的篮子期权价格，其中10个模拟为n=4，10个模拟为n=6。不相关as集合的情况。与参考算法一样精确。最后，在图7中，我们展示了当计算d=2 5的篮子期权价格s以及两种选择的插入顺序时，新方法的效率增益。特别是，在x轴上，我们考虑了可能的计算数量，在y轴上，我们给出了1。参考MC方法的计算时间，2。新组合方法的计算时间（在线阶段+在线阶段），需要计算相应的价格金额。图7中的曲线图显示，在初始投资后，新方法的计算价格数量的计算时间增长非常缓慢。这是因为在线分阶段算法4非常便宜，如数字实验所示。这证明，只要可以在空闲时间的预计算阶段和运行时阶段（其中0 2000 4000 6000 8000 10000#计算期权价格n=4参考方法的计算时间效率增益组合方法0 2000 4000 6000 8000 10000#计算期权价格0 2000 4000 6000 8000 10000#计算时间效率增益n=6参考方法0 2000 4000 6000 8000 10000#计算期权价格0.51.52.5计算时间效率增益方法组合方法图7：计算篮子期权价格的计算时间。

比较n=4和n=6的MCVS组合方法。不相关资产的情况。需要执行才能快速执行。此外，如果需要计算大量价格，它将超过参考方法。图7中的第一个图表明，对于n=4的情况，如果我们想要计算多达1000个期权价格，那么使用参考MC方法是很方便的。对于n=6的情况，盈亏平衡点始终以500个价格计算。3.2.2相关资产的一揽子期权在第二次数值实验中，我们重复了前面小节的测试，但这一次，我们考虑了相关资产。特别是，我们再次选择极化阶数n=4，n=6，其他参数由t=0.25，K=1，r=0，σi=0.2决定i、 ∑=Rd，ωi=di、 其中Rd表示随机相关矩阵。自由参数Si，i=1，···，再次包含在[1；1.5]中。我们通过在表3所列的完井参数集中考虑aga来执行o峎ine阶段。获得的竣工结果现列于表6中，图8显示了所需的Ohm 低于公差Tol=10-2对于n=4和tol=10-3对于n=6。我们注意到，完整性结果类似于不相关资产的情况|Ohm| 再次缩放为O（d）。对于d和n的所有选择，构建C的计算时间再次测量为小于0.01秒。d所需的| |经验数据n=4经验数据n=6O（d）图8：所需尺寸Ohm 完工时间低于tol=10-2对于n=4和Tol=10-3对于n=6。相关资产的情况。。在线阶段的执行与前一章类似，特别是我们使用新方法和参考方法计算100个价格的aga。MCparameters的设置与之前一样，结果如表7所示。

新方法在准确性和计算效率方面的性能与在不相关资产的情况下观察到的性能相似。综上所述，新方法在不相关和相关类中都取得了很好的性能。3.2.3 PIn的秩结构。本节我们定性分析了张量P的秩结构。为简单起见，我们对标准Monte Car-lo方法进行了分析（无任何变量缩减技术）。假设我们已经模拟了存储在矩阵M中的相关几何布朗运动的实现（算法5）。然后，点中的价格由函数p:D给出→ R、 p（S）：=e-rTNSNSXn=1重量（S）o M（n，：）T）- K+,其中，D是插值的超矩形域，M（n，：）是M的n-throw，NSis是蒙特卡罗模拟的数量。此表达式可以写成p（S）=e的形式-rTNSNSXn=1dXi=1αi（n）Si- K+,d最终|Ohm| rel err on last上的rel errOhm新完成时间n=4 5 124 1.86·10-38.9510 390 2.19 · 10-465.7315 1284 1.72 · 10-7118.7320 1526 2.49 · 10-8168.2025 4172 7.52 · 10-9215.44n=6 5 255 4.40·10-466.5410 987 2.06 · 10-4200.1515 1900 1.79 · 10-7432.5820 3990 1.82 · 10-8852.1325 5364 2.88 · 10-71335.76d最大ru到达存储（TT）（字节）存储（完整）（字节）n=4 5 5 2320 2.50·1010 3 2440 7.81·1015 5 8960 2.44·1020 4 7040 7.63·1025 3 8040 2.38·10n=6 5 5 2520 1.34·1010 5 6832 2.26·1015 4 6664 3.80·1020 4 12040 6.38·1025 4 8960 1.07·10表6：Blackand Scholes模型中篮子期权定价问题的P完成结果。相关资产的情况。其中，αi（n）是系数乘以第n次模拟和第i次权重ωi。函数p是变量Si中的分段a ffne。为了分析P的秩结构，让我们考虑单个蒙特卡罗模拟NS=1的情况。

那么p的形式是p（S）=e-rT公司dXi=1αiSi- K+.现在我们分析三个不同的案例。首先，考虑这样一种情况，即任何正弦的价格都是正的，在这里，p是一个函数。这意味着TT秩以d为界。这是因为P的CP秩（rankof the Canonical Polyadic Decomposition，请参见[31]）等于d，P是TT秩中每个ru的上界（请参见[20]）。其次，如果我们观察到超矩形中所有元素的价格都为零，则P是零张量，其rank0。这两种情况显然产生了P的低阶结构，这是新的组合方法的有利情况。在第三种情况下，p仅为分段有效，情况更为复杂，为了获得直觉，我们考虑d=2的情况，其中p的形式为p（S，S）=e-rT（αS+αS- K） +，在D中的平方域上。现在，定义集合：={（S，S）∈ D |αS+αS- K=0}。d时间参考方法时间插值最大abs误差n=4 5 0.18 0.50·10-31.39 ·10-310 0.20 0.56 · 10-34.82 ·10-415 0.20 0.70 · 10-32.82 ·10-420 0.23 0.91 · 10-32.93 ·10-425 0.23 1 · 10-34.30 ·10-4n=6 5 1.85 0.38·10-33.55 ·10-410 1.90 0.57 · 10-35.58 ·10-415 1.99 0.74 · 10-31.39 ·10-420 2.06 0.90 · 10-31.41 ·10-425 2.15 0.96 · 10-39.28 ·10-5表7：通过切比雪夫插值（组合方法学）与MC参考方法计算的篮子期权价格，其中10个模拟为n=4，10个模拟为n=6。相关资产的情况。当L与域D相交时，它把它分成两个区域。只有当α、α和K是导致L是D的对角的特定形式时，P的秩几乎是满的。在蒙特卡罗模拟环境中，这种特殊情况不太可能发生。在所有其他情况下，P表现出较低的秩结构。

特别是，我们预计这两个地区的规模越大，排名就越低。为了可视化这些发现，我们考虑了三个不同的对（α，α）以及r=0，K=1，并使用每个方向上的50个等效点评估离散EDD=[1；1.5]上的相应p。图9显示了所得矩阵的稀疏模式和秩P.0 10 20 30 40 500 10 20 30 40 500 10 20 40 50图9：对于（α，α）的不同值，评估P o n D=[1；1.5]的稀疏模式和秩。左：（α，α）=（0.9，0.8），秩=2。中心：（α，α）=（0.4，0.4）和秩=49。右：（α，α）=（0.1，0.8），秩=8。这种定性解释表明，P的秩结构取决于D。我们预计相对于行程K不对称的域D的秩较低。接下来，我们在第3.2节的实验中为K=1、D=2构造P，并为D=[0.5；1.5]和D=[1；1.5]构造不同的插值阶数n。特别是，我们首先通过10次模拟的算法5构建矩阵M，然后使用算法6计算P。在图10中，我们显示了所有治疗病例的奇异值的衰减。

正如预期的那样，D=[1；1.5]的衰减更快。然而，对于D=[0.5；1.5]，奇异值的衰减相当快。这意味着在这种情况下，新方法仍然是有益的。1 2 3 4 5 6 7-8-6-4-2[0.5,1.5][1,1.5]0 2 4 6 8 10 12-10-8-6-4-2[0.5,1.5][1,1.5]0 5 10 15 20 25-10-8-6-4-2[0.5,1.5][1,1.5]图10：不同插值顺序下采样间隔[0,5；1,5]和[1；1.5]矩阵P的奇异值衰减：左上：n=6，右上：n=10，底部：n=20.4总结和未来工作我们提出了一种有效计算准度量期权价格的统一方法。我们方法的起点是【14】中开发的切比雪夫插值技术，我们在第2.1节简要总结了该技术。我们定义了theo-offine和在线阶段来处理高维问题，参数spacesup为25维。我们利用了插值过程中涉及的张量的低阶结构，这些张量存储在TT forma t中（第2.2节总结）。特别是，我们开发了一种完井技术（第2.3节解释），该技术允许我们构造张量P，其中包含Chebshev张量网格中的期权价格。所有成分均已有效组合，最终形成组合方法，如第2.4节所述。在pape r的第二部分第3节中，我们在两种不同的具体期权定价环境中测试了我们的方法：我们在Heston模型中处理了美式期权定价问题（第3.1节），在d维Black和Scholes模型中处理了欧洲篮子期权定价问题（第3.2节）。这两个例子都表明，我们的方法可以大幅提高效率，同时保持非常精确的结果，其精度可与考虑中的一种参考方法相媲美。

例如，与FDreference方法相比，美式期权价格在5个参数中的插值将程序加速了75倍[2 1]。对于25个基础的一揽子期权定价，有效收益系数高达4000。更多结果见表2、5、7和图7。最后，对于这两个例子，我们定性地研究了P的秩结构，这证实了我们最初的低秩假设确实是合理的。例如，对于美式看跌期权，我们得到的压缩因子为115，与完整的张量相比，压缩因子为115，相对误差仅在第5位，见表1。对于篮子期权，切比雪夫网格中的全张量包含价格需要计算，但在第3.2.3节中，定性地解释了为什么预期PI具有低阶结构。表4和表6中观察到的高达3×10的压缩率也证实了这一点。看到这种新方法的良好性能，并考虑到这种方法可以很容易地针对不同的问题设置进行调整，我们预计它将适用于多个金融领域。例如，股票市场中的定价、校准和敏感性分析、固定收入和信贷以及参数不确定性量化是一些可能的应用领域。参考文献[1]M.Bachmayr和A.Cohen，Kolmogorov宽度和参数椭圆偏微分方程的低阶近似，数学。公司。，86（2017），第701–724页，http://dx.doi.org/10.1090/mcom/3132.[2] B.W.Bader和T.G.Kolda，《算法862：用于快速算法原型的MATLAB张量类》，《数学软件ACM交易》，32（2006），第635–653页，http://dx.doi.org/10.1145/1186785.1186794.[3] B.W.Bader、T.G.Kolda等，《Matlab张量工具箱2.6版》。

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