参数化切比雪夫插值的低阶张量逼近

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英文标题：
《Low-rank tensor approximation for Chebyshev interpolation in parametric
  option pricing》
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作者：
Kathrin Glau, Daniel Kressner, Francesco Statti
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Treating high dimensionality is one of the main challenges in the development of computational methods for solving problems arising in finance, where tasks such as pricing, calibration, and risk assessment need to be performed accurately and in real-time. Among the growing literature addressing this problem, Gass et al. [14] propose a complexity reduction technique for parametric option pricing based on Chebyshev interpolation. As the number of parameters increases, however, this method is affected by the curse of dimensionality. In this article, we extend this approach to treat high-dimensional problems: Additionally exploiting low-rank structures allows us to consider parameter spaces of high dimensions. The core of our method is to express the tensorized interpolation in tensor train (TT) format and to develop an efficient way, based on tensor completion, to approximate the interpolation coefficients. We apply the new method to two model problems: American option pricing in the Heston model and European basket option pricing in the multi-dimensional Black-Scholes model. In these examples we treat parameter spaces of dimensions up to 25. The numerical results confirm the low-rank structure of these problems and the effectiveness of our method compared to advanced techniques.
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中文摘要：
处理高维问题是开发用于解决金融问题的计算方法的主要挑战之一，在金融领域，定价、校准和风险评估等任务需要准确实时地执行。在不断增长的解决这一问题的文献中，Gass等人[14]提出了一种基于切比雪夫插值的参数期权定价复杂性降低技术。然而，随着参数数量的增加，这种方法会受到维数灾难的影响。在本文中，我们将此方法扩展到处理高维问题：此外，利用低秩结构可以考虑高维参数空间。该方法的核心是用张量序列（TT）格式表示张量化插值，并开发一种基于张量补全的有效方法来逼近插值系数。我们将新方法应用于两个模型问题：赫斯顿模型中的美式期权定价和多维Black-Scholes模型中的欧洲篮子期权定价。在这些示例中，我们处理维数高达25的参数空间。数值结果证实了这些问题的低阶结构以及我们的方法与先进技术相比的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Low-rank_tensor_approximation_for_Chebyshev_interpolation_in_parametric_option_pricing.pdf (679.17 KB)

2022-6-11 16:13:17 上传

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关键词：切比雪夫 Quantitative coefficients Applications Dimensional

参数期权定价中Chebyshevinterpolation的低阶张量近似*Kathrin Glau+Daniel KressnerFrancesco Statti§2019年2月11日摘要处理高维度是开发计算方法解决金融问题的主要挑战之一，其中定价、校准和风险评估等任务需要准确实时地执行。在不断增长的解决这一问题的文献中，Gasset等人[14]提出了一种基于切比雪夫插值的参数期权定价复杂性降低技术。然而，随着参数数量的增加，这种方法会受到维数诅咒的影响。在本文中，我们将这种方法扩展到处理高维问题：额外利用低秩结构允许我们考虑h IGH维的参数空间。我们方法的核心是扩展张量化插值强度序列（TT）格式，并开发一种基于张量补全的有效方法来近似插值系数。我们将新方法应用于两个模型问题：赫斯顿模型中的美式期权定价和多维Black-Scholes模型中的欧盟ropean篮子期权定价。在这些例子中，我们将处理维数高达25的参数空间。数值结果证实了这些问题的低阶结构以及我们的方法与先进技术相比的有效性。关键词切比雪夫插值、参数期权定价、高维问题、张量序列格式、低阶张量近似、张量完成1简介金融问题本质上是多维度和高维的，因为有大量风险因素影响每项金融资产的价格。

此外，银行业、保险业和对冲基金业利用大型投资组合进行投资。风险因素和资产组合的相互依赖性使得模型校准、定价和套期保值等基本计算任务以及不确定性量化、风险评估和资本准备金计算等更具挑战性的全球性任务在计算上极具挑战性，例如，见【5】。*作者感谢Jonas Ball ani对这项工作的有益讨论。+伦敦玛丽女王大学，英国伦敦E1 4NS Mile End路。glau@qmul.ac.uk瑞士洛桑1015号8站洛桑理工学院（丹尼尔。kressner@epfl.ch, http://anchp.epfl.ch)§'瑞士洛桑1015号8站洛桑理工学院（francesco。statti@epfl.ch, http://people.epfl.ch/francesco.statti). 根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议第307465-POLYTE号，通过欧洲研究理事会提供研究支持。自动和高速度的交易对计算方法提出了挑战，因为结果需要快速可用，并且存储需求最小。此外，我们观察到监管要求不断提高。一方面，更现实的建模需要更谨慎的考虑，这导致计算复杂性不断增加。另一方面，所需性能特性的可用性预计将在较短的时间内提供。这对传统方法提出了巨大挑战，传统方法通常会受到高维低收敛率的影响，例如参见[9，12]。鉴于上述原因，开发高效的高维金融问题计算方法是学术界和工业界最活跃的研究领域。

例如，蒙特卡罗方法的进一步发展已经非常成功地应用于金融问题；准蒙特卡罗方法参考文献[35，16]，多级蒙特卡罗方法参考文献[15]。除了随机积分外，确定性数值积分还利用了稀疏网格技术，参见【19、27、6】。此外，P DE方法已扩展到多变量金融问题。例如，使用asin【28】中的算子分裂方法，如【42】中的主成分分析和扩展，以及【36、25、26】中提出的小波压缩技术。利用问题的特殊结构，复杂性降低技术可以在保持所需精度的同时节省运行时和存储容量。在数值分析和各种各样的应用中，例如在工程和医学中，复杂度降低技术得到了发展和成功实施。例如，在过去十年中，高效求解参数偏微分方程（PDE）的约基方法领域经历了一个巨大的发展，参见，例如。，【23、40、41】及其引用。由【43，10】开创的减少bas is方法的潜力也越来越多地被用于解决金融问题；参见[8、37、7]中的示例。这些方法可以被视为高维插值方法，在一个简单的步骤中进行训练，以解决特定类别的参数偏微分方程。在本文中，我们探讨了多元函数的直接插值作为降低金融复杂性的唯一方法。我们的出发点是参数和状态空间中条件期望的张量化切比雪夫插值，如【14】所述。

切比雪夫插值在大量应用中发现，这些函数是高度正则的，具有高阶甚至分析的敏感性，并且可以将感兴趣的域限制为超矩形，因此是一种很有希望的选择：对于多元分析函数，切比雪夫插值的收敛性是次指数，其实现在数值上是稳定的，系数由节点处函数值的线性变换简单给出。在本文中，我们将进一步探索这种有利的结构，以获得高维度。同时，我们指出，虽然出于本段所列原因选择切比雪夫插值，但本文中介绍的技术扩展到了其他tensoriz e d插值技术。此外，我们的方法不仅适用于期权定价和融资。我们的方法的基础如下。在oine阶段，价格与参数p的函数关系∈ [-1，1]d，第7页→ Pricepis在选定的参数s amplesp下进行评估，以通过张量化切比雪夫多项式Tj，…，准备近似值，。。。，jd具有预先计算的傅立叶系数cj，。。。，jd，价格如下≈nXj=0···ndXjd=0cj，。。。，jdTj，。。。，jd（p）。（1） 要在联机阶段评估函数，只需评估右侧的多元多项式。然而，在straightforwar数字退火中实现（1）会使该方法在o形线和Online阶段都面临维数灾难：在o形线阶段，价格需要在切比雪夫节点的tensorizedgrid上进行评估，当每个参数需要n个节点时，相当于o（nd）个参数样本。这在计算上是昂贵的，尤其是如果基础定价方法在计算上已经很苛刻的话。在在线阶段，需要O（nd）运算来评估近似的多元多项式。

即使对于一个低至n=3的数字，对应于二次多项式，d=20参数的问题也变得不可行。打破维度诅咒的一种方法是利用高维传感器的低阶结构，这种诅咒已经在许多ar EA中产生了效果；参见【18、20、29】及其参考文献。这些技术有时会显著减少内存需求和使用张量的成本。在参数偏微分方程的背景下，低秩张量结构已在[1、4、30、34、45]中得到成功的探索。由于期权价格被描述为代谢型偏微分方程的解，这给了人们希望，低阶结构可以在金融领域得到很好的利用。下面的问题是：我们能检测出形式（1）问题的低阶结构吗？现有的理论研究仅对此问题提供了部分答案，要么没有反映低阶技术的观察效果，要么仅限于相当特定的功能类别；参见【11、20、44】中的示例。因此，我们从实验的角度来处理这个问题，并分析第3节中不同性质和不同维度的例子。结果清楚地表明了张量P的近似低rank结构，包含张量化切比雪夫网格节点处评估的价格。在五个参数的赫斯顿模型中美式期权价格插值的具体情况下，我们可以方便地将全张量与低阶近似得出的张量进行比较。我们在第3.1节中进行了这一比较，该节确定了P的低阶结构。在第3.2节中，我们考虑了Black-Scholes模型中ba sket期权的价格，该模型具有多达25个基础，并在基础s的初始值中进行了插值。

虽然结果全张量太大，无法显式计算和比较，但我们在第3.2.3节中提供了一个结构分析，解释了为什么P会显示低阶结构。我们如何利用低阶结构来解决形式（1）的问题？用张量格式表达这个问题表明，利用张量结构本身（即使没有低阶结构）可以在o觚ine和在线阶段获得相当大的效率增益。接下来，我们将探讨现有的低阶张量技术。为了有效地利用这些技术解决问题（1），我们需要引入几个新的组件来产生新的方法。我们对这些步骤的详细程度很低。为了构造插值系数cj，。。。，jd在oêine阶段，首先需要计算或近似张量P的所有值，包括张量化切比雪夫网格中的价格。对于较大的d，显式计算P的成本太高，尤其是当基础定价过程需要计算时。相反，我们只计算P的一部分条目，然后需要处理不完全张量。这将引导我们进入以下第一步：1。我们首先只计算一小部分切比雪夫网格点的价格。然后，我们采用了一种完成算法（第2.3节），该算法通过将预先指定的低秩张量设置到提供的数据点来近似完整切比雪夫网格的价格张量。由于假设低秩结构的先验知识是不合理的，因此完成过程需要与自适应秩和抽样策略相结合。具体而言，我们重复添加新样本和增加预测等级的过程，直到满足适当的停止标准。

此completionalgorithm设计用于处理以tensor train（TT）格式构建和存储的张量。使用TT格式的张量P的低阶近似，我们可以有效地近似傅里叶系数cj，。。。，法学博士。这是松脂酸阶段的最后一步：2。张量C的计算，包含傅立叶系数cj，。。。，jd，由一系列d张量矩阵乘法计算。所涉及矩阵的特殊结构说明了快速傅立叶变换的使用，导致复杂性为O（dnrlog（n）），其中r由P的秩确定。第2节解释了这一步骤。4.2.假设现在，在在线阶段，我们要计算一组新参数样本的插值价格（1）。给定TT格式的张量C，价格p的（1）计算如下所示：3。首先，在p中计算了张量化切比雪夫基中涉及的每个切比雪夫多项式。结果表明，（1）可以被视为C和一阶张量之间的内积。由于TT格式，计算此内积的复杂性为O（dnr）；见第2.2节。只要r相当小，这就可以与标准方法所需的O（nd）操作相媲美。在第3节中，我们测试了两个不同期权定价问题的新方法的性能，即赫斯顿模型中d=5参数的–美式期权价格插值，以及Black-Scholes模型中d=25基线的–篮子期权价格插值。与基于ADI的PDE解算器相比，美式期权价格的插值精度相当，显示出在效率方面有很大提高。

篮子期权价格的效率与方差减少的蒙特卡罗模拟进行了比较。2切比雪文极化的TT格式和张量补全本节描述了本工作中提出的方法。我们从[14]中的张量化切比雪夫插值方法开始。在介绍了TTformat[39]之后，我们提出并扩展了[4-5]中的张量完成方法。最后，我们解释了如何结合这些算法，以便为大量参数有效地定价参数选项。2.1参数期权价格的切比雪夫插值我们考虑一个期权价格，该价格取决于包含在[-1，1]d；一般的超矩形参数域可以通过suitablea ffine转换进行寻址。【14】中提出的基本思想包括在参数（模型和支付参数）中使用tensorizedChebyshev插值，以提高计算期权价格的效率，同时保持令人满意的准确性。为p中评估的p ic e写入价格，n阶的切比雪夫插值：=（n，…，nd）和ni∈ Nis由（价格（·））（p）=nXj=0···ndXjd=0cj，。。。，jdTj，。。。，jd（p）。（2） 基础功能Tj，。。。，JD由切比雪夫多项式byTj，。。。，jd（p）=dYi=1Tji（pi），Tji（pi）=cos（jiarccos（pi）），（3）和系数cj，。。。，jdare定义ascj，。。。，法学博士=dYi=1ni>ji>0ninX′k=0。ndX′kd=0P（k，…，kd）dYi=1cosjiπ基尼, （4） 其中x′表示第一个和最后一个总和减半。张量P包含张量化切比雪夫网格上的价格：P（k，…，kd）=价格qk，。。。，kd，其中qk，。。。，kd：=（qk，…，qkd）通过切比雪夫节点qki：=cos（πkini）forki=0，niand i=1，d

[14]给出了期权定价设置中张量化切比雪文插值的收敛性分析。方程（4）中的张量r P的阶数为d，大小为（n+1）×···×（nd+1）。插值程序要求使用参考方法计算该张量的每个条目。当插值阶数和维数d增加时，这将变得昂贵。我们将使用张量补全来降低成本。备注2.1（插值顺序的选择）。在我们的数值实验中，为了简单起见，优先选择了极化序n。然而，如[22]中所述，对于d=3的情况（对一般d的扩展是向前延伸），可以自适应地进行选择。2.2 TT格式为了回顾[39]中介绍的TT格式，我们考虑一般张量X∈Rn×n×··································，d-1，X的条目可以重新排列为矩阵xx<u>∈ R（nn···nu）×（nu+1···nd），称为X的第u次展开。为此，X的第一u索引合并到行索引中，最后n-u索引为列索引；形式定义见【39】。X的TT秩构成一个整数tuplerankt（X）=（r，r，···，rd）：=（1，秩（X<1>），···，秩（X<d-1>), 1 ). （5） 每个条目X（i，i，···，id）都可以表示为d矩阵X（i，i，···，id）=U（i）U（i）···Ud（id），UUUUU…..的乘积。nrnrnrnrnFigure 1：d=5阶张量的TT分解张量网络图。对于Uu（iu），尺寸为ru的矩阵-1×ru。对于每个u=1，···，d，可以将u矩阵Uu（iu），iu=1，2，····，nu收集到大小为ru的三阶张量Uu中-1×nu×ru。这些张量被称为TT核，通过构造，我们有x（i，i，···，id）=rXk=1···rd-1Xkd-1=1U（1，i，k）U（k，i，k）···Ud（kd-1，id，1）。