多重分形衰减运动的直接确定方法

（22）通过Dq=τ（q）q可以得到dqa和多重分形谱f（α）的解析表达式-1和f（α）=qα- τ（q）。在图1（e）中，我们标记τ（0）=-1和τ（1）=0，而在图1（i）中，我们显示f（α| q=0）=0，f（α| q=1）=1。显然，直接确定方法和传统方法都可以以非常高的精度揭示二项式测度的多重分形性质。为了更精确地描述，我们显示了差异图1（f）中估算质量指数与其理论值之间的τ（q）。我们发现，当q值远离0时，估计偏差变得更大。非常负的q原因质量指数τ（q）被低估，非常正的q原因τ（q）被高估。相应地，当| q |\'s设置为大时，估计的Dqin图1（g）和α（q）inFig。1（h）略高于其相应的分析值，图1（i）中估计的f（α）曲线略右偏于其分析值。图1（f）中观察到的另一个特性是直接确定法估计的τ（q）函数略低于传统方法的估计。

这表明，对于非常正的q值，直接测定法的性能优于100101102103104105F（q，s）10-1010-810-610-410-2（a）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105χ（q，s）10-50100105010100（b）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105PVu（q，s，v）ln[Fv（s）]-25-20-15-10-50（c）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105PVu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]-12-10-8-6-4-20（d）q=-10q=-4q=-2q=0q-10-5 0 5 10τq-20-15-10-50510（e）新方法MF CDMA分析结果q=0，τ=-1q=1，τ=0q-10-5 0 5 10τq-0.4-0.200.20.40.6（f）新方法mf-CDMAq-10-5 0 5 10Dq0.40.60.811.21.41.6（g）新方法mf-cdma分析结果q-10-5 0 5 10αq0.40.60.811.21.41.61.8（h）新方法mf-cdma分析结果α0.5 1 1.5 2f（α）00.20.40.60.811.2（i）新方法mf-cdma分析结果q=0q=1FIG。3、基于传统MF-CDMA（θ，q）和θ=0.5的directdetermination方法，对p=0.3的二项测度进行多重分形分析。（a） 对于不同的q，F（q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（b）对于不同的q，χ（q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（c）vu（q，s，v）ln Fv（s）对ln s的线性依赖性。（d）vu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]对lns的线性依赖性。（e）质量指数函数τ（q）。（f） 差异估计质量指数与其理论值之间的τ（q）。（g） 广义维数Dq。（h） 奇异强度函数α（q）。（i） 多重分形奇异谱f（α）。传统的MF-DMA分析。然而，对于非常负的q值，传统方法的性能更好。图2所示的前向移动平均的情况与后向移动平均的情况非常相似。然而，图3中显示的居中移动平均线的情况有所不同。在图中。

3（f），非常负的q原因质量指数τ（q）高估，非常正的q原因τ（q）低估。相应地，当| q |设置为大时，图3（g）中的估计dqin和图3（h）中的α（q）略低于其各自的分析值，并且图3（i）中的估计df（α）略偏向于其分析值。我们注意到直接确定法估计的τ（q）与传统方法估计的τ（q）几乎相同。因此，用这两种方法进行的MF-CDMA分析的性能具有可比性。在此，我们强调，无论我们使用哪种方法，在考虑差异时，向后和向前MF-DMA方法都优于中心MFDMA方法τ（q）。B、 二维p模型为了研究二维MF-DMA方法的性能，我们采用乘法级联过程来合成二维多重分形测度。这个过程从一个正方形开始，我们用相同的大小将它分成四个子正方形。然后，我们分配四个比例的度量值p、p和p，并将其分配给它们（s.t.p+p+p+p=1）。每个子正方形进一步划分为四个较小的正方形，度量值以相同的比例重新分配。该过程重复了10次，我们最终生成了尺寸为1024×1024的二维多重分形测度。在图4中，模型参数为p=0.1、p=0.2、p=0.3和p=0.4。在本文中，我们特别采用θ=θ=θ来实现二维MF-DMA分析的各向同性。X（i1，i2）i11 256 512 768 1024i212565127681024×10-512345678910图。4、二维多重分形测度，p=0.1，p=0.2，p=0.3，p=0.4，尺寸1024×1024。图5显示了分别使用两种方法的二维MF-DMA分析的后向情况（θ=θ=0）。无花果

5（a）说明了不同q下，函数F（q，s）对尺度s的幂律依赖性。传统MF-DMA方法中的指数h（q）通过对数-对数尺度中的最小平方拟合获得。图5（b）说明了不同q的配分函数χ（q，s）在尺度s上的幂律依赖性。lnχ（q，s）与ln的线性回归得到的斜率是τ（q）的估计值，如图5（e）所示。我们得到Dqusing Dq=τ（q）q-1和α（q）和f（α），使用Legendre变换，如图所示。5（g-i）。另一方面，二维p模型的多重分形性质也可以通过直接确定方法来估计。图5（c）绘制了Vpvu（q，s，v，v）ln Fv，v（s）与s的依赖关系，图5（d）绘制了Fpvpvu（q，s，v，v）ln[u（q，s，v，v）]与s的线性对数坐标的依赖关系。线性函数的斜率。5（c）和图5（d）是α（q）和f（α）的直接估计，如图5（h-i）所示。在图5（e）和图5（g-i）中，我们还将分析溶液显示为一条连续曲线，以进行比较。τ（q）的分析公式表示为τanalyi（q）=-ln（pq+pq+pq+pq）ln 2。（23）我们还将分析奇点谱显示为一条连续曲线，以进行比较，其中奇点强度函数α（q）可计算如下αanali（q）=-pqln p+pqln p+pqln p+pqln p（pq+pq+pq+pq）ln 2。（24）通过Dq=τ（q）/（q）可以得到dqa和多重分形谱f（α）的解析表达式- 1） f（α）=qα- τ（q）。在图5（e）中，我们标记τ（0）=-2（因此分维D=2）和τ（1）=0，而在图5（i）中，我们显示f（α| q=0）=0和f（α| q=1）=1。我们发现二维MF-DMA分析与图中的一维情况具有相同的特性。

1、估算偏差|当q值远离0时，τ（q）|变得更大。非常负的q导致质量指数τ（q）被低估，非常正的q导致τ（q）被高估。相应地，当| q |值较大时，图5（g）中的估计Dqin和图5（h）中的α（q）略高于其各自的分析值，而图5（i）中的估计f（α）曲线略右偏于其分析值。图5（f）中观察到的另一个特性是直接测定法估算的τ（q）曲线比传统方法估算的τ（q）曲线更为明显。这表明，对于非常正的q值，直接确定方法优于传统的MF-DMA分析方法。然而，对于非常负的eq值，传统方法的性能更好。C、 分数布朗运动我们还使用单分形时间序列测试了新方法的性能。图6显示了使用直接确定方法和传统方法对分数布朗运动（FBM）进行多重分形分析的结果。FBM系列是使用基于awavelet的生成器（WFBM）[63]生成的，输入Hurstexponent Hin=0.7。我们采用反向情况（MFBDMA）来表示结果。图6（a）说明了不同q的折射函数F（q，s）在标度s上的幂律依赖性。我们注意到这些线几乎具有相同的斜率。换句话说，根据公式（10）估算的指数h（q）都接近Hin=0.7。这导致图6（d）中的几乎线性τ（q）函数和图6（e）中的几乎线性α（q）函数，分别从公式（11）和q中获得。（13a）。多重分形性质的强度可以通过奇点谱的宽度来量化α=α最大值- 图中的αmin。

6（f），我们将函数f（α）表示为α的函数，并发现谱宽非常窄。这证实了分馏布朗运动信号是单分形的，而不是多重分形的。另一方面，分数布朗运动的伪多重分形性质也可以用直接判定法来估计。在图6（b，c）中，我们将PVu（q，s，v）ln Fv（s）和PVu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]表示为时滞s的函数。我们发现这些线几乎具有相同的斜率。因此，图6（e）中的奇异强度α（q）和图6（f）中的多重分形奇异谱f（α）都具有狭窄的区域。在图6（d-f）中，我们表明直接测定法的性能与传统方法相当。S10101102103F（q，s）10-810-610-410-2100（a）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103χ（q，s）10-50100105010100（b）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103PV1PV2u（q，s，v1，v2）ln[Fv1，v2（s）]-16-14-12-10-8-6-4-2（c）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103PV1PV2u（q，s，v1，v2）ln[u（q，s，v1，v2）]-10-8-6-4-20（d）q=-10q=-4q=-2q=0q-10-5 0 5 10τq-40-30-20-1001020（e）新方法MF BDMA分析结果q=0，τ=-2q=1，τ=0q-10-5 0 5 10τq-0.6-0.4-0.200.20.40.6（f）新方法mf-BDMAq-10-5 0 5 10Dq11.522.533.5（g）新方法mf-bdmaanalysis resultsq-10-5 0 5 10αq11.522.533.5（h）新方法mf-bdmaanalysis resultsα1 1 1.5 2.5 3 3.5 4f（α）-0.500.511.522.5（i）新方法mf-bdmaanalysis resultsq=0q=1FIG。5、二维多重分形测度的多重分形分析，基于传统MF-BDMA（θ，θ，q）和θ=θ=0（向后移动平均）的直接确定方法。（a） 对于不同的q，F（q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（b）对于不同的q，χ（q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（c）VpVu（q，s，v，v）ln Fv，v（s）对ln s的线性依赖性。

（d） vpvu（q，s，v，v）ln[u（q，s，v，v）]与lns的线性关系。（e）质量指数函数τ（q）。（f） 差异τ（q）在估计质量指数与其理论值之间。（g） 广义维数Dq。（h） 奇异强度函数α（q）。（i） 多重分形奇异谱f（α）。我们还通过图7中的两种方法比较了赫斯特指数的估计精度。对于传统方法，估计的赫斯特指数可以通过公式（10）获得。使用新方法，我们先求出τ（q），然后通过公式（11）向后推导出h（q）。注意h（0）=limq→0τ（q）+1q=τ（0）。我们使用三种不同的输入Hurst指数（Hin=0.3、0.5和0.7）生成EFBM时间序列。对于每个Hin，我们模拟100 FBM时间序列。我们给出了θ=0.5（CDMA）的中心跟踪移动平均情况的结果，因为CDMA具有最佳性能[28]。我们确认，直接确定法和传统方法都可以对所有三种不同的HIN案例进行相对准确的估计。此外，除了q接近0时，估计值无明显差异。在正则方法中，当q→ 0.IV.金融时间序列的应用我们现在采用直接确定法和传统方法来研究浦发银行（600000）股价波动时间序列的多重分形特性。波动率定义为1分钟收盘价对数差的绝对值：R（t）=ln P（t）- ln P（t- 1） |，，（25），其中P（t）是t分钟的收盘价。样本的时间段为2015年1月5日至2016年3月14日，包含70179个数据点。这里我们以反向方法为例。图8（a）显示了函数F（q，s）在标度s上的幂律依赖性。

对于差异，斜率h（q）不同，但差异为101102103104105F（q，s）10-1100101102103（a）q=-3q=-2q=-1q=0q=1q=2q=3s10102103105105pvu（q，s，v）ln[Fv（s）]-1012345（b）q=-3q=-2q=-1q=0q=1q=2q=3S10102103105105PVu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]-12-10-8-6-4-2（c）q=-3q=-2q=-1q=0q=1q=2q=3q-3-2-1 0 1 2 3τq-4-3-2-101（d）新方法MF-BDMAq-3-2-1 0 1 2 3αq0.60.620.640.660.680.70.72（e）新方法MF BDMAα0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1f（α）00.20.40.60.81（f）新方法MF BDMAFIG。基于传统MF-BDMA（θ，q）和θ=0的直接确定方法，Hin=0.7的分数布朗运动多重分形分析。（a） 对于不同的q，F（q，s）对盒子尺寸s的幂律依赖性。（b）vu（q，s，v）lnFv（s）对lnS的线性依赖性。（c）vu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]对lnS的线性依赖性。（d）质量指数函数τ（q）。（e） 奇异强度函数α（q）。（f） 多重分形奇异谱f（α）。q-4-2 0 2 4小时0.20.250.30.350.4（a）新方法Mf-CDMAHin=0.3q-4-2 0 2小时0.40.450.50.550.6（b）新方法Mf-CDMAHin=0.5q-4-2 0 2小时0.60.650.70.750.8（c）新方法Mf-CDMAHin=0.7图。赫斯特指数估计。在每个样地中，从直接测定法和θ=0.5的原始方法中获得两种类型的标记。每个点显示100个模拟时间序列估计的平均赫斯特指数。误差条显示标准偏差。每列对应一个固定的赫斯特指数（Hin=0.3、0.5和0.7，从左到右）。不像p模型那么明显。对于新方法，配分函数χ（q，s）相对于标度s进行标度，如图8（b）中的声幂律。斜率是估计的τ（q），其几乎与传统方法的估计重叠，如图8（e）所示。

还直接确定了奇异强度函数和多重分形谱。图8（c）显示了nsv=1u（q，s，v）ln Fv（s）与ln s的良好线性关系，图8（d）显示了nsv=1u（q，s，v）ln[u（q，s，v）]与ln s的良好线性关系。这些线的斜率不同，因此图8（g-i）中的α（q）值范围为0.80至1.09，f（α）范围为0.34至1。多重分形的强度可以用多重分形奇异强度函数的跨度来表征。因此，我们在图中观察到，PD银行的1分钟波动率时间序列具有多重分形性质，直接确定方法和传统方法显示出相同的结果。五、 结论在本文中，我们定义了一个标准度量，以开发一种新的多重分形的去趋势移动平均方法，从而可以直接确定奇异强度函数α（q）和多重分形谱f（α）。在正则框架中，通过配分函数确定质量标度指数τ（q）。与tradis101102103104F（q，s）10-210-1100101（a）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10s101102103104χ（q，s）10-10100101010201030（b）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10s101102103104Pvu（q，s，v）ln[Fv（s）]-5-4-3-2-1012（c）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10s101102103104Pvu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]-8-7-6-5-4-3-2-1（d）q=-10q=-4q=-2q=0q-10-5 0 5 10τq-15-10-50510（e）新方法MF-BDMAq-10-5 0 5 10Dq0.850.90.9511.051.1（f）新方法MF-BDMAq-10-5 0 5 10αq0.80.850.90.9511.051.1（g）新方法MF-BDMAq-10-5 0 5 10fq0.20.40.60.811.2（h）新方法MF-BDMAα0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1f（α0.20.40.60.811.2（i）新方法MF BDMAFIG。8.

基于传统的almf-BDMA（θ，q）和θ=0（向后移动平均）的直接确定方法，对浦发银行（600000）股价的1分钟波动时间序列进行多重分形分析。（a） 对于不同的q，X（q，s）对盒子大小s的幂律依赖性（b）对于不同的q，X（q，s）对盒子大小s的幂律依赖性（c）对Fpvu（q，s，v）ln【Fv（s）】对Lns的线性依赖性（d）对Vvu（q，s，v）ln【u（q，s，v）】对Lns的线性依赖性（e）质量指数函数τ（q）。（f） 广义维数Dq。（g） 奇异强度函数α（q）。（h） f（q）函数。（i） 多重分形奇异谱f（α）。该方法直接计算广义赫斯特指数，间接推导奇异谱。我们重点研究了一维和二维的多重分形分析。更高维度的扩展是向前延伸的。基于具有已知理论多重分形性质的合成多重分形测度，包括一维p模型、二维p模型和分数布朗运动，测试了直接确定方法和传统方法的性能。我们发现，直接确定方法与传统方法具有相当的性能，可以揭示多重分形的性质。换句话说，对于P模型，这两种方法提供的结果与质量函数、奇异强度函数和多重分形谱的解析表达式一致。在更仔细的比较中，对于θ=0的后向MF-DMA和θ=1的前向MF-DMA情况，当q非常正时，直接确定方法的性能稍好一些；当q为极负时，传统方法的性能稍好一些。对于θ=0.5的居中MF-DMA情况，这两种方法没有显示出明显的差异。