具有市场信用风险相关性的投资组合选择

，ik-第1个条目等于1，其余条目设置为0。迭代上面描述的递归过程，我们可以在t∈ 【^τk】-1，^τk），直到k=n。时间t≥ ^τn，投资组合中的所有股票都已违约。如果我们设置^τ=0和^τn+1=∞, 那么过程Nt=max{i≤ n^τi≤ t} 统计间隔[0，t]中的默认值数。对于k≥ 1，重新调用随机变量ik表示在^τk违约的股票的身份。然后，defaultindicator过程H可以通过序列（^τk，ik）1表示为标记点过程≤k≤n、 即Hit=P^τk≤如果i=1，n（我们使用1ik=ito表示事件{ik=i}的指示符函数）。这就结束了流程的构建（▄P，H）。使用上述信用风险模型的构建，过滤F包括在过滤F中：=F∨ (∨k、 iσ（ξki）），因为布朗运动与随机变量（ξki）无关。因此F G^F表示任何（P，F）-鞅都是（P，^F）-鞅，因此是（P，G）-鞅。特别地，（W，’W）也是（P，G）-布朗运动。在由一支无风险股票组成的投资组合的特殊情况下（λ（y，z）≡ 0）和一维随机因子（n=m=1），我们的模型简化为CastanedaLeyva和Hernandez Hernandez（2005）所考虑的模型，见其中的方程（2.1）和（2.2）。在进一步处理之前，确定n维列向量ξ：D→ Rnbyξ（y）：=σ-1（y）（u（y）- ren），y∈ D、 （8）在上述表达式中，Ende注意到n维列向量，其条目与1相同。向量ξ（y）是风险的市场价格，即投资者为承担股票收益不确定性带来的风险而要求的超额补偿。我们还定义了等效局部鞅测度（以下简称p.m.）的空间asQ：=下午

Q：Q~ GT上的P和（B-1tPt）t∈[0，T]是a（Q，G）-局部鞅. （9） 设Cbdenote为D上所有有界C函数的集合，其中也允许y中有界的一阶偏导数∈ D、 在本文中，我们做出以下假设。（A1）存在序列（D`）`∈具有C-边界和闭包的Nof有界域` D如此∪∞`=1D`=D。此外，对于所有（t，y）∈ [0，T]×D，P（Yt，ys∈ D s∈ [t，t]）=1。（A2）向量函数u（·）∈ y中有界一阶偏导数的C∈ D、 和σ（·）∈ Cb。对于每个z∈ S、 向量函数λ（·，z）∈ Cb。（A3）对于z∈ S、 设C：={f（·）∈ C0,1b；N（f；·，z）∈ C0，1b和inf（t，y）N（f；t，y，z）∈ (-1.∞)n} 。这里N（f；·，z）：=诊断（（1- z） λ-1（·，z））σ（·）（ξ（·）-f（·））表示z∈ S、 和C0，1b表示t中连续的函数集∈ [0，T]和∈ D、 定义Θz=（θ（·，z），h（·，z））∈ C×B；θ（t，y，z）∈ Rn，h（t，y，z）∈ (-1.∞)n、 和σ（y）（ξ（y）- θ（t，y，z））=诊断（（1- z） λ（y，z））h（t，y，z），对于（t，y）∈ [0，T]×D.集合Θzis对于每个z都是非空的∈ S、 上面，B代表所有Borel函数的集合[0，T]×D。此外，我们设置（1- z） λ（y，z）：=（（1- zi）λi（y，z）；i=1，n） >和（1- z） λ-1（y，z）：=（（1- zi）λ-1i（y，z）；i=1，n） >。备注2.1。如果系数u和σ在Rm上是Lipschitz连续的，则假设（A1）满足D=Rm。该设置涵盖了anOrnstein-Uhlenbeck（OU）过程给出的随机因素的情况，Castaneda Leyva和Hernandez-Hernandez（2005）也考虑了该情况。固定m=1并假设y≥ 0、在u（y）=a（b）的参数选择下- y） σ（y）=κ√y、 其中a、b、κ是满足Feller条件2ab的正常数≥ κ、 假设（A1）满足选择D=（0，∞). 该规范对应于Cox-Ingersson-Ross（CIR）过程给出的随机因素模型。假设（A1）和（A2）保证等式。

（1） 提供独特的强大非爆炸性解决方案。当我们考虑最优投资-消费问题的对偶时，我们将使用集合Θzin假设（A3）的元素来建立RadonNikodym密度的等价鞅测度。在大多数实际情况下，假设（A3）中的集合Θzin是非空的，另请参见下面的示例。所提出的框架足够丰富，可以包括一些文献中作为特例考虑的随机波动率模型。此外，它允许通过违约强度对公因子和违约状态的依赖性产生系统性影响。为了说明这一点，我们接下来提出了一个具有随机波动性和违约传染的二维因素模型。示例2.1。考虑OU类型的二维随机因素过程Yt=（Yt，Yt）：dYt=（u- uYt）dt+Xi=1σ0i[ρdWit+p1- ρd'Wit]，dYt=（u- uYt）dt+Xi=1？σ0i[ρdWit+p1- ρd'Wit]，其中ui∈ R和u0i，σ0i，σ0i∈ R+表示i=1，2。Y的状态空间由D=Rwithsub domains D`=(-`, `), ` ∈ N、 因此满足假设（A1）。我们可以将Ytas视为经济状态变量的一个因子，如实际收益的增长，或生产要素的波动/波动过程，已显示出均值回归（见Jensen和Liu（2006））。这两支可违约股票的价格动态为比亚迪PtPt-= udt+qθ（Yt）dWt- dMt，dPtPt-= udt+qθ（Yt）(R)ρdWt+p1- ρdWt- dMt。在上述表达式中，(R)ρ∈ [-1，1]和θi是正的和C。我们记得，Mit，i=1，2，是等式（5）中给出的（P，G）-鞅。

我们有以下系数：u（y）=u- uyu- uy, σ（y）≡σσσσ, λ（y，z）=λ（y，z）λ（y，z）,u（y）=uu, σ（y）=pθ（y）0？ρpθ（y）p1- ρpθ（y）.然后，波动率矩阵σ的逆矩阵由σ给出-1（y）=√θ（y）-ρ√1.-ρ√θ（y）√1.-ρ√θ（y）,向量ξ由ξ（y）给出=u√θ（y）(R)u√1.-ρ√θ（y）-ρu√1.-ρ√θ（y）.此外，对于f（y）=（f（y），f（y）），我们有（f；y，z）=√θ（y）λ（y，z）（1- z） （ξ（y）- f（y））√θ（y）λ（y，z）（1- z）ρ（ξ（y）- f（y））+p1- ρ（ξ（y）- f（y））.以上，对于i=1，2，(R)ui：=ui- r、 我们可以进一步计算ξy=-θ（y）(R)u2θ（y），ξy=0，ξy=-(R)ρp1- ρξyξy=-p1级- \'ρθ（y）\'u2θ（y）。接下来，我们考虑波动率函数θi的两个选择，i=1，2，之前在文献中考虑过。在这两种选择下，我们可以看到ξ（·）∈ Cb。（一） 一致椭圆Scott波动率，即θI（yi）=εI+eγiyif或γI，εI>0。那么我们有√θi（彝语）≤√εi，和θi（y）θ3/2i（yi）=γieγiyi（εi+eγiyi）3/2≤γi（εi+eγiyi）（εi+eγiyi）3/2=γi（εi+eγiyi）1/2≤γi√εi.因此ξ（·）∈ Cb。（二） 均匀椭圆Stein-Stein波动率，即θi（yi）=εi+γi | yi |对于γi，εi>0。然后√θi（彝语）≤√εi，和θi（y）θ3/2i（yi）=2γi | yi |（εi+γi | yi |）3/2≤√γi（εi+γi | yi |）1/2（εi+γi | yi |）3/2=√γi（εi+γi | yi |）1/2≤ 2qγiεi.因此ξ（·）∈ Cb。设θ（t，y，z）=（θ（t，y，z），θ（t，y，z））和h（t，y，z）=（h（t，y，z），h（t，y，z））∈ [0，T]×D×S。假设（A3）中集合Θzin的定义方程可重写为(1-z） λ（y，z）√θ（y）h（t，y，z）=ξ（y）- θ（t，y，z）√1.-ρ(1-z） λ（y，z）√θ（y）h（t，y，z）-ρ√1.-ρ(1-z） λ（y，z）√θ（y）h（t，y，z）=ξ（y）- θ（t，y，z）。（10） 接下来，我们验证设置是否满足假设（A3）。考虑解θ（t，y，z）toEq。（10） 在不同的默认状态z中∈ S={0，1}。当z=（1，1）时，我们从等式中推导。（10） θ（t，y，（1，1））=ξ（y）∈ D、 即θ（t，y，（1，1））是风险的市场价格。同时，N（θ；y，（1，1））=0，因此θ（·，（1，1））∈ C

因此，对于任何Borel函数h（·，（1，1）），我们有（ξ（·），h（·，（1，1）））∈ Θ(1,1). 当z=（1，0）时，我们从公式（10）中推断，对于y∈ D、 θ（t，y，（1，0））=ξ（y），我们选择θ（t，y，（1，0））=-ρu√1.-ρ√θ（y）∈ Cb。ThenN（θ；y，（1，0））=（0，|λ（y，（1，0）））。设λ（y，（1，0））∈ Cb取ε<CanduC>-1、然后θ（·，（1，0））∈ C、 因此，对于任何Borel函数h（t，y，（1，0）），我们有（θ（·，（1，0）），（h（·，（1，0）），°μλ（·，（1，0））>）∈ Θ(1,0). 类似的，我们可以讨论情况z=（0，1）。对于最后一种情况z=（0，0），直接的解决方案是取θ（·，（1，1））=ξ（·）∈ 因此N（θ；y，（0，0））=0。然后θ（·，（0，0））∈ C、 显然它认为（θ（·，（0，0）），0）∈ Θ(0,0). 我们也可以取与z=（1，0）情况相同的θ。然后，它认为（θ（·，（0，0）），（0，(R)uλ（·，（0，0）））>）∈ Θ(0,0). 因此，对于每个默认状态z∈ {0，1}，Θzis非空，即假设（A3）满足。2.2最优投资/消费问题我们考虑的是一个权力投资者，他希望在目标期限T内从消费加成中最大化其预期效用。他动态地将财富分配到无风险货币市场账户和n只可违约股票中。对于t∈ [0，T]，用φbt表示投资者在T时持有的无风险银行账户的股数。我们用φIt表示第i个可违约股票的股数，i=1，n、 在时间t时，与G-可预测投资组合过程（φBt，φt）相关的财富过程xt，φt=（φit；i=1，…，n）>，以及与非负消费率过程ct相关的财富过程xt，由xt=φBtBt+φ>tPt给出-ZTCDS。如果财富过程为正，我们可以将投资于股票和货币市场账户的财富份额定义为πit：=φit  Pit-Xt公司-, 和πBt：=1- π> 十，（11）式中，πt=（πit；i=1，…，n）>，然后回想一下en=1, 1, . . . , 1 |{z}n个>.

由于当第i只股票违约时，第i只股票的价格跳至零，因此投资者在该股票中持有的财富份额在违约后为零。特别地，它认为πit=（1- 打-)πIt对于i=1，n、 利用自我融资条件，我们可以将财富过程改写为DXT=Xt-π> tdiag（▄Pt）-1dPt+Xt（1- π> 十）dBtBt- ctdt（12）=Xt[r+π>t（u（Yt））- ren）]dt+Xtπ>tσ（Yt）dWt- Xt公司-π> tdMt- ctdt。财富过程动态是直观的。当第i只股票违约时，投资者的财富会被分配给它的财富减少。接下来，我们定义了可接受策略的空间：定义2.1。Let（x，y，z）∈ R+×D×S。可容许策略的类U：=U（x，y，z）是G-可预测过程集π=（πit；i=1，…，n）>t∈[0，T]使得E[RTkπ>Tσ（Yt）kdt]<+∞,Pni=1E[RT |πit |λi（Yt，Ht）dt]<+∞, 非负可预测消耗过程的和c=（ct）t∈[0，T]满足ERTctdt< +∞, 因此，当Xπ，c=X时，满足SDE（12）的相关财富过程是严格正的∈ R+，Y=Y∈ D和H=z∈ S（即Xπ，ct：=Xπ，c，X，y，zt>0，对于所有t∈ [0，T]）。上面，我们使用了符号kxk：=Pmi=1xi表示x∈ Rm。我们选择从消费和终端财富中提取的效用为HARAtype，风险规避参数为p。更具体地说，对于x∈ R+我们选择Ui（x）=Kipxp，其中p 6=0，p<1（p=0对应于对数效用情形）。系数Kankare正常数捕捉了从中间消费中提取的效用与终端财富之间的权衡。

我们的目标是研究以下效用最大化问题：在初始条件下（Xπ，c，Y，H）=（X，Y，z）∈ R+×D×S，确定最佳投资/消费策略和预期效用，也称为投资者价值函数，给定byV（x，y，z）：=sup（π，c）∈UE公司UXπ，cT+ZTU（cs）ds, （13） 其中（x，y，z）∈ R+×D×S和Xπ，cT>0，（π，c）∈ U=U（x，y，z），是投资者在最终时间T的财富。3对偶公式和验证结果第3.1节阐述了原始问题（13）的对偶，然后提供了它们的值函数之间的等价关系。我们在第3.2节中分析了等效问题。第3.3节给出了验证结果。3.1双重公式我们开始注意到，使用方程式（3）和（12），贴现股票价格和消费调整后的财富过程允许以下表示：对于（θ（·，z），h（·，z））∈ Θz带z∈ S、 d▄PtBt！=诊断▄Pt-英国电信-!σ（Yt）dWθt- dMht公司, anddXπ，全面禁试条约+ctBtdt=Xπ，ct-英国电信-π> t型σ（Yt）dWθt- dMht公司, （14） 其中，对于t∈ [0，T]，WθT：=Wt+Ztθ（s，Ys，Hs）ds，和Mh，it：=Mit-Zt公司∧τi（hiλi）（s，Ys，Hs）ds，i=1，n、 （15）接下来，我们定义了一组与P等价的概率测度，从而使上述贴现消费调整后的财富过程是一个超马尔金加w.r.t.过滤G.对于任何θ∈ C、 用M表示G-可预测过程集a=（ait；i=1，…，n）>t∈[0，T]取Rnand h上的值=（hi（T，Yt-, Ht公司-); i=1，n） >t∈[0，T]满足（θ（·，z），h（·，z））∈ Θz，z∈ S、 使过程Γa，ht：=E-Z·θ（s，Ys）-, Hs公司-)>dWs公司-Z·a>SDWS+Z·h>sdMst、 t型∈ [0，T]（16）是一个（P，G）-鞅。上面，我们用E{·}表示随机指数。设θt：=θ（t，Yt-, Ht公司-).

然后，密度过程Γa，h=（Γa，ht）t∈[0，T]满足度Γa，htΓa，ht-= -θ> tdWt公司- a> td'Wt+h>tdMt，Γa，h=1，（17），并接受由Γa，ht=exp给出的闭式解-Ztθ>sdWs-Zttr[（θsθ>s）]ds-Zta>sd'Ws-Zttr[asa>s]ds（18）+nXi=1Ztlog（1+his）dMis+nXi=1Zt∧τi日志（1+his）- 他的λi（Ys，Hs）ds.然后，对于（a，h）∈ M、 确定p.M.Pa，h~ GTasdPa上的P，hdP=Γa，hT。（19） 因此，对于t，我们有Γa，ht=E【dPa，hdP | Gt】∈ [0，T]，在（Pa，h，G）下，我们得到了过程wθT，T∈ [0，T]，定义于（15）和“Wat：=”Wt+Ztasds，T∈ [0，T]（20）形成布朗运动。此外，对于每个i=1，n、 过程Mh，i=（Mh，it）t∈[0，T]definedin（15）是一个鞅。请注意，对于（a，h）∈ M、 p.M.Pa，h∈ Q根据（14）。此外，对于（π，c）∈ U、 计算过程xπ，ctBt+RtcsBsds，t∈ [0，T]为非负。然后从（14）和（15）中得出，它是（Pa，h，G）-局部鞅，因此是（Pa，h，G）-超鞅。这就得到了，forall（π，c）∈ U、 sup（a，h）∈MEa，hXπ，cTBT+ZTCTBDT≤ x、 （21）式中，Ea，h[·]表示使用Cox和Huang（1989）中的（19）和引理2.5对（a，h）的期望w.r.t.Pa，h∈ M、 它认为ea，hXπ，cTBT+ZTCSBSD= E“Γa，hTBTXπ，cT+ZTΓa，hsBscsds#。（22）用于（a，h）∈ M和κ>0，通过∏（a，h，κ）：=πx，y，z（a，h，κ）：=E“~Uκa，hTBT！+ZT ~Uκa，hsBs！ds#+κx，（23）在初始条件下（xπ，c，y，h）=（x，y，z）∈ R+×D×S。对于i=1，2，~Ui（y），y∈ R+是HARA效用函数Ui（x），x的Legendre-Fenchel变换∈ R+，由▄Ui（y）：=supx给出∈R+{Ui（x）- xy}。（24）备注3.1。众所周知，上述上确界是在点Ii（y）：=（Ui）处达到的-1（y），y∈ R+，因此Ii（y）=K1-piyp公司-1，即它认为▄Ui（y）=Ui（Ii（y））- Ii（y）y。使用Ii（y）的表达式，我们得到▄Ui（y）=-qK1-Qiyqq其中q：=pp-1、我们可以交替地用q写Ii（y），因为Ii（y）=K1-qiyq公司-1.

很容易看出，q∈ （0，1）如果p<0，如果p<0，Q<0∈ (0, 1).因此，从不等式（21）中，我们得到了所有（π，c）的等式∈ U、 （a、h）∈ M、 和κ>0，EU（Xπ，cT）+ZTU（cs）ds≤ EU（Xπ，cT）+ZTU（cs）ds- κ（E“Γa，hTBTXπ，cT+ZTΓa，hsBscsds#- x） =E“U（xπ，cT）- κΓa，hTBTXπ，cT#+E“ZTU（cs）- κΓa，HSBSCds#+κx≤ π（a，h，κ）。（25）这立即产生以下引理3.2。Let（x，y，z）∈ R+×D×S。回忆（13）定义的值函数V（x，y，z）。韦哈维夫（x，y，z）≤ inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）。（26）接下来，我们证明存在（^a，^h，^κ）∈ M×R+和（^π，^c）∈ 所以不等式（21）和（26）都变成了等式。这进而得出最优交易和消费策略由（^π，^c）给出∈ U、 证明是标准的，并在附录中报告完整性。提案3.3。设（X，Y，H）=（X，Y，z）∈ R+×D×S。假设存在一个三元组（^a，^h，^κ）∈ M×R+，a策略（^π，^c）∈ U=U（x，y，z），使得x^π，^cT=I^κΓ^a，^hTBT, ^ct=I^κΓ^a，^htBt,t型∈ [0，T]，且以下等式保持se^a，h“X^π，^cTBT+ZT^csBsds#=X.（27），则以下等式保持（13）中定义的值函数，V（X，y，z）=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds= inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=∏（^a，h，κ），（28），其中，对于（a，h）∈ M、 κ>0时，函数∏（a，h，κ）由（23）给出。这表明，上述（^π，^c）是原始问题（13）的最优投资-消费策略。命题3.3建立了原始问题（13）和对偶（最小化）问题（28）之间的联系。接下来的章节将讨论对偶问题的可解性（28）。接下来，我们提供了标准（28）的等效表示，这对于分析与之相关的HJB方程更为方便。回想一下q=pp-1（见备注3.1）和第3.1节中给出的M定义。

介绍测量Pq、a、h、（a、h）∈ M、 DPQ、a、hdP规定| Gt=Γq、a、HTT∈ [0，T]，其中密度过程由Γq，a，ht给出：=exp-Ztqθ>sdWs-Ztqtr[θsθ>s]ds-Ztqa>sd'Ws-Ztqtr[asa>s]ds（29）+nXi=1Ztq日志（1+his）dMis+nXi=1Zt∧τiq日志（1+his）- （1+his）q+1λi（Ys，Hs）ds.我们记得（θ（·，z），h（·，z））∈ Θz或z∈ S、 和ht=h（t，Yt-, Ht公司-). 此外，定义θ：={h（·）；（θ（·，z），h（·，z））∈ Θz，z∈ S} 。（30）让Eq、a、h表示Pq、a、h下的期望值。附录中证明的下列引理给出了对偶问题的等效简化表示（28）。引理3.4。它认为inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=Ξ（a，h）∈MEq、a、hK1级-qeRTψ（s，as，hs，Ys，hs）ds+K1-qZTeRtψ（s，as，hs，Ys，hs）dsdt, （31）其中，如果p<0，则Ξ表示“sup”，如果p<0，则Ξ表示“inf”∈ (0, 1). 这里，对于a=（ai；i=1，…，n）>∈ Rn，h=（hi；i=1，…，n）>∈ (-1.∞)n、 和（y，z）∈ D×S，函数ψ（t，a，h，y，z）：=q（q- 1） ntr[（θθ>）（t，y，z）]+tr[aa>]o- qr+nXi=1（1- zi）（1+高）q- q（1+hi）+q- 1.λi（y，z）。（32）3.2双重问题的HJB方程本节推导并分析随机控制问题的HJB方程（31）。我们将建立HJB方程正有界经典解的存在唯一性，并进一步证明其梯度的有界性。这将在验证定理中确定最优策略的可接受性方面发挥关键作用。对于给定的初始值（Y，H）=（Y，z）∈ 随机因素和违约状态的D×S，和t∈ [0，T]，定义与优化问题（31）对应的值函数：g（T，y，z）：=Ξ（a，h）∈MEq、a、hK1级-qeRtψ（s，as，hs，Ys，hs）ds+K1-qZteRsψ（u，au，hu，Yu，hu）duds. （33）我们首先描述了Pq，a，H下状态过程（Y，H）的动力学。在（Pq，a，H，G）下，我们认为Wq，θt：=Wt+Ztqθsds，\'Wq，at：=\'Wt+Ztqasds，t∈ [0，T]（34）是2n维布朗运动，对于i=1。