多随机因素下衍生产品定价的局部化方法

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英文标题：
《Pricing Derivatives under Multiple Stochastic Factors by Localized
  Radial Basis Function Methods》
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作者：
Slobodan Milovanovi\\\'c and Victor Shcherbakov
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose two localized Radial Basis Function (RBF) methods, the Radial Basis Function Partition of Unity method (RBF-PUM) and the Radial Basis Function generated Finite Differences method (RBF-FD), for solving financial derivative pricing problems arising from market models with multiple stochastic factors. We demonstrate the useful features of the proposed methods, such as high accuracy, sparsity of the differentiation matrices, mesh-free nature and multi-dimensional extendability, and show how to apply these methods for solving time-dependent higher-dimensional PDEs in finance. We test these methods on several problems that incorporate stochastic asset, volatility, and interest rate dynamics by conducting numerical experiments. The results illustrate the capability of both methods to solve the problems to a sufficient accuracy within reasonable time. Both methods exhibit similar orders of convergence, which can be further improved by a more elaborate choice of the method parameters. Finally, we discuss the parallelization potentials of the proposed methods and report the speedup on the example of RBF-FD.
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中文摘要：
我们提出了两种局部径向基函数（RBF）方法，即径向基函数单位分割法（RBF-PUM）和径向基函数生成有限差分法（RBF-FD），用于解决由多随机因素市场模型引起的金融衍生品定价问题。我们展示了所提方法的有用特性，如高精度、微分矩阵的稀疏性、无网格性和多维可扩展性，并展示了如何将这些方法应用于求解金融领域中与时间相关的高维偏微分方程。我们通过进行数值实验，在几个包含随机资产、波动性和利率动态的问题上测试这些方法。结果表明，这两种方法都能够在合理的时间内以足够的精度解决问题。这两种方法表现出相似的收敛顺序，可以通过更精细地选择方法参数来进一步改进。最后，我们讨论了所提方法的并行化潜力，并以RBF-FD为例报告了加速效果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> Pricing_Derivatives_under_Multiple_Stochastic_Factors_by_Localized_Radial_Basis_.pdf (1.43 MB)

2022-6-14 00:06:10 上传

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关键词：衍生产品 生产品 Applications Mathematical Quantitative

利用局部径向基函数方法对多个随机因素下的衍生产品进行定价。milovanovic@it.uu.seVictor什切巴科武普萨拉大学（ShcherbakovuppsalaUniversityVictor）。shcherbakov@it.uu.seAbstractWe提出两种局部径向基函数（RBF）方法，即径向基函数单位分割法（RBF–PUM）和径向基函数生成有限差分法（RBF–FD），用于解决由多个随机因素市场模型引起的金融衍生品定价问题。我们展示了所提出方法的有用特性，如高精度、微分矩阵稀疏性、无网格性和多维可扩展性，并展示了如何将这些方法应用于解决与时间相关的高维偏微分方程。我们通过进行数值实验，在几个包含随机资产、波动性和利率动态的问题上测试这些方法。结果表明，这两种方法都能够在合理的时间内高效准确地解决问题。这两种方法表现出相似的收敛顺序，可以通过更精细地选择方法参数来进一步改进。最后，我们讨论了所提出方法的并行化潜力，并以RBF–FD为例报告了加速效果。1简介衍生产品定价和金融模型校准是计算密集型任务，需要一定的精度。因此，应该使用能够最准确地表示市场特征的模型，如波动率微笑或倾斜以及收益分布的厚尾。通常，此类市场模型涉及多个随机因素，例如随机波动率和利率。

尽管如此，每个额外的随机因素都会产生额外的维度。因此，具有多个随机因素会导致多维问题。然而，由于现代计算硬件和数值方法的发展，多因素资产定价模型迅速普及。本文提出了一种基于径向基函数（RBF）方法的衍生品定价方法。RBF方法是一种无网格的数值方法，它表现出高的、光滑的问题，甚至是指数收敛阶的近似解【1，2，3，4】。由于使用径向基构造插值函数的简单性，从计算角度来看，这些方法对于高维问题很有吸引力。此外，与有限差分法（FD）[5]相比，RBF方法能够使用更少的计算节点实现所需的精度，从而减少存储需求。RBF方法在20世纪90年代末和2000年代初被几位作者用于金融应用【6、7、8、9】。然而，他们使用了全局RBF方法，在整个计算域中全局支持基函数。这种方法产生了需要求解的线性方程组的稠密系数矩阵，因此，由于计算复杂性的增加，该方法无法扩展到更高的维度。为了克服这一问题，几位作者建议使用局部RBF方法，如radialbasis函数单位分割法（RBF–PUM）[5、10、11]和radialbasis函数生成有限差分法（RBF–FD）[12、13、14、15、16、17]。这些方法修改允许对系数矩阵进行显著稀疏，从而提高计算效率。

事实上，文献[18]表明，RBF–PUM比任何其他依赖于高维期权定价问题空间离散化的确定性数值方法更有效，例如，对于赫斯顿模型，而RBF–FD在其当前发展状态下能够很好地跟踪该结果。因此，我们看到了局部RBF方法在具有多个随机因素的模型下对金融衍生品定价的巨大潜力。在本文中，我们证明了RBF–PUM和RBF–FD方法在一组具有多个随机因素的定价问题上的性能。这些问题的公式是受关于随机和局部波动性的BENCHOP项目的启发[19]。对于具有可用半解析解的问题，我们计算参考值并给出收敛性测试和计算性能比较，而对于其他问题，我们以带值表的形式提供解决方案。此外，我们还讨论了我们实现的并行化潜力，并展示了所取得的成果。除了积极的亮点之外，我们还提请注意所提出方法的局限性，并没有声称这些方法适用于解决维度非常高的问题，例如大于10的问题。对于这些情况，大多数情况下，蒙特卡罗方法仍然是获得解的唯一方法。然而，中等维度的问题，例如五项资产的pricinga篮子期权问题，例如降维后的DAX指数期权[20]，可以通过RBF–PUM和RBF–FD在普通笔记本电脑上几秒钟内解决[21]。此外，RBF–PUM已成功地应用于在具有四个随机因素的模型下评估quanto CDS的问题【22】。本文的其余部分结构如下。

在第2节中，我们定义了四个具有多个随机因素的模型，在此模型下我们对欧洲看涨期权进行定价。在第3节中，我们开发了RBF–PUM和RBF–FD方法，我们使用这些方法对期权值进行数值预测。在第4节中，我们给出并讨论了数值结果。最后，在第5节中，我们总结了对我们发现的讨论。2具有多个随机因素的模型具有多个随机因素的模型比标准的Black-Scholes公式能够更好地再现市场特征，标准的Black-Scholes公式因遗漏了一些重要的市场特征而闻名，例如收益分布的厚尾以及波动率微笑和偏斜。因此，具有局部波动率、局部随机波动率、波动率随机波动率、随机利率以及上述组合的各种模型，由于能够捕捉此类市场现象，变得越来越流行。在本节中，我们将介绍四个具有多个随机因素的模型，这些随机因素通常用于期权定价。这些车型的大多数选择都受到了[19]的启发。在我们的背景下，我们专注于欧洲看涨期权。然而，该方法并不局限于这种特殊类型的支付函数，可以很容易地扩展到ExoticPayoff，如【19】所示。我们考虑给定概率空间的模型(Ohm, F、 Q）满足标准假设，其中Ohm 是样本空间，（Ft，t≥ 0）是适应随机因素动态的过滤，Q是风险中性概率度量。2.1二次局部随机波动率模型对局部波动率模型的兴趣是由Dupire的工作触发的【23】。自那以后，此类模型在从业者中越来越流行，因为它们可以捕获市场数据中观察到的波动性特征，如微笑和倾斜。

第一次提到二次局部随机波动率（QLSV）与Andersen[24]的论文有关，他在论文中应用了期权定价模型。QLSV模型的动力学如下DST=rStdt+pVtf（St）dWst，S=S，（2.1）dVt=κ（η- Vt）dt+σpVtdWvt，V=V，（2.2）其中sti是随机资产价格，Vt是其随机波动率，σ是波动率的恒定波动率，κ是波动过程的平均反转速度，η是平均反转水平，r是无风险利率，wst和wvt是具有恒定相关性ρ的维纳过程，即hdWst，dWvti=ρdt，f（s）是水的挥发性函数，其形式为f（s）=αs+βs+γ，（2.3），具有常数参数α、β和γ。标准赫斯顿模型【25】是QLSV模型的特例，α=0，β=1，γ=0。通过应用It^o引理和Feynman–Kac定理，可以导出QLSV模型的定价偏微分方程（PDE）-ut=vf（s）us+ρσvf（s）usv+σvuv+rsus+κ（η-五）uv-ru，（2.4）根据终端条件U（T，s，v）=最大值（s- K、 0），（2.5），其中K是履约价格，s和v分别是短期资产价格和波动过程的确定性表示。我们为模型参数设置了以下值o集1：α=0，β=1，γ=0，o集2：α=2，β=0，γ=0，而其他参数对于两个测试集和所选asK=1，T=1，r=0，κ=2.58，η=0.043，σ=1，ρ=-0.36.两个测试集都违反了伐木工人条件[26]。我们选择三个评估点来衡量和报告期权价值结果S=0.75、1.00、1.25；V=0.114.2.2 SABR模型随机α、β、rho（SABR）模型由Hagan等人开发【27】，试图捕捉衍生品市场的波动微笑。

该模型是常方差弹性（CEV）模型的扩展，假设波动率是随机的。随机资产和波动过程由以下动态ST=VtSβtdWst，S=S，（2.6）dVt=σVtdWvt，V=V，（2.7）定义，其中β是弹性参数，其他参数如（2.1）–（2.2）所定义。通过应用It^o引理和Feynman–Kac定理，我们可以导出SABR模型的pricingPDE，其形式如下-ut=vs2βus+ρσvsβusv+σvuv- ru，（2.8）根据终端条件U（T，s，v）=最大值（s- K、 0）。（2.9）对于期权的估值，我们假设模型参数的值为sk=1，T=1，r=0，σ=0.4，β=0.5。这里，我们考虑了两个测试案例：存在半解析解的资产和波动率之间的零相关性【28】和资产和波动率之间的非零相关性，已经尝试推导出近似的半解析解【29】，但结果仍然很差：o集1：ρ=0，o集2：ρ=-0.5.我们测量和报告计算出的期权价值的三个评估点分别为=0.75、1.00、1.25；V=0.200。SABR模型通常用于评估利率衍生品。2.3赫斯顿-赫尔-怀特模型赫斯顿-赫尔-怀特（HHW）模型是赫斯顿随机波动率模型[25]的扩展，该模型通过遵循赫尔-怀特过程的随机利率进行了增强[30]。这是一个重要的延伸，因为市场利率是非恒定的。

赫尔-怀特模型的另一个值得注意的特点是，利率可能为负值，目前在一些经济体中也会出现这种情况，例如，2015年，瑞典央行（Sveriges Riksbank）采取了银行间借贷的负利率策略，以提振该国的经济【31】。这三个随机模型因素由以下动态ST=RtStdt+pVtStdWst确定，S=S，（2.10）dVt=κ（η- Vt）dt+σvpvtdvt，V=V，（2.11）dRt=a（b- Rt）dt+σrdWrt，R=R，（2.12），其中rti是随机利率，a是利率过程的平均反转速度，b是其平均反转水平，σris是其波动性，Wst，Wvt，和具有恒定相关性ρij的wrtar相关维纳过程，即hdWit，dWjti=ρijdt，i，j∈ {s，v，r}，其他参数如（2.1）–（2.2）所定义。我们可以应用It^o引理和Feynman–Kac定理推导HHW模型的pricingPDE，其形式如下-ut=vsus+σvvuv+σrur+ρsvσvvsusv+ρsrσr√vs公司usr+ρvrσvσr√vuvr+rsus+κ（η- 五）uv+a（b- r）ur- ru，（2.13）根据终端条件U（T，s，v，r）=最大值（s- K、 0）。（2.14）在求解定价PDE时，利率取负值的特性引入了一个数值问题。一些方法，如FD方法，在数值解中遇到并报告了虚假振荡【32】。为了减少纯振荡，可以构造迎风FD格式，并在r<0时使用。我们用于数值实验的模型参数值为k=1，T=1，κ=0.50，η=0.04，σv=0.25，σr=0.09，ρsv=-0.9，ρsr=0.6，ρvr=-0.7，a=0.08，b=0.1，三个评价点分别为0.75，1.00，1.25；V=0.040；R=0.100.2.4赫斯顿-考克斯-英格索尔-罗斯模型考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）利率模型是描述利率随机性的另一个模型。

我们将CIR随机利率模型与赫斯顿随机波动率模型相结合，以获得一个三因素结构，我们称之为赫斯顿-考克斯-英格索尔-罗斯（HCIR）模型。与赫尔-怀特模型相比，CIR模型的一个显著特点和差异在于，利率不能为负。随机过程的动力学如下：dst=RtStdt+pVtStdWst，S=S，（2.15）dVt=κ（η- Vt）dt+σvpvtdvt，V=V，（2.16）dRt=a（b- Rt）dt+σrpRtdWrt，R=R.（2.17）为了推导定价PDE，我们致力于应用It^o引理和Feynman–Kac定理的标准程序。获得的PDE采用以下形式-ut=vsus+σvvuv+σrrur+ρsvσvvsusv+ρsrσr√v√卢比usr+ρvrσvσr√v√ruvr+rsus+κ（η- 五）uv+a（b- r）ur- ru，（2.18）根据终端条件U（T，s，v，r）=最大值（s- K、 0）。（2.19）在这里，我们使用与HHW模型相同的参数值，即K=1，T=1，κ=0.50，η=0.04，σv=0.25，σr=0.09，ρsv=-0.9，ρsr=0.6，ρvr=-0.7，a=0.08，b=0.1，三个评价点分别为0.75，1.00，1.25；V=0.040；R=0.100.3局部径向基函数方法1990年代初，堪萨斯州[2，34]首次使用BF方法来近似偏微分方程的解。自那时以来，这些方法越来越流行，并已应用于数学物理[35、36]、冰川学[37、38]、量子物理[39]和计算金融[6、8、9]等各种类型的问题。RBF方法表现出一些非常吸引人的特性，例如近似解的高阶收敛性[4，40，41]，以及计算域几何的灵活性[37，41]。然而，标准全球公式[42]的主要问题是密集系数矩阵。在本文中，我们利用上述本地化方法来解决这个问题。

BENCHOP项目【18】表明，局部RBF近似是偏微分方程的有效数值方法，它们在解决多维问题方面具有巨大潜力。在这里，我们开发了两种本地化的DRBF技术，即RBF–PUM和RBF–FD。由于问题（2.4）、（2.8）、（2.13）和（2.18）是在有限域中描述的，为了进行数值模拟，我们需要截断域并在截断施加的边界处选择适当的边界条件。我们将截断域表示为^Ohm.