参数化切比雪夫插值的低阶张量逼近

请注意，n：=n+1。最后，我们在算法4中总结了完整的方法。算法4参数期权中切比雪夫插值的组合方法输入：插值阶数n，子集Ohm 在总切比雪夫点中，我们要计算其期权价格的参数sp的se t∏ut：参数p的插值期权价格∈ ∏1:%O松脂阶段2：使用子集中的参考方法计算期权价格Ohm Chebyshevpoints3：使用TT格式的张量补全构造P（算法2）4：按照第2.4.25:6节构造张量C：期权价格计算-在线阶段7：对于P∈ πdo8：评估切比雪夫张量基Tp9：计算插值价格（12）10：结束在下一节中，我们将看到这种组合方法在具体示例中的表现。3金融应用和数值实验为实现tes t的新方法，我们针对两种不同类型的应用实施了第2节中描述的方法。在第一部分中，我们讨论了参数模型中的计算意图期权定价方法。我们将期权价格视为由模型和期权参数组成的参数空间中的函数。然后在参数空间中用切比雪夫插值逼近价格函数。这种方法已经在参数空间低维的情况下成功地进行了测试。在各种应用中，有几个不同的参数值得关注。如果在全参数空间中，这种相互作用甚至是有效的，那么它确实是一种新的pricingmethodology。在这里，我们将切比雪夫插值和低秩近似相结合，以在参数空间中获得高维数。对于单资产选项的定价，这种方法有望解决中高维参数空间问题。

作为一个一般性的例子，我们选择在Heston模型中用变化的参数K、ρ、σ、κ和θ来近似美国看跌期权价格。结果表明，在这种情况下，计算复杂性显著降低。作为第二类应用，我们将d-var-iate Black-Scholes模型中的篮子期权价格插值作为初始股票价格的函数。这是计算高维马尔可夫过程广义条件矩的典型例子。所有算法都已在Matlab中实现，并在标准笔记本电脑上运行（Intel Core i7，2核，256kB/4MB二级/三级缓存）。为了处理张量，我们使用了Oseledets和[2，3]的工具箱[39]，而对于完成算法，我们使用了[32，33，45，46]中描述的TT完成工具箱。请注意，在此工具箱中，最昂贵的步骤是使用Matlab的Mex functioncapabilities在C中实现的。3.1赫斯顿模型中的美式期权定价我们考虑在赫斯顿模型中对单资产美式看跌期权进行定价。Heston在[24]中介绍，风险中性度量下金融资产的价格动态由DST=rStdt给出+√vtStdWt，其中波动率vt的平方由s平方根过程dvt=κ（θ）建模- vt）dt+σ√vtdWt。这里，两个布朗运动与相关参数ρ、平均复归率κ>0、长期平均θ>0、方差波动率σ>0以及最终固定和确定的连续复合利率r相关。时间t<t，到期时间t，初始基础价格s的美式期权价格≥ 0和初始波动率v≥ 0由price=supt<τ<TE[e]给出-rτf（Sτ）| St=S，vt=v]，（13）其中sup接管所有停车时间τin【t，t】。

这里，f表示欧洲看跌期权的支付函数，即f（x）=（K- x） +，其中K表示执行价格。众所周知（参见例[13]），美式期权的价格（13）满足以下部分差异互补问题（PDCP）：t价格≥ G价格价格≥ f（价格- f）(t价格- GPrice）=0，（14），其中G是赫斯顿模型中（s，v）的最小生成元，定义为gg（s，v）=svssg+ρσsvsvg+σvvvg+rssg+κ（θ- 五）vg公司- rg。文献中已对问题（14）进行了充分研究，迄今已开发出不同的定价算法。在我们的示例中，我们将[21]中解释的定价算法作为组合方法的参考方法。更准确地说，作者提出了不同的时间离散化方案，我们考虑了Hundsdorfer Verwer-Ikonen-Toivanen（HV-IT）方案，解释见【21】第219页。求解离散化PDCP可得出预先指定域每个网格点中所有S、vand T值的近似价格。对于许多应用，我们希望手头有其他参数的解决方案。例如，在校准过程中，我们观察沙子r，可以从历史股价数据中估计出VF。然后，校准问题归结为将参数（K、ρ、σ、κ、θ）与观察到的期权价格数据进行拟合。要做到这一点，需要解决一个优化问题，其中需要计算大量参数（K、ρ、σ、κ、θ、T）的价格。由于不同到期日的价格可以通过重新调整κ和σ来获得，因此我们需要参数K、ρ、σ、κ和θ组合的价格。

这激发了以下设置，即我们确定模型和支付参数S=2，v=0.0175，r=0.1，T=0.25，并改变五个参数（K，ρ，σ，κ，θ）∈ [2; 4] × [-1.1] ×[0.2；0.5]×[1；2]×[0.05；0.2]。为了计算参考pric e s，我们考虑了s和v方向上50个等距空间网格点，其中smin=0，smax=5，vmin=0，vmax=1，40个时间步长和Crank-Nicholson时间步进格式。我们首先执行算法4的o形阶段。我们在每个方向上考虑插值阶n=···=n=：n=10，并通过张量补全构造张量P，如第2.3节所述。我们采用第一种自适应采样策略，如算法2所示。我们选择完成参数为ρ=0，tol=10-3，tol′=10-8，rmax=10|Ohm| = 805, |OhmC |=805，p=0.2。对于这个特殊的例子，我们还能够显式地构造出完整的张量（在1小时40分钟内！）。表1显示了最终集的大小Ohm （第t列），最后一个Ohmnewc（第二列），获得的完整张量和完整张量（第三列）之间的相对误差，完成的运行时间，算法2，以秒为单位（第四列），P的TT秩（第五列），以TT格式保存P所需的存储，以存储（TT）表示，以字节为单位（第六列），以及最终保存完整张量所需的存储，以存储（完整）表示，以字节计量。Matlab需要8个字节来存储double类型的浮点数，这为我们提供了存储全张量的公式store（full）=8·（n+1）d，store（TT）=8·（n+1）（rr+··+rd-第二-1） +8·（n+1）（r+rd-1） 有关mat张量在TT中的存储，请参见[39]。表1显示，5%的样本集足以使算法达到规定的精度。

此外，完成的张量P在2范数中相对于上一个测试样本参数spa c e的相对误差Ohmnewcand全张量的相对误差，即所有切比雪夫节点的相对误差仅在第6位。这比全P上的相对误差大一个数量级。这表明该方法可以扩展到更复杂的情况，其中全张量P的计算不再可行（见第3.2节）。完成时间约为6分钟。最后，秩属性及其因子115的存储减少证实了问题的低秩结构。最终|Ohm| rel err on last上的rel errOhmnewcrel err on full P完成时间8050（5%）2.56·10-52.75 · 10-5366.12rankTT（P）store（TT）（bytes）store（full）（bytes）（1，5，8，6，5，1）11264 1288408表1：赫斯顿模型中参数美式看跌期权定价问题P的完成结果。为了构造张量C（o’line相位的最后一步），我们应用了算法3，计算时间为0.0037秒，与完成时间相比，这是可以忽略的。因此，在o’line阶段，几乎所有的计算时间都花在张量P的构造上。接下来，我们使用我们的方法和参考算法，以两种方式计算在线阶段的美式看跌期权价格。我们使用随机模型参数计算243个价格，这些随机模型参数是从参考集【2；4】×中统一提取的[-1.1] ×[0.2; 0.5]×[1; 2]×[0.05; 0.2]. 我们测量计算期权价格的最大绝对误差，即我们报告quantitymax（| PInt- PRef |），其中PIntis是一个向量，包含模型参数不同选择的所有插值价格；类似地，参考方法也是首选项。

在表2中，我们还报告了计算两种方法的单一期权价格的计算时间。可以注意到，与参考方法相比，插值的在线阶段将过程e加速了75倍。[21]图1的c部分报告了参考方法的准确性，其中一个特定参数设置为10阶-3在最大规范中。插值误差小一个数量级，使新程序至少与参考方法一样准确。因此，我们可以得出结论，该方法在保持相同精度的同时，在在线阶段的表现明显优于参考方法。我们想强调的是，这种方法可以进一步扩展到全套参数（S、v、r、T、K、ρ、σ、κ、θ）的相互作用。从那时起，只需进行一次theo-filene阶段，这将产生一种新的定价方法。在这一阶段中，我们将探索一个事实，即PDCP解算器会改变网格中所有（S、v、T）的价格，以提高采样步骤的效率。这为将来的研究开辟了一个有趣的话题。时间参考方法时间插值最大abs误差3.65·10-24.89 · 10-41.95 ·10-表2：通过组合方法和参考方法得出的美式看跌期权定价结果。3.2多元Black-Scholes模型中的篮子期权在d变量Black-Scholes模型中，d资产S、····、Sd，风险中性动态由DSIT=rSitdt+σidWit给出，（15）其中r是固定的确定利率，（σ、···、σd）是波动性向量，（W、···、Wd）是具有相关矩阵∑的相关布朗运动向量。

（15）的解由IT=Siexp给出（r）-σi）t+σiWit.在本节中，我们应用新的方法，以使用支付函数f:Rd对篮子期权进行定价→ 定义的asf（x）：=dXn=1wnxn- K+,式中，K是走向，而（w，····，wd）是满足Pdn=1wn=1的权重向量。到期日为t的篮子期权在t=0时的风险中性价格通常由价格=e给出-rTE【f（ST）】。（16） 从现在起，我们考虑参数r，σi（i=1，····，d）和相关矩阵∑将被固定，我们让向量S∈ 初始资产价格的Rdof是可变参数。参考定价算法将采用蒙特卡罗（MC）类型，并结合方差减少技术。特别是，我们使用了【17】中提出的控制变量方法，其中控制变量由y=：经验值dXi=1ωilog（SiT）- K+.由于唯一的变化参数是初始资产价格的向量，因此将蒙特卡罗模拟分为两部分非常方便，以提高完成效率。更准确地说，在预计算阶段（算法5），我们模拟了经验的数量（例如10个）的证书（r）-σi）T+σiWiT, 对于i=1、···、d，在第二个时刻，我们将向量S（对于所有必需的参数组合）与所有实现相乘，并通过应用所选方差缩减技术（算法6）计算蒙特卡罗价格。为了生成相关随机变量，我们使用相关矩阵的Cholesky分解，然后将其乘以独立生成的标准正态分布随机变量向量。请注意o 在算法6中，表示向量之间的Hadamard（分量）乘积。算法5在整个过程开始时执行，算法6在后期需要时执行。分割MC算法的优点是双重的。

首先，当我们自适应地增加采样集时，它支持在完成算法的性能方面获得相当大的效率增益Ohm （whichAlgorithm 5相关几何布朗运动的模拟输入：模型和参数σ，∑，T，r；模拟次数M。输出：矩阵M∈ RNumberSim×d包含模拟随机变量。1： L← Cholesky系数∑2:M← 零s（NumberSim，d）3：对于iSim=1：NumberSim do4：← 生成d个独立标准正态变量的向量5:x← L6：对于iStock=1:d do7:M（iSim，iStock）← exp（（r-σ（iStock））T+σ（iStock）x（iStock）√T）8：结束9：结束算法6使用MC和控制变量技术计算篮子期权输入：算法5中的矩阵M，S，strike K，权重向量ω，r，TOutput：篮子期权价格（16）1：支付← 零（NumberSim，1）2：控制← 零（NumberSim，1）3：对于iSim=1：NumberSim do4：R← 第五行iSim:S← So RT6：支付（i Sim）← （Pdi=1ωiSi- K） +7：控制（iSim）← （exp（Pdi=1ωilog（Si））- K） +8：结束9：计算Y的平均uYof，如【17】10：求和中所述← 收益- （控制- uY）11：计算sum12:P大米的平均u← 经验值(-rT）u由S）中的切比雪夫节点组成。在算法2中，我们需要在C hebyshev网格中计算价格，这只能通过使用算法6来完成。第二个建议涉及方法和完工精度的分析：由于我们对每个切比雪夫价格使用相同的模拟集，因此MC模拟不会给完工带来任何进一步的误差。

此外，我们将在第3.2.3节中看到，这种分割过程允许对P的秩结构进行定性分析。接下来，我们对模型参数的不同设置进行数值实验，首先是不相关的，然后是相关资产。3.2.1不相关资产的一揽子期权在本例中，我们考虑了不相关资产的特殊情况。我们研究了所提方法在两个不同插值阶数n=·····=nd=：n=4和n=····=nd=：n=6下的性能。我们将组合方法（算法4）应用于由o f d组成的投资组合∈ {5、10、15、20、25}资产。一组已执行参数由t=0.25、K=1、r=0、σi=0.2给出i、 ∑=Id，ωi=di、 其中，Id表示d×d单位矩阵。我们将Svary放在超矩形[1；1.5]d中，以便我们也考虑ITM选项和ATM选项。对于d的每个值，我们首先执行算法5，对于n=4，NumberSim=10，对于n=6，NumberSim=10。在第二个时刻，我们通过使用自适应采样策略yof算法2（第一个策略）的张量补全来构造张量P。表3显示了d的每个值和每个插值顺序的完成参数。张量完井结果如表4所示。

与前一小节一样，我们报告了该集合的最终大小Ohm, 最后一组测量的相对误差OhmnewC、完成时间和存储所获得的TT格式张量和完整张量所需的内存。对于已完成张量的TT秩，我们不报告完整元组（r，·····，rd）（见定义（5）），只报告数量maxu∈{0，···，d}ru。dρtol-tol′rmaxinitial|Ohm| |OhmC | pn=4 5 0 10-2.-85 31 31 10-110 0 10-2.-85 78 78 10-215 0 10-2.-85 214 214 10-520 0 10-2.-85 763 763 10-825 0 10-2.-85 2086 2086 10-11n=6 5 0 10-3.-87 17 17 10-110 0 10-3.-87 282 141 10-315 0 10-3.-87 475 475 10-620 0 10-3.-87 798 798 10-1025 0 10-3.-87 1341 1341 10-15表3：构建P的完成参数。不相关资产的情况。分析最终获得的集合的大小很有趣Ohm 在算法2中，d和n的不同值（P的不同大小）。图6显示了|Ohm|（最终）针对所选两个插值顺序的d。图形表示清楚地表明，示例条目的数量|Ohm|, chosentolerance tol=10所需-2对于固定插值顺序n=4和tol=10-3对于a fixedn=6，大致为O（d），而全张量的大小为nd。在实践方面，这意味着通过完成算法，我们可以将o形阶段第一步的复杂性从指数增长降低到维数的二次增长。指数增长通常被称为维度曲线。