多重分形衰减运动的直接确定方法

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英文标题：
《Direct determination approach for the multifractal detrending moving
  average analysis》
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作者：
Hai-Chuan Xu, Gao-Feng Gu and Wei-Xing Zhou (ECUST)
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In the canonical framework, we propose an alternative approach for the multifractal analysis based on the detrending moving average method (MF-DMA). We define a canonical measure such that the multifractal mass exponent $\\tau(q)$ is related to the partition function and the multifractal spectrum $f(\\alpha)$ can be directly determined. The performances of the direct determination approach and the traditional approach of the MF-DMA are compared based on three synthetic multifractal and monofractal measures generated from the one-dimensional $p$-model, the two-dimensional $p$-model and the fractional Brownian motions. We find that both approaches have comparable performances to unveil the fractal and multifractal nature. In other words, without loss of accuracy, the multifractal spectrum $f(\\alpha)$ can be directly determined using the new approach with less computation cost. We also apply the new MF-DMA approach to the volatility time series of stock prices and confirm the presence of multifractality.
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中文摘要：
在规范框架下，我们提出了一种基于去趋势移动平均法（MF-DMA）的多重分形分析方法。我们定义了一个正则测度，使得多重分形质量指数$\\ tau（q）$与配分函数相关，并且可以直接确定多重分形谱$\\ f（\\ alpha）$。基于由一维$p$模型、二维$p$模型和分数布朗运动生成的三种综合多重分形和单分形测度，比较了MF-DMA的直接确定方法和传统方法的性能。我们发现，这两种方法在揭示分形和多重分形性质方面具有可比性。换言之，在不损失精度的情况下，可以使用新方法直接确定多重分形谱$f（\\α）$，且计算成本较低。我们还将新的MF-DMA方法应用于股票价格的波动时间序列，并确认了多重分形的存在。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：Multifractal Quantitative Econophysics Applications performance

Physical Review E 96（5），052201（2017）多重分形追踪移动平均分析的直接确定方法Hai Chuan Xu，1，2高峰谷，1，2和Wei Xing Zhou1，2，3，*在规范框架中，华东理工大学经济物理研究中心，上海200237，华东理工大学中国金融系，上海200237，华东理工大学中国科学院，上海200237（日期：2019年2月13日），我们提出了一种基于去趋势移动平均法（MF-DMA）的多重分形分析方法。我们定义了一个标准度量，使得多重分形质量指数τ（q）与配分函数相关，并且可以直接确定多重分形谱f（α）。基于由一维p模型、二维p模型和分数布朗运动生成的三种综合多重分形和单分形测度，比较了MF-DMA的直接确定方法和传统方法的性能。我们发现，这两种方法都具有可比性，可以揭示分形和多重分形的本质。换言之，在不损失精度的情况下，可以使用新方法直接确定多重分形谱f（α），且计算成本较低。我们还将新的MF-DMA方法应用于股票价格的波动时间序列，并证实了多重分形的存在。PACS编号：89.75。Da，05.45。Tp，05.45。Df，05.40-人工智能。引言许多混沌、非线性动力学系统的长期行为可以用分形或多重分形测度来描述[1–3]。人们提出了许多方法来表征分形和多重分形的性质。最经典的方法之一是赫斯特分析或重标极差分析（R/S）[4，5]。

小波变换模极大值（WTMM）方法也是一种强大的工具【6–10】，即使对于高维多重分形度量，例如图像技术和湍流【11–15】。另一个流行的系列包括去趋势波动分析（DFA）[16-18]和去趋势移动平均分析（DMA）[19-22]。大量的数值模拟表明，DMA方法的性能与DFA方法相当，在不同的情况下优先级略有不同【23–30】。在实际应用中，应记住，标度范围的确定在计算标度指数时起着至关重要的作用【31–33】。这些方法已扩展到许多方向，如高维对象[34-38]，双时间分析的去趋势互相关分析及其变体[39-52]，多变量时间序列的去趋势部分互相关分析[53-55]，等等。在本文中，受配分函数法中通过正则测度直接确定f（α）奇异谱的思想启发【39、56、57】，我们通过定义正则测度来发展MF-DMA方法，从而可以直接确定奇异强度函数α（q）和多重分形谱f（α）。最初的MF-DMA方法*wxzhou@ecust.edu.cn[27，58]要求首先计算赫斯特指数h（q），然后通过勒让德变换计算多重分形标度指数τ（q），最后是α（q）和f（α）[59]。修改后的方法旨在分析多重分形时间序列和多重分形曲面。利用已知标度特性的合成分形和多重分形测度，研究了这种新的MF-DMA方法的性能。本文的组织结构如下。以秒为单位。二、 我们描述了MF-DMA的直接确定方法和传统方法。

分别给出了一维和二维情况。以秒为单位。三、 我们通过数值模拟比较了这两种方法的性能。我们考虑了三个数值实验，即一维p模型、二维p模型和分数布朗运动。InSec。四、 我们应用MF-DMA方法来分析日内股票收益的时间序列。我们在第二节中讨论并得出结论。五、 二。多重分形去趋势移动平均分析在本节中，对于一维和二维情况，我们首先提出了新的直接确定方法，然后描述了MF-DMA分析的传统方法【27，58】。A、 一维情况：MF-DMA（θ，q）考虑时间序列x（t），t=1，2，···，N。我们构造了累积sumsy（t）=tXi=1x（i），t=1，2，···，N的序列。（1）移动窗口中的移动平均函数ey（t）可以计算如下[20]，ey（t）=sd（s-1)(1-θ） eXk公司=-b（s）-1） θcy（t- k） ，（2）其中s是窗口大小，bxc是不大于x的最大整数，dxe是不小于x的最小整数，θ是值在[0，1]范围内变化的位置参数。θ=0、θ=0.5和θ=1的情况分别指向后、居中和向前移动平均分析【23】。趋势ey（t）也可以通过高阶多项式进行估计【60】，然而，高阶DMA的实现显著增加了计算成本，这将预示着该方法的实际应用。我们通过从y（i）中去掉movingaverage函数ey（i）来分解信号序列，并获得剩余序列（i） 通过（i） =y（i）- ey（i），（3）其中s- b（s）- 1） θc 6 i 6 N- b（s）- 1） θc.剩余序列（i） 被分成大小相同的n个不相交的子系列，其中n=bN/s- 1c。每个子系列可表示为V如此v（i）=（l+i）对于1 6 i 6 s，其中l=（v- 1） s。

我们计算均方根函数Fv（s）如下Fv（s）=“ssXi=1五（一）二分之一。（4） 函数Fv（s）反映大小s的每个v段内的剩余序列量，在标准textbookbox计数形式中称为方框概率。从规范的角度来看，可以直接获得f（α）函数[39、56、57]。在这里，我们使用函数Fv（s）：u（q，s，v）=Fqv（s）PNsv=1Fqv（s），（5）定义一个标准度量u（q，s，v），其中q是指数变量。设配分函数χ（q，s）=PNsv=1Fqv（s），从中可以得到多重分形质量指数τ（q），即χ（q，s）~ sτ（q）。（6） 然后，通过Legendretransform将奇异强度α（q）和多重分形谱f（α）与τ（q）联系起来。代入配分函数χ（q，s）和正则测度u（q，s，v），α（q）和f（α）被推导为α（q）=dτ（q）dq=lims→0ddqlnχ（q，s）ln s=lims→0PNsv=1Fqv（s）ln Fv（s）PNsv=1Fqv（s）ln s=lims→0PNsv=1u（q，s，v）ln Fv（s）ln s，（7a）和f（α（q））=qα（q）- τ（q）=lims→0qPNsv=1[Fqv（s）ln Fv（s）]-PNsv=1Fqv（s）ln[PNsv=1Fqv（s）]PNsv=1Fqv（s）ln s=lims→0PNsv=1Fqv（s）[ln Fqv（s）- ln【PNsv=1Fqv（s）】]PNsv=1Fqv（s）ln s=lims→0PNsv=1u（q，s，v）ln[u（q，s，v）]ln s.（7b）实际上，α（q）和f（α）可以通过半对数坐标中的线性回归来计算。因此，多重分形谱f（α）由度量u（q，s，v）直接确定。也就是说，式（5）和式（7）是原始MF-DMA方法的“规范”对应物【27】。在传统的MF-DMA分析中，qth顺序整体函数F（q，s）的计算如下：F（q，s）=（NsNsXv=1Fqv（s））q，（8），其中q可以取除q=0以外的任何实值。当Q=0时，根据L\'H^医院规则，我们有Ln[F（0，s）]=NSxv=1ln[Fv（s）]，（9）。通过改变s的值，我们可以确定函数F（q，s）和尺寸尺度s之间的幂律关系：F（q，s）~ sh（q）。

（10） 多重分形标度指数τ（q）可确定如下：τ（q）=qh（q）- Df，（11），其中dfi是多重分形测度几何支撑的分形维数。如果标度指数函数τ（q）是q的非线性函数，则信号具有多重分形性质。q阶广义维数dqc可以通过dq=τ（q）q获得- 1.（12）基于勒让德变换，我们可以得到奇异强度函数α（q）和多重分形谱f（α）[59]α（q）=dτ（q）dq=h（q）+qdh（q）dq，（13a）和f（α（q））=qα- τ（q）=q[α- h（q）]+Df。（13b）B.二维情况：MF-DMA（θ，θ，q）二维MF-DMA分析用于研究i=1，2，···，Nand i=1，2，····，N的Surfacex（i，i）的可能多重分形特性。一些表面分析（例如分形裂纹）测量沿前方向和沿传播方向的两个独立（或相关）标度指数，在这个意义上，局部高度（平面外）在两个不同的方向上缩放为平面内位移【61】。不同的是，我们这里关心的是分区正方形上的缩放行为，而不是定向位移上的缩放行为。局部去趋势弯曲Fv，v（s，s）可计算如下，Fv，v（s，s）=“sssXi=1sXi=1v、 v（i，i）#1/2。（14） 残差矩阵（i，i）被划分为大小相同的Ns×Ns不相交矩形段，其中Ns=b（N- s（1+θ））/sc和Ns=b（N- s（1+θ））/sc。每个段由v、 v如此v、 v（i，i）=（l+i，l+i）对于1 6 i6砂1 6 i6 s，其中l=（v- 1） 砂l=（v- 1） 通常，我们设置s=s=s。与一维情况类似，我们将标准度量定义为u（q，s，v，v）=Fqv，v（s）PvPvFqv，v（s），（15），然后，从配分函数χ（q，s）我们可以得到多重分形质量指数τ（q），即χ（q，s）=XvXvFqv，v（s）~ sτ（q）。

（16） 与一维情况类似，将奇异强度α（q）和奇异谱f（α）推导出为α（q）=dτ（q）dq=lims→0ddqlnχ（q，s）ln s=lims→0PvPvFqv，v（s）ln Fv，v（s）PvPvFqv，v（s）ln s=lims→0PvPvu（q，s，v，v）ln Fv，v（s）ln s，（17a）和f（α（q））=qα（q）- τ（q）=lims→0（qPvPv[Fqv，v（s）ln Fv，v（s）]PvPvFqv，v（s）ln s-ln【PvPvFqv，v（s）】ln s）=lims→0PvPvFqv，v（s）[ln Fqv，v（s）- ln【PvPvFqv，v（s）】PvPvFqv，v（s）ln s=lims→0PvPvu（q，s，v，v）ln[u（q，s，v，v）]ln s.（17b）实际上，α（q）和f（α）可以通过半对数标度的线性回归来计算。在最初的二维MF-DMA方法【27】中，qth阶总函数F（q，s）计算如下，F（q，s）=NSNSXV=1NsXv=1Fqv，v（s，s）q、 （18）其中q可以取除q=0以外的任何实值。当q=0时，根据L\'H^医院规则，我们有ln[F（0，s）]=nsnsxv=1NsXv=1ln[Fv，v（s，s）]，（19）。通过改变分段大小和s，我们可以确定函数F（q，s）和尺度s，F（q，s）之间的幂律关系~ sh（q），（20）应用等式。（11） 和（13），我们可以分别得到多重分形标度指数τ（q）、奇异强度函数α（q）和多重分形谱f（α）。对于二维多重分形测度，公式（11）中的Df=2。三、 数值实验a。一维p模型为了研究不同MF-DMAA方法的性能，我们应用p模型[62]合成多重分形时间序列。

p型可生产标准1001010102103104105F（q，s）10-1010-5100（a）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105χ（q，s）10-50100105010100（b）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105PVu（q，s，v）ln[Fv（s）]-25-20-15-10-50（c）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105PVu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]-12-10-8-6-4-20（d）q=-10q=-4q=-2q=0q-10-5 0 5 10τq-20-15-10-50510（e）新方法MF BDMA分析结果q=0，τ=-1q=1，τ=0q-10-5 0 5 10τq-0.15-0.1-0.0500.050.10.15（f）新方法mf-BDMAq-10-5 0 5 10Dq0.40.60.811.21.41.6（g）新方法mf-bdmaanalysis resultsq-10-5 0 5 10αq0.40.811.21.41.61.8（h）新方法mf-bdmaanalysis resultsα0.5 1 1 1.5 2f（α）-0.200.20.40.60.811.2（i）新方法mf-bdmaanalysis resultsq=0q=0 1图。1.基于传统MF-BDMA（θ，q）和θ=0的直接确定方法，对p=0.3的二项测度进行多重分形分析。（a） 对于不同的q，F（q，s）对盒子尺寸s的幂律依赖性。（b）对于不同的q，χ（q，s）对盒子尺寸s的幂律依赖性。（c）vu（q，s，v）ln Fv（s）对ln s的线性依赖性。（d）vu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]对lns的线性依赖性。（e）质量指数函数τ（q）。（f） 差异τ（q）在估计质量指数与其理论值之间。（g） 广义维数Dq。（h） 奇异强度函数α（q）。（i） 多重分形奇异谱f（α）。通过多重分形级数，可以精确地得到标度指数τ（q）和奇异强度函数α（q）的解析公式。因此，p模型用于测试多重分形估计量的性能【17，27】。从在间隔[0，1]上均匀分布的度量值m开始。在第一步中，测量值在区间上重新分布，m1,1=mpt到前半个区间，m1,2=mp=m（1- p） 到下半场休息。

在（k+1）步骤中，测量mk，离子将2条线段中的每一条重新分配为两部分，其中mk+1,2i-1=mk，ipandmk+1,2i=mk，ip。我们重复该过程20次，最终生成长度为2=1048576的多重分形时间序列。我们给出了参数为p=0.3和p=0.7时的结果，并比较了后向移动平均（θ=0）、中心移动平均（θ=0.5）和前向移动平均（θ=1）的性能。其他参数的结果在质量上是相同的。我们在图1中详细说明了反向移动平均的情况。图1（a）说明了不同q下，函数F（q，s）对标度的幂律依赖性。传统的LMF DMA方法的指数h（q）是通过对数-对数标度中的最小二乘拟合获得的。图1（b）说明了不同q的配分函数χ（q，s）在标度s上的幂律依赖性。通过lnχ（q，s）与lns的线性回归得到的斜率是τ（q）的估计值，如图1（e）所示。我们得到Dqusing Dq=τ（q）q-1和α（q）和f（α），使用勒让德变换，如图1（g-i）所示。另一方面，一维p模型中的多重分形性质也可以通过直接确定方法来估计。图1（c）绘制了Fpnsv=1u（q，s，v）ln Fv（s）对s的依赖关系，图1（d）绘制了Fpnsv=1u（q，s，v）ln[u（q，s，v）]对sin线性对数坐标的依赖关系。图1（c）和图。

1（d）是α（q）和S10101102103104105F（q，s）10-1010-5100（a）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105χ（q，s）10-50100105010100（b）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105PVu（q，s，v）ln[Fv（s）]-25-20-15-10-50（c）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10S10101102103104105PVu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]-12-10-8-6-4-20（d）q=-10q=-4q=-2q=0q-10-5 0 5 10τq-20-15-10-50510（e）新方法MF FDMA分析结果q=0，τ=-1q=1，τ=0q-10-5 0 5 10τq-0.08-0.06-0.04-0.020.040.06（f）新方法mf-FDMAq-10-5 0 5 10Dq0.40.60.811.21.41.6（g）新方法mf-fdmaanalysis resultsq-10-5 0 5 10αq0.40.60.811.21.41.8（h）新方法mf-fdmaanalysis resultsα0.5 1 1.5 2f（α）00.20.40.60.811.2（i）新方法fdmaanalysis resultsq=0 q=1图。2、基于传统MF-FDMA（θ，q）和θ=1的directdetermination方法，对p=0.3的二项测度进行多重分形分析。（a） 对于不同的q，F（q，s）对盒子尺寸s的幂律依赖性。（b）对于不同的q，χ（q，s）对盒子尺寸s的幂律依赖性。（c）vu（q，s，v）ln Fv（s）对ln s的线性依赖性。（d）vu（q，s，v）ln[u（q，s，v）]对lns的线性依赖性。（e）质量指数函数τ（q）。（f） 差异τ（q）在估计质量指数与其理论值之间。（g） 广义维数Dq。（h） 奇异强度函数α（q）。（i） 多重分形奇异谱f（α）。f（α），如图1（h-i）所示。在图1（e）和图1（g-i）中，我们还将分析溶液显示为一条连续曲线，以进行比较。由p模型生成的时间序列的τ（q）的分析公式可以用[59]表示，τanalyi（q）=-ln（pq+pq）ln 2。（21）分析奇点强度函数α（q）可计算如下αanali（q）=-pqln p+pqln p（pq+pq）ln 2。