基于均方误差和条件均方误差的最优阈值分割

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英文标题：
《Optimum thresholding using mean and conditional mean square error》
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作者：
Jos\\\'e E. Figueroa-L\\\'opez and Cecilia Mancini
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a univariate semimartingale model for (the logarithm of) an asset price, containing jumps having possibly infinite activity (IA). The nonparametric threshold estimator of the integrated variance IV proposed in Mancini 2009 is constructed using observations on a discrete time grid, and precisely it sums up the squared increments of the process when they are below a threshold, a deterministic function of the observation step and possibly of the coefficients of X. All the threshold functions satisfying given conditions allow asymptotically consistent estimates of IV, however the finite sample properties of the truncated realized variation can depend on the specific choice of the threshold. We aim here at optimally selecting the threshold by minimizing either the estimation mean square error (MSE) or the conditional mean square error (cMSE). The last criterion allows to reach a threshold which is optimal not in mean but for the specific volatility (and jumps paths) at hand. A parsimonious characterization of the optimum is established, which turns out to be asymptotically proportional to the L\\\'evy\'s modulus of continuity of the underlying Brownian motion. Moreover, minimizing the cMSE enables us to propose a novel implementation scheme for approximating the optimal threshold. Monte Carlo simulations illustrate the superior performance of the proposed method.
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中文摘要：
我们考虑一个资产价格（对数）的一元半鞅模型，其中包含可能具有无限活动（IA）的跳跃。Mancini 2009年提出的综合方差IV的非参数阈值估值器是使用离散时间网格上的观测值构建的，当其低于阈值时，它精确地求出了过程的平方增量，观测步长的确定函数，可能是X的系数的确定函数。所有满足给定条件的阈值函数都允许对IV进行渐近一致的估计，但是截断实现变量的有限样本特性可能取决于阈值的具体选择。我们的目标是通过最小化估计均方误差（MSE）或条件均方误差（cMSE）来优化选择阈值。最后一个标准允许达到一个阈值，该阈值不是平均值，而是针对手头的特定波动率（和跳跃路径）的最优阈值。建立了最优解的一个简约特征，它与基础布朗运动的L’evy连续模成渐近比例。此外，最小化cMSE使我们能够提出一种新的实现方案来逼近最佳阈值。蒙特卡罗仿真表明了该方法的优越性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Optimum_thresholding_using_mean_and_conditional_mean_square_error.pdf (778.29 KB)

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关键词：Applications observations Econophysics epidemiology coefficients

使用均方误差和条件均方误差的最优阈值*Cecilia Mancini+2018年11月15日摘要我们考虑一个资产价格（对数）的单变量半鞅模型，其中包含跳跃可能的有限活动（IA）。[17]中提出的积分方差Iv：=RTσsds的非参数阈值估值器^ivnov是使用离散时间网格上的观测值构造的，它精确地求出了当它们低于阈值时过程的平方增量、观测步长的确定函数以及可能的X系数。所有满足给定条件的阈值函数都具有渐近一致的IV估计，但^ivnca的有限样本特性取决于阈值的具体选择。我们的目标是通过最小化估计均方误差（MSE）或条件均方误差（cMSE）来优化选择阈值。最后一个标准允许达到一个阈值，该阈值不是平均值，而是针对手头的特定波动率和跳跃路径。建立了最优解的简约特征，该特征与基础布朗运动的L'evy连续模成渐近比例。此外，最小化thecMSE使我们能够提出一种新的实现方案来逼近最佳阈值。MonteCarlo仿真表明了该方法的优越性能。关键词：阈值估计器、综合方差、L'evy跳跃、均方误差、条件均方误差、布朗运动路径的连续性模量、数值模式JEL分类代码：C6、C131简介在资产价格模型中包含跳跃成分的重要性已被广泛强调。

例如，Huang和Tauchen（在[12]中）根据经验证明，跳跃占标准普尔500指数市场价格方差的7%，文献中提出并应用了许多不同的资产价格跳跃测试（参见[18]第17.3节，以审查最常用的测试）。例如，从经济角度来看，跳跃可能会反映市场对重要公告或事件的反应。因此，带跳跃的半鞅模型广泛应用于各种金融应用中，例如衍生工具定价，并且还考虑了有限的活动跳跃成分（参见例如[8]，第15章）。当我们可以离散地观察价格时，分别确定布朗部分（通过积分方差IV）和跳跃对资产价格变化的贡献在许多方面都是至关重要的，例如，用于模型评估和改进波动率预测：例如，在【5】中，在过滤掉跳跃成分后，获得了跳跃存在的拟议测试；在[1]中，分离允许构造两个测试来识别跳跃是否具有有限或有限的变化；文献[2]表明，在计量经济模型中加入一个单独的因子来解释已实现方差的跳跃，可以显著改善输出*美国密苏里州圣路易斯华盛顿大学数学系，63130(figueroa@math.wustl.edu)+佛罗伦萨大学管理与经济系，via delle Pandette 9，50127（塞西莉亚。mancini@unifi.it)样本波动率预测。

模型的正确识别对期权定价和风险管理以及资产配置有着重大影响：例如，Carr和Wu（在[7]中）表明，随着到期时间接近于零，期权价格的渐近行为在很大程度上是不同的，这取决于基础模型是否包含跳跃，以及跳跃是否具有有限或有限的变化；Liu、Longstaff和Pan（在[16]中）发现，在模型中加入跳跃事件会显著影响最优投资策略。对于离散（无噪声）观测，主要通过使用多功率变化（MPV）和截断（或阈值）实现的方差（TRV）从综合方差（IV）中非参数分离跳跃（参见第17.2节[18]），了解其他方法。MPV所依据的观察结果是，当跳跃活动结束时，在随后的采样间隔内发生跳跃的概率非常小，但当活动结束时，这种概率要大得多。因此，MPV在一般情况下可能无法正常工作。相比之下，TRV已被证明在存在任何特定活动跳跃成分的情况下也是一致的（[17]）。此外，只要跳跃具有有限的变化，这是有效的。然而，截断水平（阈值）的选择对IV有限样本的估计性能有影响。当阈值太小或太大时，估计误差很大。在第一种情况下，太多的增量被丢弃，包括含有布朗部分相关信息的增量，而TRV低估了IV。在第二种情况下，太多的增量被保留在TRV内，包括许多包含跳跃的增量，导致对IV的高估。

文献中提出了许多不同的数据驱动的阈值选择，例如Ait Sahalia和Jacod[1]（其中第4节）选择了αh0.2形式的阈值水平，其中h是观察步骤，α是过程连续鞅部分标准偏差的乘数（其他选择在[18]第418页中描述）。然而，对于给定的时间分辨率h，控制估计误差是很重要的，在这里，我们寻找一个内生的、理论上支持的最佳选择。我们考虑模型dxt=σtdWt+dJt，（1），其中W是标准布朗运动，σ是c'adl'ag过程，J是纯跳半鞅（SM）过程。我们假设我们有一个记录{x，Xt，…，Xtn}，记录了x在固定时间间隔[0，T]上的离散观测值。我们还定义iZ，或niZ，增量Zti-Zti公司-1对于任何过程Z和阈值函数r（σ，h），观察步骤h的任何确定性非负函数，以及（σt）t的已实现波动路径的总和测度σ≥0，对于任何值σ∈ R以下条件满足要求→0r（σ，h）=0，limh→0r（σ，h）h logh=+∞.我们知道TRV，由^IVn给出：=nXi=1(iX）I{(九）≤r（σti-1，hi）}，（2）其中hi：=ti-ti公司-是IV的一致估计量：=RTσsds，作为supihi→ 0，只要（σt）t≥0是[0，T]上从零开始的a.s.边界距离。在跳跃过程J具有有限变化（FV）且观测值均匀分布的情况下，估计量也是渐近高斯且有效的。对于有限样本中阈值（TH）的选择，我们考虑以下两个最优性标准：最小均方误差最小化，IV估计中的预期二次误差；和最小化cMSE，即以跳跃过程J和波动过程（σs）s的实现路径为条件的预期二次误差≥0

尽管如上所述，已经提出了许多不同的选择程序，但有关最佳选择的文献却相当稀少。在[10]中，对于一类具有有限活性（FA）跳跃和绝对连续特征的加性过程，考虑了最小化跳跃错误分类预期数量的TH。尽管其中表明，在具有FA跳跃的L'evy过程的情况下，所提出的准则渐近等价于theMSE的最小化，但后一个最优性准则在[10]中没有直接分析。在这里，我们不仅研究了存在FA跳跃时的MSE标准，还考虑了不确定性跳跃，并进一步介绍了新的cMSE标准。最后一个标准允许达到一个阈值，该阈值不是平均值，而是针对手头的特定波动率和跳跃路径，因此在非平稳过程的情况下特别有吸引力，对于非平稳过程，即使MSE可行，每个实现与无条件平均值的偏差可能相当大，从而导致无条件标准的性能不佳。此外，从实用的角度来看，最小化cMSE很重要，如第5节所示，在该节中，我们提出了一种新的在FA跳跃过程存在的TH选择方法。假设等间距观测，结果表明，对于任何半鞅X，其波动性和跳跃过程独立于基础布朗运动，两个量MSE和cMSE是TH的显式函数，在每个标准下，存在一个最优TH，并且是显式给定方程的解，在两个标准下，方程不同。

在某些特定的假设下，我们还显示了最优TH的唯一性：对于L'evy过程X，在第一个标准下；对于具有一般FA跳跃的常数波动过程，在第二个准则下。表征最佳阈值的方程取决于观测值的时间步长h，其解也取决于观测值的时间步长h。当h趋于零时，最优TH必须趋于0，并且在每个标准下，对于方程中的某些项，相对于h的渐近展开是可能的，这反过来意味着最优TH的渐近展开。在均方误差准则下，当X为L'evy且J具有有限活性跳跃或活性为有限但J对称严格稳定时，展开的前导项在h中是明确的，并且在这两种情况下都与布朗运动路径的连续模和X的现货波动率成正比，比例常数为√2.- Y，其中Y是X的跳跃活动指数。因此，如果我们想要丢弃跳跃所代表的较高噪声并捕获关于IV的信息，跳跃活动越高，最佳阈值就必须越低。最优TH的前导项不满足经典假设，在经典假设下，截断法已在[17]中显示为一致估计IV，然而，至少在有限活动跳跃的情况下，本文表明，用最优TH构造的IV阈值估计值仍然一致。cMSE准则的渐近特性所需的假设限制较少，也允许漂移。我们发现，对于常数σ和一般FA跳跃，最优TH的前导项必须与布朗运动路径的连续模和σ成正比。

考虑cMSE的主要动机之一是将其用于调整阈值参数。其思想在于迭代更新最佳TH和连续和跳跃分量Xct=RtσsdWsand{Jt}t增量的估计≥我们在模拟数据上演示了这种方法。X中存在有限活动跳跃时cMSE的最小化是正在进行的研究的进一步主题。我们的一些结果的恒定波动率假设显然具有限制性。考虑到股票的波动性和杠杆率是可能的，但由于证明仍在进行中，我们在此仅讨论一些想法，并提供一些模拟实验，这些实验表明，在这种情况下，我们的方法也优于文献中出现的其他大众激励因素。论文概要如下。第2节讨论了均方误差：最优阈值ε的存在性？（h） 对于具有波动性和跳跃性的SM X，建立了与基本布朗运动W无关的数学模型；对于L'evy过程X，在有限跳跃活动L'evy X和有限活动对称严格稳定X的情况下，也建立了唯一性（第2.1小节），并且在第2.3节中找到了最优性的渐近展开。在第3节中，对于任何有限跳跃活动SM X，即使阈值函数包含不满足经典假设的最优阈值的前导项，也验证了^ivi的一致性。第4节讨论了在X是具有常数波动率和FA跳跃的SM的情况下的cMSE：建立了最优THε（h）的存在性，找到了其渐近展开式，然后获得了唯一性。第5节第4节的结果用于构建迭代确定有限样本中最佳阈值的新方法，并对模拟数据进行可靠性检查。

第6节介绍了蒙特卡罗研究，该研究表明，在随机波动率和杠杆作用下，新方法的性能优于文献中的其他方法。第7节得出结论，第8节包含所给出结果的证明。确认。Jos’e Figueroa-L’opez的研究部分得到了国家科学基金会的资助：DMS-1561411和DMS-1613016。塞西莉亚·曼奇尼的工作得益于GNAMPA（意大利分析、概率及其应用研究小组）和EIF（巴黎路易·巴塞利尔研究所）的支持。GNAMPA是INdAM小组、意大利高等数学研究小组的一个子单位，该小组位于罗马）。2均方误差我们通过σ和J路径的条件期望计算并优化^IVn通过的均方误差（MSE）：MSE：=E[（^IVn- IV）]=EHH（^IVn- IV）σ，Jii。在没有跳跃的情况下，以σ为条件，以及假设X没有漂移，是寻找均方误差最优性的论文中的标准（见例[4]）。我们还假设在固定的时间范围内（0，T）进行等距观测，因此对于任何i=1，ti=ti，n=ihn。n、 h=hn=T/n。用ε表示给定阈值函数的平方根pr（σ，h），在这项工作中，我们重点研究了阈值估计器的性能：^IVn（ε）：=nXi=1(iX）I{|九|≤ε}. （3） 我们用MSE（ε）表示相应的MSE。注意，对于ε≡0我们有^IVn=0，所以MSE（ε）=E[IV]；随着ε增加一些平方增量(iX）包含在^IVn中，因此^ivnbe更接近IV，MSE（ε）降低。但是，如果J 6≡ 0，表示ε→ +∞ 数量MSE（ε）再次增加，因为^ivin包括所有平方增量(iX）因此^IVnestimates全局二次变化IV+Ps≤T时间T时X的X和mse（ε）变得接近E[（Ps≤TXs）]。

我们寻找一个阈值ε？给定MSE（ε？）=最小ε∈[0,∞[均方误差（ε）。在本节中，我们分析了一阶导数M SE（ε）我们发现在一般框架中存在一个最优阈值，其中X是满足下面A1的半鞅，我们提供了一个方程，其中ε？是一种解决方案，而在第2.1节中，我们发现ε？甚至是独一无二的。方程没有显式解，但ε？是手的函数，我们可以明确地描述其在h中渐近展开的一阶项，对于h→ 显然，我们可以利用数值方法以任意精度找到最佳阈值的近似值。让我们表示iX？：=iXI公司{(九）≤ε} ，σi：=Ztiti-1σsds，mi：=iJ。我们假设如下A1。A、 s.对于所有s，σs>0；J 6≡ 0; σ，J与W无关。需要独立条件来保证W在σ和j的条件下保持布朗运动。我们在对Sec的模拟研究中分析了杠杆情况。利用下一个定理，我们计算均方误差的导数。证明推迟到附录中。定理1。根据A1和以下条款预期的一致性，对于固定h和ε>0，我们得到MSE（ε）=εG（ε），其中G（ε）：=nXi=1Ehai（ε）ε+2nXj=1j6=ibj（ε）- 2IVi、 （4）用ai（ε）和bi（ε）定义asai（ε）：=e-(ε-mi）2σi+e-（ε+mi）2σiσi√2π，bi（ε）：=E[(iX？）|σ、 J]=-e-(ε-mi）2σi（ε+mi）+e-（ε+mi）2σi（ε- mi）σi√2π+mi+σi√2πZmi+εσimi-εσie-xdx。很明显，当且仅当G（ε）>0时，MSE（ε）>0，因此，为了找到最佳阈值，必须研究G（ε）随ε变化的符号。符号